Modéliser une situation par un arbre, un arbre pondéré

PROBABILITES
Modéliser une situation par un arbre, un arbre pondéré
Un arbre permet de modéliser une situation et de déterminer une probabilité dans le cas où on
étudie plusieurs événements.
Il est particulièrement bien adapté à la répétition d’expériences, aux situations où il y a plus de
deux expériences et au cas où les expériences élémentaires ne sont pas équiprobables.
Dans le cas de deux expériences simultanées, il vaut mieux utiliser un tableau (voir Modéliser
une situation par un tableau)
Si l’arbre n’est pas pondéré, les événements décrits par une branche sont équiprobables. Sinon
leur probabilité est égale au produit des branches.
Les événements étant indépendants les probabilités de chaque branche peuvent s’additionner.
Exemple 1 : arbre simple
On lance trois fois une pièce et on regarde si on obtient pile (P) ou face (F). Modéliser la
situation par un arbre. En déduire la probabilité d’avoir exactement une fois pile.
P
P
P
F
P
F
F
P
P
F
F
F
P
F
Il y a trois branches avec un seul pile pour un total de 8 branches donc la probabilité d’avoir
exactement une fois pile est de 3/8 = 0,375
Exemple 2 : arbre pondéré
On lance 2 fois un dé équilibré et on s’intéresse à l’événement A : « Le nombre est 6 » et à
son contraire A . Modéliser la situation par un arbre pondéré.
A
1
6
5
6
1
6
5
6
1
6
A
A
A
A
5
6
A
La probabilité d’obtenir un 6 la deuxième fois seulement est la probabilité p( A A) En lisant la
5 1
5
branche qui correspond, on voit que : p( A A) = × =
6 6
36
Passer aux exercices
Modéliser une situation par un arbre, un arbre pondéré
Fiche originale réalisée par Thierry Loof
page 1
PROBABILITES
Modéliser une situation par un arbre, un arbre pondéré
Exercice 1
Dans un jeu télévisé on demande à un joueur de choisir une couleur parmi Jaune, Orange,
Vert, Bleu ou Rouge. Puis un spectateur tire au hasard un nom de fruit dans une urne
contenant les mots : « Fraise », « Banane », « Pomme ». Si la couleur est celle du fruit le
joueur gagne sachant qu’une pomme peut être jaune, rouge ou verte.
1. Représenter l’expérience à l’aide d’un arbre.
2. Quelle est la probabilité que le joueur gagne ?
Corrigé – Revoir les explications du cours
Exercice 2
Une urne contient 5 boules rouges et deux blanches. On tire une boule on note sa couleur et
on la remet puis on en tire une autre et on note sa couleur.
1. Représenter cette expérience par un arbre pondéré.
2. Quelle est la probabilité d’avoir une boule blanche puis une rouge (événement noté
p(BR)) ?
3. Une rouge puis une blanche p(RB) ?
Corrigé– Revoir les explications du cours
Exercice 3
Reprise de l’exercice 2 dans le cas ou on ne remet pas la première boule dans l’urne :
Une urne contient 5 boules rouges et deux blanches. On tire une boule on note sa couleur et
puis on en tire une autre sans remettre la première et on note sa couleur.
1. Représenter cette expérience par un arbre pondéré.
2. Quelle est la probabilité d’avoir une boule blanche puis une rouge (événement noté
p(BR)) ?
3. Une rouge puis une blanche p(RB) ?
Corrigé– Revoir les explications du cours
Modéliser une situation par un arbre, un arbre pondéré
Fiche originale réalisée par Thierry Loof
page 2
PROBABILITES
Modéliser une situation par un arbre, un arbre pondéré
Corrigé 1
Dans un jeu télévisé on demande à un joueur de choisir une couleur parmi Jaune, Orange,
Vert, Bleu ou Rouge. Puis un spectateur tire au hasard un nom de fruit dans une urne
contenant les mots : « Fraise », « Banane », « Pomme ». Si la couleur est celle du fruit le
joueur gagne sachant qu’une pomme peut être jaune, rouge ou verte.
1. Représenter l’expérience à l’aide d’un arbre.
2. Quelle est la probabilité que le joueur gagne ?
1.
Jaune
Orange
Vert
Bleu
Rouge
Fraise
Banane
Pomme
Fraise
Banane
Pomme
Fraise
Banane
Pomme
Fraise
Banane
Pomme
Fraise
Banane
Pomme
2. Le joueur gagne s’il obtient {(Jaune, banane) ; (Jaune, pomme) ; (vert, pomme) ;
(Rouge, pomme) ; (Rouge, fraise)}, donc 5 choix sur 15 possibles, la probabilité est
donc de 1/3
Retour aux exercices– Revoir les explications du cours
Modéliser une situation par un arbre, un arbre pondéré
Fiche originale réalisée par Thierry Loof
page 3
PROBABILITES
Modéliser une situation par un arbre, un arbre pondéré
Corrigé 2
Une urne contient 5 boules rouges et deux blanches. On tire une boule on note sa couleur et
on la remet puis on en tire une autre et on note sa couleur.
1. Représenter cette expérience par un arbre pondéré.
2. Quelle est la probabilité d’avoir une boule blanche puis une rouge (événement noté
p(BR)) ?
3. Une rouge puis une blanche p(RB) ?
1.
R
5
7
2
7
B
5
7
R
2
7
B
5
7
R
2
7
B
2 5
10
2. p(BR) = × =
7 7
49
5 2
10
3. p(RB) = × =
7 7
49
Retour aux exercices– Revoir les explications du cours
Modéliser une situation par un arbre, un arbre pondéré
Fiche originale réalisée par Thierry Loof
page 4
PROBABILITES
Modéliser une situation par un arbre, un arbre pondéré
Corrigé 3
Une urne contient 5 boules rouges et deux blanches. On tire une boule on note sa couleur et
puis on en tire une autre sans remettre la première et on note sa couleur.
1. Représenter cette expérience par un arbre pondéré.
2. Quelle est la probabilité d’avoir une boule blanche puis une rouge (événement noté
p(BR)) ?
3. Une rouge puis une blanche p(RB) ?
1. Comme on ne remet pas la boule, il y en a une de moins au second tirage.
R
5
7
2
7
B
4
6
R
2
6
B
5
6
R
1
6
B
2 5
10
2. p(BR) = × =
7 6
42
5 2
10
3. p(RB) = × =
7 6
42
Retour aux exercices– Revoir les explications du cours
Modéliser une situation par un arbre, un arbre pondéré
Fiche originale réalisée par Thierry Loof
page 5