Correction du sujet de 6e – 2012

Correction du sujet de 6e – 2012
Exercice 1 :
Peinture à la carte
Exercice 2 :
Tangram
L'Allemagne et la France ont une frontière commune et
utilisent donc déjà deux couleurs.
Le Luxembourg ayant une frontière commune avec la
France et l'Allemagne demande donc une troisième
couleur.
La Belgique a elle aussi une frontière commune avec ces
trois pays et impose donc une quatrième couleur.
Il faut donc au minimum 4 couleurs différentes pour
colorier cette carte. Le coloriage ci-dessus prouve que
c’est suffisant.
Exercice 3 :
Manquent des petits pour faire un gros
Le premier niveau comporte 25 cubes, le second 16, le troisième 9 et le quatrième 4,
ce qui fait un total de : 25 + 16 + 9+ 4 = 54.
Pour compléter au minimum, sans déplacer les cubes déjà posés, il faut faire un gros cube de
« 5 petits cubes de côté ». Ce qui va utiliser : 5 x 5 x 5 = 125 cubes au total.
Comme on en a déjà 54, il en manque : 125 – 54 = 71.
Il faudra donc rajouter 71 petits cubes pour avoir un grand cube de 5 petits cubes de côté.
Exercice 4 :
Neuf chiffres en brochette
5
1
6
12
2
2
3
1
6
4
7
3
14
9
7
6
22
2
8
9
19
4
8
5
17
11
16
18
18
12
15
Votre raisonnement pour remplir votre 1
re
ligne ou votre 1
re
colonne de chaque grille :
1re colonne : de 5 à 11, il manque 6 qui ne peut 1re ligne : de 2 à 6, il manque 4 qui ne peut se
se faire qu’avec 4 + 2 ou 2 + 4 qu’il faut tester. faire qu’avec 3 + 1 ou 1 + 3 qu’il faut tester.
Exercice 5 :
Nombres croisés
Année de naissance du
mathématicien à l’origine de
l’adjectif « cartésien ».
Son nombre de centaines est
le double du nombre formé par
les deux autres chiffres.
Couronnement d’Hugues Capet
– Les deux premiers chiffres
du numéro de téléphone fixe
d’un Bourguignon.
Nombre divisible par 9 et
palindrome.
A
1
B
C
D
E
1 5 9 6
F
2
2
9
8 0 4 0
3
9 8 7
4
6 9 6 9 6
0 3
A.
Année de naissance d’un élève de
seconde d’âge normal.
B.
Numéro du département d’Yonne.
C.
Suite de 4 chiffres consécutifs
décroissants.
D.
Cinq douzaines.
E.
Dans le film « Taxi » elle était de
couleur blanche.
F.
Oralement, la fin du proverbe qui
prédit une troisième fois lorsqu’il y en
a déjà eu deux : « Jamais . . . »
Exercice 6 :
L’enfer du désert (d’après le Rallye de Champagne)
Les phrases de l’énoncé
Le point C est à moins de 8 km de B
et à plus de 10 km de A.
Le point D est plus près de A que de B
Leur traduction mathématique
C est dans le cercle de centre B de rayon 8.
et à l’extérieur du cercle de centre A, de rayon 10.
D et A sont dans le même demi-plan qui a pour
frontière la médiatrice de [AB].
mais plus près de C que de A.
mais D et C sont dans le même demi-plan qui a
pour frontière la médiatrice de [AC].
En partant de E, c’est aussi long de E est sur la médiatrice de [DA].
rejoindre le point D que le point A.
Il n’y a pas de point à la fois sur la médiatrice de [AE]
Aucun des points ne peut se trouver à et celle de [EF]. Ces médiatrices ne se coupent pas et
égale distance à la fois de A, de E et de donc sont parallèles. Pour ce faire, les points A, E et F
F.
doivent être alignés.
Le point S est plus près de F que de C
S et F sont dans le même demi-plan qui a pour
frontière la médiatrice de [FC].
mais plus loin de F que C.
mais S à l’extérieur du cercle de centre F et de
rayon FC.
Exercice 7 :
Écran solaire
Les chiffres avant le « coup de soleil »
Les chiffres après le « coup de soleil »
1er cas : somme comprise entre 800 et 900
Les chiffres4, 6 et 0 sont parfaitement
identifiés par leur squelette.
8 l’est aussi, clairement défini par l’énoncé qui
nous demande une somme comprise entre 800
et 900.
Pour produire 6 pour chiffre des dizaines dans
la somme, il faut que la somme des chiffres des
dizaines des termes soit 5 ou 15 puisqu’il y a
une retenue de 1. Seul 2 + 3 est possible
compte tenu des squelettes.
De même 8 ne peut se faire qu’avec 5 + 3.
2e cas : somme supérieure à 1 000
Comme pour le 1er cas, les chiffres4, 6 et 0
sont parfaitement identifiés par leur squelette.
Comme pour le 1er cas, seul 2 + 3 est
possible dans la colonne des dizaines.
Pour le nombre de centaines de la somme qui
doit dépasser 10 (somme supérieure à 1 000),
les squelettes ne permettent que 5 + 8 = 13.
Exercice 8 :
J’ai la mémoire qui flanche
Le code se présente ainsi :
m
c
d
u
c = 3×d et c<10, donc d ne peut valoir que 0, 1, 2 ou 3 ; u = 2×d ; d + c + m + u = 20.
1er cas : d = 0 et par suite c = 0,
d + c = 0, donc m + u = 20 pour que d + c + m + u = 20.
Or 20 (avec m et u entiers naturel strictement inférieur à 10) ne peut être réalisé.
2e cas : d = 1 et par suite c = 3,
d + c = 4, donc m + u = 16 pour que d + c + m + u = 20.
Or 16 (avec m et u entiers naturel inférieur à 10) ne peut se faire qu’avec 8 + 8 ou 7 + 9 et dans
ces 2 sommes, aucun des termes n’est le double de l’autre.
3e cas : d = 2 et par suite c = 6,
d + c = 8, donc m + u = 12 pour que d + c + m + u = 20.
Or 12 (avec m et u entiers naturel inférieur à 10) ne peut se faire qu’avec 9 + 3, 8 + 4, 7 + 5 ou
6 + 6.
Seule la somme 8 + 4 peut convenir car l’un des termes est bien le double de l’autre.
4e cas : d = 3 et par suite c = 9,
d + c = 12, donc m + u = 8 pour que d + c + m + u = 20.
Or 8 (avec m et u entiers naturel inférieur à 10) ne peut se faire qu’avec 4 + 4, 3 + 5, 2 + 6,
1 + 7 ou 0 + 8 et dans ces 5 sommes, aucun des termes n’est le double de l’autre.
Le code de la carte bancaire est donc : 4 6 2 8
Exercice 9 :
Économie de bouts de chandelles
Lorsque les 162 bougies ont été utilisées, il reste 162 quarts de bougies
Or, 4 restes de bougies refondus permettent de refaire une nouvelle bougie.
Comme : 162 = 40 × 4 + 2 , on peut refaire 40 nouvelles bougies, tout en mettant de côté les
2 quarts de bougie restant.
Ces 40 bougies après utilisation vont laisser 40 quarts de bougie qui, refondus, produisent
10 bougies.
Ces 10 bougies, après utilisation, vont laisser 10 quarts de bougie qui, ajoutés aux 2 quarts mis
de côté, font 12 quarts, ce qui permet de produire 3 nouvelles bougies.
Il ne va rester que 3 quarts de bougies qui ne permettent plus d’en refaire une nouvelle.
Au final, on aura donc pu utiliser :
162 + 40 + 10 + 3 = 215 bougies.