Formules de trigonométrie

Commentaires

Transcription

Formules de trigonométrie
Formules de trigonométrie
I. Introduction
Le but de cet exposé est double
• Tout d’abord évidemment acquérir les formules de trigonométrie, outil indispensable dans les premières années du supérieur ; mais surtout montrer comment
on peut les assimiler et les connaı̂tre de façon sûre, sans les apprendre par coeur
mais en ayant les moyens de pallier toute défaillance de la mémoire grâce au
développement d’un certain nombre d’automatismes.
• Ensuite montrer à l’aide de cet exemple comment un élève peut en fin de secondaire faire évoluer ses méthodes d’apprentissage de façon à aborder dans de
meilleures conditions le choc de l’enseignement supérieur.
Premières remarques
• Ces formules ne doivent pas être apprises par cœur.
• Il ne faut pas croire non plus qu’il suffit de pouvoir consulter une liste de ces
formules dans un quelconque formulaire ou dans la mémoire de sa calculette.
Qui oserait affirmer sérieusement qu’il est inutile d’apprendre le code de la
route et qu’il suffit d’en avoir un exemplaire à portée de main pour le consulter
lorsque le besoin s’en fait sentir ?
• Il faut en apprendre le minimum et posséder le moyen de toutes les retrouver
immédiatement par des considérations élémentaires. Il y a dans ce chapitre
quelques recettes pour vous aider à retenir ces formules, mais les meilleures
seront celles que vous trouverez par vous–même et qui vous paraı̂tront donc les
plus naturelles.
∗ Petite évidence : il ne s’agit pas d’apprendre par coeur ces recettes, ce qui
ne ferait que déplacer le problème ! Vous devez assimiler la démarche à
force d’utilisation, ce qui sera le cas si vous faites l’effort (ce qui ne paraı̂t
pas évident au début) de re-réfléchir les formules à chaque utilisation, en
particulier déjà lors de l’étude de ce chapitre.
∗ Ces recettes sont parfois redondantes, ce qui est une bonne chose car il est
parfois (assez souvent ?) utile d’avoir plusieurs points de vue ; d’une façon
générale c’est une bonne politique que de multiplier les “instruments de
contrôle”.
• Le meilleur moyen d’obtenir une formule exacte est de connaı̂tre sa forme
générale et, parmi les formules similaires, de savoir éliminer rapidement celles
qui ne conviennent pas.
1
Lycée Privé Sainte Geneviève
7 septembre 2009
Formules de trigonométrie — Introduction
• Le fait de re-réfléchir la formule à chaque fois que l’on en a besoin peut paraı̂tre
constituer une “intolérable perte de temps et d’énergie” mais cela permet, à
force d’utilisations répétées, de bien ancrer les quelques relations indispensables
(celles qui seront encadrées dans la suite de ce chapitre) et ainsi d’assurer
l’ensemble des formules.
• Cette méthode peut à première vue paraı̂tre moins sûre qu’un apprentissage par
coeur, et il est évident que sa mise en oeuvre provoquera, au début, des erreurs
que vous n’auriez pas commises si vous étiez allés voir dans un formulaire. Ditesvous bien qu’il en a été de même lorsque vous avez commencé à marcher : avant,
vous rampiez ou vous marchiez à quatre pattes, le premier jour où vous avez
essayé de marcher seulement sur vos deux jambes, vous êtes tombé, et ce ne fut
certainement pas la seule fois. Toutefois vous avez persévéré et, aujourd’hui, la
position verticale vous semble aller de soi : c’est à la même démarche que je
vous convie en ce qui concerne l’apprentissage des mathématiques.
Cet exposé part volontairement du niveau élémentaire pour montrer comment les
contenus successifs se complètent en généralisant les notions vues dans les classes
antérieures.
Il est possible d’imprimer ce fichier pour le travailler
voir > > > INDIC
Toutefois ce fichier est truffé d’une multitude de liens hypertextes vous apportant un
peu d’aide, et cela sur plusieurs niveaux : indications, solutions et autres explications.
Pour pourvoir utiliser cette aide il faut évidemment avoir accès à l’Internet.
Remarques :
• Pour éviter que le fichier principal (fichier pdf) ne se ré-ouvre à la première page
au retour de chacune de ces aides (petit problème dû, je pense, à AcrobatReader), il est préférable de le télécharger et de le lancer en local sur votre
ordinateur.
• Comme ce travail est en évolution et que les divers fichiers, ainsi donc que
les liens entre eux, évoluent rapidement il est alors bon de recharger ce fichier
principal à chaque utilisation.
Ce que vous trouverez ici est un premier jet, et toute remarque ou suggestion sera
la bienvenue. Vous pouvez m’en faire part à [email protected]
2
Lycée Privé Sainte Geneviève
7 septembre 2009
Formules de trigonométrie — Définitions – Formules fondamentales
II. Définitions – Formules fondamentales
Les fonctions sin, cos et tan ont une représentation naturelle à l’aide du cercle
trigonométrique ou d’un triangle rectangle. On “voit” ainsi immédiatement de tête
(mais il n’est pas honteux au début de faire un dessin) certaines propriétés de ces
fonctions. Il serait dommage de s’en priver !
1. Le cercle trigonométrique (indispensable)
Dans ce qui suit, le plan étant rapporté à un repère orthonormé direct Oxy ,
• le cercle trigonométrique est le cercle Γ de centre O et de rayon 1 que l’on
oriente dans le sens inverse des aiguilles d’une montre ;
• A est le point du plan de coordonnées (1, 0).
y B
Ainsi
Mθ
• pour tout θ ∈ IR il existe un unique Mθ ∈ Γ
tel que θsoit une mesure
en radian de l’angle
−→ −−→
orienté Ox, OMθ , ce que nous écrirons
−→ −−→
plus
rapidement
Ox, OMθ = θ ;
•
C
θ
A
x
O
• on définit ainsi une application
φ : IR → Γ
;
θ 7→ φ(θ) = Mθ
D
• étant donné que la longueur de l’arc AMθ est proportionnelle à la mesure
de l’angle géométrique AOMθ et que le périmètre de Γ vaut 2 π , on a :
φ(2 π) = φ(−2 π) = A et donc :
∀k ∈ ZZ, φ(2 k π) = A
ainsi que
∀θ ∈ IR, ∀k ∈ ZZ, φ(θ + 2 k π) = φ(θ)
ce qui entraı̂ne que : la fonction φ est périodique et 2 π en est une période ;
• pour θ ∈ ]−2π, 2 π[ l’arc AM a pour longueur |θ| ;
• l’application φ est évidemment surjective, ce qui signifie que pour tout M ∈ Γ,
il existe θ ∈ IR tel que M = φ(θ).
Dans la suite de ce chapitre toutes les mesures d’angles seront données en radians
et le tableau de mesures conversion suivant doit évidemment tenir du réflexe :
Angle géométrique
AOB
AOC
AOD
Mesure en radians
π
2
π
3π
2
3
Lycée Privé Sainte Geneviève
7 septembre 2009
Formules de trigonométrie — Définitions – Formules fondamentales
Premières valeurs remarquables :
Avec les notations de la figure précédente,
π
2
et θ = − 32π sont solutions de l’équation φ(θ) = B ;
• l’ensemble des solutions de l’équation φ(θ) = B est π2 + 2 k π | k ∈ ZZ .
• les réels θ =
Ex 1 : Donner les solutions de l’équation φ(θ) = C .
SOLUT
Ex 2 : Donner les solutions de l’équation φ(θ) = D .
SOLUT
Ex 3 : Placer sur Γ les points φ( π4 ), φ( 54π ), φ( 94π ).
SOLUT
2. Modulo
Dans cette partie on désigne par θ0 , θ1 et θ2 trois nombres réels.
On a vu que φ(θ1 ) = φ(θ2 ) si, et seulement si : ∃k ∈ ZZ, θ2 − θ1 = 2 k π.
Définition 1
On dit que θ1 est congru à θ2 modulo θ0 si, et seulement si,
il existe k ∈ ZZ tel que : θ2 − θ1 = k θ0 .
Notation : la relation “θ1 est congru à θ2 modulo θ0 ” se note θ1 ≡ θ2 [θ0 ].
Méthode : Il arrive souvent en trigonométrie d’avoir à résoudre des “équations
modulo” et la grande question est alors de savoir “s’il faut ou non diviser le modulo”.
C’est évidemment une fausse question et pour éviter toute angoise il suffit, comme
souvent, de se ramener à la définition en transformant
• une relation du type : θ1 ≡ θ2 [θ0 ]
• en une relation du type : il existe k ∈ ZZ tel que : θ2 − θ1 = k θ0 .
comme on peut le voir (si nécessaire) dans la correction des exercices suivants.
Après quelques utilisations de ce mécanisme de vérification, on sait “si il faut ou
non” ou “pourquoi il faut” diviser, et on peut sans problème sauter cette étape.
π hπ i
·
3 2
et dire combien cela donne d’images sur le cercle trigonométrique.
Ex 4 : Déterminer les réels θ vérifiant : 3 θ + π ≡ 2θ −
Ex 5 : Mêmes questions pour l’équation : 3 θ + π ≡ − 2θ −
π hπ i
·
3
2
4
Lycée Privé Sainte Geneviève
7 septembre 2009
SOLUT
SOLUT
Formules de trigonométrie — Définitions – Formules fondamentales
3. Sinus, cosinus et tangente
a) Définition à l’aide d’un triangle rectangle
W
La première définition que l’on rencontre des lignes trigonométrique utilise
les angles d’un triangle rectangle.
Plus précisément avec les notations de la
figure ci-contre, où
θ
U
V
• U V W est un triangle rectangle en V ,
• θ est la mesure de l’angle géométrique V U W , donc θ ∈ ]0, π2 [,
on pose alors
cos θ =
côté adjacent
UV
=
UW
hypoténuse
et
sin θ =
VW
côté opposé
=
UW
hypoténuse
ainsi que
tan θ =
sin θ
VW
côté opposé
=
=
·
cos θ
UV
côté adjacent
Comme la somme des mesures angles géométriques V U W et U W V vaut
immédiat que pour tout θ ∈ ]0, π2 [, on a :
π
π
− θ = sin θ et sin
− θ = cos θ
cos
2
2
et donc :
π
1
tan
−θ =
·
2
tan θ
π
2
, il est
Remarque : On vient ainsi de définir des fonctions réelles d’une variable réelle qui,
à tout réel de l’intervalle ]0, π2 [, associent un nombre réel.
Ex 6 : Donner les valeurs des fonctions cos, sin et tan en
Ex 7 : Donner de même en
π
4
π
6
et
π
·
3
INDIC
les valeurs des fonctions cos, sin et tan.
5
Lycée Privé Sainte Geneviève
7 septembre 2009
INDIC
Formules de trigonométrie — Définitions – Formules fondamentales
b) Définition à l’aide du cercle trigonométrique
On rencontre ensuite une définition plus complète
des fonctions trigonométriques.
y
y
Mθ R
Q
Soit θ ∈ IR et Mθ = φ(θ), donc tel que
−→ −−→
Ox, OMθ = θ.
A
θ
O
En désignant par
P
x
• P la projection orthogonale de Mθ sur Ox,
• Q la projection orthogonale de Mθ sur Oy ,
on définit alors :
cos θ = OP
sin θ = OQ.
On en déduit la relation fondamentale : ∀θ ∈ IR, sin2 θ + cos2 θ = 1.
Ex 8 : Vérifier qu’il s’agit bien d’une généralisation
de la première définition de ces fonctions trigonométriques.
SOLUT
Ex 9 : Justifier la relation fondamentale.
SOLUT
Enfin pour tout θ ∈ IR \ π2 + k π | k ∈ ZZ , si R désigne le point d’intersection
de (OM ) avec (Ay) alors on pose :
tan θ = AR
Ex 10 : Vérifier qu’il s’agit bien d’une généralisation de la première définition.
Ex 11 : Valeurs en
π
2
, π,
3π
2
SOLUT
. . . de sinus et de cosinus.
Et pour la tangente ?
SOLUT
Ex 12 : Quelle relation simple y a-t-il entre cos2 θ et tan2 θ ?
Et entre sin2 θ et tan2 θ ?
INDIC
Ex 13 : Si x ∈ [ −
π π
, ]
2 2
1
vérifie sin x = − , que vaut tan x ?
5
Ex 14 : Si x ∈ [ −
π π
, ]
2 2
vérifie cos x =
INDIC
1
que vaut tan x ?
3
INDIC
6
Lycée Privé Sainte Geneviève
7 septembre 2009
Formules de trigonométrie — Définitions – Formules fondamentales
4. Premières relations triginométriques
a) Utilisation du cercle trigonométrique
Sur le cercle trigonomérique
• le changement de θ en −θ correspond à une symétrie par rapport à Ox ;
• le changement de θ en π − θ correspond à une symétrie par rapport à Oy ;
• le changement de θ en π + θ correspond à une symétrie par rapport à O ;
Les relations entre les lignes trigonométriques de θ , π−θ et π+θ sont donc évidentes
dès que l’on visualise l’une des figures suivantes.
y
y
y
Mθ
Q
Mθ
Q
A
θ
O
Mπ−θ
R
P
0
O
P0
O
P
P
Mπ+θ
R0
R0
Ex 15 : Valeurs des lignes trigonométriques en
π
4
,
3π
4
et
Ex 16 : Valeurs des lignes trigonométriques en
2π
3
et
4π
·
3
R
A
θ
x
Q0
M−θ
Mθ
Q
A
θ
x
P
R
x
Q0
5π
·
4
INDIC
SOLUT
b) Utilisation d’un triangle rectangle
Les relations vues dans le triangle rectangle pour des angles complémentaires (c’està-dire des angles dont la somme des mesures vaut π2 ) permettent de relier les lignes
trigonométriques de réels de la forme θ et π2 − θ pour θ ∈ [0, π2 ]·
En fait ces relations restent vraies pour tout θ ∈ IR .
Ex 17 : Justifier l’affirmation précédente.
INDIC
Comme les formules précédentes ne font pas intervenir de signes mais seulement une
permutation de sin et de cos, il ne faut pas hésiter à s’en servir !
• Pour tout θ ∈ IR on a : cos π2 − θ = sin θ et sin π2 − θ = cos θ .
• Pour tout θ ∈ IR \ {k π2 | k ∈ ZZ} on a : tan
π
2
−θ =
1
·
tan θ
Ex 18 : Avez-vous bien noté le domaine de définition de la dernière relation ?
7
Lycée Privé Sainte Geneviève
7 septembre 2009
SOLUT
Formules de trigonométrie — Définitions – Formules fondamentales
c) Relations déduites
En ce qui concerne la transformation de x en x + π2 , il y a permutation des sin
et cos mais avec “parfois” introduction d’un signe.
Pour assurer le résultat, on peut imaginer plusieurs pistes.
• Encore une fois pour qu’une telle formule soit vraie pour tout θ ∈ IR , il suffit
qu’elle soit vraie pour tout réel θ ∈ [0, π2 ].
En se limitant à θ ∈ [0, π2 ], l’utilisation du cercle trigonométrique permet
aisément de déterminer les signes de sin θ , cos θ , sin(θ + π2 ), cos(θ + π2 ) ; on
peut ainsi s’assurer de l’existence ou non du signe “-”.
• Travailler par “double détente” en visualisant π2 +θ sous la π2 −(−θ) et en utilisant les relations concernant les angles complémentaires puis celles concernant
les angles opposés.
Cette méthode peut paraı̂tre plus longue que la précédente mais si on l’on fait
l’effort de s’y exercer honnêtement (et de tête dès que possible) elle est, à la
longue, plus rapide et plus sûre que la précédente.
Ex 19 : En utilisant la dernière méthode évaluer
1. les lignes trigonométriques de θ +
2. les lignes trigonométriques de θ −
π
2
π
2
en fonction de celles de θ ;
INDIC
en fonction de celles de θ .
INDIC
Remarque : Un autre moyen utilisant la dérivation sera vue dans le futur.
5. Premières équations trigonométriques
À ce niveau il est possible de résoudre aisément les premières équations trigonométriques en utilisant seulement la définition géométrique que l’on a donnée des
fonctions trigonométriques. Il s’agit d’équations de la forme
cos u = cos v
ou
sin u = sin v
ou
tan u = tan v.
• Il est exclu d’apprendre la moindre formule concernant ces équations !
• La visualisation du cercle trigonométrique est amplement suffisante pour
conclure que si u et v sont deux réels, alors
∗ la relation cos u = cos v est équivalente à : u = v [2π] ou u = −v [2π] ;
∗ la relation sin u = sin v est équivalente à: u = v [2π] ou u = π − v [2π] ;
∗ la relation tan u = tan v est équivalente à : u = v [π].
Ex 20 : Soit a un paramètre réel donné élément de [0, π].
Combien l’équation cos θ = cos a donne-t-elle de points sur le cercle ?
8
Lycée Privé Sainte Geneviève
7 septembre 2009
INDIC
Formules de trigonométrie — Définitions – Formules fondamentales
Ex 21 : Traiter de même l’équation sin x = sin a.
SOLUT
Ex 22 : Traiter de même l’équation tan x = tan a.
INDIC
Ex 23 : Résoudre l’équation : sin x =
√
3 cos x.
INDIC
Ex 24 : Résoudre l’équation : sin x = cos 2 x.
INDIC
Ex 25 : Résoudre l’équation : sin x = 2 sin x cos x.
INDIC
Ex 26 : Résoudre l’équation : 2 cos2 x − 3 cos x + 1 = 0.
INDIC
Ex 27 : Résoudre l’équation : 2 cos2 x − 3 sin x − 3 = 0.
INDIC
Remarque : Même avec une définition plus précise des fonctions trigonométriques
que l’on verra ultérieurement, l’utilisation du cercle trigonométrique est un moyen
efficace de retrouver des résultats rigoureusement établis dans d’autres chapitres.
6. Culture générale : la fonction cotangente
Reprenons, en la complétant, la figure
ayant permis de définir les fonctions
cos, sin et tan.
y
S
B
x
M R
Q
Supposons θ ∈ IR \ {k π | k ∈ ZZ}.
A
θ
O
Si S désigne le point d’intersection de
(OM ) avec l’axe (Bx) alors on pose :
P
x
cot θ = BS.
Ex 28 : Montrer que
cos θ
;
sin θ
1
·
• pour tout θ ∈ IR \ {k π2 | k ∈ ZZ} on a : cot θ =
tan θ
• pour tout θ ∈ IR \ {k π | k ∈ ZZ} on a : cot θ =
INDIC
INDIC
Remarque : Cette fonction permet de donner des relations plus symétriques concernant les angles complémentaires. À l’instar de la relation :
π
π
∀θ ∈ IR, cos
− θ = sin θ et sin
− θ = cos θ
2
2
on a les relations :
π
∀θ ∈ IR \ {k π | k ∈ ZZ} , tan
− θ = cot θ
2
et
nπ
o
π
∀θ ∈ IR \
+ k π | k ∈ ZZ , cot
− θ = tan θ.
2
2
9
Lycée Privé Sainte Geneviève
7 septembre 2009
Formules de trigonométrie — Addition, linéarisation, factorisation
III. Addition, linéarisation, factorisation
Après avoir défini les fonctions trigonométriques et vu leurs propriétés élémentaires,
on peut maintenant aborder ce qui est un cauchemar pour certains, à savoir les
formules d’addition et de multiplication.
En travaillant toujours dans le même l’état d’esprit, nous allons voir qu’un minimum
de formules sont à connaı̂tre par coeur, à condition de s’entraı̂ner à retrouver toutes
les autres instantanément.
1. Formules d’addition
Proposition 1
Si a et b sont deux nombres réels alors on a :
cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b
ainsi que :
sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
Idée de démonstration
Remarque : Il est hors de question de mémoriser cos(a − b) et sin(a − b) : il
suffit de changer b en −b dans les formules précédentes et d’utiliser les propriétés
de parité ou d’imparité des fonctions sin et cos.
Quelques pistes pour assurer ces formules :
• Tout d’abord, il faut oublier et proscrire toute règle mnémotechnique du genre
“sin est gentil alors que cos est mauvais” ou des règles à la “si si co co si...”
qui obligent à tout écrire.
• Ne pas hésiter à prendre des cas particuliers comme a = 0, b = 0 ou a = ±b.
• En particulier
∗ pour le développement de sin(a − b), la moindre des choses est d’obtenir
une expression qui est nulle pour a = b ;
∗ en revanche pour cos (a − b) le résultat doit faire 1 pour a = b, il est donc
normal de trouver
? cos2 a + sin2 a, qui vient de cos a cos b + sin a sin b,
? et non pas cos2 a − sin2 a, qui viendrait de cos a cos b − sin a sin b.
• En ce qui concerne la présence et le nombre de sin et de cos dans le membre
de droite, on peut utiliser avec profit la parité de cos et l’imparité de sin .
10
Lycée Privé Sainte Geneviève
7 septembre 2009
Formules de trigonométrie — Addition, linéarisation, factorisation
En effet, si on change a en −a et b en −b,
∗ la quantité cos(a + b) soit rester invariante ; donc à droite,
? on peut trouver soit un produit cos a cos b, soit un produit sin a sin b
qui sont invariants par ce type de transformation,
? on n’a guère de chance de trouver de produit sin a cos b ou cos a sin b.
∗ En revanche la quantité sin (a + b) doit se transformer en son opposée ;
par suite ...
• À partir du niveau terminale, le plus rapide est évidemment de visualiser le
développement de exp (i(a+b)). On peut l’écrire au début si c’est indispensable
mais il faut rapidement viser à se passer de cette étape.
Ex 29 : Soit (a, b) ∈ IR \ (0, 0) et f : IR
→
7
→
x
IR
.
a cos x + b sin x
Montrer
• qu’il existe (M, φ) ∈ IR2 tel que : ∀x ∈ IR, f (x) = M cos(x + φ).
2
• qu’il existe (M, φ) ∈ IR tel que : ∀x ∈ IR, f (x) = M sin(x + φ).
Ex 30 : Maximum et minimum de f : IR
x
Ex 31 : Maximum et minimum de f : IR
x
→
7→
I√
R
→
7→
IR
.
3 cos x + sin x + 2
.
INDIC
INDIC
INDIC
3 cos x + sin x + 2
INDIC
Proposition 2
Si a et b sont deux réels tels que a 6≡
π
2
tan (a + b) =
[π], b 6≡
π
2
[π] et a + b 6≡
π
2
[π] alors
tan a + tan b
·
1 − tan a tan b
Idée de démonstration
Remarque : Inutile de mémoriser tan(a − b) car il suffit de changer b en −b.
Quelques pistes pour retrouver cette formule :
• Visualiser la calcul de la démonstration précédente.
• Se souvenir que les signes intervenant au numérateur et au dénominateur sont
différents, celui du numérateur se retrouvant à l’aide des cas particulier a = ±b.
• Ne pas hésiter à prendre des cas particuliers comme a = 0, b = 0.
Ex 32 : Angle des droites D1 et D2 d’équations respectives
3 x − y + 1 = 0 et 4 x + 2 y − 5 = 0.
INDIC
11
Lycée Privé Sainte Geneviève
7 septembre 2009
Formules de trigonométrie — Addition, linéarisation, factorisation
2. Duplication et arc moitié
a) Linéarisation de cos2 et sin2
Pour a ∈ IR , il est absolument inutile de mémoriser les formules
cos 2a = cos2 a − sin2 a et
sin 2a = 2 sin a cos a
qui ne sont que des cas particuliers des formules d’addition précédentes.
En revanche il faut pouvoir utiliser sans hésiter les autres formes de la première
formule que sont :
1 + cos 2a = 2 cos2 a
1 − cos 2a = 2 sin2 a.
et
Pour ces formules
• une observation des signes des quantités
• le cas particulier a = 0
peuvent être bien utiles en cas d’hésitation. Voir ci-après pour des conseils
Ex 33 : Pour a ∈ [−π, π], exprimer cos
a
2
en fonction de cos a.
???
INDIC
b) Expressions en fonction de la tangente de l’arc moitié
Soit a ∈ IR \ {(2k + 1)π | k ∈ ZZ } et t = tan a2 ·
• Il faut pouvoir écrire sans hésitation : cos a =
• Et, pour a 6≡
π
2
1 − t2
1 + t2
[π] il faut aussi connaı̂tre : tan a =
et
sin a =
2t
·
1 + t2
2t
1 − t2
qui n’est qu’un cas particulier d’une formule précédente.
Ex 34 : Justifier les trois formules précédentes.
Quelques pistes pour assurer ces formules :
différentes formules ne pose aucun problème :
INDIC
Si la forme générale de ces
“c’est une fraction en 2 t, 1 + t2 et 1 − t2 ”,
vous avez souvent des problèmes d’affectation :
“où mettre ces différentes quantités ?
Si nécessaire voir ci-après quelques pistes :
Ex 35 : Déterminer la valeur exacte de tan
???
π
·
8
INDIC
12
Lycée Privé Sainte Geneviève
7 septembre 2009
Formules de trigonométrie — Addition, linéarisation, factorisation
3. Formules de linéarisation
La linéarisation d’une expression est l’opération qui consiste à de transformer les
produits en sommes : c’est une opération souvent indispensable pour pouvoir intégrer
et même parfois très intéressante avant de dériver.
Étant donné a et b deux nombres réels, on a :
2 cos a cos b = cos (a + b) + cos (a − b)
2 sin a sin b = cos (a − b) − cos (a + b)
2 sin a cos b = sin (a + b) + sin (a − b)
En fait il n’y a rien de nouveau dans ces formules !
Ce ne sont que les formules d’addition lues à l’envers et, quand on a besoin d’utiliser
l’une de ces formules, il faut
• visualiser, éventuellement écrire au début, les formules d’additions donnant
cos(a + b), cos(a − b), sin(a + b) et sin(a − b) ;
• choisir celles qu’il faut combiner, et comment les combiner (de tête), pour obtenir le produit attendu ;
• ne pas se priver de vérifier, une fois la relation écrite, en la relisant à l’envers !
Remarques :
• Les deux premiers points précédents expliquent pourquoi il est préférable de
voir ces formules avec le “2” en position de multiplicateur à gauche et non pas
en position de diviseur à droite.
• Si jamais on hésite sur la position de ce “2”, diviseur ou en multiplicateur, on
peut penser en termes d’encadrement : un produit de sinus ou de cosinus reste
entre −1 et +1, alors que la somme ou la différence peut aller de −2 à +2.
Quelques pistes pour assurer ces formules : Il suffit de se souvenir que les
expressions transformées ne font intervenir que des sin et des cos, de (a + b) ou
de (a − b) ; ensuite on peut, par exemple, utiliser les remarques suivantes :
• par le changement de (a, b) en (−a, −b)
∗ cos a cos b et sin a sin b sont invariants, donc les expressions obtenues
n’utilisent que des cos ;
∗ sin a cos b se transforme en son opposé, donc les expressions obtenues
n’utilisent que des sin ;
• regarder ce qui se passe si on change un seul paramètre, a ou b, en son opposé ;
• penser aux cas particuliers : a = 0, b = 0 ou a = ±b.
13
Lycée Privé Sainte Geneviève
7 septembre 2009
Formules de trigonométrie — Addition, linéarisation, factorisation
Ex 36 : Déterminer un réel a tel que, pour tout x réel, on ait :
sin 3x = a sin x sin x + π3 sin x +
2π
3
·
INDIC
Ex 37 : Calculer la dérivée troisième de l’application
f : IR →
x 7→
IR
.
x
x
x
cos x cos 2 cos 4 sin 4
INDIC
4. Formules de factorisation
La factorisation d’une expression est une opération souvent indispensable pour pouvoir étudier son signe.
Étant donné p et q deux nombres réels, on a :
p+q
2
p−q
cos p − cos q = − 2 sin
2
p+q
sin p + sin q =
2 sin
2
p−q
sin p − sin q =
2 sin
2
cos p + cos q =
2 cos
p−q
2
p+q
sin
2
p−q
cos
2
p+q
cos
2
cos
Remarque : On a l’habitude de donner ces quatre formules même si l’ensemble
formé par les deux dernières est redondant.
Quelques pistes pour assurer ces formules : Il suffit de se souvenir que les
expressions transformées sont de la forme
 


p−q
sin
sin p+q
2
2
ou  × 
ou 
±2 × 
cos p+q
cos p−q
2
2
les quatre choix étant possibles.
Ensuite on peut, par exemple, utiliser les remarques suivantes :
• cos p − cos q et sin p −
sin q sont nulles si p = q , donc l’expression transformée
p−q
doit contenir sin 2 seule des quantités précédentes à être nulle pour p = q .
• Il en est de même pour sin + sin q qui s’annule pour p = −q ou mieux, pour
sin − sin q qui s’annule pour p = q : voilà pourquoi on laisse habituellement les
deux dernières formules.
14
Lycée Privé Sainte Geneviève
7 septembre 2009
Formules de trigonométrie — Formulaire muet
• La place du facteur 2 ne pose pas de problème, si on réfléchit comme dans les
formules de linéarisation.
• Pour la seconde relation, le signe “−” devant le “2” peut être vu comme une
conséquence de la décroissance de la fonction cos entre 0 et π2 ·
Dans ce domaine si on choisit p < q , on a : cos p − cos q < 0 alors que chacun
des termes sin p−q
et sin p+q
est positif.
2
2
• Des considérations de parité et d’imparité peuvent aussi être très utiles.
Ex 38 : Montrer que pour x ∈ ]0, π6 [ on a :
1 − cos 2 x + cos 4 x − cos 6 x
= tan 3 x.
sin 2 x − sin 4 x + sin 6 x
INDIC
Ex 39 : Solutions dans [0, 2 π] de l’équation : cos x − cos 2 x = sin 3 x.
INDIC
IV. Formulaire muet
Pour finir un petit formulaire muet à fréquenter de temps à autre ...
• Lignes trigonométriques de : 0, π6 ,
π
4
,
π
3
,
π
2
,
2π
3
,
3π
,
4
π, etc.
• Relation entre tan2 θ et cos2 θ .
• Simplifier cos(−θ), sin(−θ), tan(−θ).
• Simplifier cos(π − θ), sin(π − θ), tan(π − θ).
• Simplifier cos(θ + π), sin(θ + π), tan(θ + π).
• Simplifier cos π2 − θ , sin π2 − θ et tan π2 − θ .
• Simplifier cos(θ + π2 ), sin(θ + π2 ), tan(θ + π2 ).
• Résolutions des équations cos u = cos v , sin u = sin v , tan u = tan v .
• Développement de cos(a + b), sin(a + b), tan (a + b).
• Factorisation de 1 + cos 2a, 1 − cos 2a.
• Expression de cos a, sin a, tan a en fonction de t = tan a2 ·
• Linéarisation de cos a cos b, sin a sin b, sin a cos b.
• Linéarisation de cos2 a, de sin2 a.
• Factorisation de cos p + cos q , cos p − cos q , sin p + sin q .
15
Lycée Privé Sainte Geneviève
7 septembre 2009