C, L - Crest

le modèle de Mirrlees
• Des agents ayant des préférences identiques U (C, L) sur consommation C et offre de travail L
• Les agents ne diffèrent que par leur productivité w v F (.)
• On souhaite compenser les malchanceux (bas w)
Z w1
Φ [U (Cw , Lw )] · dF (w)
avec
max
w0
Φ0 > 0 ≥ Φ00
• Mais on n’observe pas leur caractéristique w, seulement leur revenu
primaire Yw = w · Lw
Choix du barème T (.) non linéaire tel que Cw = Yw − T (Yw )
Résumé
• Caractériser l’ensemble des allocations w 7→ (Cw , Yw ) qui sont implémentables dans cette économie.
• Déterminer l’optimum du gouvernement
• Le cas particulier où w prend deux valeurs (Stiglitz 1982 JPubE)
• Le cas particulier d’absence d’effet revenus dans l’offre de travail U (C, L) =
C − v (L) (Piketty RFE 1997, Diamond AER 1998)...
2
Implémentation
• Soit un barème non-linéaire T (.) Un travailleur de type w résout
max
L
U (w · L − T (w · L) , L)
• Si T (.) dérivable, CN1 implique
0 (w · L − T (w · L) , L)
U
1
1 − T 0 (w · L) = · L0
w UC (w · L − T (w · L) , L)
3
Sous des hypothèse minimales de régularité (e.g. L borné, U (., .) et
T (.) continues), ce programme définit une allocation w 7→ (Cw , Lw , Yw , Uw )
Lw = arg max U (w · L − T (w · L) , L)
L
et
i.e.
Yw = w · Lw
Cw = Yw − T (Yw )
Uw = max U (w · L − T (w · L) , L)
L
¶
µ
Yw
Uw = U (Cw , Lw ) = U Cw ,
w
4
• Le choix du ménage en terme de variables observables Y = w · L par
le gouvernement revient à:
max
Y
¶
µ
Y
U Y − T (Y ) ,
w
• Choisir Y revient à choisir parmi les paniers possibles proposés par le
gouvernement w 7→ (Yw , Cw ) et donc à choisir un x (i.e. choisir un
panier (Cx, Yx)
max
x
¶
µ
Yx
U Cx,
w
5
• Une allocation réalisable doit donc être compatible avec les contraintes d’incitation :
∀ (w, x)
• Comme
µ
¶
µ
¶
Yw
Yx
U Cw ,
≥ U Cx,
w
w
(IC)
T (Yw ) = Yw − Cw
et que la contrainte budgétaire du gouvernement s’écrit
Z w1
E≤
T (Yw ) · dF (w)
(E ≥ 0 exogène)
w0
Une allocation doit vérifier la contrainte d’emploi ressources
Z w1
Z w1
E+
Cw · dF (w) ≤
Yw · dF (w)
w0
w0
6
(ER)
Le principe de taxation
• Stipule que le choix d’un barème fiscal Y 7→ T (Y ) en tenant compte
du comportement des agents
¶
µ
Y
Yw = arg max U Y − T (Y ) ,
w
Y
est équivalent à
• choisir une allocation w 7→ (Cw , Yw ) respectant les contraintes d’incitation
¶
µ
¶
µ
Yw
Yx
≥ U Cx,
(IC)
∀ (w, x)
U Cw ,
w
w
7
Le Modèle de Mirrlees (1971)
¶¸
∙ µ
Yw
max
· dF (w)
Φ U Cw ,
w
(Yw ,Cw )w∈[w ,w ]
w0
0 1
¶
µ
¶
µ
Yw
Yx
≥ U Cx,
sous : ∀ (w, x)
U Cw ,
w
w
Z w1
Z w1
Cw · dF (w) ≤
Yw · dF (w)
E+
Z w1
w0
(IC)
(ER)
w0
• Les contraintes IC contiennent les conséquences de l’inobservabilité de
la productivité w.
• Optimum de 1er rang sans les contraintes IC
8
Les contraintes d’incitations
On pose
¶
µ
Y
V (C, Y, w) = U C,
w
• Fonction d’utilité dans l’espace des observables (C, Y )
³
´
µ
¶
0 C, Y
U
w
Y
∂V
∂V
L
0
(C, Y, w) = Uc C,
>0
=
<0
∂C
w
∂Y
w
Pente décroissante avec w (Hypothèse de Spence Mirrlees)
³
´
¯
0 C, Y
U
¯
w
∂C ¯
L
³
´
=−
¯
∂Y V =cst
w · U 0 C, Y
c
9
w
Mesure des effets revenus
• Le choix optimal de consommation est définie implicitement par la
CN1
µ
µ
¶
¶
C −R
C −R
1
def 0
0
+ · UL C,
0 = F (C, w, R) ≡ UC C,
w
w
w
• Si CS2 est vérifiée strictement FC0 < 0, on peut appliquer le théorème
des fonctions implicites : ∂C/∂R est donc du signe de :
00
00 (w · L + R, L)
U
(w
·
L
+
R,
L)
U
0 = − CL
FR
− LL
w
w2
© 0
ª
1
00
0
00
=−
UL · UCL − UC · ULL
0
w · UL (w · L + R, L)
1 UC0
car − = 0
w UL
• comme UC0 > 0 > UL0 , la consommation est un bien normal ssi
10
∂C/∂R > 0, i.e. ssi
00 < U 0 · U 00
UC0 · ULL
L
CL
• Or
¯
¯
∂C
∂ ∂Y ¯
0
0 · U 00 − U 0 · U 00
U
U
Y
C
LL
L
CL
V =cst = − L −
·
¡
¢
0 2
∂ (1/w)
w
UC0
U
| {z }
C
>0
• Si les préférences sont telles que la consommation est un bien normal,
alors
¯
∂C ¯
∂ ∂Y
¯
V =cst > 0
⇔
¯
∂C ¯
∂ ∂Y
¯
V =cst < 0
∂ (1/w)
∂w
et la condition de Spence Mirrlees est vérifiée
11
C
w < w’
V(C,Y,w)
V(C,Y,w’)
C = Y - T(Y)
Cw’
Cw
Yw
Yw’
Figure 1: La condition de Spence Mirrlees
12
Y
• Décrire les allocations w 7→ (Cw , Yw ) qui vérifient IC revient à décrire
un barème Y 7→ C (Y ) ≡ Y − T (Y )
• Lorsqu’une allocation satisfait la contrainte emploi ressources, alors la
contrainte budgétaire du gouvernement est vérifiée
• Le TMS (∂V /∂Y ) / (∂V /∂C) (C, Y, w) correspond au taux marginal
de taxation
∂V (C , Y , w)
w w
0
∂Y
>0
1 − T (Yw ) = − ∂V
∂C (Cw , Yw , w)
• On a
T (Yw ) = Yw − Cw
13
⇒
T 0 (Yw ) < 1
Stiglitz (1982) : Deux niveaux de productivité w ∈ {wL, wH }
Aborder en préliminaire ce modèle de façon illustrative
max
YL,CL,YH ,CH
¶¸
¶¸
∙ µ
∙ µ
YL
YH
+ π H · Φ U CH ,
π L · Φ U CL,
wL
wH
¶
µ
¶
µ
YH
YL
≥ U CL,
(ICH )
U CH ,
wH¶
wH¶
µ
µ
YL
YH
≥ U CH ,
(ICL)
U CL,
wL
wL
(ER)
π L · (YL − CL) + π H · (YH − CH ) ≥ E
14
CN1 :
0=
0=
0=
0=
½
µ
¶
¾
µ
¶
µ
¶
YH
YH
YH
0
0
0
0
− γ + λH UC CH ,
− λLUC CH ,
π H ΦH UC CH ,
wH
wH
wL
⎧
⎫
³
´
³
´
³
´
YH
YH
⎪
⎪
⎨ U`0 CH , w
⎬
U`0 CH , w
U`0 CH , YwH
H
H
L
π H Φ0H
+ γ + λH
− λL
⎪
⎪
wH
wH
wL
⎩
⎭
½
µ
¶
¾
µ
¶
µ
¶
YL
YL
YL
0
0
0
0
− γ − λH UC CL,
+ λLUC CL,
π L ΦLUC CL,
wL
wH
wL
⎧
⎫
³
´
³
´
³
´
YL
YL
⎪
⎪
⎨ U`0 CL, wL
⎬
U`0 CL, wYL
U`0 CL, w
H
L
π L Φ0L
+ γ − λH
+ λL
⎪
⎪
wL
wH
wL
⎩
⎭
15
A priori quatre cas de figure
• λH > λL = 0 : le cas normal
• λL > λH = 0 : le cas anti-normal
• λL = λH = 0 : pas de contrainte
• λH > 0 et λL > 0 : Bouchonnement
16
Absence de contraintes IC λH = λL = 0
³
´
³
´
0 C , YH
0 C , YL
U
U
H wH
L wL
1
1
`
`
³
´=
³
´ = −1
·
·
Y
Y
wH U 0 C , H
wL U 0 C , L
H w
L w
C
C
H
L
• D’où T 0 (YH ) = T 0 (YL) = 0
• La redistribution s’opère par transferts forfaitaires.
• Typiquement, V (CH , YH , wH ) < V (CL, YL, wH ) : ICH est violée.
17
Le cas normal λH > λL = 0
γ · πH =
γ · π H · wH =
γ · πL =
γ · π L · wL =
µ
¶
¡
¢ 0
YH
0
π H · ΦH + λH · UC CH ,
wH¶
µ
¡
¢ 0
YH
0
π H · ΦH + λH · U` CH ,
wH
µ
¶
µ
¶
YL
YL
0
0
0
− λH · UC CL,
π L · ΦL · UC CL,
wL¶
µ
µ wH
¶
YL
wL
YL
0
0
0
− λH ·
π L · ΦL · U` CL,
· U` CL,
wL
wH
wH
18
C
wL < wH
V(C,Y,wL)
YL
V(C,Y,wH)
Y
Figure 2:
19
• D’où
³
´
0 C , YH
U
H wH
1
`
0
³
´=1
1 − T (YH ) =
·
wH U 0 C , YH
H w
C
⇒
T 0 (YH ) = 0
⇒
T 0 (YL) > 0
H
•
³
´
0 C , YL
U
L wL
1
`
0
³
´<1
1 − T (YL) =
·
wL U 0 C , YL
H w
C
L
20
Interprétation : Diminuer YL, LL et CL à UL inchangé
• augmente T 0 (YL) (courbure des courbes d’indifférences)
• Distort la consommation et le loisir (perte d’efficacité) => ressert
la contrainte emploi/ressources
• Permet de diminuer V (CH , YH , wH ) = gain en équité => dessert
la contrainte emploi ressources
• Pour T 0 (YH ) même coût mais pas de gain => T 0 (YH ) = 0.
21
Le cas quasilinéaire
v 0 (L) > 0
U (C, L) = C − v (L)
v 00 (L) > 0
Un travailleur de type w résout (on se restreint aux allocations
max w · L − T (w · L) − v (L)
Y
¡
¢
0
CN1 : w · 1 − T (w · L) = v 0 (L)
• Absence d’effet revenu dans l’offre de travail
• Lw ne dépend que de T 0 (Yw ) et non de T (Yw )
22
Contraintes IC
∀ (w, x)
∀ (w, x)
¶
µ
¶
µ
Yw
Yx
≥ U Cx,
U Cw ,
µw¶
µw ¶
Yw
Yx
≥ Cx − v
Cw − v
w
w
(IC)
Autrement dit w = x est le maximum de la fonction x 7→ X (w, x) définie
par
µ
Yx
x 7→ X (w, x) ≡ Cx − v
w
23
¶
On a :
µ
¶
Yx 0 Yx
∂X
(w, x) = 2 · v
et
∂w
w
w
µ ¶¸
∙ µ ¶
2
Ẏx
Yx 00 Yx
∂ X
Yx
0
(w, x) = 2 · v
+
·v
∂w∂x
w
w
w
w
Supposons que le mécanisme w 7→ (Cw , Yw ) est dérivable alors IC impliquent
∀w
∀w
∂X
(w, w) = 0
∂x
∂ 2X
(w, w) ≤ 0
2
∂x
⇒
µ
Ẏw 0 Yw
Ċw =
·v
w
w
¶
(IC1)
(IC2)
24
Mais alors, comme
Uw ≡ U (Cw , Yw /w) = X (w, x)
∂X
∂X
(w, w) +
(w, w)
U̇w =
∂w
∂x
IC1 est équivalente à l’équation différentielle :
µ ¶
Lw · v 0 (Lw )
Yw 0 Yw
=
U̇w = 2 · v
w
w
w
(IC1)
De plus,
∀w
∂X
(w, w) = 0
∂x
∂ 2X
∂ 2X
(w, w) +
(w, w) = 0
2
∂w∂x
∂x
⇒
25
Aussi IC2 se réécrit
µ ¶¸
∙ µ ¶
Ẏw
Yw 00 Yw
Yw
0
(w, w) = 2 · v
+
·v
0≤
∂w∂x
w
w
w
w
v 0 (Lw ) + Lw · v 00 (Lw )
= Ẏw ·
w2
∂ 2X
et donc
Ẏw ≥ 0
Lw + w · L̇w ≥ 0
⇔
On a également Ċw ≥ 0.
26
(IC2)
Réciproquement
Soit w 7→ (Lw , Uw ) tels que pour tout w,
Lw · v 0 (Lw )
U̇w =
et
Lw + w · L̇w ≥ 0
w
Est-ce qu’une telle allocation vérifie IC ? i.e. :
µ ¶
µ ¶
Yw
Yx
∀ (w, x)
Cw − v
≥ Cx − v
w
w
On pose
Cw = Uw + v (Lw )
Yw = w · Lw
µ ¶
µ ¶
µ ¶
µ ¶
Yx
Yx
Yx
Yx
= Cx − v
+v
−v
Cx − v
w
x
w
µ x¶
Z x
Yx 0 Yx
· dt
·v
= Ux −
2
t
w t
27
Aussi
µ
Yx
Cx − v
w
¶
µ
Yw
− Cw − v
w
¶
µ ¶
Z x
Yx 0 Yx
= Ux − Uw −
· dt
·v
2
t µ ¶¸
t
µw ¶
Z x∙
Yx 0 Yx
Yt 0 Yt
− 2 ·v
· dt
·v
=
2
t
t⎤
t
w ⎡t
³ ´
³ ´
Z x Yt · v 0 Yt − Yx · v 0 Yx
t
t ⎥
⎢
=
⎣
⎦ · dt
2
t
w
³ ´
• Si x > w, Yx ≥ Yt , v 0 (Yt/t) ≤ v 0 (Yx/t) donc Yt · v 0 Ytt ≤ Yx ·
³ ´
v 0 Ytx . On a bien IC
³ ´
• Si x ≤ w, Yx ≤ Yt , v 0 (Yt/t) ≥ v 0 (Yx/t) donc Yt · v 0 Ytt ≥ Yx ·
³ ´
v 0 Ytx . On a bien IC
28
Aussi IC (double continuum d’inégalités) est équivalent à
µ ¶
Lw · v 0 (Lw )
Yw 0 Yw
=
U̇w = 2 · v
w
w
w
Ẏw ≥ 0
⇔
Lw + w · L̇w ≥ 0
(IC1)
(IC2)
Par ailleurs
Uw = Cw − v (Lw )
⇒
Yw − Cw = w · Lw − v (Lw ) − Uw
La contrainte emploi-ressources se réécrit
Z w1
[w · Lw − v (Lw ) − Uw ] · dF (w) ≥ E
w0
29
On peut donc réécrire le programme du gouvernement en terme des
seules inconnues Lw et Uw :
Z w1
max
(Lw ,Cw ,Yw ,Uw )w∈[w ,w ]
0 1
Z w1
w0
w0
Φ [Uw ] · f (w) · dw
sous : Yw = w · Lw
Uw = Cw − v (Lw )
Lw · v 0 (Lw )
U̇w =
w
Lw + w · L̇w ≥ 0
[w · Lw − v (Lw ) − Uw ] · f (w) · dw ≥ E
(IC1 (qw ))
(IC2)
(ER (λ))
Approche du 1er ordre, on résout ce programme sans IC2 par contrôle
optimal, puis on vérifie que Yw est bien croissante.
30
Le cas Maximin
On veut maximiser Uw0 (préférences extrêmement redistributives)
IC1 unduit
Z w
Z w
Lt · v 0 (Lt)
· dt
U̇t · dt = Uw0 +
Uw = Uw0 +
t
w0
w0
ER induit
Z w1
[w · Lw − v (Lw ) − Uw ] · f (w) · dw
E=
w0
31
D’où :
Z w1
£
¤
w · Lw − v (Lw ) − Uw0 · f (w) · dw
E =
w0
ZZ
Lt · v 0 (Lt)
−
· f (w) · dt · dw
t
w0≤t≤w
Théorème de Fubini (inversion de l’ordre d’intégration)
Z w1
E =
[w · Lw − v (Lw )] · f (w) · dw − Uw0
w0
Z w1
Lt · v 0 (Lt)
· (1 − F (t)) · dt
−
t
w0
32
d’où
¾
Z w1 ½
0
Lw · v (Lw )
[w · Lw − v (Lw )] · f (w) −
· (1 − F (w)) ·dw−E
Uw0 =
w
w0
cpo
¤
£ 0
¤
£
0
00
w − v (Lw ) · f (w) = [1 − F (w)] · v (Lw ) + Lw · v (Lw )
33
Comme la cpo du travailleur s’écrit :
¢
¡
0
w · 1 − T (w · L) = v 0 (L)
On en déduit d’une part que :
d’autre part :
¯
w ∂L ¯¯
v 0 (L)
=
εw = ·
¯
L ∂w T 0 L · v 00 (L)
¢
v 0 (Lw ) ¡
0
= 1 − T (Yw )
w
w − v 0 (Lw ) = T 0 (Yw ) · w
On a alors
¶
µ
¡
¢
1
0
0
T (Yw ) · w · f (w) = [1 − F (w)] · w · 1 − T (Yw ) · 1 +
εw
34
d’où
¶ µ
µ
¶
0
1
T (Yw )
1 − F (w)
·
= 1+
0
1 − T (Yw )
εw
w · f (w)
35
Hamiltonien
q
H (U, L, w, q, λ) ≡ {Φ (U ) + λ · [w · L − v (L) − U ]}·f (w)+ ·L·v 0 (L)
w
Conditions d’optimalité
∂H
(Uw , Lw , w, qw , λ)
0=
∂L£
¤
¤
q£ 0
0
00
v (Lw ) + Lw · v (Lw )
0 = λ · w − v (Lw ) · f (w) +
w
© 0
ª
∂H
−q̇w =
(Uw , Lw , w, qw , λ) = Φ (Uw ) − λ · f (w)
∂U
qw1 = qw0 = 0
36
D’où
Z w1
Z w1
ª
© 0
−q̇t · dt =
Φ (Ut) − λ · f (t) · dt
qw =
w
wZ
w1
qw0 = 0
⇔
λ=
Φ0 (Ut) · f (t) · dt
w0
L’optimum est donc donné ©
par
ª
R w1
0
0 (L ) + L · v 00 (L )
¤
£
(U
)
·
f
(t)
·
dt
λ
−
Φ
v
w
w
w
w
·
w − v 0 (Lw ) ·f (w) = w
λ
w
Comme la cpo du travailleur s’écrit :
¢
¡
0
w · 1 − T (w · L) = v 0 (L)
On en déduit d’une part que :
¯
w ∂L ¯¯
v 0 (L)
=
εw = ·
¯
L ∂w T 0 L · v 00 (L)
37
d’autre part :
Aussi
¢
v 0 (Lw ) ¡
0
= 1 − T (Yw )
w
w − v 0 (Lw ) = T 0 (Yw ) · w
ª
R w1 ©
¶
µ
0
¡
¢
λ − Φ (Ut) · f (t) · dt
1
0
0
w
· 1 − T (Yw )
· 1+
T (Yw ) · w · f (w) =
λ
εw
n
o
R w1
Φ0(Ut)
¶
µ
1− λ
· f (t) · dt
w
T 0 (Yw )
1
·
= 1+
0
1 − T (Yw )
εw
w ·Ãf (w)
¢!
¡ 0
¶
µ
Ef Φ (Ut) |t ≥ w
1 − F (w)
1
T 0 (Yw )
·
= 1+
· 1−
0
1 − T (Yw )
εw
w · f (w)
Ef (Φ0 (Ut) |t ≥ w0 )
38
Interprétations
Soit un barème T (Y ). Considérons une hausse du taux marginal de
∆Tm pour Y ∈ [Y, Y + δY ].
• Pour les individus de revenus primaires supérieurs à Y + δY
— Leur taux marginal, donc leur offre de travail et leur revenu primaire
ne changent pas
— Le niveau de la taxe qu’ils payent augmente de ∆T = ∆Tm × δY
— Gain budgétaire λ, mais coût en terme de bien être Φ0 (Uw )
39
— d’où un effet total égal à
½Z w
¾
1¡
¢
λ − Φ0 (Ut) · f (t) · dt · ∆Tm × δY
w
• Pour les individus directement concernés de productivité [w, w + δw]
— Réduction de leur offre de travail
∆Tm
∆Yw ∆Lw
=
= −² (w) ·
Yw
Lw
1 − T 0 (Yw )
— et donc réduction de leurs impots
0 (Y )
T
w
T 0 (Yw ) · ∆Yw = −ε (w) ·
· Yw · ∆Tm
0
1 − T (Yw )
— On a la relation
δw
δY
= (1 + ε)
Y
w
40
Ils sont donc au nombre de f (w) · δw
— d’où un effet total
T 0 (Yw )
ε (w)
·
· w · f (w) · ∆Tm × δY
λ·
0
1 + ε (w) 1 − T (Yw )
• A l’optimum les deux effets se compensent d’où
Z w1
0
¢
¡
T (Yw )
ε (w)
0
·
· w · f (w) =
λ − Φ (Ut) · f (t) · dt
λ·
0
1 + ε (w) 1 − T (Yw )
¢
R w1 ¡ w
µ
¶
0
0
λ − Φ (Ut) · f (t) · dt
1
T (Yw )
w
= 1+
·
0
1 − T (Yw )
ε (w)
λ · w · f (w)
³
´
0
R
µ
¶ w1 1 − Φ (Ut) · f (t) · dt
0
w
1
T (Yw )
λ
·
= 1+
0
1 − T (Yw )
ε (w)
w · f (w)
41
Implications économiques
T 0 (Yw )
= A (w) · B (w) · C (w)
0
1 − T (Yw )
• A (w) : effet désincitation : plus l’élasticité est haute et plus T 0 diminue
¶
µ
1
A (w) = 1 +
εw
42
• B (w) : effet de la distribution des skills : une hausse du taux marginal
des individus de type w réduit l’offre de travail (désincitation proportionnelle à w · f (w) mais permet d’augmenter le niveau de taxes des
individus supérieurs à w en nombre 1 − F (w).
1 − F (w)
B (w) =
w · f (w)
— B est décroissant à gauche d’un mode
¡ ¢
0
— Si w1 fini, B (w1) = 0. Donc T Yw1 = 0
— Si Loi de Pareto en haut de la distribution B (w) = cst (Diamond
AER 1998, Saez REStud 2001)
43
• C (w) : Effet de l’objectif social : selon la concavité de Φ, i.e. la
vitesse à laquelle le poids social marginal décroît avec w, il devient
plus intéressant d’augmenter le niveau de taxe.
¡ ¢
0
— C (w0) = 0. Aussi T Yw0 = 0 sauf si bouchonnement en
bas
— C (w1) = 1 et
— C (w) croissant dès que Φ concave.
— Si Maximin, C (w) est constant et égale à 1
¢
¡ 0
Ef Φ (Ut) |t ≥ w
C (w) = 1 −
Ef (Φ0 (Ut) |t ≥ w0 )
44
Empiriquement
Données US, Diamond AER 1998
Figure 3:
Saez REStud 2001
45
• Données françaises : d’Autume RFE 2001.
• Et IC2 ? Voir Lollivier Rochet JET 1983 pour le cas U (C, L) =
v (C) − L
• Le cas U (C, L) = v (C) − L est synthétisé en détails dans Boadway
Cuff Marchand Journal Public Economic Theory 2000.
46
Figure 4:
47