Etude numérique de l`écoulement et du transfert de chaleur

Revue des Energies Renouvelables ICESD’11 Adrar (2011) 239 – 247
Etude numérique de l’écoulement et du transfert de chaleur
conjugué dans un canal menu de chicanes transversales
(de différentes géométries)
M. Douha *, A. Belkacem, M. Bouanini et A. Djaatout
Laboratoire d’Etudes Energétiques en Zones Arides, ENERGARID
Université de Béchar, B.P. 417, Béchar, Algérie
Résumé - Ce travail consiste à l’étude numérique du comportement dynamique et thermique en
2D, de l’écoulement d’un fluide et du transfert de chaleur conjugué en convection forcée.
L’application se fait dans un canal muni de chicanes (de différentes géométries), dont les parois
horizontales supérieure et inférieure sont maintenues à une température constante. Le fluide est
considéré, laminaire Newtonien, incompressible avec des propriétés constantes. Les équations
gouvernantes (Navier-Stokes et l’équation de l’énergie) sont résolues numériquement par la
méthode du volume finis. Notre objectif est de montrer l’influence du transfert de chaleur
conjugué sur les caractéristiques de l’écoulement du fluide tel que, le rapport des conductivités,
le nombre de Reynolds, ainsi que la géométrie des chicanes. Les résultats sont présentés sous
forme des isothermes, des lignes de courant et l’évolution du nombre de Nusselt local et moyen,
ainsi que la température du mélange et le coefficient de pression. A cet effet, nous avons élaboré
un modèle mathématique permettant de simuler le fonctionnement du modèle physique. Les
équations gouvernantes, sont résolues par la méthode des volumes finis à l’aide de l’algorithme
SIMPLE en utilisant un CFD (Computational Fluid Dynamic). Les champs des lignes de courant
et de température, ainsi que la distribution du nombre de Nusselt local et moyen et la température
du mélange à la sortie du canal ainsi que le coefficient de pression sont présentés pour un cas
d’exemple type.
Mots clés: Ecoulement laminaire, Convection forcée, Transfert conjugué, Géométries complexes,
Chicanes, Volume finis.
1. INTRODUCTION
Beaucoup de travaux sont réalisés pour simuler l’écoulement en géométries
complexes et la plupart simulent un seul mode de transfert et ne prennent pas en
considération le mode conjugué du transfert de chaleur et considère la conduction aux
limites solide / fluide comme étant uniforme (température ou flux constant), c’est-à-dire
pas de considération appropriée pour beaucoup de problèmes pratiques, tels que les
échangeurs de chaleurs, le refroidissement des composantes électriques, systèmes
microélectomécaniques et d’autres configurations naturelles compliquées.
L’objectif de ce travail est de développer une simulation capable de modulé
l’écoulement des fluides incompressibles lors du mode conjugué des problèmes de
transfert de chaleur dans des géométries complexes (échangeurs de chaleurs).
2. MODELE PHYSIQUE
Nous considérons un canal muni des chicanes rectangulaires géométrie (B), dont les
dimensions sont celles indiquées sur la figure suivante.
*
[email protected]
239
240
M. Douha et al.
Les géométries étudiées sont:
- La géométrie (A) sans chicanes;
- La géométrie (B) qui porte des chicanes d’une forme rectangulaire;
- La géométrie (C) qui porte des chicanes d’une forme triangulaire;
- La géométrie (E) qui porte des chicanes d’une forme ondulée.
Fig. 1: Géométrie (B), Canal avec chicanes rectangulaire
3. MISE EN EQUATION
Les équations gouvernant, l’écoulement sont écrites en tenant compte des
hypothèses simplificatrices suivantes:
L’écoulement est bidimensionnel et permanent. Le fluide est considéré
incompressible (   cste ) et à propriétés constantes (  et Cp  cste ). Les vitesses
mises en jeu sont relativement faibles de sorte que la fonction de dissipation visqueuse
 dans l’équation d’énergie puisse être négligée.
3.1 Les grandeurs adimensionnelles
X 
 
u
v
p
x
y
; Y  ; U 
; V 
; P 
2
u max
u max
L
L
 u max
T  T0
avec  T  TW  T0
T
Equation de continuité
U
U
V
V
 0
X
Y
Equation de quantité de mouvement suivant x
U
U
V
P
1 
V
 


X
Y
 X Re 

 2 U  2 U 


2 X 2 Y 
Equation de quantité de mouvement suivant y
U
U
V
P
1 
V
 


X
Y
 Y Re 

 2 U  2 U 


2 X 2 Y 
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Equation d’énergie du domaine fluide
U
U
V
1   2 
 2  
V



X
Y
Pe   2 X  2 Y 


Après l’adimensionnalisation
adimensionnelles apparaissent:
du
système
d’équations,
des
grandeurs

uL
; Re 
f
µ
Pe  Re  Pr ; P r 
Equation d’énergie du domaine fluide
2 
2 

 0
2 X 2 Y
3.2 Les conditions aux limites
A l’entrée du canal-   0 ; U  4  U max (1  Y2 )
Sur la face extérieure de la paroi supérieure-   1
Sur la face extérieure de la paroi inférieure-   1
Interface fluide / solide- U  V  0 ; f  s

N
 K
f

N
K 
s
ks
kf
A la sortie du canal
U
V


 0
X
X
X
3.3 Grandeurs caractéristiques de l’écoulement et des transferts thermiques
● La température moyenne du fluide b pour x  5 peut être définie par:
 U    d AS
b, s 
As
 U  d AS
As
As , Surface droite du canal à la sortie.
● Le nombre de Nusselt local est donné par:
Nu 
hL
kf
● Le nombre de Nusselt moyen est donné par:
Nu 
hL
1


kf
A
A

 
1

wi  b ( x )   N
0

  d X
i
● Le coefficient de pression est défini par:
Cpr 
P
  U2
avec U 
3
U max et  P  Pentrée  Psortie
2
242
M. Douha et al.
4. RESOLUTION NUMERIQUE ET VALIDATION
Le modèle mathématique élaboré est un système d’équations aux dérivées partielles,
qui sont elliptiques et non linéaires d’une part, et complexes et couplées d’autre part. Ce
qui fait que la résolution analytique est pratiquement impossible.
Dans ce cas, le recours aux méthodes numériques est indispensable. Le choix a été
porté sur la procédure des volumes finis du fait qu’elle tend à rendre la linéarisation des
termes plus simple et facile, et assure aussi la conservation de masse et de quantité de
mouvement sur chaque volume de contrôle et dans tout le domaine de calcul.
La discrétisation des termes convectifs et diffusifs sont approximés par la méthode
proposée par [2]. Donc l’équation de transport discrétisée se met sous la forme générale:
Ap  p  AE   E  AW   W  A N   N  AS  S  S
Pour la résolution de ce système d’équations, on fait appel à l’algorithme Simple,
décrit par [2]. Il est utilisé pour traiter le couplage vitesse-pression, et obtenir la solution
convergée. La convergence est atteinte, lorsque le maximum des valeurs absolues des
résidus normalisés pour chaque variable, par une valeur de référence sur tous les
volumes de contrôle est supérieure ou égale à 10-6. Un maillage bidimensionnel à pas
constant a été généré sous Gambit. Un raffinage du maillage auprès des parois a été
nécessaire afin de tenir compte des variations de l’écoulement dans la région de proche
paroi. Plusieurs grilles ont été testées afin de vérifier que la solution est indépendante du
maillage.
Pour le choix du maillage de notre cas d’étude, on a procédé à le valider avec la
comparaison de nos résultats numériques obtenus avec ceux de la formule analytique
(Lienhard et Lienhard 2006) qui présente le Nombre de Nusselt moyen dans un canal
lisse à parois planes parallèles chauffées symétriquement par une température uniforme
et que le champ d’écoulement est devenu en pleine maturité avant la région d’entrée
(écoulement aérodynamiquement développé).
NuDh 
hc  Dh
 7.541
kf
Fig. 2: Comparaison du nombre de Nusselt analytique
avec Nusselt local pour k  311.4 et k inf ini
ICESD’2011: Etude numérique de l’écoulement et du transfert de chaleur conjugué… 243
L’évolution du nombre de Nusselt local le long du canal montre que l’allure de la
courbe (Nu θb) est presque similaire et se comporte d’une manière satisfaisante par
rapport aux autres. Les résultats obtenus sont satisfaisants plus particulièrement pour un
écoulement en convection forcée et en régime laminaire entre deux plaques parallèles.
La déviation est localisée à l’entrée du canal.
Fig. 3: Evolution du nombre de Nusselt local le long de la paroi inf (a) et sup (b)
de la géométrie (A) pour différent nombre de Reynolds ( k  311.4 )
Fig. 4: Evolution du nombre de Nusselt local le long de la paroi inf (a) et sup (b)
de la géométrie (B) pour différent nombre de Reynolds ( k  311.4 )
Fig. 5: Evolution du nombre de Nusselt moyen le long de la paroi inf (a) et sup (b)
de la géométrie (B) pour ( k  311.4 )
244
M. Douha et al.
Fig. 6: Evolution du nombre de Nusselt moyen le long de la paroi inf (a) et sup (b)
En fonction des différentes géométries pour ( k inf ini )
Fig. 7: Evolution de la température
moyenne à la sortie du canal de la
géométrie (B) en fonction de Re pour
diverses valeurs de K
Fig. 8: Evolution de la température
moyenne à la sortie du canal
pour diverses géométries en fonction de
Re ( k  311.4 )
Fig. 9: Evolution de la température
moyenne à la sortie du canal pour les
diverses géométries en fonction de Re
( k inf ini )
Fig. 10: Evolution du coefficient de
pression pour différentes géométries
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5. RESULTATS ET DISCUSSIONS
Sachant que les échangeurs de chaleur jouent un rôle prépondérant dans les
différentes installations thermiques, leur étude reste inéluctable. Par ce travail nous
avons mis en exergue les différents paramètres qui influent sur le transfert de chaleur à
savoir le régime d’écoulement et la géométrie du canal menu de chicanes.
Après avoir fait le bon choix du code de calcul et à travers son adaptation les
résultats obtenus par ce dernier sont présentés sous forme de tracé des lignes de courant
et des isothermes pour Re = 50, Re = 250, Re = 400 pour un canal sans et avec
chicanes donne une bonne visualisation de l’évolution de l’écoulement. On remarque
qu’immédiatement en aval ou en amont des deux chicanes, des zones de recirculations
apparaissent et que la longueur de ces zones augmente avec l’augmentation du nombre
de Reynolds.
Loin de ces zones, les lignes deviennent parallèles, ce qui se traduit par le
développement progressif de l’écoulement (régime établi). Le champ de température,
présenté, montre une baisse de température dans les zones situées en aval et en amont de
chaque chicane. Les zones les plus chaudes sont, pour la plupart, localisées au voisinage
des parois et aux extrémités des chicanes.
a- Distribution des Lignes de courants pour k  311.4
Re = 50
Re = 400
Pour la distribution du nombre de Nusselt local calculé le long de la paroi et de la
chicane inférieure ou supérieure. On constate que les minimas du taux de transfert sont
observés au niveau de la base de ces chicanes et que le nombre de Nusselt augmente le
long de la chicane et atteint son maximum sur sa face supérieure. Le terme conjugué de
246
M. Douha et al.
conduction a une influence moins importante sur le Nombre de Nusselt. Le nombre de
Reynolds influe sur le coefficient de pression, où on constate l’existence d’une
corrélation entre les deux variables, en effet l’augmentation du nombre de Reynolds
implique une augmentation du coefficient de pression Cpr .
b-Distribution des isothermes pour k  311.4
Re = 50
Re = 400
Les résultats trouvés sont en accord avec ceux de tous les auteurs qui affirment que
localement des zones de recirculation apparaissent et qui correspond à un transfert de
chaleur plus important. Le rapport K des conductivités solide/fluide n’a aucune
influence sur le comportement dynamique de l’ecoulement moyen pour la géométrie
(A) par contre une influence très importante sur le Nusselt en fonction du Reynolds pour
les autres géométries d’où l’importance d’utiliser des chicanes.
La température moyenne à la sortie du canal diminue avec l’augmentation du
nombre de Reynolds, pour les deux géométries étudiées sans et avec chicanes, et ces
valeurs sont maximales pour un rapport K infini et sont minimales pour K = 1.
En conséquence, pour le nombre de Nusselt moyen ( Nu ), les géométries (B), (C) et
(D) présente une variation remarquable par rapport aux autres géométries et ceci pour
les deux parois. Par contre, la géométrie (D) présente une variation significative avec un
coefficient de pression Cpr élevée.
NOMENCLATURE
C pr , Coefficient de pression
u , v , Composantes du vecteur vitesse, m/s
ICESD’2011: Etude numérique de l’écoulement et du transfert de chaleur conjugué… 247
h , Coefficient de transfert de chaleur par
convection, W/m2.K
k s , Coefficient de transfert de chaleur par
conduction du solide, W/m.K
x , y , Coordonnées cartésiennes, m
S , Terme source
k f , Coefficient de transfert de chaleur par
conduction du fluide, W/m.K
K , Rapport des conductivités thermiques
solide/fluide
U , V , Composantes adimensionnelles du
vecteur vitesse
X , Y , Coordonnées cartésiennes
adimensionnelles
T , Température, K
REFERENCES
[1] S.V. Patankar and D.B. Spalding, ‘A Calculation Procedure for Heat, Mass and Momentum
Transfer in Three-Dimensional Parabolic Flows’, Int. J. Heat Mass Transfer, Vol.15, N°10,
pp. 1787 - 1806, 1972.
[2] S.V. Patankar, ‘Numerical Heat Transfer and Fluid Flow’, Hemisphere, Washington, DC,
1980.
[3] L.C. Demartini, H.A. Vielmo et S.V. Möller, ‘Numeric and Experimental Analysis of the
Turbulent Flow through a Channel with Baffle Plates’, Journal of the Brazilian Society of
Mechanical Sciences and Engineering, Vol. 26, N°2, pp. 153-159, 2004.
[4] R. Saim et S. Abboudi, B. Benyoucef et A. Azzi, ‘Analyse Numérique de la Convection
Forcée Turbulente dans les Tubes Munis des Chicanes Transversales’, Journées
Internationales de Thermique, JITH’07, Albi, France, 2007.
[5] P. Nivesrangsan, S. Sripattanapipat, S. Eiamsa-ard and P. Promvonge, ‘Thermal Behavior of
Laminar Periodic Channel Flow over Triangular Baffes’, The 6th International Symposium on
Multiphase Flow, Heat Mass Transfer and Energy Conversion, pp. 317 – 323, 11-15 July,
2009.