attention c¸a raisonne - Olympiades de Physique France

ATTENTION ÇA RAISONNE !
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Table des matières
1 Qu’est-ce qu’un son ?
1.1 Le son : une onde mécanique.
1.2 Le son : un signal périodique.
1.3 Comment caractériser un son ?
1.3.1 La fréquence. . . . . .
1.3.2 Le niveau sonore. . . .
1.3.3 Le timbre. . . . . . . .
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2 La sensation de résonance est-elle un phénomène de résonance
2.1 Mise en évidence d’une résonance acoustique. . . . . . . . . . . .
2.1.1 Expérience historique du tube de Kundt. . . . . . . . . . .
2.1.2 Vérification expérimentale au lycée. . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Modèle du tuyau sonore. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Modèle de la boite parallélépipédique. . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Premier essai avec une boite en carton. . . . . . . . . . . .
2.2.2 Deuxième essai avec du sel au fond de la boite. . . . . . .
2.2.3 Troisième essai avec une nouvelle boite en carton. . . . . .
2.2.4 Expérience avec une boite en bois. . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Application à une pièce. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
acoustique ?
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3 Comment caractériser la qualité acoustique d’une pièce ?
3.1 Comment quantifier la réverbération d’une pièce ? . . . . . . .
3.2 Comment estimer le temps de réverbération d’une pièce ? . . .
3.3 Comment mesurer le temps de réverbération ? . . . . . . . . .
3.4 Comment peut-on améliorer la qualité acoustique d’une pièce ?
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A Expérience du tube de Kundt
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B Expérience de la flûte de pan
31
C Résonance d’une boite en carton
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D Étude du micro à électret
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Résumé
Sujet : Étude de l’acoustique d’une pièce.
Problématique : Pourquoi certaines pièces résonnent-elles ?
Résumé :
Nous sommes trois élèves du lycée Newton de Clichy. Passionnés de musique, nous avons entrepris
d’étudier les phénomènes physiques qui entrent en jeu dans l’acoustique des pièces. Nous essayons en
particulier d’expliquer l’origine physique de ce que l’on appelle communément ≪ la résonance d’une
pièce ≫ : Est-ce réellement un phénomène de résonance acoustique ou un effet dû à la réverbération
du son sur les murs ?
Nous avons donc d’abords réalisé des expériences au laboratoire de physique du lycée pour notamment étudier les modes de résonance de tuyaux sonores de différentes tailles et ceux d’une boite
parallélépipédique.
Il semblerait alors que ce soit la réverbération du son contre les murs qui influe majoritairement
sur la qualité acoustique d’une pièce de grande taille.
Nous avons alors contacté Olivier Warusfel, directeur de l’équipe de recherche ≪ espace acoustique
et cognitif ≫ à l’IRCAM, qui nous a aidé à mesurer le temps de réverbération d’une pièce. Nous avons
donc fait différentes mesures de temps de réverbération au lycée ainsi qu’au conservatoire de Clichy.
Élèves :
– Nofoume Ben Ahmed Aly
– Paul Chassagne
– Alban Teytaud
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Introduction
Nous sommes trois élèves du lycée Newton de Clichy. Passionnés de musique, nous avons entrepris
d’étudier les phénomènes physiques qui entrent en jeu dans l’acoustique des pièces. Nous essayons en
particulier d’expliquer l’origine physique de ce que l’on appelle communément ≪ la résonance d’une
pièce ≫.
Pour ce faire, nous nous sommes posé la question suivante :
Pourquoi certaines pièces résonnent-elles ?
Pour répondre à cette question, nous nous sommes d’abord intéressés à la propagation d’un son :
sa nature et ses caractéristiques. Nous avons ensuite réalisé une série d’expériences au laboratoire de
physique du lycée et au conservatoire de musique de Clichy afin d’étudier le phénomène de résonance
des salles.
Nous avons enfin essayé de caractériser la qualité acoustique d’une pièce en lien avec son utilisation.
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Qu’est-ce qu’un son ?
1.1
Le son : une onde mécanique.
Notre première expérience consiste à installer une bougie près d’un haut-parleur lui-même branché
à un générateur basses fréquences (ou GBF). Lorsque l’on règle le GBF vers 10 Hz, on remarque
une oscillation de la bougie synchronisée avec les vibrations de la membrane du haut-parleur. La
vibration de cette membrane entraı̂ne la vibration des tranches d’air voisines qui se propage de
proche en proche jusqu’à la bougie.
Cette expérience illustre le fait que le son est une onde mécanique progressive, c’est à dire
la propagation d’une perturbation à travers un milieu matériel sans transport de matière mais avec
transport d’énergie.
Figure 1 – L’expérience de la bougie.
Pour recevoir et analyser un son, nous utilisons nos oreilles.
Figure 2 – Le système auditif. (source : auditionprivatgandon.com)
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L’oreille humaine est composée de trois parties qui sont l’oreille externe, l’oreille moyenne et
l’oreille interne. Chacune a un rôle spécifique.
L’oreille externe, constituée du pavillon (1) et du conduit auditif externe (2), a pour rôle
principal de capter, de concentrer et de transmettre les ondes sonores. Elle aide aussi à la localisation
du son.
L’oreille moyenne, constituée du tympan (3), de la caisse du tympan (5), de la chaı̂ne des
osselets (4) (composée de trois os : le marteau (a), l’enclume (b) et l’étrier (c)) et de la trompe
d’Eustache (6), permet de limiter la perte d’énergie des ondes sonores. La trompe d’Eustache permet
d’assurer l’équilibre des pressions des deux cotés du tympan.
L’oreille interne, constituée de deux parties : l’une pour l’équilibre (10), l’autre pour l’audition.
La partie de l’oreille interne ayant une utilité pour l’audition est composée de la cochlée (7). C’est
ici que l’on trouve l’organe sensoriel auditif appelé ≪ organe de Corti ≫ (8). Il est composé de plus
de 74000 cellules ciliées. Les cils qui recouvrent ces cellules s’étirent lorsqu’une onde sonore entre en
contact avec eux.
C’est lors de ces étirements qu’un neurotransmetteur est libéré et qu’un message sous forme de
signaux électriques est envoyé au système nerveux par le nerf auditif (9).
Dans notre expérience de la bougie, on peut faire l’analogie entre la bougie et le tympan qui, en
vibrant, ≪ captent ≫ le son.
1.2
Le son : un signal périodique.
Essayons maintenant d’enregistrer un signal sonore. Pour ce faire, nous allons utiliser un microphone branché à un oscilloscope. Le microphone convertit un signal sonore en signal électrique un peu
comme le fait l’organe de Corti. Nous allons donc jouer une note avec un cor devant le microphone
et nous allons observer la forme de son signal sur l’oscilloscope.
Figure 3 – Le signal d’un cor.
Figure 4 – Le signal d’une guitare.
Nous remarquons que nous avons le même motif qui se répète à intervalle de temps régulier. Nous
avons donc un signal périodique.
Si on recommence la même expérience avec un autre instrument, une guitare par exemple, on
obtient à nouveau signal périodique. Le son est donc une onde mécanique périodique.
Remarque : Si on tape dans nos mains, nous remarquons que le signal n’est pas périodique.
C’est ce qu’on appelle un bruit.
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Figure 5 – Signal d’un bruit.
1.3
1.3.1
Comment caractériser un son ?
La fréquence.
On joue d’un instrument et on enregistre le signal émis à l’aide d’un micro. En changeant la note
émise par l’instrument, nous observons que la fréquence du signal est différente mais que le signal est
toujours périodique. Une onde sonore est donc caractérisée par sa fréquence (ou sa période).
Ainsi à chaque fréquence, on associe une note (exemple : une fréquence de 440 Hz correspond à la
note ≪ La ≫).
Figure 6 – Deux fréquences différentes.
Comment peut-on alors expliquer qu’une même note provenant d’une trompette ou d’une guitare
donne des sons si différents ?
1.3.2
Le niveau sonore.
On produit un son à l’aide d’un haut-parleur et d’un GBF. À l’aide du GBF, on augmente
l’amplitude du signal sans en changer la fréquence et on constate que le son devient plus fort.
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Figure 7 – Deux amplitudes différentes.
Comme nous l’avons déjà souligné, lorsque le son se propage, la propagation de la vibration des
tranches d’air s’accompagne d’une propagation d’énergie. On peut exprimer la puissance (en Watt)
d’un son émis par cette source. Si celle-ci émet un son avec une puissance constante, le son perçu
sera de plus en plus faible au fur et à mesure que l’on s’éloigne de la source.
Pour mieux caractériser le son perçu, on définit l’intensité sonore : Soit une surface S d’aire
perpendiculaire à la direction de propagation d’un son et soit P la puissance sonore transférée à
travers cette surface.
I=
P
S
I s’exprime en W.m−2 .
Plutôt que l’intensité sonore, on utilise plus fréquemment le niveau sonore L :
I
L = log
I0
Avec I0 = 10−12 W.m−2 une intensité sonore de référence qui correspond au seuil moyen d’audibilité. L s’exprime en bel acoustique plus souvent utilisé sous forme de décibel acoustique de symbole
dBA .
Nous avons ici la représentation des différents risques que peuvent subir nos oreilles en fonction
du niveau sonore :
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Figure 8 – L’échelle des bruits. (source : lefigaro.fr)
On peut noter que cette échelle sonore n’est pas parfaite car elle ne prend pas en compte le temps
d’exposition qui intervient dans les risques liés au son.
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1.3.3
10
Le timbre.
On observe que lorsque l’on joue la même note à l’aide de deux instruments différents, on obtient
deux signaux de même fréquence mais de ≪ formes ≫ différentes. Pour une note donnée, c’est donc
la forme du signal qui permet de distinguer des sons provenant de différents instruments.
Comment caractériser la différence de forme entre deux signaux périodiques de même fréquence ?
Pour répondre à cette question, nous avons étudié le spectre de ces différents signaux. En effet,
le théorème de Fourier nous indique que tout signal périodique peut se décomposer en une somme
de signaux sinusoı̈daux. Pour savoir de quels signaux sinusoı̈daux sont composés les sons que nous
étudions nous avons utilisé un logiciel (Latis Pro) permettant d’acquérir un son et d’en fournir son
spectre.
Figure 9 – Le spectre d’une note de saxophone.
En abscisse, on a la fréquence du signal et en ordonnée, l’amplitude de chaque harmonique.
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Figure 10 – Le spectre d’une note de cor.
La fréquence la plus grave du spectre est appelée la fréquence fondamentale, c’est elle qui donne
son nom à la note. Les autres fréquences présentes sur le spectre sont appelées les harmoniques. Les
fréquences des harmoniques sont des multiples entiers de la fréquence de la fondamentale.
On observe que, selon les instruments, les amplitudes relatives des différents harmoniques changent.
C’est donc la richesse et l’amplitude des différents harmoniques qui caractérisent le timbre d’une
note.
Lors de nos expériences, nous avons remarqué que selon la note ou le musicien, les harmoniques
d’un même instrument pouvaient grandement varier.
Les signaux composés d’une fréquence fondamentale et d’harmoniques sont appelés signaux complexes. Au contraire, les signaux composés uniquement d’une fréquence fondamentale et sans harmoniques sont appelés signaux simples.
Remarque : Le specre d’un bruit est continu car son signal n’est pas périodique.
Maintenant que nous comprenons mieux la nature physique du son, nous allons nous intéresser
aux interactions entre une onde sonore et l’espace (la pièce) où celle-ci se trouve.
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La sensation de résonance est-elle un phénomène de résonance
acoustique ?
2.1
2.1.1
Mise en évidence d’une résonance acoustique.
Expérience historique du tube de Kundt.
Le tube de Kundt est un dispositif expérimental permettant de mettre en évidence les ondes
stationnaires dans un tube rempli d’air.
August Kundt (1839-1894) est un physicien allemand. Il étudia notamment les phénomènes ondulatoires. Il enseigna à l’ecole polytechnique fédérale de Zurich ainsi qu’à l’université de Wurtzbourg. Il découvrit les aérosols durant ses recherches dans cette université. Il prouva également
que la vapeur de mercure est monoatomique. C’est au cours de ses travaux sur l’acoustique et
l’optique qu’il mit au point en 1866 le ≪ tube de Kundt ≫, expérience qui permet de mettre en
évidence des ondes stationnaires dans un tuyau.
L’expérience historique avait comme dispositif expérimental ceci :
Figure 11 – Expérience historique du tube de Kundt.
Avec un papier imbibé d’alcool, on frotte la tige en laiton. Ce frottement va créer une vibration
au sein du matériau. Le bouchon de liège va alors transmettre cette vibration à l’air du tube qui va
agir comme une cavité résonante.
Avec une longueur du tube bien adaptée et à l’aide des petits tas de liège, on peut visualiser
l’onde stationnaire qui s’y établit.
En effet, en vibrant, l’air va faire bouger les particules de lièges qui vont peu à peu se regrouper
aux endroits où la vitesse est nulle c’est à dire aux nœuds de vitesse. L’écart entre deux tas de liège
est donc d’une demie longueur d’onde.
2.1.2
Vérification expérimentale au lycée.
Nous avons reproduit cette expérience au lycée avec du matériel plus moderne. Nous utilisons en
particulier un micro à électret et un oscilloscope numérique pour capter et visualiser les nœuds de
pression.
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Figure 12 – Expérience du tube de Kundt au lycée.
Du côté du haut-parleur, la vibration de la membrane du haut-parleur impose un ventre de vitesse,
donc un noeud de pression. Pour une longueur de tube donnée, on fait varier la fréquence des ondes
sonores émise par le haut-parleur.
Modélisation de l’établissement d’onde stationnaires unidimensionnelle :
Dans le tube de Kundt il y a un nombre impair de demi-ventres de vitesse puisque sur une paroi
du tube nous obtenons une nœud de pression et de l’autre, un nœud de vitese.
Figure 13 – Illustration des ventres impairs dans un tube de Kundt.
On a :
(2k + 1)
λ
=L
4
Or :
v = fk λk
Donc :
L = (2k + 1)
⇔ fk =
v
4fk
(2k + 1)v
4L
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Figure 14 – Comparaison entre les fréquences théoriques et les fréquences expérimentales.
Sur le graphique, on a en bleu la courbe théorique et en rouge, la courbe expérimentale. On
constate que les deux courbes sonts proches.
On en déduit que notre modèle fonctionne pour les tubes.
On observe que pour certaines fréquences, le signal reçu est plus élevé. Il y a donc bien certaines
fréquences pour lesquelles il y a résonance. (cf annexe A pour une étude plus détaillée de l’expérience.)
2.1.3
Modèle du tuyau sonore.
Pour mettre en évidence le phénomène de résonance acoustique dans une pièce, nous avons tout
d’abord modélisé une pièce par un tuyau sonore comme dans l’expérience du tube de Kundt. En effet
le modèle du tuyau sonore est un système à taille variable facilement réalisable. Pour faire varier la
taille du tuyau sonore on a rempli des éprouvettes graduées avec différents niveaux d’eau.
Nous générons un signal sonore en soufflant dans le tuyau sonore comme dans une flûte de pan.
Figure 15 – Expérience de la
≪
flûte de pan ≫.
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Nous remarquons que le son émis est différent pour chaque niveau d’eau. Nous analysons alors
le signal sonore avec un oscilloscope et nous traçons un graphique représentant la période des ondes
émises en fonction de la hauteur de la colonne d’air.
On modélise par une droite passant par l’origine :
Figure 16 – Période des ondes émises en fonction de la hauteur de la colonne d’air.
Figure 17 – L’axe des sons.
Les sons audibles ont une période comprise entre 50µs et 50ms. Il est donc intéressant de regarder
le même graphique avec une échelle plus grande.
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Figure 18 – Période des ondes émises en fonction de la hauteur de la colonne d’air.
On remarque que, sur ce graphique, au-dessus de 4 mètres, les fréquences de résonance du système
se situent dans l’infrason.
Avec ce modèle simple, on déduit qu’à partir de 4 mètres de longueur, une pièce résonne dans
l’infrason.
Il semble donc que la sensation de résonance que l’on trouve dans certaines pièces ne soit pas due
à l’excitation d’un mode de résonance particulier.
Cependant, ce modèle a des limites. En effet, une pièce n’est pas unidimensionnelle comme un
tube de Kundt ou une éprouvette mais tridimensionnelle. De plus, les conditions aux limites sont
différentes : d’une part une pièce est délimitée par des murs alors que d’autre part une éprouvette
possède une extrémité ouverte et un tube de Kundt possède une paroi vibrante (le haut-parleur).
Enfin, dans une pièce, nous n’avons pas un, mais plusieurs modes de résonance. Il nous faut donc
une nouvelle modélisation de notre pièce prenant en compte ces paramètres.
2.2
Modèle de la boite parallélépipédique.
Les différentes pièces d’une maison ne ressemblent pas à des tuyaux sonores. C’est pour cela que
l’on va maintenant modéliser une pièce par une boite de forme parallélépipédique.
2.2.1
Premier essai avec une boite en carton.
Nous avons simplement modélisé une pièce avec une boite à chaussure dont on a relevé les dimensions :
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Figure 19 – Première boite en carton.
– Longueur : L = 30, 91 ± 0, 14cm
– Largeur : l = 10, 72 ± 0, 13cm
– Hauteur : h = 9, 98 ± 0, 10cm
(Cf. Annexe C)
Protocole expérimental :
Nous voulions déterminer expérimentalement les fréquences de résonance de la boite. On a mis
un haut-parleur devant la boite relié à un GBF et on balaye en fréquence. Nous avons commencé par
déposer des grains de sel sur la boite (comme dans l’expérience historique du tube de Kundt).
Observations :
Nous osbservons un mouvement des grains de sel à une fréquence de 160 ± 10Hz.
Compatibilité avec le modèle :
Selon la littérature,les premiers modes de résonance se calculent avec la relation :
s
a 2 b 2 c 2
c
fr = ×
+
+
2
L
H
l
Où c est la vitesse du son dans l’air (340m.s−1 ) et où a, b et c sont des entiers prenant toutes les
valeurs de zéro à quelques unités. (Ce qui nous donne comme fréquences de résonance pour la boite
cf : Annexe C.)
Alors que l’on pensait avoir trouvé la fréquence de résonance de la boite, les résultats théoriques
ne sont pas en accord avec nos observations. Comment expliquer ce résultat inattendu ?
2.2.2
Deuxième essai avec du sel au fond de la boite.
Protocole expérimental :
On a donc essayé de mettre les grains de sel au fond de la boite. Pour les voir bouger, on a
remplacé le couvercle en carton par un couvercle en plexiglas.
On a alors, à nouveau, généré un signal sonore sinusoı̈dal de fréquence variable et balayé en
fréquence.
Observations :
On n’observe aucun mouvement des grains de sel quelle que soit la fréquence du signal.
Interprétation :
Nous n’arrivons pas à voir la résonance de la boite, parce que la propagation des ondes sonores
dans la boite peut se faire en trois dimensions. Or les extrémités de la boite sont fermées de tous les
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cotés. Il y a donc des nœuds de vitesse au niveau des parois. La rigidité du carton est peut-être aussi
en cause. En effet notre matériau étant peu rigide, les ondes sonores sont beaucoup absorbées par le
carton.
Conclusion :
Il nous faut donc un nouveau protocole expérimental, avec une boite dans un matériau plus rigide
afin d’observer la fréquence de résonance de la cavité modélisant une pièce.
2.2.3
Troisième essai avec une nouvelle boite en carton.
Nous avons quelque peu modifié le protocole expérimental en perçant notre nouvelle boite des
deux cotés. Une ouverture ayant les dimensions du haut-parleur et qui permet de générer le son
directement à l’intérieur de la boite. Un autre est pour faire rentrer le micro que l’on mettra au
milieu de la boite. Il est relié à un oscilloscope et nous allons observer ce qu’il capte en fonction des
fréquences envoyées par le GBF.
Figure 20 – Montage expérimental.
Figure 21 – Une prise de mesure.
Nous observons qu’à certaines fréquences, l’amplitude du signal augmente fortement. Nous avons
lors de ces pics la fréquence de résonance de notre boite. Ces fréquences sont :
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Fréquences
expérimentales
(Hz)
a
b
c
Fréquences
calculées (Hz)
0
0
0
0
0
1
0
0
451
574
0
1
0
1043
1023
0
0
1
1518
1500
Tableau 1 – Tableau expérimental (Cf. Annexe C).
Nous avons le même ordre de grandeur que ce que nous attendions. Qu’est ce qui a fait que cette
fois ci l’expérience fonctionne ? Tout d’abord le micro à l’intérieur de la boite y est peut-être pour
quelque chose. En effet il a pu mieux capter la résonance de la boite. Ensuite peut-être que ce carton
est plus rigide. Mais nous aurions pu avoir de meilleures mesures en mettant le micro au fond de la
boite et non au milieu. En effet nous avons un micro à électret qui mesure la pression. Or au milieu
de la boite nous avons un noeud de pression, ce qui implique une pression nulle. Seule la position non
centrale du microphone peut expliquer ce résultat. Nous avons donc refait l’expérience en mettant le
micro au fond de la boite et nous obtenons des résultats plus proches de ce que nous attendions.
Figure 22 – Nouveau montage expérimental.
Vérification des résultats expérimentaux :
Afin de vérifier si nous avons bien réussi à capter nos fréquences de résonance, nous avons décidé
de faire la même expérience en enlevant la boite afin de savoir si nos fréquences de résonance étaient
bien celle de la boite et non celle de l’environnement extérieur.
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20
Figure 23 – Expérience témoin.
On observe quand même des pics d’amlitude pour des fréquences multiples de 600 Hz (Cf. Annexe C). Cela montre que ces pics ne sont pas fes fréquences de résonances de la boite mais des
perturbations dues au micro. Notre expérience est donc concluante.
2.2.4
Expérience avec une boite en bois.
Protocole expérimental :
Nous avons donc recommencé l’expérience mais avec une boite en bois dont les dimensions nous
sont parfaitement connues. Afin de perturber le moins possible la manipulation, nous avons placé le
micro au bords de la paroi. On trouve les fréquences de résonances suivantes :
f0
495 ± 5Hz
f9
2215 ± 10Hz
f1
574 ± 5Hz
f10
2440 ± 10Hz
f2
730 ± 5Hz
f11
2660 ± 10Hz
f3
1020 ± 5Hz
f12
3250 ± 10Hz
f4
1390 ± 5Hz
f13
3520 ± 10Hz
f5
1515 ± 5Hz
f14
3870 ± 10Hz
f6
1760 ± 5Hz
f15
4000 ± 10Hz
f7
1859 ± 5Hz
f16
4215 ± 10Hz
f8
2010 ± 5Hz
Tableau 2 – Tableau expérimental.
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Nous les comparons aux fréquences calculées (voir annexe C) et nous voyons que les fréquences
expérimentales sont proches. On voit donc qu’il existe un ensemble discret de fréquences résonantes
dans l’audible que l’on peut prévoir par le calcul.
2.3
Application à une pièce.
On reprend la formule pour une pièce de taille :
– L = 10m
– l = 5m
– h = 2, 5m
On trouve bien que les premières fréquences de résonances sont dans l’infrason ou sont très graves
(de fréquences inferieures à 100 Hz).
Pour obtenir des modes de résonance plus aigu, nous devons considérer des ordres plus élevés
mais il y a dans ces gammes de fréquences un nombre de mode de résonance si élevé qu’on ne peut
pas dire qu’un mode de résonance est plus excité que les autres.
La sensation de résonance que l’on retrouve dans certaines pièce n’est donc pas due à l’excitation
d’un mode de résonance de la pièce. C’est pourquoi nous nous sommes intéressés aux temps de
réverbération.
ATTENTION ÇA RAISONNE !
3
22
Comment caractériser la qualité acoustique d’une pièce ?
Le phénomène de résonance ne peut donc pas expliquer pourquoi les pièces ≪ résonnent ≫. Il nous
faut donc trouver une nouvelle explication à ce phénomène. Après plusieurs recherches nous avons
trouvé que c’est le phénomène de réverbération des ondes sonores sur les parois et les obstacles qui
est à l’origine de cette sensation de résonance.
Pour l’étude de la réverbération nous avons rencontré Olivier Warusfel, directeur de l’équipe de
recherche ≪ espace acoustique et cognitif ≫ à l’IRCAM. Il nous a alors aidé dans notre démarche,
tant sur le plan théorique qu’expérimental.
3.1
Comment quantifier la réverbération d’une pièce ?
Lorsque l’on se trouve dans une pièce qui ≪ résonne ≫ et que l’on tape dans ses mains, le bruit émis
peut persister dans la pièce pendant des durées ≪ importantes ≫ (de l’ordre de quelques secondes).
On quantifie cette durée par un temps caractéristique appelé ≪ temps de réverbération ≫. C’est
la durée nécessaire pour que le niveau sonore diminue de 60 dB. Si le temps de réverbération est
≪ grand ≫ alors la pièce ≪ résonne ≫ beaucoup. Au contraire, si le temps de réverbération est ≪ petit ≫,
alors la pièce ≪ résonne ≫ peu.
3.2
Comment estimer le temps de réverbération d’une pièce ?
Pour estimer le temps de réverbération d’une salle, on utilise la relation suivante :
τr = 0.16
V
A
Avec :
– τr le temps de réverbération (en s)
– V le volume de la pièce (en m3 )
– A l’aire d’absorption équivalente de la pièce (en m2 ) :
A=
n
X
ai × Si
i=1
Avec S les surfaces de la pièce et a un coefficient appelé ≪ coefficient de Sabine ≫ et propre à
chaque matériaux.
Nous avons donc voulu déterminer le temps de réverbération du laboratoire de physique du lycée.
Nous avons tout d’abord mesuré les dimensions de la pièce :
– L = 11, 4 ± 0, 2m
– l = 6, 3 ± 0, 2m
– h = 2, 5 ± 0, 2m
Nous avons voulu ensuite déterminer les matériaux composants les murs, sol et le plafond.
Néanmoins notre salle étant composé de matériaux divers il nous est alors très difficile d’estimer
les différents matériaux composant la pièce. Nous avons donc considéré que notre pièce était composée des matériaux suivants :
– Murs : plâtre peint
– Sol : lino
– Plafond : faux plafond
Dans la littérature, ces materiaux ont pour coefficient de Sabine :
ATTENTION ÇA RAISONNE !
23
– Plâtre peint : 0.030
– Lino : 0.040
– Faux plafond : 0.200
On a donc τr = 1.44s.
Nous enregistrons un bruit et en observant sa décroissance, on note le temps de réverbération.
Ce temps expérimental ne correspond pas au temps théorique. Cela est certainement du à l’encombrement de la pièce qui fait varier notre temps de réverbération.
C’est pourquoi nous avons décidé d’aller au conservatoire de Clichy car ce dernier dispose de
salles parallélépipédiques vides.
Nous avons donc réservé une salle et nous avons pris ses dimensions :
– L = 8, 05 ± 0, 25m
– l = 3, 85 ± 0, 25m
– h = 2, 70 ± 0, 25m
Ensuite nous avons déterminé de quels matériaux les murs étaient recouverts, le plafond et le sol :
– Murs : Bois et plâtre peint
– Sol : Dalles plastiques
– Plafond : plâtre peint
On obtient alors dans la littérature les coefficients de Sabine suivants :
– Bois : 0,110
– Plâtre peint : 0,030
– Dalles Plastiques : 0,030
On a donc τr = 1, 509s
Puis on a fait les mesures dans une seconde salle dont les dimensions sont :
– L = 13, 30 ± 0, 2m
– l = 4, 30 ± 0, 2m
– h = 7, 80 ± 0, 2m
Elle a pour matériaux de revêtement :
– Murs : Bois
– Sol : Parquet
– Plafond : plâtre peint
Dans la littérature on a les coefficients de Sabine suivants :
– Bois : 0,110
– Parquet : 0,120
– Plâtre peint : 0,030
On a donc τr = 1, 852s
3.3
Comment mesurer le temps de réverbération ?
Nous avons cherché à vérifier si nous pouvions trouver expérimentalement un temps de réverbération
compatible avec ces estimations. Grâce à Olivier Warusfel, nous avons pu mettre au point un protocole expérimental faisable avec le matériel du lycée.
ATTENTION ÇA RAISONNE !
24
Protocole expérimental :
Pour mesurer un temps de réverbération, nous allons en premier lieu enregistrer un bruit bref et
fort (par exemple l’explosion d’un ballon de baudruche) à l’aide d’un micro à électret et, par l’intermédiaire d’une carte d ?acquisition, nous enregistrons le signal dans un ordinateur pour l’exploiter
avec le logiciel Latis Pro. Celui-ci nous donne la tension aux bornes du micro en fonction du temps.
Figure 24 – Explosion d’un ballon de baudruche.
Nous traçons alors le graphe f (t) = 20 × log(|U|).
Résultats expérimentaux :
Nous avons tracé deux courbes de tendances qui sont modélisé par des droites, La première a le
coefficient directeur le plus élevé. La deuxième a le coefficient directeur le plus faible.
Le temps de réverbération est le temps qu’il faut au son pour diminuer de 60 dB.
Le coefficient directeur d’une droite est donné par la relation :
a=
∆y
∆x
Or, ici ∆y = −60dB et ∆x = τr .
On a donc :
a=
−60
−60
⇔ τr =
τr
a
La droite est décroissante donc a < 0.
Donc :
τr =
60
|a|
ATTENTION ÇA RAISONNE !
25
Figure 25 – Résultats expérimentaux
Première salle, la salle Couperin :
60
60
= 77.8
= 0.77s et τrmin =
τrmax = amin
Donc 0.60s < τr < 0.77s
60
amax
=
60
99.4
= 0.60s
Deuxième salle, la salle Bernstein :
60
60
τrmax = amin
= 50.2
= 1.20s et τrmin =
Donc 1.00s < τr < 1.20s
60
amax
=
60
61.2
= 1.00s
Comparaison à l’estimation par le calcul :
En comparant à nos valeurs théoriques on trouve des valeurs très différentes par rapport à ce qui
avait été prévu par le calcul.
Commentaire :
Nos valeurs mesurées sont bien reproductibles. Le protocole est bien respecté. C’est donc au
niveau de l’estimation du temps de réverbération qu’il y a un problème.
En effet nos estimations des coefficients de sabine sont assez imprécises. Nous ne connaissons pas
exactement de quels matériaux sont composés les murs, le plafond et le sol. De plus le temps de
réverbération dépend de la fréquence. Ce qui ajoute un facteur aléatoire à nos coefficients de Sabine.
Nous donc sommes actuellement à la recherche de protocoles expérimentaux afin de mesurer ce
coefficient de Sabine et d’avoir des prévisions théoriques en accord avec nos résultats expérimentaux.
ATTENTION ÇA RAISONNE !
3.4
26
Comment peut-on améliorer la qualité acoustique d’une pièce ?
Comment caractériser une salle avec une bonne acoustique ?
Une pièce n’a pas une bonne acoustique pour tout le monde. Tout dépend de la fonction de
la pièce. Est-elle faite pour accueillir des discours, des concerts de musique classique ou bien une
cérémonie religieuse type messe ? Dans ce cas, on doit adapter le temps de réverbération à chaque
fois pour convenir au mieux au besoin de la salle. En effet si le temps de réverbération est trop
long on entend ce qui se dit ou se joue avec plusieurs secondes de décalage et peut ne plus entendre
distinctement ce qui se dit. Si il est trop court le son est beaucoup trop absorbé et dans ce cas le
volume sonore doit être plus fort que d’habitude afin de se faire entendre.
Pour améliorer l’acoustique d’une salle, il y a deux méthodes. L’une qui se fait en amont de la
création de la pièce l’autre en aval.
Influence des paramètres géométriques.
Dès l’antiquité,les grecs savaient déjà que la forme avait une importance dans l’acoustique. En
effet ils savaient qu’en donnant une certaine forme à leurs théâtres ils pouvaient faire en sorte que
tout le monde puissent entendre ce qu’il se dit. Aujourd’hui pour améliorer l’acoustique d’une pièce
on fait attention à sa géométrie. À l’IRCAM il existe une salle de concert à géométrie variable.
Elle permet, en temps réel de changer la forme des murs pour améliorer l’acoustique. On peut aussi
abaisser ou monter le plafond afin d’influer sur le niveau sonore.
Figure 26 – La salle de concert de l’IRCAM.
Influence des matériaux.
Comme nous l’avons dit précédemment, les matériaux ont une influence sur la réverbération.
Certains matériaux étant plus absorbant que d’autre, il faut donc les choisir avec soin. Dans la salle
de concert de l’IRCAM, le changement la géométrie s’accompagne de la possibilité de changer les
matériaux des murs à l’aide de panneaux rotatifs. Cela permet de mieux régler l’acoustique.
Toujours à l’IRCAM, la salle anéchoı̈que est une salle qui à un temps de réverbération proche de
zéro. La forme des murs joue un grand rôle.
ATTENTION ÇA RAISONNE !
27
Figure 27 – La salle anéchoı̈que de l’IRCAM.
Quel temps de réverbération pour quel type de pièce ?
En fonction de l’utilisation d’une pièce, son temps de réverbération obtimal peut varier. En effet,
dans une salle de cours ou de conférence, on choisira un temps de réverbération plutôt faible pour
que le son soit assez directif afin que tout les auditeurs puissent entandre clairement le discours. Au
contraire, pour un concert symphonique, on cherchera un temps de réverbération élevé afin que le
son de touts les instruments puissent se confondre pour donner une mélodie.
Figure 28 – Axe des temps de réverbération.
ATTENTION ÇA RAISONNE !
28
Conclusion
Nous avons remarqué que les premiers modes de résonance d’une pièce se trouvent dans l’infrason.
Les modes d’ordres plus élevés sont quant à eux trop proches pour qu’une note en particulier ne
résonne. Le phénomène ne correspond donc pas à une résonance modale, au contraire dans une
salle qui ≪ résonne ≫ les sons auront tendance à être tous fortement réverbérés quelle que soit leur
fréquence.
On peut donc dire que le phénomène communément appelé ≪ résonance d’une pièce ≫ est dû à
un fort temps de réverbération et non à de la résonance.
La prévision du temps de réverbération est essentiel lors de la conception d’une salle pour être
sûr qu’elle aura les propriétés acoustiques souhaitées lors de son utilisation. La mesure du temps de
réverbération permet alors de s’en assurer en temps réel et de les corriger si nécessaire par le choix
des matériaux par exemple.
ATTENTION ÇA RAISONNE !
29
Remerciements
Nous aimerions grandement remercier Maxime Joomun qui devait au départ participer aux Olympiades avec nous mais qui a du malheureusement abandonner à cause de raisons personnelles mais
qui nous a grandement aidé et soutenu durant nos recherches.
Nous remercions également Olivier Warusfel ? directeur de l’équipe de recherche ≪ espace acoustique et cognitif ≫ à l’IRCAM qui a eu la gentillesse de nous aider dans notre projet et de nous avoir
montré le fonctionnement de l’IRCAM. Son aide nous a été précieuse.
Figure 29 – Logo de l’IRCAM.
Merci aussi au Conservatoire de Musique de Clichy-la-Garenne et en particulier à Daniel Bouillet,
son directeur, qui nous a ouvert toutes ses salles pour nos mesures.
Figure 30 – Le conservatoire de Clichy.
Nous remercions Bogdan Erlich ainsi que Yann Teytaud pour la réalisation des différentes boites
qui nous ont servies pour nos expériences.
Nous remercions également François Teytaud pour son aide photographique.
Nous remercions Cyril Le Fur qui, le premier, nous a proposé de participer au concours ≪ Quintesciences à l’école ≫ et sans qui rien n’aurait été possible.
Enfin, nous remercions Christophe Boisseleau qui nous a accompagné tout au long de cette belle
aventure qu’on été les Olympiades.
ATTENTION ÇA RAISONNE !
A
30
Expérience du tube de Kundt
Vérifions que les fréquences obtenues correspondent bien à celles prévues. Lors de notre expérience,
on obtient des fréquences de résonnances qui correspondent à celles trouvées dans la littérature.
Or, d’après le modèle de propagation d’ondes unidirectionnelles pour une longueur de L = 20cm.
Théorie
Expérience
f0
425 Hz
320 Hz
f1
1275 Hz
1100 Hz
f2
2125 Hz
1850 Hz
f3
2975 Hz
2500 Hz
f4
3825 Hz
3400 Hz
f5
4675 Hz
4150 Hz
Tableau 3 – Fréquences de résonance du tube de Kundt.
On voit que nos résultats théoriques se trouvent dans le même ordre de grandeur que nos résultats
trouvés par le calcul.
On peut donc dire que notre expérience est concluante et que l’on visualise bien des pics de
résonance à certaines fréquences via l’oscilloscope.
Nous avons fait une autre expérience cette dernière plus proche de celle historique de Kundt.
Nous avons placé du sel au fond du tube ; cependant à aucune fréquence le sel n’a bougé.
Cette expérience n’a donc pas été concluante notamment à cause du trop grand rayon du tube.
ATTENTION ÇA RAISONNE !
B
31
Expérience de la flûte de pan
Nous avons réalisé 20 fois chaque mesure de periode (lue à l’oscilloscope numérique) pour plus de
précision.
On mesure à la règle la hauteur de la colonne d’air. On estime l’incertitude sur cette mesure à
±0.2 cm à cause de l’épaisseur du ménisque et du bec de l’éprouvette.
Hauteur (cm)
Niveau de confiance à 95%
15.6 ± 0.2
14.3 ± 0.2
13 ± 0.2
12.1 ± 0.2
10.6 ± 0.2
1
1.97
1.77
1.72
1.53
1.40
2
1.92
1.76
1.73
1.54
1.39
3
1.93
1.78
1.72
1.57
1.37
4
1.93
1.78
1.72
1.52
1.37
5
1.94
1.79
1.71
1.49
1.35
6
1.93
1.78
1.69
1.53
1.35
7
1.93
1.77
1.75
1.53
1.36
8
1.91
1.79
1.78
1.53
1.36
9
1.96
1.80
1.73
1.49
1.36
10
1.92
1.77
1.72
1.59
1.36
11
1.93
1.78
1.71
1.52
1.34
12
1.92
1.79
1.70
1.52
1.36
13
1.92
1.77
1.75
1.50
1.36
14
1.96
1.77
1.71
1.50
1.36
15
1.94
1.79
1.73
1.50
1.36
ATTENTION ÇA RAISONNE !
32
16
1.92
1.76
1.70
1.53
1.37
17
1.91
1.77
1.71
1.52
1.36
18
1.90
1.77
1.71
1.50
1.37
19
1.91
1.76
1.71
1.53
1.37
20
1.91
1.80
1.72
1.50
1.36
Moyenne
1.93
1.78
1.72
1.52
1.36
Incertitude-type
0.018
0.013
0.021
0.023
0.013
Tableau 4 – Mesure de la période de résonance de la colonne d’air.
Figure 31 – Mesure de la hauteur de la colonne d’air.
ATTENTION ÇA RAISONNE !
Figure 32 – Prise de mesure.
33
ATTENTION ÇA RAISONNE !
C
34
Résonance d’une boite en carton
À l’aide d’une règle graduée nous avons fait différentes mesures de la longueur, de la largeur et de
la hauteur de la boite. Pour plus de précision nous avons répété 20 fois chaque mesure. Nous avons
bien évidemment fait attention aux erreurs systématiques dont l’épaisseur du carton.
Numéro de la mesure
Longueur
(cm)
Largeur
(cm)
hauteur
(cm)
1
30.9
10.6
10.0
2
30.9
10.6
10.1
3
31.0
10.7
9.9
4
30.9
10.6
10
5
30.8
10.7
10
6
30.9
10.7
9.9
7
30.9
10.7
9.9
8
30.9
10.7
9.9
9
30.1
10.8
9.8
10
31
10.7
9.9
11
30.9
10.7
10.1
12
31
10.7
9.9
13
31
10.7
10.2
14
30.9
10.8
10
ATTENTION ÇA RAISONNE !
35
15
30.8
10.8
10
16
30.8
10.7
10
17
30.9
10.8
9.9
18
30.8
10.8
9.8
19
31
10.8
10
20
30.9
10.7
9.9
Moyenne
30.91
10.72
9.99
Incertitude-type
0.07
0.07
0.10
Tableau 5 – Mesure des dimentions de la première boite en carton.
Nous avons donc calculé les fréquences de résonance de nos différentes boites. Ces fréquences sont
données par la relation :
s
a 2 b 2 c 2
c
fr = ×
+
+
2
L
h
l
Où c est la vitesse du son dans l’air (340m.s−1) et où a, b et c sont des entiers prenant toutes
les valeurs de zéro à quelques unités. Nous avons donc calculé toutes les fréquences jusqu’à l’ordre 7
(c’est à dire a + b + c = 7) à l’aide de l’algorithme suivant programmé sur TI-82 :
Input ≪ quel ordre ? ≫ , O
O→A
{0} → L1
While A 6= O + 1
0→B
While B 6= O − A + 1
O−A−B →C
{A, B, C} → L1
Disp L1
B+1→B
End
A+1→A
End
End
Les dimensions des boites sont les suivantes :
1erboite en carton :
ATTENTION ÇA RAISONNE !
– L = 0, 31 ± 0, 0014m
– l = 0, 1072 ± 0, 0013m
– h = 0, 0998 ± 0, 0010m
2eboite en carton :
– L = 0, 37 ± 0, 003m
– l = 0, 16 ± 0, 003m
– h = 0, 11 ± 0, 003m
Boite en bois :
– L = 0, 5 ± 0, 001m
– l = 0, 2 ± 0, 001m
– h = 0, 1 ± 0, 001m
36
ATTENTION ÇA RAISONNE !
37
ATTENTION ÇA RAISONNE !
38
ATTENTION ÇA RAISONNE !
Figure 33 – Fréquences de résonances des trois boites pour les sept premiers ordres.
On place ces différentes fréquences de résonance sur un axe :
39
ATTENTION ÇA RAISONNE !
40
Figure 34 – Différentes fréquences de résonance des trois boites.
Triangles verts : Première boite en carton.
carrés rouges : Deuxième boite en carton.
Losanges bleus : Boite en bois.
On constate que, dans une certaine plage de fréquences, les fréquences de résonances sont si
nombreuses qu’il est impossible de dire qu’un fréquence résonne plus que les autres.
Si on adapte ce raisonnement à une pièce, on observe que la plage en question recouvre tout
l’audible et donc que le phénomène de ≪ résonance ≫ n’est pas un phénomène de résonance acoustique.
ATTENTION ÇA RAISONNE !
D
41
Étude du micro à électret
Durant les prises de son, nous cherchons à déterminer le niveau sonore dans la pièce. Or le micro
nous donne une tension à ses bornes. Nous cherchons donc à trouver une relation entre le niveau
sonore et la tension. Pour répondre à cette question, nous avons branché le micro à un oscilloscope
et mesuré la tension U à ses bornes en même temps que nous mesurions le niveau sonore à l’aide
d’un sonomètre.
Figure 35 – Montage expérimental.
On a :
L = 10 × log
Et donc :
I
I0
I = I0 × 10( 10 )
L
Avec L le niveau sonnore, I l’intensité sonore et I0 l’intensité sonore de réference.
On trace donc la courbe U(I) :
ATTENTION ÇA RAISONNE !
42
Figure 36 – Variations de U en fonction de I.
On constate que U et I ne sont pas proportionels mais on remarque que les points forment une
courbe proche de celle de la fonction racine. On trace donc la courbe U 2 (I) :
ATTENTION ÇA RAISONNE !
43
Figure 37 – Variations de U 2 en fonction de I.
On constate cette fois-ci que les deux grandeurs sont proportionnelles. C’est-à-dire que la puissance est proportionnelle au carré de la tension aux bornes du micro. On a donc :
2
kU
L = 10 log
I0
⇔ L = 20 log U + cte
Pour déterminer le temps de réverbération, on tracera donc 20 log(|U|) en fonction du temps.