MécaniqueComposites Chapitre 10

CHAPITRE 10
Comportement Élastique
d'un Matériau Composite Orthotrope
10.1 LOI DE HOOKE POUR
UN COMPOSITE ORTHOTROPE
10.1.1 Composite orthotrope
Les stratifiés sont constitués de couches de matériaux composites unidirectionnels ou de composites à base de tissus. Généralement, les tissus (Chapitre 2)
sont constitués de fils unidirectionnels croisés à 90 ° : les uns dans le sens chaîne,
les autres dans le sens trame. Ces couches possèdent trois plans de symétrie
orthogonaux deux à deux, et se comportent d'un point de vue élastique comme un
matériau orthotrope. Les directions principales (1, 2) seront prises respectivement
suivant la direction chaîne et la direction trame ; ces directions seront également
notées L et T (figure 10.1). La direction 3 orthogonale au plan de la couche sera
également notée T'.
3, T ′
2, T
sens trame
1, L
sens chaîne
FIGURE 10.1. Couche de matériau composite orthotrope.
10.1 Loi de Hooke pour un composite unidirectionnel
183
10.1.2 Matrices de rigidité et de souplesse
Le comportement élastique d'un matériau composite orthotrope est décrit en
introduisant soit les constantes de rigidité Cij, soit les constantes de souplesse Sij.
Compte tenu des résultats établis au Chapitre 7 (relation 7.14), la loi de Hooke
s'écrit suivant l'une des formes matricielles :
⎡ σ 1 ⎤ ⎡ C11 C12
⎢σ ⎥ ⎢C
⎢ 2 ⎥ ⎢ 12 C22
⎢σ 3 ⎥ ⎢C13 C23
⎢ ⎥=⎢
0
⎢σ 4 ⎥ ⎢ 0
⎢σ 5 ⎥ ⎢ 0
0
⎢ ⎥ ⎢
0
⎢⎣σ 6 ⎥⎦ ⎢⎣ 0
C13
0
C23
0
C33
0
0 C44
0
0
0
0
⎡ ε1 ⎤ ⎡ S11
⎢ε ⎥ ⎢ S
⎢ 2 ⎥ ⎢ 12
⎢ε 3 ⎥ ⎢ S13
⎢ ⎥=⎢
⎢ε 4 ⎥ ⎢ 0
⎢ε 5 ⎥ ⎢ 0
⎢ ⎥ ⎢
⎢⎣ε 6 ⎥⎦ ⎢⎣ 0
S13
S23
S33
0
0
0
0
0 ⎤ ⎡ ε1 ⎤
0
0 ⎥⎥ ⎢⎢ε 2 ⎥⎥
0
0 ⎥ ⎢ε 3 ⎥
⎥⎢ ⎥,
0
0 ⎥ ⎢ε 4 ⎥
C55
0 ⎥ ⎢ε 5 ⎥
⎥⎢ ⎥
0 C66 ⎥⎦ ⎢⎣ε 6 ⎥⎦
(10.1)
0 ⎤ ⎡σ1 ⎤
0 ⎥⎥ ⎢⎢σ 2 ⎥⎥
0 ⎥ ⎢σ 3 ⎥
⎥⎢ ⎥ .
0 ⎥ ⎢σ 4 ⎥
0 ⎥ ⎢σ 5 ⎥
⎥⎢ ⎥
S66 ⎥⎦ ⎢⎣σ 6 ⎥⎦
(10.2)
ou
S12
S22
S23
0
0
0
0
0
0
S44
0
0
0
0
0
0
S55
0
Le comportement élastique d'un matériau composite orthotrope est donc caractérisé par 9 coefficients indépendants :
C11, C12, C13, C22, C23, C33, C44, C55, C66,
ou
S11, S12, S13, S22, S23, S33, S44, S55, S66.
Les matrices de rigidité et de souplesse étant inverses l'une de l'autre, nous
avons :
2
S 22 S33 − S 23
,
∆S
C12 =
S13 S23 − S12 S33
,
∆S
2
S33 S11 − S13
,
=
∆S
C13 =
S12 S23 − S13 S22
,
∆S
C11 =
C22
C33 =
C44 =
2
S11S 22 − S12
∆S
1
,
S44
C55 =
S12 S13 − S23 S11
,
∆S
1
,
=
S66
C23 =
,
1
,
S55
C66
avec
2
2
2
∆S = S11S 22 S33 − S11S23
− S22 S13
− S33 S12
+ 2 S12 S23 S13 .
(10.3)
184
Chapitre 10 Comportement élastique d'un composite orthotrope
Les relations inverses donnant les coefficients de souplesse en fonction des coefficients de rigidité sont obtenues en intervertissant les rôles de Cij et Sij.
Le composite unidirectionnel est un cas particulier de matériau orthotrope dit
orthotrope de révolution, pour lequel :
1
2
( C22 − C23 ) ,
C13 = C12 ,
C44 =
C33 = C22 ,
C55 = C66 ,
S13 = S12 ,
S44 = 2 ( S22 − S23 ) ,
S33 = S22 ,
S55 = S66 .
et
(10.4)
(10.5)
10.2 MODULES DE L'INGÉNIEUR
Les modules usuels de l'ingénieur (module d'Young, coefficients de Poisson,
modules de cisaillement) s'expriment simplement en fonction des coefficients de
souplesse.
10.2.1 Traction dans le sens chaîne
Dans un essai de traction suivant le sens chaîne, toutes les contraintes sont
nulles, excepté la contrainte σ1 :
σ 1 ≠ 0,
σi = 0
(10.6)
si i = 2, 3, . . . , 6.
En fonction des constantes de souplesse, les équations d'élasticité s'écrivent :
ε1 = S11σ 1,
ε 2 = S12σ 1 ,
ε 3 = S13σ 1,
ε 4 = ε 5 = ε 6 = 0.
(10.7)
Soit :
σ1 =
1
ε1 ,
S11
ε2 =
S12
ε1,
S11
ε3 =
S13
ε1.
S11
(10.8)
Nous en déduisons le module d'Young et les coefficients de Poisson, mesurés
dans un essai de traction suivant le sens chaîne :
ν LT = ν12
Ech = EL = E1 =
1
,
S11
S
= − 12 ,
S11
S
= ν13 = − 13 .
S11
ν LT ′
(10.9)
10.2 Modules de l'ingénieur
185
10.2.2 Traction dans le sens trame
Dans un essai de traction suivant le sens trame, seule la contrainte σ2 n'est pas
nulle :
σ 2 ≠ 0,
σi = 0
(10.10)
si i ≠ 2.
Les équations d'élasticité s'écrivent :
ε1 = S12σ 2 ,
ε 2 = S22σ 2 ,
(10.11)
ε 3 = S23σ 2 ,
ε 4 = ε 5 = ε 6 = 0.
Soit :
σ2 =
1
ε2 ,
S22
ε1 =
S12
ε2,
S22
ε3 =
S23
ε2.
S22
(10.12)
D'où le module d'Young et les coefficients de Poisson, mesurés dans un essai de
traction suivant le sens trame :
Etr = ET = E2 =
ν TL
S
= ν 21 = − 12 ,
S 22
ν TT ′
1
,
S 22
S
= ν 23 = − 23 .
S22
(10.13)
10.2.3 Traction transversale
Nous appellerons traction transversale une traction effectuée dans une direction
normale au plan de la couche :
σ 3 ≠ 0,
σi = 0
(10.14)
si i ≠ 3.
Nous obtenons aisément le module d'Young transversal et les coefficients de
Poisson correspondants :
ET ′ = E3 =
ν T ′L
S
= ν 31 = − 13 ,
S33
1
,
S33
ν T ′T = ν 32
S
= − 23 .
S33
(10.15)
186
10.2.4
Chapitre 10 Comportement élastique d'un composite orthotrope
Relation entre modules d'Young et coefficients
de Poisson
La comparaison des diverses relations établies (10.9), (10.13) et (10.15)
permet d'écrire :
EL
ν LT
=
ET
ν TL
EL
,
ν LT ′
=
ET
ν T ′L
ET
,
ν TT ′
=
ET ′
ν T ′T
,
(10.16)
relations qui s'écrivent sous la forme condensée :
Ei
ν ij
=
Ej
ν ji
,
i, j = 1, 2, 3 ou L, T , T ′.
(10.17)
10.2.5 Essais de cisaillement
Un essai de cisaillement dans le plan de la couche correspond à un état des
contraintes tel que :
σ 6 ≠ 0,
σi = 0
si i ≠ 6.
(10.18)
Soit :
ε1 = ε 2 = ε 3 = ε 4 = ε 5 = 0,
σ 6 = C66ε 6 .
(10.19)
Nous en déduisons le module de cisaillement dans le plan de la couche :
G12 = GLT = C66 =
1
.
S66
(10.20)
De même, nous trouvons les modules de cisaillement dans des essais transversaux :
— suivant le sens chaîne :
G13 = GLT ′ = C55 =
1
,
S55
(10.21)
G23 = GTT ′ = C44 =
1
.
S44
(10.22)
— suivant le sens trame :
10.3 Constantes de rigidité et de souplesse en fonction des modules de l'ingénieur
187
10.2.6 Conclusion
La relation d'élasticité (10.2) s'écrit, en introduisant les modules de l'ingénieur,
sous la forme :
ν
ν
⎡ 1
⎤
0
0
0 ⎥
− 12 − 13
⎢ E
E1
E1
⎢ 1
⎥
1
ν 23
⎢ ν12
⎥
0
0
0 ⎥
−
−
⎢
⎡ ε1 ⎤
⎡σ1 ⎤
E1
E2
E2
⎥⎢ ⎥
⎢ε ⎥ ⎢
1
⎥ ⎢σ 2 ⎥
⎢ 2 ⎥ ⎢ − ν13 − ν 23
0
0
0
⎥ ⎢σ ⎥
⎢ε 3 ⎥ ⎢ E1
E2
E3
⎥⎢ 3⎥ .
(10.23)
⎢ ⎥=⎢
1
⎥ ⎢σ 4 ⎥
⎢ε 4 ⎥ ⎢ 0
0
0
0
0 ⎥
⎢ε 5 ⎥ ⎢
⎢ ⎥
G23
⎥ ⎢σ 5 ⎥
⎢ ⎥ ⎢
1
⎥ σ
⎢⎣ε 6 ⎥⎦ ⎢ 0
0
0
0
0 ⎥ ⎢⎣ 6 ⎥⎦
⎢
G13
⎢
⎥
1 ⎥
⎢
0
0
0
0
⎢⎢ 0
G12 ⎥⎦⎥
⎣
Le comportement élastique d'un matériau composite orthotrope peut être décrit
par les 9 modules indépendants :
― 3 modules d'Young : E1 , E2 , E3 ou EL , ET , ET ′ ,
― 3 coefficients de Poisson : ν12 , ν13 , ν 23 ou ν LT , ν LT ′ , ν TT ′ ,
(10.24)
― 3 modules de cisaillements : G12 , G13 , G23 ou GLT , GLT ′ , GTT ′ .
Les 3 autres coefficients de Poisson sont déterminés à l'aide de la relation (10.17).
10.3 CONSTANTES DE RIGIDITÉ ET DE SOUPLESSE
EN FONCTION DES MODULES DE L'INGÉNIEUR
10.3.1 Constantes de souplesse
Les expressions des constantes de souplesse s'obtiennent sans difficulté à partir
des expressions établies au paragraphe précédent, soit :
1
,
E1
1
=
,
E2
1
=
,
G23
S11 =
S12 = −
S 22
S23 = −
S 44
S55
ν12
E1
ν 23
E2
1
=
,
G13
,
S13 = −
,
S33 =
S66
ν13
E1
1
,
E3
1
=
.
G12
,
(10.25)
188
Chapitre 10 Comportement élastique d'un composite orthotrope
10.3.2 Constantes de rigidité
Les expressions des constantes de rigidité en fonction des modules de l'ingénieur s'obtiennent à partir des relations (10.3) et (10.25), soit :
C11 =
1 −ν 23ν 32
,
E2 E3∆
ν 21 +ν 31ν 23 ν 12 +ν 32ν13
=
,
E2 E3∆
E1E3∆
1 −ν13ν 31
ν +ν ν
= 13 12 23 ,
C22 =
,
E1E2 ∆
E1E3∆
1 −ν 12ν 21
ν +ν ν
= 23 21 13 ,
,
C33 =
E1E2 ∆
E1E2 ∆
C12 =
ν 31 +ν 21ν 32
E2 E3∆
ν +ν ν
C13 = 32 12 31
E1E3∆
C13 =
C44 = G23 ,
C55 = G13 ,
(10.26)
C66 = G12 ,
avec
∆=
1 −ν12ν 21 − ν 23ν 32 −ν 31ν13 − 2ν 21ν 32ν13
.
E1E2 E3
10.3.3 Restriction sur les coefficients d'élasticité
Si une seule contrainte suivant un axe principal est appliquée au matériau, la
déformation suivant cette direction est de même signe que la contrainte. Il en
résulte que :
S11 , S 22 , S33 , S44 , S55 , S66 > 0,
(10.27)
ou en terme de modules d'ingénieur :
E1 , E2 , E3 , G23 , G13 , G12 > 0.
(10.28)
De même, si l'on impose au matériau une seule déformation suivant un axe
principal, la contrainte qui en résulte dans cette direction a le même signe que la
déformation imposée. Il en résulte que :
C11 , C22 , C33 , C44 , C55 , C66 > 0,
(10.29)
et compte tenu de (10.26) :
1 − ν 23ν 32 > 0,
1 − ν13ν 31 > 0,
1 − ν12ν 21 > 0,
(10.30)
et
1 − ν12ν 21 − ν 23ν 32 − ν 31ν13 − 2ν 21ν 32ν13 > 0,
(10.31)
puisque la matrice S est définie positivement (déterminant positif), le travail
thermodynamique étant positif. Cette même propriété associée aux relations
Exercices
189
(10.26) implique également :
S23 < S22 S33 ,
S13 < S11S33 ,
(10.32)
S12 < S11S 22 .
En utilisant les relations de symétrie (10.17), les conditions (10.30) peuvent également s'écrire :
ν 21 <
E2
,
E1
ν12 <
E1
,
E2
ν 32 <
E3
,
E2
ν 23 <
E2
,
E3
ν13 <
E1
,
E3
ν 31 <
E3
.
E1
(10.33)
De même en reportant les relations de symétrie dans la condition (10.31), nous
obtenons :
2 E1
2 E2
2 E3
2ν 21ν 32ν13 < 1 −ν 21
−ν 32
−ν13
< 1.
(10.34)
E2
E3
E1
Les deux dernières conditions peuvent être regroupées pour obtenir :
2
⎛
E1
E ⎞
2 E2 ⎞ ⎛
2 E3 ⎞ ⎛
+ ν 32ν13 2 ⎟⎟ > 0 .
⎜1 − ν 32
⎟ ⎜1 − ν13
⎟ − ⎜⎜ν 21
E3 ⎠ ⎝
E1 ⎠ ⎝
E2
E1 ⎠
⎝
(10.35)
Enfin, la condition précédente peut être réarrangée de manière à obtenir des
bornes sur le coefficient de Poisson ν21 :
12
12
⎡
E ⎛
2 E2 ⎞ ⎛
2 E3 ⎞
− ⎢ν 32ν13 2 + ⎜1 −ν 32
−
1
ν
13
⎟ ⎜
⎟
E1 ⎝
E3 ⎠ ⎝
E1 ⎠
⎢⎣
< ν 21 <
E2 ⎤
⎥
E1 ⎥
⎦
12
12
⎡
E2 ⎛
2 E2 ⎞ ⎛
2 E3 ⎞
⎢
− ν 32ν13
− ⎜1 −ν 32
⎟ ⎜1 −ν13
⎟
E1 ⎝
E3 ⎠ ⎝
E1 ⎠
⎢⎣
E2 ⎤
⎥.
E1 ⎥
⎦
(10.36)
EXERCICES
10.1 Calculer les constantes de rigidité et de souplesse d'un composite orthotrope
de caractéristiques :
190
Chapitre 10 Comportement élastique d'un composite orthotrope
EL = 30 GPa,
ET = 20 GPa,
ET ′ = 10 GPa,
ν LT = 0,14,
ν LT ′ = 0,30,
ν TT ′ = 0,32,
GLT = 4 GPa,
GLT ′ = 3,5 GPa,
GTT ′ = 2,5 GPa.
10.2 Calculer les constantes de rigidité et de souplesse d'un composite orthotrope
de caractéristiques :
EL = ET = 25 GPa,
ET ′ = 10 GPa,
ν LT = 0,12,
ν LT ′ = 0,30,
GLT = 4, 2 GPa,
GLT ′ = GTT ′ = 3,5 GPa.
ν TT ′ = 0,32,