Cinématique du point Vecteur vitesse – Vecteur accélération
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Cinématique du point Vecteur vitesse – Vecteur accélération
Complément leçon n°6 : Vecteur vitesse – Vecteur accélération PHR 101 Cinématique du point Vecteur vitesse – Vecteur accélération 1. Vecteur vitesse 1.1. Vecteur vitesse moyenne Soit un mobile M se déplaçant sur une trajectoire (C). Le même déplacement de M entre deux positions peut se faire pendant des durées différentes. Pour caractériser un mouvement, il peut être intéressant de connaître la distance parcourue par unité de temps, c'est-à-dire la vitesse moyenne. Si la position du point M à l’instant t1 correspond au point M(t1) = M1 et à l’instant t2 au point M(t2) = M2, le vecteur vitesse moyenne se définit par : JJJJJJG JJJJJG JJJJJG JJJG M M OM 2 − OM1 Vm = 1 2 = Δt Δt [3.1] Exemple : Un cycliste conduit son vélo sur 200 m, puis revient sur son chemin sur 40 m. S’il a mis 60 s pour effectuer son parcours, trouvez sa vitesse moyenne Vm. Solution La distance totale parcourue Δd = 200 + 40 = 240 m Le temps de parcours : Δt = 60 s La vitesse moyenne : Vm = 1 Δ d 240 = = 4 m.s −1 Δt 60 N. FOURATI_ENNOURI Complément leçon n°6 : Vecteur vitesse – Vecteur accélération PHR 101 1.2. Vecteur vitesse instantané Lorsqu’on considère une durée Δt infiniment petite, le mobile passe d’un point M à un point M’ infiniment proche. La vitesse moyenne tend vers la vitesse instantanée lorsque Δt tend vers zéro. JJJJG JJJJG Le vecteur position OM = OM ( t ) est une fonction du temps et la vitesse instantanée correspond alors à la dérivée par rapport au temps du vecteur position : JJJJG JJJJG JJJJG JG OM ( t + Δt ) − OM ( t ) d OM V ( t ) = lim = Δt → 0 Δt dt [3.2] Lorsque le point M tend vers le point M’, la corde MM’ tend vers la tangente à la trajectoire au point M. Le vecteur vitesse est donc un vecteur tangent à la trajectoire au point considéré (Figure. 1) z' M s(t) dM s(t+dt)=s(t)+ds M(t) k T M(t+dt) O v y' j i x' Figure. 1 Nous désignerons par : G G G T = T(t) ; T = 1 G G V le vecteur unitaire tangent à la trajectoire à chaque instant : T = G V 2 N. FOURATI_ENNOURI Complément leçon n°6 : Vecteur vitesse – Vecteur accélération PHR 101 1.3. Expression en coordonnées cartésiennes G A partir de l’expression du vecteur position r [2.1] et de la définition du vecteur vitesse [3.2], on obtient : G G G G dr G = v = x i + y j + z k dt [3.3] La valeur V de la vitesse correspond à la norme de ce vecteur : G V= v = x 2 + y 2 + z 2 [3.4] 1.4. Expression en coordonnées polaires G A partir de l’expression du vecteur position r [2.2] et de la définition du vecteur vitesse [3.2], on obtient : JJJJG JJG JJG d OM d d r JJG d ur G v= = r ur = ur + r dt dt dt dt ( ) [3.5] Lorsque le point M est en mouvement, l’angle polaire θ = θ(t) est une fonction du temps. Le JJG vecteur unitaire u r tourne et est donc fonction du temps par l’intermédiaire de l’angle. Pour le dériver par rapport au temps, il faut appliquer les règles de dérivation des fonctions composées. Dans notre cas : JJG JJG JJG d ur d u r d θ d u r = × = θ dt dθ d t dθ [3.6] La quantité θ caractérise la variation de l’angle polaire au cours du temps et correspond à la définition de la vitesse angulaire. Elle est souvent notée ω et s’exprime en rad.s-1. Dans le repère choisi : JJJJG JJG G G G G JJG d ur ur = cos θ i + sin θ j ⇒ = − sin θ i + cos θ j = uθ dθ 3 N. FOURATI_ENNOURI Complément leçon n°6 : Vecteur vitesse – Vecteur accélération PHR 101 Par conséquent : JJG JJG JJG JJG G v = r ur + r θ uθ = Vr ur + Vθ uθ [3.7] Vr et Vθ sont respectivement les composantes radiales et orthoradiales du vecteur vitesse dans la base polaire. La norme de ce vecteur est : G V = v = r 2 + r θ ( ) 2 [3.8] 1.5. Expression en coordonnées cylindriques Les coordonnées cylindriques correspondent aux coordonnées polaires dans le plan (o, x, y) auxquelles on ajoute une coordonnée z suivant un axe perpendiculaire au plan. La base JJG JJG JJG associée est donc composée de la base tournante u r , u θ et du vecteur u z (3eme vecteur de ( ) la base cartésienne qui est un vecteur fixe dans le référentiel d’étude. G En dérivant le vecteur position r [2.7], on obtient : JJJJG JJG JJG d OM d G r ur + z u z v= = dt dt ( ) [3.9] En tenant compte des résultats du paragraphe précédent, l’équation [3.9] peut s’écrire sous le forme de : JJJJG JJG JJG JJG d OM G v= = r ur + r θ uθ + z u z dt [3.10] G V= v = [3.11] Et : 4 ( ) 2 r 2 + r θ + z 2 N. FOURATI_ENNOURI Complément leçon n°6 : Vecteur vitesse – Vecteur accélération PHR 101 1.6. Vecteur vitesse angulaire En physique, et plus spécifiquement en mécanique, la vitesse angulaire ω, aussi appelée fréquence angulaire ou pulsation, est une mesure de la vitesse de rotation. Elle s'exprime dans le système international en radians par seconde (rad.s-1), ou plus simplement en s-1 puisque les angles sont des grandeurs sans dimension ; elle reste de manière courante donnée en tours par minute (tr/min). Une révolution complète est égale à 2π radians, donc : ω= d θ 2π = = 2π f dt T [3.12] T est la période de rotation (en s) et f est la fréquence (en s-1 ou Hz). L'utilisation de la vitesse angulaire au lieu de la fréquence ordinaire est pratique dans maintes applications car elle permet d'éviter l'apparition excessive de π. Elle est utilisée, entre autres, dans de nombreux domaines de la physique comme la mécanique quantique et l'électromagnétisme. Le vecteur vitesse angulaire est un vecteur : • normal au plan de rotation, • orienté de sorte que le mouvement se fasse dans le sens positif, • dont la norme vaut ω. On a donc : JJG JJG G ω = ω u z = θ u z 5 [3.13] N. FOURATI_ENNOURI Complément leçon n°6 : Vecteur vitesse – Vecteur accélération PHR 101 2. Vecteur déplacement élémentaire JJJJG G A partir de la relation [3.2], on peut définir le vecteur déplacement élémentaire d OM = d l , en coordonnées cartésiennes, par : JJG JJG JJG G G V ( t ) dt = d l = dx u x + dy u y + dz u z Pour obtenir l’expression du vecteur déplacement en coordonnées polaires, on reprend l’expression [3.7] : G d l d r JJG dθ JJG ur + r uθ = d t dt dt 6 JJG JJG G ⇒ d l = d r ur + r dθ uθ N. FOURATI_ENNOURI Complément leçon n°6 : Vecteur vitesse – Vecteur accélération PHR 101 3 - Vecteur accélération 3.1. Définition La vitesse évalue la variation de la position par rapport à celle du temps. De la même façon, la variation de la vitesse par rapport au temps est nommée accélération: G G G def d 2 r •• G d v G• = r = =v a = dt 2 dt [3.14] 3.2. Expression en coordonnées cartésiennes En coordonnées cartésiennes le vecteur accélération s'écrit : G •• G •• G •• G a = x i + y j+ z k [3.15] 3.3. Expression en coordonnées polaires A partir de l’expression du vecteur vitesse en coordonnées polaires [3.10] et de la définition G du vecteur accélération a on obtient : G JJG JJG JJG JJG JJG JJG JJG ⎛ JJG JJG ⎞ G dv d d d u θ a= = r ur + r θ uθ = r ur + r θ uθ = r ur + r θ uθ + ⎜ r θ uθ + r θ uθ + r θ ⎟ dt dt dt dt ⎠ ⎝ ( ) ( ) ( ) JJG JJG Rappelons que, comme ur , le vecteur unitaire u θ tourne et qu’il est fonction du temps par l’intermédiaire de l’angle θ. Pour le dériver par rapport au temps, il faut appliquer les règles de dérivation des fonctions composées. Dans notre cas : JJG JJG JJG d uθ d uθ d θ d u θ = × = θ dt dθ d t dθ Dans le repère choisi : JJJJG JJG G G G G d uθ = − cos θ i − sin θ j uθ = − sin θ i + cos θ j ⇒ dθ JJJJG JJG G G d uθ ⇒ = − ( cos θ i + sin θ j ) = − ur dθ 7 N. FOURATI_ENNOURI Complément leçon n°6 : Vecteur vitesse – Vecteur accélération PHR 101 Par conséquent : JJG JJG ⎛ JJG JJG G r ur + r θ uθ + ⎜ r θ uθ + r θ uθ + r θ a = ⎝ JJG JJG JJG JJG = r u + r θ u + r θ u + r θ u − r θ ( ) ( θ r ) ( θ θ JJG d uθ ⎞ ⎟ dt ⎠ JJG θ ur ( )) G L’expression finale de a est : JJG JJG JJG JJG JJG G a = r − r θ 2 ur + 2 r θ uθ + r θ uθ = ar ur + aθ uθ ( ( ) ) [3.16] Le premier terme ( ar = r − r θ 2 ) correspond à la composante radiale de l’accélération, le ( ) second aθ = 2 r θ + r θ à l’accélération orthoradiale. 3.4. Expression en coordonnées cylindriques A partir de l’expression [3.10] du vecteur vitesse et des résultats obtenus en coordonnées polaires [3.7], on trouve : G JJG JJG JJG JJG JJG JJG G dv d a= = r ur + r θ uθ + z u z = r − r θ 2 ur + 2 r θ + r θ uθ + z uz dt dt ( ) ( ) ( ) [3.17] 3.5. Vecteur accélération et la base de Frenet 3.5.1. Trièdre de Serret-Frenet G Dans le cas d’un mouvement plan, et en définissant en tout point M un vecteur unitaire T tangent à la trajectoire et orienté comme celle-ci, le vecteur vitesse, lui-même tangent à la trajectoire au point M (Figure. 1) peut s’écrire : JJG G V (t ) = v T avec G V = v [3.18] La notation v correspond à la valeur algébrique de la vitesse. Le signe de v indique dans quel sens le point M se déplace sur la trajectoire : v est positif pour un déplacement dans le sens positif et négatif dans le sens contraire. 8 N. FOURATI_ENNOURI Complément leçon n°6 : Vecteur vitesse – Vecteur accélération PHR 101 JJG Pour obtenir une nouvelle base dans le plan, il suffit de définir un vecteur unitaire N G perpendiculaire à T et toujours tourné vers la concavité (Figure 2). z' plan osculateur ϖ N M a(t) T r(t) v(t) k O y' j trajectoire i C x' Figure 2 JJG G ( N , T ) s’appelle la base de Frenet. Elle est mobile dans le référentiel d’étude puisque la direction des vecteurs de base dépend du point considéré sur la trajectoire. 3.5.2. Expression du vecteur accélération dans la base de Frenet Dans la base de Frenet, le vecteur accélération peut s’écrire sous la forme de : JJG JJG G a ( t ) = at T + an N [3.19] La composante at est la composante tangentielle et an est la composante normale centripète. La dérivée du vecteur vitesse dans cette base conduit à : G JG G G d VT dV dV G dT = = a = T+ V⋅ dt dt dt dt ( ) 9 N. FOURATI_ENNOURI Complément leçon n°6 : Vecteur vitesse – Vecteur accélération PHR 101 y dΦ ρ dΦ G N Φ G r G j O G T G i x Figure . 3 Soit ρ le rayon de courbure de la trajectoire. G G G G Exprimons T et N en fonction de i et j : G G G ⎧⎪T = cos(Φ) i + sin(Φ) j G G ⎨G ⎪⎩ N = − sin(Φ) i + cos(Φ) j G En différenciant T par rapport à t on obtient : G dT dΦ ⎞ G ⎛ dΦ ⎞ G ⎛ = ⎜ − sin(Φ) ⎟ i + ⎜ cos(Φ) ⎟ j dt dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ d’où : G dT dΦ G = N dt dt G En utilisant cette relation dans l’expression de a , on trouve : G d VT G dΦ G a = T + VT ⋅ N dt dt avec : dΦ dΦ dl 1 = ⋅ = ⋅ VT dt dl dt ρ Enfin : G dV G V2 G a = T + N dt ρ 10 [3.20] N. FOURATI_ENNOURI