Calcul du taux de rendement avec la TI

Calcul du taux de rendement
Cours de Comptabilité – 1ère HEC
Préparé par Reda Gherbi
Problématique
Supposons (cas général) qu’un investisseur ait la possibilité - moyennant un investissement initial I - de générer, pendant t = 1 ... n années 1 , une série 2 de flux de trésorerie (cash-flows) qui seront dénotés
CFt .
On obtient le schéma suivant :
(I)
CF1
CF2
CFn−1
CFn
n-1
n
temps
t0 = 0
1
2
... où (I) représente le montant de l’investissement initial que l’on
écrit entre parenthèses (montant négatif), car il représente une sortie
de trésorerie.
S’il on veut calculer la rentabilité du projet, il faut ”comparer ce
qui est comparable” ou, autrement dit, quantifier cette série de flux
de trésorerie à la même époque (au même moment) que survient
l’investissement I, soit au temps initial t0 = 0.
Ceci revient donc à actualiser la série de cash-flows de la manière
suivante :
n
X
CFt
Valeur en t0 de la série =
(1 + r)t
t=1
... où r représente le taux de rendement de ces cash-flows.
Question : Comment calculer le taux de
rendement r ?
1
2
La date n représente donc l’échéance, ou la ”maturité” du projet.
Voire, idéalement, une suite de flux de trésorerie (cash-flows)
Unité d’Enseignement et de Recherche en Comptabilité et Contrôle
Définition
Le taux de rendement r se définit comme le taux tel que la valeur
en t0 de la série soit égale à l’investissement I.
Le taux de rendement ne fait qu’assurer l’équilibre entre l’input
(l’investissement) et l’output (les cash flows actualisés).
r ⇒ Valeur en t0 de la série = I
⇒ (I) + Valeur en t0 de la série = 0
n
X
CFt
=0
⇒ (I) +
(1 + r)t
t=1
(1)
De fait, le taux de rendement est la solution de l’équation (1) (ou,
autrement dit, r est le taux tel que l’équation (1) prévale). Ce taux
de rendement connaı̂t différentes appellations : taux de rendement,
taux de rendement interne, internal rate of return...
Illustration
Prenons le cas simple d’une obligation :
Contre le paiement d’un prix P , l’investisseur reçoit une suite de
cash-flows (des coupons ki , i = 1 ... n) ainsi qu’un paiement final au
temps n (faisant office de remboursement C du prêt) 3 . On a ainsi
si on est à une date de coupon = date de jouissance :
Valeur en t0 de la série =
n
X
t=1
Si coupons constants
kt
C
+
t
(1 + r)
(1 + r)n
:
k1 = k2 = ... = kn = k
n
X
C
k
+
Valeur en t0 de la série =
t
(1 + r)
(1 + r)n
t=1
n
1
1 − 1+r
C
= k
+
r
(1 + r)n
C
= ka q +
n
(1 + r)n
3 Ainsi, au temps t , le dernier cash-flow se compose d’un ultime coupon k et du rembourn
sement C.
Page 2
Unité d’Enseignement et de Recherche en Comptabilité et Contrôle
Le taux r est donc le taux tel que :
P = ka q +
n
C
(1 + r)n
(2)
La subtilité ”comptable” par rapport à l’approche vue en Mathématiques financières est que P s’entend après déduction de frais
financiers ! ! !
Application
En se référant à l’exercice 11.3 du MIC 3 – 1er cas – on a :
n = 10
P = 100′ 000′ 000 . 0.99 − 4′ 000′ 000 = 95′ 000′ 000
k = 5% . 100′ 000′ 000 = 5′ 000′ 000
C = 100% . 100′ 000′ 000 = 100′ 000′ 000
En appliquant l’équation (2) :
P = ka q + Remboursement
(1+r)10
10
10
1
1−( 1+r
)
k
r
+ Remboursement
(1+r)10
10
1
1−(
′ 000′ 000
)
+ 100(1+r)
95′ 000′ 000 = 5′ 000′ 000 1+r
10
r
95 000 000 =
′
′
Résolution avec la TI-83
Pour résoudre cette dernière équation, il faut utiliser la commande
”irr” (internal rate of return) sur votre TI-83 (Plus) 4 .
– TI-83
Pour accéder à cette commande, il faut sélectionner les touches
suivantes :
Finance →
irr
2nd →
– TI-83 PLUS
Pour accéder à cette commande, il faut sélectionner les touches
suivantes :
Finance →
irr
APPS →
La syntaxe de la commande ”irr” est la suivante :
Syntaxe : irr(CF0,{CFListe},{Fréquences})
4 Pour plus de renseignements, se référer à la section 14-9 du manuel d’aide de la calculatrice.
Page 3
Unité d’Enseignement et de Recherche en Comptabilité et Contrôle
... où CF0
représente le flux de trésorerie initial (en t0 =
0), soit 95’000’000 (montant positif car correspondant à une entrée de trésorerie pour l’émetteur de l’emprunt)
CFListe
représente les différentes sorties de flux de trésorerie subséquents (qui sont les coupons k de
t = 1 à 9 ainsi que le dernier coupon et le remboursement au temps t = 10 (soit un flux de
-5’000’000 - 100’000’000 = 105’000’000)
Fréquences représente la répétition des éléments cités sous
CFListe, à savoir 9 pour les 9 premiers coupons
et 1 pour le paiement final de 105’000’000.
On aura donc :
Cas 1 : Si on se place du côté de l’émetteur :
irr(95000000,{-5000000,-105000000},{9,1})
ENTER
5.668717559
Notons que ceci est parfaitement équivalent à :
Cas 2 : Si on se place du côté des investisseurs :
irr(-95000000,{5000000,105000000},{9,1})
ENTER
5.668717559
En effet, et en se référant à l’équation (2), on voit que :
– P peut représenter le montant perçu par l’émetteur (auquel cas
P est positif, et la série de CF est négative) → Cas 1 ci-dessus.
– P peut représenter le montant payé par les investisseurs (auquel
cas P est négatif, et la série de CF est positive) → Cas 2 ci-dessus.
Dans la première partie de ce document (”Problématique”), les éléments ont été abordés sous l’optique de l’investisseur. On voit alors
qu’il suffit de multiplier tous les flux par -1 pour retrouver le raisonnement du débiteur de l’emprunt (emprunteur ou émetteur).
Pour les aficionados, la commande du logiciel Maple (installé au
CI) permettant de retrouver le précédent résultat est :
> restart ;
>with(finance) ;
> yieldtomaturity(95000000, 100000000, 0.05, 10) ;
Page 4