support de cours circuits analogiques
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1 ÈRE ANNÉE M AÎTRISE DES S UPPORT R ISQUES I NDUSTRIELS DE C OURS C IRCUITS A NALOGIQUES David FOLIO <[email protected]> http://perso.ensi-bourges.fr/dfolio/Teaching.php L’objet de se support de cours n’est pas de fournir le cours complet de composants électroniques. Il s’agit plutôt d’un aide-mémoire rappelant les principales lois, définitions et notions utilisées pour la mise en équation des circuits électroniques. Il vous appartient de le compléter et de l’enrichir des différents éléments abordé en cours et en TD. 2 MRI-1A, ENSI de Bourges , Circuits Analogiques Table des matières I Outils d’analyse des circuits électroniques I.1 Outils d’analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.2 Les Quadripôles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II Les II.1 II.2 II.3 II.4 Amplificateurs Généralités sur les amplificateur Les Amplificateurs Différentiels Les AOP . . . . . . . . . . . . . AOP réel . . . . . . . . . . . . 5 5 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 15 20 21 24 III Le Filtrage Analogiques III.1 Notion de Filtrage . . . . . . . . III.2 Fonctions de transfert des filtres . III.3 Filtrage passifs . . . . . . . . . . III.4 Filtrage actifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 27 35 41 47 Avant de commencer Cours Composants Électroniques (P1) : . . . . Les lois de Kirchhoff, théorèmes simplificateurs. . . Dipôles linéaires passifs : résistances, capacités, inductance Dipôles non-linéaires : la diode Les transistors : BJT et FET Circuits électroniques = Ensemble de composants électroniques interconnectés, dont le but est de remplir une fonction électroniques. . Objectif : réalisation de fonctions électroniques . 2 2 2 2 2 Mise en forme des signaux (redressement, limiteur de crêtes. . . ), Alimentation (source de courant ou de tension) Interrupteurs (fonctions logique, électronique numériques. . . ), Amplificateurs, Filtrage, . . . Analyse : polarisation, stabilité, contre-réaction, bande-passante. . . 3 TABLE DES MATIÈRES 4 MRI-1A, ENSI de Bourges , Circuits Analogiques O UTILS D ’ ANALYSE I.1 I.1.1 Outils d’analyse Chapitre I DES CIRCUITS ÉLECTRONIQUES (Rappels) Analyse fréquentielle On s’intéresse dans cette partie du cours essentiellement à des signaux analogiques qui varient en fonction du temps. Ainsi, on considérera principalement aux circuits électroniques en régime dynamique. Différents “outils” de l’électronique analogique permettent d’étudier, analyser, manipuler ces grandeurs variables, dont notamment : • Notations temporelle : v(t) = f (i(t)) (souvent peu pratique) ; • Notations complexe : v = z ·i ; • Notations fréquentielle : v(ω) = Z(ω)i(ω) ou v(p) = Z(p)i(p) ; On peut aisément étendre la lois d’Ohm généralisée qui est de prime abords scalaire, en une représentation matricielle : V = ZI (extension MIMO). I.1.2 Signaux analogiques On s’intéressera dans se cours principalement aux signaux alternatifs sinusoïdaux définit par : b sin(ωt + ϕ) x(t) = X b amplitude , ω la pulsation et ϕ la phase. où x(t) représente la valeur instantanée, X On rappel que les outils vectoriels (eg., la représentation de Fresnel, représentation dans le plan complexe, etc.) permettant de manipuler aisément ce types de signaux variables. Cependant, il existe également d’autres types de signaux (ou fonctions) analogiques : • “Fonction Rectangle” : Ra (t) = 1, ∀t ∈ [−a/2; a/2] et 0 sinon • Sinus cardinal : sinc(t) = sin(t) t • “Fonction Échelon” : U(t) = 1, ∀t > 0 • Exponentielle : x(t) = Aeω0 t • Triangulaire, etc. . . Ra (t) a→0 a • Impulsion de Dirac : δ(t) = lim Différents outils permettent d’analyser ces signaux : R∞ • Transformées de Fourier : f (ζ) = −∞ F (x) = eωζx dx ωx • Séries de Fourier : f (x) = Σ∞ n=−∞ cn (f )e • Fonction de transfert : H(ω) ou H(p) (=sortie/entrée) La fonction de transfert donne le rapport entre le signal de sortie et l’entrée, suivant la fréquence. Elle donne l’atténuation ou l’amplification, ainsi que le déphasage entre la sortie et l’entrée. • Diagramme de Bode . Gain (ou module) : |H(p)|dB = 20 log10 |H(p)| . Phase (ou argument) : ϕ(p) = arg(H(p)) b H . Fréquence de coupure ωc à −3dB : H(ωc ) = √ 2 5 I.2 Les Quadripôles I.1.3 6 Rappel de quelques définitions Definition I.1.1 (Système linéaire). Un système est qualifié de linéaire, s’il obéit au principe de superposition : • Si O est un opérateur ou une fonction linéaire • Si la sortie Y est la réponse à un signal d’entrée X ,→ alors la réponse à l’excitation O(X) est O(Y ) Definition I.1.2 (Système stationnaire). Un système est stationnaire si son comportement n’évolue pas (ou plus) aux cours du temps. L’entrée et la sortie sont alors solutions d’une équation différentielle à coefficients constants : am x(m) (t) + . . . + a0 x(t) = bn y (n) (t) + . . . + b0 y(t) ⇔ y(t) = Hx(t) ,→ H : opérateur linéaire indépendante du temps : H(p) = am pm +...+a0 p bn pn +...+b0 p Definition I.1.3 (Stabilité). Un système linéaire est stable que si sa fonction de transfert H(p) ne possède pas de pôles à partie réelles positive. Remarque I.1. La stabilité est une notion extrêmement importante dans l’étude des systèmes. Enfin, d’autres définitions de la stabilité existent (stabilité asymptotique, stabilité EB-RB, stabilité locale ou globale, etc.). Notion de sensibilité Definition I.1.4 (Sensibilités). Soit f une fonction (eg., gain, facteur de qualité, position d’un pôle, d’un zéro, etc.) d’un ensemble de paramètres x1 , x2 , . . . , xk (eg., valeurs des résistances, capacités, gains, fréquence, etc.) ; on la note donc f (x1 , x2 , . . . , xk ). On définit : i • la dérive relative (ou incertitudes, tolérances, etc) d’un paramètre xi : ∂x xi • la dérive relative de la fonction f : ∂f f f par rapport au paramètres xi autour du point de fonctionnement • la sensibilité Sxfi de ∂f x x0i par : Sxfi = ∂xi fi 0 xi ,→ La sensibilité permet d’étudier l’influence d’une dérive ou incertitude de la valeur d’un paramètre xi sur une fonction f . • Les imperfections (ou incertitudes) les plus importantes : . . . . valeurs des composants (eg.,R, C) différentes des valeurs nominales ; gain fini et qui dépend de la fréquence de l’amplificateur ; dépendance à la température et au vieillissement ; influence des capacités parasites, variation des impédances d’entrée ou de sortie des amplificateurs ; Exercice I.1 (Analyse de sensibilité). Soit un montage amplificateur à base de FET en gm RD configuration SC (cf., TD IV.3), dont le gain en tension est définit par : Av = − 1+g . m RS Pour RD = 3.3kW ± 1%, calculer SRADv ? A . Pour RS = 500Ω ± 10%, calculer SRSv ? . Pour ID = 2.2mA ± 5%, calculer SgAmv ? . MRI-1A, ENSI de Bourges , Circuits Analogiques I. Outils d’analyse des circuits électroniques I.2 Chap. I Outils d’analyse des circuits électroniques Les Quadripôles I.2.1 Introduction Motivation : modéliser un circuit électriques quelconque par une représentation “plus simple”. ,→ De nombreux circuits peuvent être représentés par une “boîte” munie de deux bornes d’entrée et de deux bornes de sortie, c’est le quadripôle Définitions Definition I.2.1 (Le quadripôle). Un quadripôle est une structure électronique dont on considère l’entrée entre deux bornes et la sortie entre deux bornes ; ce qui conduit à quatre le nombre de grandeurs d’entrée (Vin et Iin ) et de sortie(Vout et Iout ). Les signaux électriques en entrée et en sortie peuvent être de nature différente. Definition I.2.2 (Cas particuliers : le tripôle). Une borne d’entrée (eg., de référence) est commune avec une borne de sortie. Iin Vin Iout Q Vout Definition I.2.3 (Quadripôle linéaire). Un quadripôle est linéaire si la variation des grandeurs de sortie est proportionnelle à la variation des grandeurs d’entrée. Un quadripôle linéaire ne contient pas de sources indépendantes. On ne s’intéressera qu’aux quadripôles linéaires. Différents types de quadripôle Quadripoles linéaires Quadripoles passifs Quadripoles Quadripoles dissipatifs actifs Quadripoles non-dissipatifs Quadripoles symétriques On distingue principalement deux types de quadripôle linéaire : Quadripôle actif : comporte des sources (de tension ou de courant) liées. Quadripôle passif : ne contient aucune source (ie., que des composants passifs). Parmi les quadripoles passifs, on distingue également : • Quadripôle non-dissipatif : ne comprend que des éléments réactifs idéaux. • Quadripôle dissipatif : ne comprend que des éléments résistifs. Exemples de quadripôles Example I.2.4 (Quadripôle série). Il contient une seule impédance : Z. • La loi des mailles donne : V2 = V1 − ZI1 et I2 = −I1 . V2 1 Z V1 • Soit sous forme matricielle : = I2 0 1 −I1 © , David FOLIO I1 V1 Z=1/Y Q I2 V2 I.2 Les Quadripôles 8 Example I.2.5 (Quadripôle parallèle). Il contient une seule impédance : Z (ou admittance Y = 1/Z). • La loi des nœuds donne : I2 + I1 = I et V2 = V1 , soit : I2 = V1 /Z − I1 = Y V1 − I1 . V2 1 0 V1 • Soit sous forme matricielle : = I2 Y 1 −I1 I1 I2 V1 Q Z V =1/Y 2 Example I.2.6 (Le transformateur idéale). Un transformateur peut se modéliser comme suit • Li = kNi et M = kN1 N2 • V1 = L1 dIdt1 + M dIdt2 = ωL1 I1 + ωM I2 • V2 = M dIdt1 + L2 dIdt2 = ωM I1 + ωL2 I2 I1 I2 V1 N 1 N2 V2 Q • Soit sous forme matricielle : V1 V2 = ω L1 M M L2 I1 I2 Quadripôles passifs : réciprocité et symmétrie Un quadripôle est dit “réciproque” si lorsqu’on place une source de tension à son entrée et qu’on mesure le courant de court-circuit à sa sortie, on obtient le même résultat qu’en branchant la source à la sortie et en mesurant le courant de court-circuit à l’entrée. Un quadripôle est dit “symétrique” : si la permutation des deux accès (ie., entrée/sortie) entre eux ne modifie pas le fonctionnement du quadripôle. ,→ Une symétrie électrique s’accompagne d’une symétrie topologique(et inversement). I.2.2 Les paramètres électriques d’un quadripôle • Paramètre d’accès d’entrée : Vin et/ou Iin • Paramètre d’accès de sortie : Vout et/ou Iout • Par conventions on considérera : Iin1 = Iin2 et Iout3 = Iout4 Un quadripôle est ainsi caractérisé par 4 grandeurs d’entrée et de sortie (Vin , Iin , Vout et Iout ). Le but de la représentation des quadripôles est de pouvoir d’écrire 2 d’entre elles alors que les deux autres sont connues. On peut ainsi obtenir (a priori ) six représentations différentes d’un seul et même quadripôle. En particulier, les paramètre d’accès d’un “quadripôle linéaire” sont liés par des équations linéaires qui peuvent être mises sous la forme générales : A1 (p) = Q11 (p)B1 (p) + Q12 (p)B2 (p) A2 (p) = Q21 (p)B1 (p) + Q22 (p)B2 (p) Les Ai et Bi sont liés aux signaux d’entrés et de sorties du quadripôle, tandis que les paramètres Qij constituent les composants du quadripôle. MRI-1A, ENSI de Bourges , Circuits Analogiques I. Outils d’analyse des circuits électroniques Chap. I Outils d’analyse des circuits électroniques Remarque I.2. En régime continue les différentes grandeurs X(p) sont réelles ; et en régime variable (ie., sinusoïdal) les différentes grandeurs X(p) sont complexes. Les différentes représentation d’un quadripole 1 Comme il y a 6 façons de choisir deux grandeurs indépendantes parmi 4, le système d’équation linéaire ci-dessus peut être décliné en 6 versions. Iin Vin Iout Q 2 Vout 3 4 Fig. I.1 – Symbole et convention Paramètres impédance La matrice d’impédances Z est définie par : Vin (p) Z11 (p) Z12 (p) Iin (p) = Vout (p) Z21 (p) Z22 (p) Iout (p) | {z } Z Chaque éléments Zij de la matrice d’impédances possèdent une signification : Vin (p) Z11 (p) = Iin (p) : impédance d’entrée lorsque la sortie Iout =0 est en circuit ouvert ; Vin (p) Iout (p) Z12 (p) = Iin =0 : impédance de transfert (inverse) lorsque l’entrée est en circuit ouvert ; Vout (p) Iin (p) Z21 (p) = Circuit dérivés de la matrice Z Iout =0 : impédance de transfert lorsque la sortie est en circuit ouvert ; Vout (p) Iout (p) Z22 (p) = Iin =0 : impédance de sortie lorsque l’entrée est en circuit ouvert ; Paramètres d’admittance La matrice d’admittances Y est définie par : Iin (p) Y11 (p) Y12 (p) Vin (p) = Iout (p) Y21 (p) Y22 (p) Vout (p) | {z } Y Chaque éléments Yij de la matrice d’admittance possèdent une signification : Y11 (p) = VIinin(p) : admittance d’entrée lorsque la sortie (p) Vout =0 est en court circuit ; Y12 (p) = Iin (p) Vout (p) Vin =0 : admittance de transfert (inverse) lorsque l’entrée est en court circuit ; Y21 (p) = Circuit dérivés de la matrice Y Iout (p) Vin (p) Vout =0 sortie est en circuit ouvert ; Y22 (p) = Iout (p) Vout (p) Vin =0 est en court circuit ; © , David FOLIO : admittance de transfert lorsque la : admittance de sortie lorsque l’entrée I.2 Les Quadripôles 10 Exercice I.2 (Quadripôle série). Soit le qua- Exercice I.3 (Quadripôle parallèle). Soit le dripôle ci-dessous quadripôle ci-dessous I1 Z=1/Y V1 I1 I2 V1 Q V2 Q I2 Matrice d’impédance ? Matrice d’admittance ? Z V =1/Y 2 Matrice d’impédance ? Matrice d’admittance ? Pour un circuit donné, toutes les représentations n’existent pas toujours. Paramètres de transfert Vin (p) Iin (p) (ou chaîne, ou de cascade) Vout (p) T11 T12 = −Iout (p) T21 T22 {z } | Vout (p) Iout (p) T0 T T : matrice de transfert direct 0 0 T11 T12 Vin (p) = T0 T0 −Iin (p) | 21{z 22 } T 0 : matrice de transfert inverse Chaque éléments Tij et Tij0 des matrices de transfert possèdent une signification. Ainsi pour la représentation transfert direct on a : T11 = T12 = T21 = T22 = : gain en tension lorsque la sortie est en circuit ouvert Vin (p) Vout (p) Iout =0 Vin (p) − Iout (p) : impédance de transfert lorsque la sortie est en court circuit Vout =0 Iin (p) : admittance de transfert lorsque la sortie est en circuit ouvert Vout (p) Iout =0 in (p) − IIout : gain en courant lorsque la sortie est en court circuit (p) Vout =0 Paramètres hybrides Vin (p) Iout (p) H11 H12 Iin (p) = H21 H22 Vout (p) | {z } Iin (p) Vout (p) g11 g12 Vin (p) = g21 g22 Iout (p) | {z } G H g : matrice hybride inverse H : matrice hybride (direct) Chaque éléments Hij et gij des matrices hybrides possèdent une signification. Ainsi pour la représentation hybride direct on a : Vin (p) H11 = Iin (p) : Vout =0 impédance d’entrée lorsque la sortie est en court circuit H12 = Circuit dérivés de la matrice H Vin (p) Vout (p) Iin =0 : gain en tension lorsque l’entrée est en circuit ouvert MRI-1A, ENSI de Bourges , Circuits Analogiques I. Outils d’analyse des circuits électroniques : gain en courant lorsque la sortie est en court circuit Vout =0 (p) = VIout : admittance lorsque l’entrée est en circuit ouvert out (p) H21 = H22 Chap. I Outils d’analyse des circuits électroniques Iout (p) Iin (p) Iin =0 ,→ Exemple : le schéma equivalent du transistor, H11 = hie , H12 = 0, H21 = hf e = β et H22 = hoe Modèle amplificateur d’un quadripôle linéaire : Entrée : Vin = Zin Iin Sortie : Vout = GVin + Zout Iout Relations entre les différentes représentations Il existe un lien entre les différentes représentations d’un quadripôle. Le tableau ci-desous donne ces différents liens. Z Y Z11 Z12 Z Z21 Z22 Z22 −Z12 1 Y ∆Z −Z Z11 21 Z11 ∆Z 1 T Z21 1 Z22! H ∆Z Z22 − ZZ21 11 Z12 Z22 1 Z22 T Y22 −Y12 1 ∆Y −Y21 Y11 Y11 Y12 Y Y 21 22 −Y22 −1 1 Y21 ∆Y −Y11 1 −Y12 1 Y11 Y21 ∆Y H ∆H H22 21 −H H22 T11 ∆T 1 T21 1 T22 T22 −∆T 1 T12 −1 T11 T11 T12 T21 T22 T12 ∆T 1 T22 −1 T21 H12 H22 1 H21 1 −H12 H ∆H 21 ∆H H11 −1 H21 H22 1 H11 H12 H21 H22 1 H11 ,→ Avec ∆M = det M = m11 m22 − m12 m21 Toutes les représentations n’existent pas nécessairement Exercice I.4 (Quadripôle “Treillis”). Soit le quadripôle ci-dessous I1 V1 I2 Z2 Z1 Q Z1 V2 Matrice d’impédances ? d’admittances ? Déduire les autres représentation matricielles Z2 Méthodes d’analyse des représentations d’un quadripôle. • Utilisation des lois de Kirchhoff ; • Identification des paramètres Qij via leurs définitions ; • Décomposition du quadripôle en système plus “simple” (ie., association de quadripôles plus simples ou élémentaires) © , David FOLIO ! I.2 Les Quadripôles I.2.3 12 Association de quadripôles Quadripôles en série Iin Iin1 Q1 Vin1 Vin Iout Iout1 Iin2 Q Vin2 Q2 Vout1 Vout Iout2 . Hypothèses : Iin1 = Iin2 et Iout1 = Iout2 . . Q1 : V1 = Z1 I1 Q2 : V2 = Z2 I2 . . Lois des mailles : V = V1 + V2 Lois des nœuds : I = I1 = I2 ,→ V = ZI avec Z = Z1 + Z2 Vout2 Possible ssi Z1 et Z2 existe Quadripôles en parallèle Iin Iin1 Q1 Vin1 I'in1 Vin Iout Iout1 Q Iin2 Vin2 Vout1 I'out1 Vout Iout2 Q2 Vout2 . 0 0 Hypothèses : Iin1 = Iin et Iout1 = Iout 1 1 . . Q1 : I1 = Y1 V1 Q2 : I2 = Y2 V2 . . Lois des mailles : V = V1 = V2 Lois des nœuds : I = I1 + I2 ,→ I = YV avec Y = Y1 + Y2 Possible ssi Y1 et Y2 existe Quadripôles en cascade Iin Iin1 Vin Vin1 Iout1 Iin2 Q1 Vout1 Vin2 Iout2 Q2 Iout Vout2 Vout Q . Q1 : Vin1 Iin1 = T1 Vout1 −Iout1 Vin2 Vout2 . Q2 : = T2 Iin2 −Iout2 Vin Vout 7→ Q : = T1 T2 , Iin −Iout Association série-parallèle . On montre : H = H1 + H2 MRI-1A, ENSI de Bourges , Circuits Analogiques I. Outils d’analyse des circuits électroniques I.2.4 Chap. I Outils d’analyse des circuits électroniques Grandeurs caractéristiques des quadripôles Il est possible de définir pour un quadripôle des grandeurs caractéristiques comme les impédances d’entrée et de sortie, et les gains en tension, courant et puissance. • Zin = VIinin : c’est l’impédance vue à l’entrée quand Zg Iin Vg Vin Zin Iout Q ZL Vout Zout ZL la sortie est chargée par une impédance ZL . On Fig. I.2 – Grandeurs caractéristiques utilise la matrice impédance du quadripôle. Z21 Exercice I.5. Montrer que : Zin = VIinin = Z11 − ZZ2212+Z L ZL • Zout = Vout Iout Vg =0 : c’est l’impédance vue à la sortie quand l’entrée est fermée par une impédance qui est l’impédance du générateur. Il s’agit également de l’impédance équivalente du modèle de Thévenin appliquée à la sortie du quadripôle. Z21 Vout = Z22 − ZZ1112+Z Exercice I.6. Montrer que : Zout = Iout g Vg =0 • Gain (eg. en tension) : Av = Vout . Vin On montre que le gain en tension à vide, Av0 = suivantes : Z Av0 = I.2.5 Z21 Z11 Av0 Y 21 = − YY22 Vout Vin ZL =∞ T Av0 = 1 T11 , peut être obtenu par les relations Av0 H 21 = −H ∆H Quadripôles non-linéaires Les composants utilisés en électronique sont très souvent non-linéaires (eg., diodes, BJT, FET, etc.) et une étude analytique rigoureuse du circuit est alors souvent très difficile (voir impossible). En revanche, il est toujours possible d’étudier le circuit électronique non-linéaire au voisinage d’un point de fonctionnement, et de linéariser le circuit autour de se point. Pour étudier le comportement du circuit, on peut également utiliser des méthodes graphiques. Example I.2.7. Soit un quadripôle Q non-linéaire définit par son réseaux de caractéristiques électriques : V1 = f (I1 , I2 ) et V2 = g(I1 , I2 ). Au voisinage du point de repos, on peut écrire les variation des valeurs “statique” : ∂V1 ∂V1 dV1 = dI1 + dI2 ∂I1 I2 =cste ∂I2 I1 =cste ∂V2 ∂V2 dV2 = dI1 + dI2 ∂I1 I2 =cste ∂I2 I1 =cste Les dérivées partielles ∂Vi ∂Ij Q sont les pentes des tangentes aux caractéristiques au voisinage du point de repos et ont la dimension d’une impédance. © , David FOLIO I.2 Les Quadripôles 14 Paramètres dynamiques : zij = ∂Vi ∂Ij Q . Ces paramètres dynamiques zij sont les dérivées des paramètres “statiques” Zij au voisinage du point de repos Q. Exercice I.7 (Quadripôle non-linéaire). Soit le montage amplificateur à base de FET ci-dessous Mettre sous la forme d’un quadripôle “amplificateurs”. Matrice d’impédances ? d’admitances ? Déduire les autres représentation matricielles MRI-1A, ENSI de Bourges , Circuits Analogiques Chapitre II L ES A MPLIFICATEURS II.1 II.1.1 Généralités sur les amplificateur (Rappels) Présentation Definition II.1.1 (Amplificateurs électronique). Un amplificateur électronique est un système électronique augmentant la puissance d’un signal électrique. Fig. II.1 – Schéma classique d’un amplificateur. Un amplificateur est un ensemble électronique constitué de composants +Vcc actif pouvant amplifier des courants ou tensions. Pour que l’amplificateur puisse fonctionner, il est nécessaire de l’alimenter avec une tension d’alimentation (eg., continue). Les amplificateurs sont utilisés pratiquement partout ; ils servent à −VEE amplifier, filtrer, détecter, transformer des signaux, etc. Suivant les domaines d’utilisations, différents composants électroniques permettent de réaliser la fonction amplifier (eg. BJT, FET, AOP, etc.). Amplification de gain (en puissance, en tension ou en courant) L’amplificateur est caractérisée par son gain K = out in qui correspond au rapport entre les signaux de sortie et d’entrée. Xin Tension Tension Courant Courant Xout Tension Courant Tension Courant Type de gain Tension Transconductance Transrésistance Courant Fig. II.2 – Amplification de gain K : Xout = K Xin Caractéristiques des amplificateurs Différents paramètres caractérisent les amplificateurs, dont notamment : Z Z 1 T 1 T Puissance utile délivrée dans la charge : Pu = pu (t)dt = vout (t)iout (t)dt T 0 T 0 u Rendement : η = PcP+P ≈ PPua ; Rapports signal sur bruitetc. a 15 K Av gm rm Ai II.1 Généralités 16 Amplificateurs=Quadripôle L’amplificateur électronique peut être vu comme un quadripôle pouvant être défini en régime linéaire autour d’un point de fonctionnnement par 4 paramètres. Exemple de paramètres du quadripôle : Vin = Zin Iin + K12 Iout Q Vout = K21 Iin + Zout Iout Avec : • K12 : paramètre de réaction (eg., K12 = 0) • K21 : gain de transconductance Enfin, rappelons que l’amplificateur est également caractérisé par : • à l’entrée par le biais de l’impédance d’entrée Zin • à la sortie à travers une source de tension KVin en série à l’impédance de sortie Zout • et le gain d’amplification : K= Av0 Bande passante des amplificateurs Généralement, le gain K de l’amplificateur dépend de la fréquence. Par exemple, si en régime variable on a vin (t) = Vb in sin(ωt), alors vout (t) = |K| Vb in sin (ωt + ϕ(ω)) ; impliquant un gain K(ω) complexe. Cette variation du gain en fonction de la fréquence induit la notion de bande passante (notée ici B) de l’amplificateur qui est caractérisée par : • le produit gain-bande : GBP = K0 × B = cst • la raideur (ou sélectivité) : k = II.1.2 fh −fb fh +fb Notion de rétro-action Il est possible de modifier les performances d’un circuit analogique en superposant au signal d’entrée Xin tout ou partie du signal de sortie Xout . On constitue ainsi un montage à “réaction”. Si le signal ramené sur l’entrée a le même signe, la réaction est positive ; sinon, on a une réaction négative ou contre-réaction. Xin Tension Tension Courant Courant Xout Tension Courant Tension Courant β Nombre Transrésistance Transconductance Nombre Fig. II.3 – Principe de la rétro-action. Definition II.1.2 (Rétro-action). Un circuit bouclés par une rétro-réaction est un circuit où une fraction du signal de sortie est re-injecté à l’entrée (rebouclage). MRI-1A, ENSI de Bourges , Circuits Analogiques II. Les Amplificateurs Chap. II Les Amplificateurs Selon le signe avec lequel le signal est re-injecté on distingue : • Si βK > 0 → réaction positive • Si βK < 0 → réaction négative = contre-réaction Dans un montage à réaction, on distingue différentes parties : • Une chaîne d’action K qui commande la charge (ie. la sortie). Elle est en général peu fidèle et sensible aux perturbations. ,→ On appellera K 0 = Xout Xin le gain global du montage. • Une chaîne de réaction de gain β (ou taux de rétro-action). • βK : gain de boucle • (1 ± βK) : facteur de rétro-action Circuit bouclés par une contre-réaction La sortie d’un circuit bouclés par une rétroK Vin réaction est de la forme : Vout = 1 + βK | {z } K0 • Inconvénients : le gain global K 0 du montage diminue • Avantages : amélioration des caractéristiques générales de l’amplificateur . . 0 K Diminution de la sensibilité SK aux variations de l’amplificateur K Réduction des distorsions • Pour K 1/β ⇔ K 0 ≈ 1/β : . . K 0 indépendant de K K 0 ne dépend que du circuit de rétroaction Example II.1.3 (Montage amplicateur avec rétroaction). Soit le montage amplificateur à base de BJT avec réaction à l’émetteur : Vbb − VBE IC ' RE + RβB L Av ' − RCR//Z E ,→ La contre-réaction stabilise la polarisation, et réduit la dépendance vis-à-vis des paramètres du transistors. II.1.3 Applications des amplificateurs Amplificateur linéaire . Amplificateurs de précision . Amplificateurs à gains programmables . Amplificateurs faible consommation . Amplificateur de puissance . Amplificateur à collecteur ouvert . Ampli d’isolement, etc. . . © , David FOLIO Amplificateur non-linéaire . . . Convertiseur Numérique ↔ Analogique Fonction logique (NOR, NAND. . . ) Mise en forme des signaux, horloge, astables. . . II.1 Généralités II.1.4 18 Classification des Amplificateurs • Classification par plage de fréquences ,→ Exemple : continue f = 0Hz, audio B=[20 ;20k]Hz, bande étroite, bande large, etc. . . • Classification par fonction ,→ Exemple : amplificateurs linéaires, amplificateurs différentiels, amplificateurs audio ou vidéo, etc. . . • Classification par type de montage (rappel sur les étages amplificateurs à transistors) Amplificateur EC ou SC : gain |Av | 1, Impédances Zin pas très élevé et Zout non négligeable . Amplificateur CC ou DC : gain Av ≈ 1 , Impédances Zin élevé et Zout faible . Amplificateur BC ou GC : gain Av pas très élevé, Impédances Zin faible et Zout non négligeable . • Classification par classe : . . Classe A : la totalité du signal d’entrée est utilisée (100%) Classe B : la moitié du signal d’entrée est utilisée (50%) ,→ La puissance est partagée entre 2 transistors : chacun amplifie une alternance . Classe C : moins de la moitié du signal d’entrée est utilisée Fig. II.4 – Exemple d’amplificateur de classe B (étage push-pull) Fig. II.5 – Exemple de circuit analogique amplificateur. MRI-1A, ENSI de Bourges , Circuits Analogiques II. Les Amplificateurs II.1.5 Chap. II Les Amplificateurs Défauts des amplificateurs Un amplificateur linéaire doit fournir un signal de sortie ayant la même forme que le signal d’entrée (eg.. avec une amplitude supérieure). Si la forme du signal de sortie (à l’amplitude et au déphasage près) est différente de la forme du signal d’entrée, on dit qu’il y a distorsion. Il existe différente forme de distorsions : • Distorsion de phase • Distorsion d’amplification : . . Distortion d’intermodulation Distorsion harmonique ,→ Problème de synchronisation des signaux • Distorsion de fréquence, etc. . . Enfin, un “bon” amplificateur doit amplifier que la partie utile du signal d’entrée. Cependant, en électronique, des signaux aléatoires non désirées ou parasites se superposent souvent aux signaux utiles, on les qualifie de bruits. II.1.6 Notions de bruit On distingue deux types de bruits : 1. Bruits externes • Très large gamme de fréquence • Origine : alimentation, filtrage, compatibilité électromagnétique. . . 2. Bruits internes • différentes nature, difficile à dissocier. . . ,→ On ne peut spécifier que leur densité de probabilité Les bruits sont, par nature, aléatoires et à valeur moyenne nulle. On ne peut spécifier que leur densité de probabilité. Généralement, on fait l’hypothèse que la densité de probabilité est gaussienne pour les principaux bruits. RMS 99.7% du signal Valeur est moyenne probablement ≲6⨉RMS Gaussian Probability density function Noise Signal Fig. II.6 – Exemple de bruit ,→ On traduit les différentes sources de bruits par des valeurs efficaces correspondantes. Bruits internes Il existe cinq types de bruit en électronique : 1. Bruit de grenaille 2. Bruit thermique 3. Bruit de scintillation 4. le bruit en créneaux 5. Les bruits de type burst et avalanche ,→ Le bruit total d’un circuit est la somme quadratique des différents bruits √ √ Les bruits sont définis par leur densité spectrale en V/ Hz ou A/ Hz © , David FOLIO II.2 Les Amplificateurs Différentiels II.2 20 Les Amplificateurs Différentiels Definition II.2.1 (Amplification Différentielle). On appelle “amplification différentielle” une amplification où la différence de potentielle en sortie est proportionnelle à la différence de potentielle en entrée. Amplificateur V S12 différentiel V1 V2 VS2 VS1 II.7-a Montage à sortie flottante V1 Amplificateur différentiel V2 VS1 II.7-b Montage à référence commune Fig. II.7 – On distingue deux types de montage amplificateur différentiel Dans le cas idéale, le circuit analogique amplificateur différentiel a pour fonction principale l’amplification de la tension différentielle d’entrée : Vd = V1 −V2 ; il est alors caractérisé par son S2 S1 gain différenciel : Ad = VVS11 +V dans le cas du montage à référence commune). (ou Ad = V1V+V +V2 2 Cependant le circuit amplificateur différentiel est aussi sensible à la somme V1 +V2 des tensions d’entrées. En effet, les entrées V1 et V2 peuvent varier tout en conservant une différence constante. On parle alors de “mode commun” caractérisé par le gain de mode commun S2 Ac tel que dans le cas général : Ac = VVS11 +V . +V2 Aussi, on définit un coefficient de qualité du montage amplificateur différentiel par le (T)aux d de (R)éjection du (M)ode (C)ommun : TRMC= A . Ac ,→ Un amplificateur différentiel de bonne qualité doit donc posséder un TRMC> 50dB Exercice II.1 (Étude d’un circuit analogique différentiel). Soit le montage différentiel à transistor bipolair ci-dessous. 1. Dessiner le schémas équivalent dynamique 2. Calculer Ad , Ac et le TRMC +VCC RC RC VS2 VS1 VE1 VE2 RE -VEE Fig. II.8 – A.N. : VCC = −VEE = 10V, RC = 10kW, RE = 15kW, hf e = β = 100 et hie = 1kΩ MRI-1A, ENSI de Bourges , Circuits Analogiques II. Les Amplificateurs II.3 II.3.1 Chap. II Les Amplificateurs Les Amplificateurs Opérationnels Présentation Definition II.3.1 (Amplificateurs Opérationnels). Un amplificateur opérationnel (aussi ampli op, AO, AOP. . . ) est un amplificateur différentiel (asymétrique) ,→ Vout = Ad (V+ − V− ) +Vcc − v− VE v+ + Vout −Vcc Un Amplificateur OPérationnel idéal est caractérisé par : • Gain différentiel (en tension) Ad → ∞, • une impédance d’entrée Zin → ∞, • une impédance de sortie Zout = 0 ,→ Caractéristiques souhaitées indépendantes de la fréquence • Symétrie parfaite entre les entrées «+» et «−» • Des courants d’entrées I+ et I− nulle • Variation instantanée de Vout II.3.2 AOP et contre-réaction Fonctionnement sans réaction. Dans le cas idéale le gain infinie Ad implique que la moindre tension à l’entrée de l’AOP entraîne la saturation. Le fonctionnement n’est donc jamais linéaire, on obtient généralement un comparateur. Par exemple, si la tension d’entrée Vin est appliquée sur l’entrée non inverseuse, il faut appliquer une tension dite de référence Vref sur l’autre entrée, c’est-à-dire sur l’entrée inverseuse. • si Vin > Vref alors VE > 0 ⇒ Vout = Vsat+ • si Vin < Vref alors VE < 0 ⇒ Vout = Vsat− ,→ Pour fonctionner en régime linéaire, il est nécessaire qu’il y ait une réaction de la sortie sur une des entrées. Rappel : principe de la réaction A • Vout = 1±βA Vin = A0 Vin • Si βA > 0 → réaction (positive) • Si βA < 0 → contre-réaction Les caractéristiques de la réaction : • • • • • • © Réduit le gain de l’amplificateur, et stabilisation du gain global : A0 ≈ 1/β Zout r r Zin = Zin (1 + βA), Zout = 1+βA Diminution de la distorsion Augmentation de la bande passante Ne modifie pas le rapport signal/bruit ... , David FOLIO II.3 Amplificateurs Opérationnels II.3.3 22 Les applications linéaires de l’AOP Suiveur Convertisseur Amplificateur Inverseur Amplificateur non-inverseur Amplificateur différentielle Amplificateur sommateur Table II.1 – Exemple de circuit linéaire à base d’AOP. Rappel L’emplois d’un AOP en régime linéaire nécessite une contre-réaction. Si et seulement si l’AOP est en régime linéaire on a : Vd = 0 ⇔ V+ = V− II.3.4 Les applications non-linéaires de l’AOP Si on introduit une réaction positive, l’AOP fonctionne alors en régime non-linéaire. La réaction sur l’entrée non-inverseuse permet d’effectuer une réaction positive : toute augmentation de la tension de sortie va augmenter la tension différentielle d’entrée de l’AOP. La sortie ne peut prendre que deux valeurs : Vsat+ ou Vsat− , qui sont les tensions de saturation positive et négative de l’amplificateur. Dans ce cas, on dit également que l’AOP fonctionne en “mode comparateur ”. MRI-1A, ENSI de Bourges , Circuits Analogiques II. Les Amplificateurs Chap. II Les Amplificateurs non-inverseur inverseur Table II.2 – Exemple de circuit non-linéaire à base d’AOP. II.3.5 Autres applications Les AOP sont utilisés dans de trés nombreux circuit analogique autrement que pour exploiter sa fonction “amplifier ”. Simulateur d’Inductance Zeq ≈ Lω = R2 R1 Cω Simulateur d’Impédance négative Ve Ie R1 = Re = −R3 R 2 Table II.3 – Exemple de montage particuliers à base d’AOP. © , David FOLIO II.4 Amplificateurs Opérationnels Réel II.4 24 L’Amplificateur Opérationnel Réel Bien que le modèle parfait de l’AOP permette de comprendre la plupart des montages à base d’AOP, il s’agit d’un approximation du fonctionnement des AOP. Les AOP réels possèdent un certain nombre de limitations par rapport à ce modèle. II.9-a Vu simplifiée d’un AOP II.9-b Schéma interne du LM741 Fig. II.9 – L’AOP tel qu’il est en réalité. Pour étudier un circuit contenant des AOP on le considère dans un premier temps comme parfait. Puis on introduit successivement les “différentes imperfections”. L’AOP réel présente les imperfections suivantes : • sur les caractéristiques d’entrée : ,→ présence d’un offset en entrée, biais sur les courants, impédance non infinie en entrée etc. • sur les caractéristiques de sortie ,→ influence du mode commun sur la tension de sortie, etc. • les caractéristiques de transfert ,→ variation du gain en fonction de la fréquence, etc. . . Example II.4.1 (Imperfection du gain Ad sur un montage non-inverseur). • Si AOP idéal : Vout = Z1 +Z2 Vin Z1 • Si gain Ad fini : Vout = • Erreur relative : ε = Ad V 1+kAd in 1 Ad k (exprimé en %) ,→ AN : R1 = 10kW, R2 = 100kW, et Ad = 103 , calculer ε ? MRI-1A, ENSI de Bourges , Circuits Analogiques II. Les Amplificateurs II.4.1 Chap. II Les Amplificateurs Les imperfections statique de l’AOP Imperfections sur les courants et tensions d’entrée Les courants d’entrées Ib+ et Ib− de l’AOP réel ne sont pas nuls et de plus ils ne sont pas idententiques (Ib+ 6= Ib− ). On distingue classiquement deux types d’imperfections sur les courants d’entrées Ib+ et Ib− : Ib+ +Ib− • Courant de polarisation : Ipol = 2 Vout =0 ,→ Remède : les entrées «+» et «−» doivent avoir les même impédances • Courant de décalage : Ios = |Ib+ − Ib− |Vout =0 ,→ Remède : compensation (int. ou ext.) ; éviter les gains et impédances trop grandes Du fait des imperfections des AOP, la tension de sortie Vout n’est généralement pas nulle lorsque les deux tensions entrées sont au même potentielles (ie. quand V+ = V− ). Il existe alors une tension continue dite de décalage VOS . Cette tension VOS représente la différence de tension qu’il faudrait appliquer entre les deux entrées de l’AOP quand on a V+ = V− , afin d’avoir une tension de sortie nulle. ,→ Remède : compensation (int. ou ext.) ; éviter les gains trop importants Imperfections sur les impédances d’entrée et de sortie Les imperfections sur les impédances d’un AOP se décomposent en 3 types : • Impédance d’entrée différentielle ZEd • Impédance de mode commun ZMC ,→ Remède : en tenir compte. . . • Impédance de sortie ZS ,→ Remède : éviter les courants de sorties trop importants. . . • Il existe aussi en parallèle des impédances des capacités. Imperfections sur le gain fini Le gain différentiel Ad d’un AOP réel est fini et varie en fonction de la fréquence. En statique on s’intéresse au gain continue Ad0 . D’autre part, il faut tenir compte du taux de rejection de mode commun (TRMC)= Ad /Ac . La sortie de l’AOP s’exprime alors : Vout = Ad Vd + 21 Ac Vc Example II.4.2 (Imperfections sur un montage inverseur). • Si AOP idéal : Vout = k1 Vin ; Si gain Ad fini : Vout = Ad V 1+kAd in 1 • Tension de décalage VOS (pour Vin = 0) : Vout = − Z1Z+Z VOS 2 • Courant de polarisation (pour Vin = 0) : Vout = Z2 IB− © , David FOLIO II.4 Amplificateurs Opérationnels Réel II.4.2 26 Les imperfections dynamique En pratique un AOP ne peut délivrer en sortie qu’une puissance limitée qui dépendra de la quantité de courant consommée par la charge. De plus la bande passante de l’AOP n’est pas infinie. En particulier, pour un AOP réel la variation en fréquence du gain différentiel Ad (ω) peut être assimilée à celle d’un filtre passe-bas du premier ordre. Ainsi, en première approximation, le gain différentiel s’écrit : Ad (ω) = Ad0 Vout = Vd 1 + ωωc , où fc est la fréquence de coupure (eg. à −3dB). Le modèle de l’amplificateur idéal est satisfaisant tant que la valeur du gain Ad en boucle ouverte reste très supérieur à celui de la boucle de rétroaction. Quand cette condition n’est plus réalisée, il faut reprendre l’étude du circuit en utilisant la valeur du gain donnée par la relation ci-dessus. G (dB) Bande passante au gain maximal Produit gain-bande passante On définit le produit produit gain-bande passante : GBW = A × B, où B (en Hz) est la Bande passante à gain plus faible largueur de bande passante (aussi appelée bande passante). En particuliers, on considère que pour Fréquence (Hz) un AOP le produit gain-bande passante de la variation en fréquence du gain différentiel Ad (ω) est Fig. II.10 – Produit gain-bande passante. constant : GBW = Ad0 × fc = Cst. ,→ Cette particularité permet de définir rapidement la bande passante (où la fréquence de coupure) d’un montage linéaire dont on connaît l’amplification ou réciproquement. Vitesse de balayage Une grandeur à prendre également en compte est la vitesse de balayage (ou temps de montée, Slew Rate), notée SR, qui caractérise la rapidité de la réponse en sortie à une variation brutale de la tension d’entrée. Lorsque la vitesse de variation du signal de sortie d’un amplificateur est supérieure à sa vitesse de balayage, sa tension de sortie est une droite de dVout pente SR : SR = max dt ,→ Limitation de la bande passante : ωV m <SR II.4.3 Fig. II.11 – Vitesse de balayage. Bilan Caractéristiques des AOP réels . Gain différentielle Ad (ω) . TRMC . Impédance d’entrée . Impédance de sortie . . . . Courant de polarisation Courant de décalage Tension de décalage Vitesse de réponse ou Slew Rate Caractéristique de transfert des AOP réels : MRI-1A, ENSI de Bourges , Circuits Analogiques Chapitre III L E F ILTRAGE A NALOGIQUES III.1 Notion de Filtrage III.1.1 Présentation Électronique (rappel) ≡ étude et utilisation des signaux électriques pour capter, traiter et transmettre des informations ,→ Exemple : acquisition de mesure provenant d’un capteur afin de pouvoir agir sur un actionneur En particulier, le traitement des signaux électriques inclus les fonctionnalités suivantes : • • • • • Adapter le signal électrique pour lui donner la forme la plus appropriée pour son traitement ; Amplifier le signal ; Convertir les signaux analogiques ↔ numériques ; Linéariser les signaux sur l’étendue des mesures ; Filtrer les signaux. Definition III.1.1 (Les Filtres). Un filtre est un circuit électronique qui “conditionne” (ou filtre) certaines parties du signal d’entrée. But du filtrage Les filtres sont des outils utilisés dans le domaine du traitement du signal, ils servent principalement à séparer des signaux dans le domaine fréquentiel. Dans certains cas particuliers (plus rare) on utilise également les filtres électroniques pour retarder un signal (travail dans le domaine temporel). Plus précisément, le filtre permet de modifier (ou de filtrer ) certaines parties d’un signal d’entrée dans le domaine temps et dans le domaine fréquence. L’opération de filtrage permet donc : • d’éliminer (ou atténuer) les signaux indésirable • d’isoler dans un signal la ou les bandes de fréquences utiles. ,→ Séparation des signaux utiles des signaux indésirable Les applications du filtrage analogique en électroniques sont ainsi très variées : • Systèmes de communications (téléphonie, réseaux, etc. . . ) ; • Systèmes d’acquisition et traitement des données ; • Alimentation électrique, etc. . . 27 III.1 Notion de Filtrage 28 Classification par technologie Il existe différentes familles de filtres (électronique) selon leurs domaines d’applications et la nature des signaux manipuler : • Filtrage numérique • Filtrage à capacités commutées • Filtrage analogique (avec composant programmable, eg. DSP) (avec condensateur + interrupteur) (avec composants linéaires R, L,C, AOP) On s’intéressera uniquement aux filtres analogiques, qui se décomposent en deux catégories : 1. Les filtres passifs ,→ avec uniquement des composants discrets R, L et C) 2. Les filtres actifs ,→ avec des composants discrets R et C + des composants actifs (eg., transistors, AOP) Famille Composants Spécificités CI logique, µP, DSP • • • • Filtre Passifs Composants passifs : R, C et L • f élevé • pas d’alimentation • non intégrable Filtre Actifs Composant passif (R et C) et actifs (AOP) • f < 1MHz • besoin d’alimentation • tension filtré faible AOP, Interrupteur, R et C • f <qq. MHz • besoin d’alimentation • fréquence programmable Filtre Numérique Filtre à Capacité commuté Signaux numérisés, f < 100MHz programmable convient en grande série Table III.1 – Comparaisons entre les différentes familles Il existe d’autres types de classifications (par types, fonctions, etc.). MRI-1A, ENSI de Bourges , Circuits Analogiques III. Le Filtrage Analogique III.1.2 Chap. III Le Filtrage Analogiques Définitions Le filtres est un SLI Un filtre linéaire est un Système Linéaire Invariant (SLI) dans le temps permettant de diviser le spectre (domaine fréquentiel) afin de conserver une ou plusieurs parties (bandes) Fig. III.1 – Filtres ≡ Système de celui-ci. Un filtre linéaire est caractérisé par l’existence d’une fonction linéaire h(.) telle que la réponse du filtre à tout signal d’entrée xin (t) soit xout (t) = h(xin (t)) : h(axin (t1 ) + bxin (t2 )) = axout (t1 ) + bxout (t2 )) ∀t1 , t2 ∈ R xout (t) = h(xin (t)) ⇒ h(xin (t − t0 )) = xout (t − t0 ) ∀t0 ∈ R Dans le domaine temporel, la transformation h(.) du signal d’entrée xin (t) en signal de sortie xout (t) est définit par une opération de convolution. On distingue alors : Z t • Filtres analogiques (eg., passifs et actifs) : xout (t) = xin (τ )h(t − τ )dτ = xin (t) ~ h(t) −∞ • Filtres numériques : xout (nT ) = +∞ X xin (iT )h((n − i)T ) −∞ Les hypothèses considérées pour l’étude d’un filtre analogique sont les suivantes : • les signaux électriques à 1 dimension évoluent en fonction du temps t ; • l’hypothèse de filtre linéaire suppose que la relation h(.) liant xout à xin (t) est linéaire et invariante dans le temps ; • si le filtre est linéaire, le contenu spectral de xout (t) ne peut être plus riche que celui de xin (t) (causalité). ,→ Pour les signaux évoluant en fonction du temps, seuls les filtres causaux sont implémentables en “temps réel ”. Definition III.1.2 (Causalité : l’effet ne peut précéder la cause). Un système est dit causale ⇔ ∀xin (t) signal d’entrée causal (ie. xin (t) = 0, ∀t < 0), alors la réponse xout (t) = h(xin (t)) est causale. Le Filtre est un Quadripôle La fonction h(t) décrivant le comportement du filtre est D’autre part le filtre peut être également vue comme un “quadripôle” caractérisé par sa transmittance (ie. sa fonction de transfert) : H(ω) = Fig. III.2 – Filtres ≡ Quadripôles Xout (ω) Xin (ω) Cette transmittance H(.) peut être obtenu en utilisant la transformation de Laplace : L {xout (t)} = L {xin (t) ~ h(t)} © , David FOLIO ⇔ Xout (p) = H(p)Xin (p) III.1 Notion de Filtrage 30 H(p) correspond alors à la fonction de transfert du filtre dans le domaine fréquentielle. En particulier, les filtres analogique sont généralement représenté par la forme canonique de leur fonction de transfert, c’est-à-dire que leurs numérateurs et dénominateurs sont des polynômes en p. Ces polynômes sont ordonnés de manière croissante (forme de Bode) ou de manière décroissante (forme de Laplace) : p m + . . . + a1 p + a0 • Forme de Laplace : H(p) = n p + . . . + b1 p + b0 am p m + . . . + a1 p + 1 • Forme de Bode : H(p) = bn p n + . . . + b1 p + 1 Afin de faciliter l’analyse, le tracé des réponses fréquentielles et la conception des filtres, ces polynômes sont décomposés en un produit de polynômes d’ordre 1 ou 2. Ainsi toute fonction de transfert H(p) peut s’écrire par un produit de termes élémentaires décrite selon les formes de Bode ou de Laplace. Bode Ordre 1 : 1 + ωω1 2 Ordre 2 : 1 + Q1 ωω0 + ωω0 ⇔ Laplace ω + ω1 ⇔ (ω)2 + ω0 ω Q + ω02 Table III.2 – Formes canoniques des cellules d’ordre 1 et 2. ,→ ω1 et ω0 sont les pulsations caractéristiques et Q le facteur de qualité. La fonction de transfert H(ω) peut être interprété comme étant un gain complexe caractériser par son module G(ω) et son argument ϕ(ω), soit : G(ω) = |H(ω)| H(ω) = G(ω) exp (ϕ(ω)) ⇔ (III.1) ϕ(ω) = arg (H(ω)) On peut ainsi représenter le comportement fréquentiel du filtre par un diagramme de Bode. Le diagramme de Bode d’un système de réponse fréquentielle H(ω) est composé de deux tracés : 1. le gain (ou amplitude) G(ω) calculée en décibels : GdB (ω) = 20 log |H(ω)| ; 2. la phase (en degré ou radian) : ϕ(ω) = arg (H(ω)). ,→ Il est d’usage en électronique, de s’intéresser principalement aux tracés asymptotiques. Enfin un filtre est aussi définit à travers sa fonction d’atténuation (ou fonction de transmission) : Xin (ω) A(ω) = Xout (ω) Cette représentation permet de caractériser la transmission de l’énergie transportée par le signal xin (t). Retard de phase et retard de groupe On sait que le déphasage ϕ est une mesure du décalage temporel td entre deux signaux ϕ(ω) td périodiques de même nature et que l’on a la relation suivante : = . 2π T De manière équivalente on a : ϕ(ω) = 2π td T ⇔ td = ϕ(ω) ω MRI-1A, ENSI de Bourges , Circuits Analogiques III. Le Filtrage Analogique Chap. III Le Filtrage Analogiques Lorsque l’on s’intéresse au retard de phase tϕ (ou temps de propagation) d’un filtre, celui-ci correspond à un temps de retard et on le définit comme suit : ϕ(ω) ω Le signal d’entrée n’étant pas forcément une sinusoïde pure, il est parfois nécessaire de connaître le temps mis par l’énergie du signal pour atteindre la sortie. Cette durée τg (ω) appelée retard de groupe obéit à : tϕ (ω) = − dϕ(ω) dω Dans le cas d’un filtre idéal, le temps de propagation est indépendant de la fréquence et le système n’introduit pas de distorsion de phase ; on dit qu’il est à phase linéaire. Cela signifie que, pour les systèmes à phase linéaire, toutes les composantes spectrales d’un signal sont retardées du même temps tϕ et que le signal temporel est ainsi peu ou pas déformé. τg (ω) = − III.1.3 Le Filtrage Analogique Objectif : extraire l’information pertinente d’un signal xin (t) ,→ Suppression des signaux indésirable. Généralement les filtres sont classés selon la forme de leur fonction de transfert. Ainsi les filtres les plus courants sont l’un des types suivant : 1. filtre passe-haut : ne laisse passer que les fréquences au-dessus d’une fréquence de coupure. Il atténue les autres (basses fréquences). 2. filtre passe-bas : ne laisse passer que les fréquences au-dessous de sa fréquence de coupure. 3. filtre passe-bande : ne laisse passer qu’une certaine bande de fréquences (et atténue tout ce qui est au-dessus ou en dessous). 4. filtre rejecteur ou coupe-bande : le complémentaire du passe-bande, il atténue une plage de fréquences. 5. filtre passe-tout ou déphaseur : filtre qui a idéalement un gain unitaire sur toute la plage de fréquence utilisée. Il est utilisé pour modifier la phase d’un système. Passe Bas fc Passe Haut Passe Bande Coupe Bande fc f cb f 0 f ch f cb f 0 f ch Table III.3 – Différents types (ou classes) de filtres. Le filtre idéal Un filtre idéale doit transmettre sans distorsion, ni déphasage, avec un gain constant les composantes utile (eg., bande passante) et “couper ” les signaux indésirables (eg., bande coupée), avec une transition verticale En pratique, la synthèse du filtre idéal est impossible. Le gain constant dans la bande passante, et l’atténuation infinie dans la bande atténuée et des transitions verticales donnent une caractéristique de réponse physiquement irréaliste. Pour qu’un filtre soit physiquement réalisable il doit être : © , David FOLIO III.1 Notion de Filtrage 32 1. stable : degrés(Num) < degrés(Den) 2. causale : xin (t) = 0 et xout (t) = 0, (H(p) = Num(p) Den(p) ) ∀t < 0 Ainsi, il n’y a pas de “bon filtre” : plus la pente d’atténuation est importante, plus le retard augmente, de même quand la fréquence diminue. Il faut alors chercher un compromis entre : • Transition progressive entre la Bande Passante (BP) et la Bande Coupée (BC) ; • Irrégularité du gain dans la BP ; • Affaiblissement dans la BC ; • Irrégularité du temps de propagation τg (f ) ; ,→ Conception d’un filtre “réalisable” ⇒ spécification d’un gabarit Filtres réels : spécification d’un gabarit Le cahier des charges d’un filtre réel est donné dans le domaine des fréquences à l’aide d’un gabarit. Celui-ci précise : • • • • le gain G dans la Bande Passante (BP) : GdB = |H(ω)|dB ; l’atténuation AdB dans la Bande Coupée (BC) : AdB = |H −1 (ω)|dB ; |H(fc )| la (ou les) fréquence(s) de coupure : max |H(f )| la largeur de la (des) bande(s) de transition ⇔ raideur k Passe bas : k = ffap f . Passe haut : k = fa p Passe bande : k = . Coup bande : k = . . ∆fp ∆fa ∆fa ∆fp À la donnée du gabarit sont ajoutées des spécifications telles que l’amplitude de l’ondulation dans les bandes passantes et/ou de coupure ; l’uniformité du temps de propagation dans la bande passante (phase linéaire). Amax Amin fp A max A max A min A min fa fa III.3-a Passe bas III.3-b Passe haut fp + fp + fa III.3-c Passe bande f p- f a- f a+ f p+ III.3-d Coupe bande Fig. III.3 – Gabarit pour la synthèse de filtre réels Example III.1.3 (Gabarit d’un filtre passe bas). On a • • • • • Amax : atténuation maximale (en dB) dans la BP Amin : atténuation minimale (en dB) dans la BC fp : fréquence limite de la BP fa : fréquence du début de la BC k = ffap : sélectivité du filtre 7→ largeur de la BT MRI-1A, ENSI de Bourges , Circuits Analogiques III. Le Filtrage Analogique Chap. III Le Filtrage Analogiques Example III.1.4 (Gabarit d’un filtre passe bande). On a • Largeur de bande : ∆fp = fp+ − fp− f + −f − ∆fp • k = ∆f = fp+ −fp− : sélectivité du filtre a a a p • Fréquence centrale : f0 = fp+ fp− p • Largeur de bande relative : B = ∆f f0 ,→ Pour la synthèse de filtres, il faut un gabarit symétrique ⇔ fa− fa+ = fp− fp+ = f02 Exercice III.1 (Spécification d’un filtre (ie., le cahier des charges)). On a besoin d’un filtre pour traiter les signaux provenant d’une cellule d’acquisition, qui sont perturbés par des signaux de basses fréquences. Le signal que notre système doit transmettre possède une fréquence de 1000Hz, et une amplitude de 10V. Grâce à un analyseur de spectre, on s’aperçoit que les fréquences parasites sont inférieure à 500Hz et ont une amplitudes ne dépassant pas 2V. On veut obtenir à la sortie un signal supérieur à 7V, et les signaux parasites de doivent pas dépasser 200mV. ,→ Qu’elle est le gabarit du filtre répondant aux spécifications ? La définition d’un filtre réel s’obtient ainsi en précisant les valeurs du gabarit qui se réduit généralement à : • Amax : atténuation maximale (en dB) dans la BP • Amin : atténuation minimale (en dB) dans la BC • k = ffap : sélectivité du filtre 7→ largeur de la BT III.1.4 Le Prototype passe-bas Il existe différents outils et méthode permettant de concevoir un filtre respectant le cahier des charges. Notamment, il existe des catalogues (ou abaques) de filtres pré-calcules. Ces abaques sont généralement réduit à un seul type de filtre : un simple filtre prototype passe bas. En effet, on montre que tous les types de filtres peut se ramener au prototype passe bas. L’objectif est alors d’établir le gabarit du prototype passe bas afin de faciliter la synthèse. Les transformations du gabarit filtre réel ont pour but de ramener tous les gabarits précédemment présentés au prototype passe bas, indépendant de la fréquence, et défini par seulement 3 paramètres : Amax , Amin et k. Le gabarit du prototype s’obtient alors à la suite de différentes étapes : 1. Normalisation en fréquence : FNormalisée = ffN Cette étape consiste à choisir comme unité de fréquence non pas le Hz, mais une fréquence fN associée au gabarit et qui est : • Passe bas et Passe haut : fN = fp • Passe bande et Coupe bande : fN = f0 ,→ Valeur normalisée de la fréquence : F = f fN (⇔ ω ωN =Ω P 6= 2πF 2. Normalisation en impédance : ZNormalisée = RZN Cette étape consiste à choisir comme une impédance RN de référence : • Valeur normalisée d’une résistance : r = © , David FOLIO R RN ⇒ p pN = P = Ω) III.1 Notion de Filtrage 34 • Valeur normalisée d’une inductance : zL = RZNL = Lω = Ω` RN ZC 1 1 • Valeur normalisée d’une capacité : zC = RN = CωRN = Ωc ωN avec ` = L R N avec c = CωN RN 3. Normalisation en amplitude : Cette étape consiste à ramener la synthèse du filtre au prototype ayant un gain unité. 4. Transposition : filtre réel ↔ filtre passe bas Cette dernière étape consiste à effectuer une transposition de fréquence (ie. changement de variable) permettant de transformer le filtre réel en un filtre passe bas (et réciproquement). Cette transformation s’applique à la fois aux gabarits et aux fonctions de transfert. Transposition passe haut/passe bas Pour transformer un filtre passe-bas en un filtre passe-haut (et réciproquement), on fait subir à la variable complexe normalisée P la transformation suivante : p ↔ P = p1 ←→ |HHaut (P )| = HB ( P1 ) Fig. III.4 – Transposition passe haut/passe bas Transformation des gabarits passe bande/passe bas On applique la relation de transposition : p ↔ P = bande relative. 1 B p+ 1 p , où B = ∆fp , f0 est la largeur de ←→ P 2 +1 |HBD (P )| = HB ( B·P ) Fig. III.5 – Transposition passe haut/passe bas On considère uniquement les gabarits symétriques : fa− fa+ = fp− fp+ = f02 Méthodes de conception d’un filtre analogique Tous les cas que nous venons de traiter montrent que l’on peut généralement ramener la réalisation d’un filtre réel quelconque à celle de son prototype, c’est-à-dire du filtre passe-bas possédant les trois mêmes paramètres fondamentaux : Amax , Amin et k. D’autre part, la synthèse d’un filtre analogique répondant aux spécifications revient à chercher la fonction de transfert H(ω) “optimisant au mieux ” les contraintes imposées. En particulier, l’utilisation du prototype passe-bas limite ce problème d’optimisation à la recherche de la MRI-1A, ENSI de Bourges , Circuits Analogiques III. Le Filtrage Analogique Chap. III Le Filtrage Analogiques fonction de transfert HB (ω) du prototype. Le choix de HB (ω) s’effectue selon certains critères (ordre du filtre, raideur de coupure, ondulation, distorsion, réponse temporelle, etc.) et passe par le choix d’une fonction d’approximation qui satisfait la majorité des contraintes. Une fois la fonction de transfert du prototype obtenu, il suffit d’appliquer la transposition pour retrouver le schéma du filtre recherché initialement. La figure III.6 décrit les différentes étapes à suivre pour la conception d’un filtre analogique. Fig. III.6 – Méthode de synthèse des filtres. III.2 Fonctions de transfert des filtres Rappelons que la forme générale de la fonction de transfert d’un filtre est donné par : H(p) = am p m + . . . + a1 p + a0 N (p) = p n + . . . + b1 p + b 0 D(p) (III.2) où n définit l’ordre du filtre, qui doit bien entendu satisfaire à n > m ; et D(p) doit être un polynôme de Hurwitz. De plus on sait que : • le SLI est stable, ssi les pôles de H(p) sont à racines réelles négatives ; • on a un déphasage minimum, si les zéros de H(p) sont à partie réelle négative. Ainsi pour respecter les spécifications données sur la fonction de transfert H(p), il s’agit de rechercher les pôles et les zéros de H(p) en tendant vers les conditions idéales, à savoir : 1 dans la bande passante et 0 dans la bande coupée. Cela revient alors à placer : • les zéros : dans la bande atténuée • les pôles : dans la bande passante Le problème de l’approximation analytique peut donc être posé ainsi : positionner les pôles et les zéros de H(p) de façon à respecter les spécifications. Toutefois, de nombreux travaux ont permis de définir des caractéristiques de filtres standards qui permettent de faire face à la majorité des contraintes de filtrage. Ces fonctions “classiques” (appelés fonctions d’approximations) ne permettent pas de satisfaire simultanément toutes les contraintes précédemment présentées, mais ont été définit et optimisées pour certaines d’entre elles. © , David FOLIO III.2 Fonctions de transfert des filtres III.2.1 36 Fonction d’approximations Le but de l’approximation est de transformer des spécifications portant sur l’affaiblissement ou le déphasage d’un filtre en une fonction de transfert qui les vérifie. Remarque III.1. Nous nous intéresserons plus particulièrement ici à l’approximation de l’atténuation. Si la phase ou le délai de groupe du filtre doivent également respecter des spécifications précises, il faudra se souvenir de corriger la phase des filtres obtenus, en ajoutant des cellules correctrices de phase. ) Pour simplifier le problème, on passe donc plutôt par le calcul d’une fonction K(P ) = D(P E(P ) appelée fonction caractéristique du filtre, dont on va s’arranger pour que ses zéros et ses pôles correspondent précisément aux fréquences pour lesquelles |H(P )| vaut 1 ou 0. En particulier cela revient à poser : 1 |D(P )|2 |N (P )|2 2 = ⇔ |A(P )| = = 1 + |K(P )|2 • |H(P )|2 = |D(P )|2 1 + |K(P )|2 |N (P )|2 • |K(P )|2 = |A(P )|2 + 1 = |D(P )|2 |D(P )|2 − |N (P )|2 + 1 = |N (P )|2 |N (P )|2 • Équation de Feldkeller : D(P )D(−P ) = E(P )E(−P ) + N (P )N (−P ), La majorité des familles de réponses sont alors données sous la forme : p A(P ) = A0 1 + |K(P )|2 , où A(P ) représente l’atténuation en fonction de la fréquence et est aussi vue comme étant la “fonction d’approximation” (ou à approximer ) ; et le terme A0 est une constante. On distingue deux familles de fonctions d’approximations qui aboutissent à deux grandes catégories de filtre : • Les filtres polynomiaux : fonction de Butterworth ; fonction de Tchebycheff ; fonction de Bessel ; etc. . . • Les filtres non-polynomiaux (ou à zéros de transmission) III.2.2 Filtres de Butterworth Les filtres de Butterworth ont les courbes de réponse les plus plates (maximally flat) dans la bande passante (ie. pas ou peu d’oscillation). Dans la cas du filtre de Butterworth, la pulsation caractéristique ω0 est généralement égale à la pulsation de coupue à −3dB. La fonction caractéristique d’un filtre de Butterworth est donnée par : K(Ω) = εΩN Fig. III.7 – Filtres de Butterworth et donc sa réponse en atténuation s’écrit : A(Ω) = p 1 + ε2 Ω2N MRI-1A, ENSI de Bourges , Circuits Analogiques III. Le Filtrage Analogique Chap. III Le Filtrage Analogiques Dimensionnement du filtre de Butterworth Par le calcul, on peut déterminer le facteur ε et l’ordre N du filtre de Butterworth à partir des paramètres : Amax , Amin et Ωa du prototype passe bas : p • Amplitude d’ondulations (ripple factor) : ε = 10Amax /10 − 1 log 10Amin /10 − 1 − 2 log ε • Ordre N du filtre : N ≥ 2 log Ωa Détermination de la fonction de transfert Il s’agit de trouver la fonction de transfert H(Ω) satisfaisant : |H(Ω)| = √ 1 1+ε2 Ω2N , ce qui conduit à rechercher les pôles du dénominateur de |H(Ω)|2 et revient à résoudre l’équation : 1 + ε2 (−P )2N = 0. Il vient que les pôles de H(P ) s’obtiennent à partir : 1 2i + N + 1 −N , i = {0, .., 2N − 1} Pi = ε exp π 2N Seuls les pôles à partie réelle négative sont conservés En plaçant les pôles dans le plan complexe on s’aperçoit qu’ils sont situés sur un cercle de p N rayon 1/ε. Abaque de Butterworth Il existe des abaques et des tables (pré-calculés) qui permettent de déterminer l’ordre et la fonction de transfert de Butterworth. Coefficient de : D(p) = pn + a1 pn−1 + . . . + a1 p + 1 N a a2 a3 a4 √1 2 2 3 2 2 4 2.6131 3.4142 2.6131 5 3.2361 5.2361 5.2361 3.2361 .. .. . . Fig. III.8 – Abaque et table de Butterworth © , David FOLIO III.2 Fonctions de transfert des filtres 38 Remarque III.2. Les tables sont en général fournies pour ε = 1, c’est-à-dire pour Amax = 3dB. Elles donnent le polynôme de Butterworth, qui correspond au dénominateur de la fonction de transfert du prototype passe-bas. Il ne reste alors qu’à effectuer la transposition inverse (si nécessaire) et à dénormaliser. III.2.3 Filtres de Tchebycheff Dans certaines applications, il n’est pas nécessaire d’avoir une réponse en amplitude très plate dans la bande passante. Dans ce cas, on peut préférer la caractéristique de Tchebycheff (ou Chebycheff). Dans l’approximation de Tchebycheff les spécifications du gabarit autorisent une ondulation dans la bande passante du filtre, mais offre une coupure plus raide dans la bande de transition que la caractéristique de Butterworth. Notamment, les filtres de Tchebycheff présentent un grand intérêt pratique car de tous les Fig. III.9 – Filtres de Tchebycheff filtres polynomiaux, ce sont ceux qui présentent la coupure la plus brutale pour un ordre N donné. Cependant les inconvénients sont un temps de propagation de groupe τg peu constant, et une réponse transitoire trop agitée, ce qui peut provoquer des distorsions par exemple dans les cas des signaux impulsionnels. La fonction caractéristique d’un filtre de Tchebycheff est donnée par : K(Ω) = εTN (Ω) et donc sa réponse en atténuation s’écrit : q A(Ω) = 1 + ε2 TN2 (Ω) TN (x) représente le polynôme de Tchebycheff de degré N , défini par : TN (x) = cos (N acos x) , TN (x) = cosh (N acosh x), pour |x| ≤ 1 pour |x| > 1 On montre que le polynôme de Tchebycheff se défini également par la formule de récurrence suivante : TN +1 (x) = 2xTN (x) − TN −1 (x) avec T0 (x) = 1, et T1 (x) = x Dimensionnement du filtre de Tchebycheff Par le calcul, on peut déterminer le facteur ε et l’ordre N du filtre de Tchebycheff à partir des paramètres : Amax , Amin et Ωa du prototype passe bas : p Amax /10 − 1 • Amplitude d’ondulations (ripple factor) : ε = q 10 10Amin /10 −1 acosh 10Amax /10 −1 • Ordre N du filtre : N ≥ acosh (Ωa ) MRI-1A, ENSI de Bourges , Circuits Analogiques III. Le Filtrage Analogique Chap. III Le Filtrage Analogiques Détermination de la fonction de transfert Il s’agit de trouver la fonction de transfert H(Ω) satisfaisant : |H(Ω)| = √ 1 1+ε2 Ω2N , ce qui conduit rechercher les pôles du dénominateur de |H(Ω)|2 et revient à résoudre l’équation : 1 + ε2 TN2 (−P ) = 0. On montre que les pôles de H(P ) sont situés sur une ellipse : 2i − 1 2i − 1 π sinh(q) + cos π cosh(q) , i = {1, .., 2N } Pi = sin 2N 2N avec q = N1 asinh 1ε . Seuls les pôles à partie réelle négative sont conservés Abaque de Tchebycheff Il existe des abaques et des tables (pré-calculés) qui permettent de déterminer l’ordre et la fonction de transfert de Tchebycheff. N 2 3 4 5 6 A(P ) pour ∆dB = 1dB 2 0.907P + 0.9957P + 1 2.035P 3 + 2.011P 2 + 2.5206P + 1 3.628P 4 + 3.4568P 3 + 5.2749P 2 + 2.6942P + 1 8.1415P 5 + 7.6271P 4 + 13.75P 3 + 7.933P 2 + 4.7264P + 1 14.512P 6 + 13.47P 5 + 28.02P 4 + 17.445P 3 + 13.632P 2 + 4.456P + 1 Fig. III.10 – Abaque et table de Tchebycheff © , David FOLIO III.2 Fonctions de transfert des filtres 40 Remarque III.3 (cosinus et sinus hyperbolique). La fonction cosinus hyperbolique, notée cosh x −x . Sa fonction réciproque, noté acosh (ou ch), est la fonction réelle définit par : cosh(x) = e +e √ 2 2 (ou arccosh), est définit par : acosh (x) = ln x + x − 1 La fonction sinus hyperbolique, notée sinh (ou sh), est la fonction réelle définit par : x −x sinh(x) = e −e . Sa fonction réciproque, noté asinh (ou arcsinh), est définit par : 2 √ asinh (x) = ln x + x2 + 1 III.2.4 Filtres de Bessel L’examen de l’évolution du retard de groupe τg (ω) des filtres décrits précédentes montre que celui-ci est loin d’être linéaire, spécialement au voisinage de la fréquence de coupure du filtre passe-bas. L’approximation dite de Bessel vise à la mise au point d’un passe-bas normalisé dont le délai de groupe τg (ω) est constant (on ne s’occupe pas vraiment de l’amplitude). Ceci conduit à avoir la phase la plus linéaire possible. Fig. III.11 – Filtres de Bessel. Remarque III.4. Il n’existe pas de méthode analytique pour déterminer l’ordre d’un filtre de Bessel répondant aux paramètres d’un gabarit. Il faut le déterminer par approximations successives à l’aide de solveurs numériques. Détermination de la fonction de transfert L’idée est de construire une fonction de transfert se rapprochant la forme : H(P ) ≈ Ae−τ P . Ainsi, dans la bande passante, le filtre de Bessel se conduirait comme un retard. Toutefois, se comportement idéale est difficile à réaliser. Afin de s’en rapprocher, on montre que, pour obtenir une telle réponse, la fonction de transfert se détermine à partir du polynôme de Bessel BN (x) défini pour le degrés N par : BN (x) = N X ai x i , avec ai = i=0 (2N − i)! i! (N − i)! 2N −i qui s’écrit également sous la forme suivante : BN (x) = (2N − 1)BN −1 (x) + x2 BN −2 (x), avec La fonction de transfert est alors donnée par : H(Ω) = B0 (x) = 1, B1 (x) = (x + 1) BN (0) BN (Ω) Comparaisons des fonctions d’approximations Régularité de l’amplitude Raideur de transition Régularité du temps de propagation Disparité des composants Butterworth excellente faible faible faible Bessel satisfaisante médiocre excellente très faible Tchebycheff ondulation bonne médiocre forte Table III.4 – Critères de sélections des fonctions d’approximations MRI-1A, ENSI de Bourges , Circuits Analogiques III. Le Filtrage Analogique III.3 Chap. III Le Filtrage Analogiques Filtrage passifs Un filtre est passif s’il ne nécessite pour fonctionner aucune source d’alimentation. Il est constitué essentiellement de résistances, de condensateurs et d’inductances. La fonction de transfert d’un filtre passif ne peut donc être définie qu’en association avec un générateur et une charge d’impédances déterminées. III.3.1 Fig. III.12 – Filtres passifs. Filtres élémentaires Filtres passifs d’ordre 1 Iin Iout C Vin H(ω) = 1 1 + ω/ω1 H(ω) = 1 1 + ω/ω1 H(ω) = R Vout ω/ω1 1 + ω/ω1 Fig. III.13 – Exemples de filtres passifs élémentaires du 1er ordre. Hypothèse : circuit à vide ,→ La fonction de transfert correspond ainsi au gain en tension à vide : H(ω) = Vout Vin ZL =∞ Filtres passifs d’ordre 2 Fig. III.14 – Filtres passifs élémentaires du 2nd ordre Les expressions des filtres fondamentaux d’ordre 2 à partir d’un circuit RLC sont les suivantes : 1 • Passe-bas : Hb (ω) = G0 1+x/Q+(x) 2 2 (x) • Passe-haut : Hh (ω) = G0 1+x/Q+(x) 2 x/Q • Passe-bande : Hbd (ω) = G0 1+x/Q+(x) 2 © , David FOLIO GdB III.3 Filtrage passifs À partir du 2nd ordre on peut voir apparaître un phénomène de résonance. • Coefficient d’amortissement : 1 ξ = 2Q Gmax • Coefficient de surtension : Q = G0 = √1 2 2ξ Gmax 42 G0 ω0 1−ξ Filtres passifs d’ordre supérieur Comment réaliser des filtres passifs d’ordres supérieur à 2 ? Par la mise en cascade de cellule élémentaires ? Fig. III.15 – Mise en cascade de cellule élémentaires ? La fonction de transfert de l’ensemble du montage n’est pas égale aux produits des cellules élémentaires : H(p) 6= H1 (p)H2 (p) . . . HN (p) ! ! ! Toutefois, la matrice de transfert T du quadripôle complet reste égale au produit des cellules élémentaires : T = TN . . . T2 T1 . On peut alors en déduire la fonction de transfert du montage : H(p) = T122 III.3.2 Synthèse des filtres passifs Comme évoqué précédemment la synthèse des filtres passifs à partir de l’expression de la fonction de transfert est de prime abords difficile à résoudre. La difficulté majeure provient du fait qu’une fonction de transfert n’est souvent réalisable qu’avec une structure particulière du filtre, c’est-à-dire une configuration des composants qui est inconnue a priori. Fig. III.16 – Synthèse des filtres passifs Constitué de composants passifs de valeurs finies un filtre passif à une impédance d’entrée qui n’est jamais infinie (Zin (ω) 6= ∞) et une impédance de sortie jamais nulle (Zout (ω) 6= 0). De plus ces impédances varient toujours avec la fréquence. Exercice III.2. Chercher les impédances d’entrée et sortie d’une cellule du 1er ordre. Enfin, il ne faut pas confondre la fonction de transfert du quadripôle : HQ (ω) = VVout , et celle in Vout du filtre : HF (ω) = Vg . En effet, c’est souvent le signal vg (t) du circuit amont que l’on souhaite filtrer. Or, pour un filtre passif l’impédance d’entrée du quadripôle chargé varie avec la fréquence. De ce fait, la fonction de transfert du quadripôle est souvent différente de celle du filtre. MRI-1A, ENSI de Bourges , Circuits Analogiques III. Le Filtrage Analogique Chap. III Le Filtrage Analogiques Transfert en puissance Afin de s’affranchir de cette différence entre HQ (ω) et HF (ω) on préfère introduire la fonction de transfert en puissance définie par le rapport de la puissance fournie à la charge à la puissance disponible au niveau de la source. Fig. III.17 – Transfert en puissance En considérant un quadripôle non dissipatif, la puissance disponible au niveau de la source 2 s’exprime par : Pinmax = |V4Zing| ; et la puissance effectivement fournie à la charge par : Pout = |Vout |2 . ZL On en déduit la puissance réfléchie : Pr = Γ= Zin −Zg Zin +Zg Pinmax − Pout = 2 in −Zg Pinmax ZZin +Zg = Pinmax |Γ|2 ; où est appelé coefficient de réflexion. Vout 2 4Zg Pout La fonction de transfert en puissance du filtre est donc : |H(ω)| = max = Pin Vg ZL 2 ,→ On montre que : |H|2 + |Γ|2 = 1 On rappelle que la “fonction de transmission du filtre” est défini par : |A(ω)|2 = r 1 + PPout . max Pin Pout = Ce qui nous permet de définir le lien avec la fonction caractéristique du filtre, en rappelant que : |A(ω)|2 = 1 + |K(ω)|2 = |H −1 (ω)|2 ; |K|2 2 2 et en ré-écrivant le coefficient de réflexion comme suit : |Γ|2 = 1 − |H|2 = 1+|K| 2 = |H| |K| , 2 −Zg E 2 soit encore : |Γ|2 = ZZin = D in +Zg E , et Zin = Zg E+D ou Zin = Zg E−D . E−D E+D D À partir de ces deux expressions de l’impédance d’entrée Zin , on peut faire la “synthèse de filtres passifs non dissipatifs”. On en déduit finalement : Γ = ± Synthèse en immittance On appelle immittance une impédance ou une admittance. En particulier, on peut considérer une impédance Z comme la fonction de transfert d’un quadripôle linéaire dont la grandeur de sortie est la tension Vout et la grandeur d’entrée un courant Iin . Zg Vg Iin Vin Zin ∝ Z(ω) Iout Vout ZL Fig. III.18 – Synthèse en immittance On montre facilement qu’un quadripôle non dissipatif, c’est-à-dire “sans pertes”, a une immittance dont la partie réelle est nulle. Il alors possible de caractériser les matrices Z(ω) (ou Y(ω)) d’un quadripôle LC à partir d’une fonction de transfert H(ω). © , David FOLIO III.3 Filtrage passifs 44 Méthode de conception d’un filtre passif 1. 2. 3. 4. Caractérisation du gabarit et de la FT du prototype passe bas Détermination de l’immittance (eg., à partir de Zin = D±E D±E Zg ) Synthèse du filtre passif Synthèse du filtre réel Fig. III.19 – Rappel : méthode de synthèse des filtres. III.3.3 Topologie de Cauer La synthèse d’un filtre passif suivant la topologie de Cauer fait l’hypothèse d’une “structure en échelle”. On montre alors que l’impédance du quadripôle s’écrit : Z(P ) = 1 Nz = Z1 + Dz Y2 + Z3 + 1 Fig. III.20 – Topologie de Cauer 1 Y4 +... Pour identifier les divers composants, il s’agit d’effectuer une division de polynômes : division Nz par Dz , soit : 1. Nz = Dz Q1 + R1 , soit Z(P ) = 2. Dz = Q2 R1 + R2 , soit Z(P ) = 3. etc. . . Nz Dz Nz Dz 1 = Q1 + R = Q1 + Dz = Q1 + Q2 + 1 1 1 Dz /R1 R1 /R2 Il ne reste qu’a identifier : Z1 = Q1 , Y2 = Q2 , etc. . . On s’apperçoit que les quotients sont alternativement des impédances et des admittances. Les valeurs des différentes immittances sont en “normalisées”. Exercice III.3. Soit Z(P ) = 8P 4 +24P 3 +17P 2 +12P +4 , 8P 3 +24P 2 +13P +1 trouver le circuit RLC correspondant. MRI-1A, ENSI de Bourges , Circuits Analogiques III. Le Filtrage Analogique Chap. III Le Filtrage Analogiques Synthèse de filtres passifs non dissipatif On a vu précédemment que la synthèse de filtres passifs non dissipatif pouvait se résumer en Z . la détermination d’une immittance Z(P ) image de l’impédance d’entrée Zin = D±E D±E g Pour synthétiser un filtre passif suivant la topologie de Cauer, on montre que l’on rencontre deux types de structures : structure en T ou en structure Π. Chacune de ces topologies est formée de N branches comportant au maximum deux éléments (un condensateur et une inductance) ; où N correspond à l’ordre de la fonction de transfert du filtre. Structure en T On montre que pour une structure en T que l’impédance ZT (P ) s’écrit comme suit : ZT (P ) = D+E Zin = Zg D−E ZT (P ) = L1 P + Fig. III.21 – Structure en T 1 C2 P + L3 P1+... Structure en Π On montre que pour une structure en Π que l’impédance ZΠ (P ) s’écrit comme suit Zin D−E = Zg D+E 1 ZΠ (P ) = C1 P + L2 P + 1 ZΠ (P ) = Fig. III.22 – Structure en Π 1 C3 P +... Theorem III.3.1 (Théorème de Kenelly). On rappel que le théorème de Kenelly permet de transformer une topologie T en une topologie Π (et réciproquement) : Z1 = Z2 = Z3 = Zb Zc Za +Zb +Zc Za Zc Za +Zb +Zc Za Zb Za +Zb +Zc ≡ Za = Zb = Zc = Z1 Z2 +Z1 Z3 +Z1 Z2 Z3 Z1 Z2 +Z1 Z3 +Z1 Z2 Z2 Z1 Z2 +Z1 Z3 +Z1 Z2 Z1 Synthèse de filtre polynomiaux d’ordre N On a vu précédemment comment déterminer la fonction de transfert d’un prototype passe bas à partir de son gabarit, en utilisant les fonctions d’approximations de filtres polynomiaux. Fig. III.23 – Synthèse de filtre polynomiaux En particulier, on montre que pour les filtres de Butterworth et de Tchebycheff utilisant la topologies de Cauer, on peut déterminer les composants comme suit : © , David FOLIO III.3 Filtrage passifs 46 Filtres de Butterworth : π , avec i = 1, 3, 5, . . . . Ci = 2 sin 2i−1 2N . Li = 2 sin 2i−1 π , avec i = 2, 4, 6, . . . 2N Filtres de Tchebycheff . Gi = 4ai−1 ai , bi−1 Gi−1 avec G1 = 2a1 γ ,→ Li = Gi pour i pair, et Ci = Gi pour i impair π , pour i = 1, 2, 3..n, . ai = sin 2i−1 2n 2 iπ 2 . bi = γ + sin n , pour i = 1, 2, 3..(n − 1), . γ = sinh III.3.4 1 2N dB ln coth 40∆log(e) Synthèse du filtre (passif) réel Une fois le filtre passif synthétisé, il reste à retrouver le circuit correspondant au filtre réel, c’est-à-dire celui correspondant aux spécifications du cahier des charges. Si le filtre passif obtenu correspond à la fonction de transfert du filtre désiré, il ne reste plus qu’à “dénormaliser ” le filtre selon : Des composants : En fréquence ,→ Zn impédance de normalisation ,→ FN : fréquence de normalisation Impédance normalisée : ) = Rn + Ln P + Zn = Z(P Zg Dénormalisation de la fréquence : F × FN → f ou Ω × ωn → ω 1 Cn P Dénormalisation des composants : Rn Zn → R ; Lωn Zn n → L et ZCn ωn n → C En revanche, si le filtre passif est obtenu à partir du prototype passe bas, il faut également revenir au filtre réel en effectuant une transposition inverse en fréquence. Cette transposition inverse, peut s’effectuer soit sur la fonction de transfert du prototype HB (Ω), soit directement sur le montage obtenu en faisant une transposition sur les composants. Zb = R Passe Bas Passe Haut : P ↔p= Zh = R 1 P Passe Bande : P ↔p= 1 B P+ 1 P Zbd = R Zb = Lb p Zh = Lb p L0 = Lb /B et C 0 = B/Lb Zb = 1 Cb p Zh = p Cb L0 = B/Cb et C 0 = Cb /B Table III.5 – Transposition en fréquence des composants. MRI-1A, ENSI de Bourges , Circuits Analogiques III. Le Filtrage Analogique III.4 Chap. III Le Filtrage Analogiques Filtrage actifs La connaissance du cahier des charges permet dans un premier temps de choisir l’ordre et le type de filtre à réaliser, puis dans un second temps de calculer sa fonction de transfert. On peut ensuite, choisir entre une synthèse de filtre passif ou de filtre actif. Les filtres passifs, du fait de l’emploi que de composants passifs, ne souffrent pas (ou très peu) de problème de saturation et ne nécessite pas de circuit d’alimentation. En outre, on montre qu’ils ont généralement peu de problème de sensibilité vis-à-vis des composants, sont peu sensible aux bruits, et peuvent opérer dans des gammes de fréquences importantes. En revanche, leur principale inconvénient est liés à leurs impédances d’entrée et de sortie mal conditionné et qui varient selon la fréquence, rendant difficile la synthèse des circuits. Les filtres actifs sont construits autour d’un ou plusieurs composants actifs associés à des résistances et condensateurs (eg. les inductances difficiles à intégrer sont exclues). Les composants actifs sont des transistors bipolaires ou FET, mais le plus souvent des amplificateurs opérationnels (AOP). L’inconvénient des filtres actifs sont la nécessité d’alimenter les composants actifs ; qu’il faille se contenter de signaux d’amplitudes limitée par les composants actifs ; le coefficient de surtension qui peut devenir très élevée (dans ce cas il y a risque d’oscillations spontanées). D’autre part, le niveau de bruit et la présence de tension d’offset peuvent aussi limiter les domaines d’applications. Cependant, les filtres actifs sont généralement caractérisés par des impédance d’entrée très élevées et des impédances de sortie très faibles, ce qui permet la mise en cascade de plusieurs cellules élémentaire sans se soucier du problème d’adaptation ; ceci constitue l’avantage majeur des composants actifs. Ainsi de nombreuses cellules “actives” ont ainsi été décrites qui permettent de résoudre facilement des problèmes de synthèse de filtres analogiques. En particulier, tous les filtres analogiques peuvent être décrit à partir de fonctions élémentaires d’ordre 1 ou 2. Il en est de même pour leur réalisation. Il suffit donc de connaître les circuits de base pour réaliser n’importe quel filtre d’ordre N . III.4.1 Z2 Cellules élémentaires du premier ordre Soit le montage de la figure ci contre qui met en œuvre un AOP parfait. La fonction de transfert de se montage s’écrit : H(ω) = vout (ω) Z2 =− vin (ω) Z1 Z1 vin − + vout Fig. III.24 – Cellule active du 1er ordre On obtient ainsi les filtres actifs suivant : • Passe-bas : Z1 = R1 et Z2 = R2 //C • Passe-haut : Z1 = R1 + C et Z2 = R2 Remarque III.5. On peut procéder de la même manière en considérant un montage amplificateur non-inverseur. © , David FOLIO III.4 Filtrage actifs III.4.2 48 Cellules élémentaires du second ordre On rappelle que les cellules du 2nd ordre sont données par les fonctions de transfert suivantes : • Passe-bas : Hb (x) = G0 • Passe-haut : Hh (x) = (avec x = 1 1 1+ Q x+(x)2 2 G0 1+ 1(x) 2 x+(x) Q • Passe-bande : Hbd (x) = G0 ω ω0 ) 1 x Q 1 1+ Q x+(x)2 ,→ avec ω0 : pulsation propre, et Q : facteur de qualité. Q↗⇔B étroit −3dB Dans le cas de cellules actives le coefficient de surtension impacte fortement la qualité du filtre obtenu. On rappelle également que : • Coefficient d’amortissement : ξ = • Coefficient de surtension : Q = GGmax = 0 Q↘⇔B large −3dB 1 2Q ∆f=B √1 2ξ fcb 1−ξ 2 f0 fch Fig. III.25 – Importance de Q III.4.3 Rappel sur la sensibilité On rappel que la sensibilité Sxfi d’une fonction f par rapport au paramètres xi autour du point de fonctionnement x0i est définit par (voir définition-I.1.4, page 6) : ∂f xi f Sxi = ∂xi f x0 i Dans le cadre des filtres analogiques, les imperfections les plus importantes sont : • • • • • valeurs des composants différents des valeurs nominales ; gain fini et dépendant de la fréquence ; dépendance à la température, au vieillissement, dispersion de fabrication ; influence des capacités parasites, variation des impédances d’entrée/sortie, etc. . . En outre on distingue deux types de sensibilités : 1. Sensibilité passive : xi = composants passifs 2. Sensibilité active : xi = paramètres composants actifs Les composants actifs présentent l’inconvénient d’avoir des performances peu stables dans le temps et dépendant des variations des grandeurs extérieures telles que la température. Les éléments passifs sont moins sujets à ce type de variation. Il convient cependant d’étudier l’influence des variations des éléments passifs sur la courbe de réponse du filtre, afin de tenir compte notamment des tolérances sur la valeur des composants. MRI-1A, ENSI de Bourges , Circuits Analogiques III. Le Filtrage Analogique III.4.4 Chap. III Le Filtrage Analogiques Méthodes de synthèse On rappelle ci-après les différentes étapes pour la conception d’un filtre analogique. 1. Cahier des charges → Définition d’un Gabarit 2. Normalisation de la fréquence : F = ffn = ωωn = Ω 3. Transposition de fréquence : H(p) ↔ HB (p) 4. Définition du prototype passe-bas HB (p) 5. Synthèse du filtre (eg.,passifs ou actifs), puis du filtre réel. Fig. III.26 – Méthodes de synthèse ,→ Il existe différentes méthodes de synthèse d’un filtre actifs. Transformation d’un filtre passif en filtre actif La première idée consiste à tirer profit de l’expérience obtenus pour la synthèse de filtres passifs, et tirer avantages des bonnes propriétés des filtres passifs (eg., très bonne sensibilité). La stratégie consiste alors à “transformer ” le filtre passif en un filtre actif. La difficulté majeure provient de l’emploi des inductances qui sont difficilement intégrable sur un circuit intégré ou embarqué. Le principe consiste à supprimer ou à transformer les inductances. Une solution simple consiste à remplacer les inductances des filtres passifs par un montages simulant leur comportement, en utilisant notamment des “gyrateurs”. Le gyrateur est un quadripôle (cf. symbole ci-contre) Zin i in qui reproduit le comportement d’une inductance. i out C On peut ainsi le définir par sa matrice d’impédance vin vout suivante : vin 0 −Rg iin = Fig. III.27 – Symbole du gyrateur. vout Rg 0 iout dont l’impédance équivalente vu de l’entrée est donnée R2 par : Zeq = ZCg . Example III.4.1 (Exemples de gyrateur). Différents circuits permettent de simuler le comportement d’une inductance. • Montage à base d’AOP (cf. schéma ci-contre) : 1 Cω Zeq (ω) = R2 1+R → Zeq ≈ L = R2 R1 C 1+R2 Cω Z in • Utilisation de G.I.C. (convertisseur d’impédance généralisé, ou general impedance converter) Avec un AOP classique, le gyrateur le plus performant est celui obtenu à partir d’un G.I.C. C vin © , David FOLIO Z1 Z3 Z5 Z2 Z4 Z1 vin Z2 − + Zeq = R1 vout − + Le Convertisseur d’impédance généralisé (G.I.C.) Le convertisseur d’impédance généralisé (G.I.C., General Impedance Converter) est un circuit construit autour d’un AOP. Ce dispositif (cf. schéma ci-contre), a une impédance d’entrée Zin donnée par la relation : R2 Z3 Z4 Z5 Fig. III.28 – Le G.I.C. vout III.4 Filtrage actifs 50 Ainsi, par exemple, en fixant Z1 = Z2 = Z3 = Z5 = R 1 , on parvient à “simuler une inductance”, et on a Zeq = R2 Cp. et Z4 = Cp Toutefois, ce simulateur d’inductance ne marche que pour les filtres ne possèdant pas d’inductances flottantes. Les GIC permettent non seulement de réaliser des inductances actives, mais encore des “superrésistances”, plus connues sous le nom de FDNR (frequency dependant negative resistors) ou aussi appelé des “super-condensateurs”. Le FDNR est éléments n’ayant pas d’équivalent en circuits passifs et très utilisés dans la synthèse de certains filtres actifs. Il est possible de réaliser d’excellentes super-résistances à l’aide du GIC, dans lequel deux des impédances Z1 , Z3 et Z5 sont des condensateurs C et si les autres impédances sont des résistances R ; alors on a Zeq = − RC12 ω2 . La transformation de Bruton Cette transformation de filtre passif en un filtre actif consiste à multiplier toutes les impédances du prototype par 1/p, ce qui ne modifie pas la fonction de transfert. Les conséquences sur les impédances du prototype sont les suivantes : 1/p Inductances : ZL = Lp 7−→ Résistances ZR = L Résistances : ZR = R 7−→ Capacités ZC = 11p Capacités : ZC = (ou FDNR) 1 Cp 7−→ “Super-Capacités” R Z= 1 Cp2 Cette transformation est très efficace lorsque le prototype ne comporte pas de condensateurs dans les branches série, comme c’est le cas pour les filtres passe-bas. Synthèse en cascade Très simple et de portée universelle, la synthèse en cascade est basée sur la décomposition toujours possible de H(p) en termes biquadratiques (et d’un terme du 1er degré dans le cas où l’ordre n du filtre est impair) : • si n pair : H(p) = n/2 Y i n/2 Y b2i p2 + b1i p + 1 = Bi (p) Ai p p 1 + Q1i ω0i + ( ω0i )2 i (n−1)/2 (n−1)/2 ci p + 1 Y ci p + 1 Y b2i p2 + b1i p + 1 • si n impair : H(p) = = Ai Bi (p) di p + 1 i 1 + Q1i ωp0i + ( ωp0i )2 di p + 1 i ,→ Bi (p) fonction de transfert biquadratique exprimée sous sa forme canonique faisant apparaître la pulsation de coupure ω0i et le facteur de qualité associé Qi . Ainsi, pour réaliser le filtre réel, il s’agit de mettre en cascade n cellules élémentaires biquadratique de fonction transfert Bi (p). Mise en cascade possible UNIQUEMENT si chaque cellules Bi possèdent des impédances Zini et Zouti H(p) = convenablement dimensionnées ! vout (p) vin (p) = B1 (p)B2 (p) . . . Bi (p) Cette dernière condition, impossible à réaliser avec des Fig. III.29 – Cascade de n cellules Bi (p) éléments passifs, s’obtient facilement avec des circuits MRI-1A, ENSI de Bourges , Circuits Analogiques III. Le Filtrage Analogique Chap. III Le Filtrage Analogiques actifs, grâce à la très faible impédance de sortie des AOP classiques. On présente ci-après les circuits permettant la synthèse des cellules élémentaires Malheureusement, la synthèse par mise en cascade ne bénéficie pas d’une bonne sensibilité par rapport aux variations des valeurs des composants. © , David FOLIO III.4 Filtrage actifs 52 Cellule à contre-réaction simple On utilise un AOP et deux quadripôles (passifs linéaires) un en entrée et un autre en réaction entre la sortie et l’entrée inverseuse. On montre que la fonction de transfert est donnée par : H(p) = vout (p) YA = − 21 vin (p) Y12B Fig. III.30 – Cellule à contre-réaction. Par conséquent, pour calculer la fonction de transfert H(p) du filtre, il suffit de savoir calculer des admittances de transfert ; et il ne reste alors qu’à choisir l’association de quadripôles permettant d’obtenir la fonction de transfert souhaitée. Example III.4.2 (Filtre passe-bas du 2nd ordre). Y12 = Y21 = Exercice : −1 R(2+RC1 p) Y12 = Y21 = − R Retrouver les composants de la matrice d’admittance des quadripôles ci-dessus. Montrer que la fonction de transfert du filtre actifs correspondant a pour paramètres : q C 1 A0 = −1, ω0 = R√C1 C2 et ξ = C21 Cellule à contre-réaction multiple Ces cellules biquadratique utilisant un AOP avec réaction négative multiple s’appellent aussi MLF (multiloop feedback), et sont des structures très utilisées. Elles correspondent à la structure ci-contre, où les impédances Zi (ou de manière équivalente leurs admittances Yi ) sont constituées de capacités ou de résistances. Fig. III.31 – Schéma général d’une On montre que la fonction de transfert dans le cas cellule de Rauch. d’AOP idéaux est donné par : H= −Y1 Y3 Y5 (Y1 + Y2 + Y3 + Y4 ) + Y3 Y4 Les différents types de filtres (passe-bas, passe-haut ou passe-bande) sont ainsi réalisables, selon le choix des composants réalisant les impédances Zi : Type de filtres Passe-bas Passe-haut Passe-bande Résistances Z=R Z1 , Z3 , Z4 Z2 , Z5 Z2 , Z3 , Z4 Z1 , Z2 , Z5 Capacités Z = 1/(Cω) Z2 , Z5 Z1 , Z2 , Z3 Z1 , Z5 Z3 , Z4 MRI-1A, ENSI de Bourges , Circuits Analogiques 2C 2 +2RC p 2 2R+R2 C1 p 1 C2 p III. Le Filtrage Analogique Chap. III Le Filtrage Analogiques H(p) = G0 R4 R1 Example III.4.3 (Cellule passe-bas du 2nd ordre de Rauch). vin R3 C2 − +A C5 vout Montrer qu . AOP idé . AOP de Q≈ √ A C 3AC Montrer Example III.4.4 (Cellule passe-bande du 2nd ordre de Rauch). Cellule à source contrôlée Dans ce type de circuits, l’amplificateur est monté en source contrôlée, c’est-à-dire en amplificateur à gain constant (sur les schémas présentés ci-après, ce gain vaut K). Il s’agit de structures connues également sous le nom de cellules de Sallen-Key. Une cellule de Sallen-Key correspond à la structure ci-contre, où les admittances Yi sont constituées de Fig. III.32 – Schéma général d’une capacités ou de résistances. La fonction de transfert cellule de Sallen-Key. associée est donnée par l’expression générale, dans le cas d’AOP idéaux : H(p) = KZ1 Z4 Z2 (Z1 + Z3 + Z4 ) + Z1 (Z3 + Z4 (1 − K)) Les différents types de filtres (passe-bas, passe-haut ou passe-bande) sont ainsi réalisables, selon le choix des composants réalisant les admittances Yi : Type de filtres Passe-bas Passe-haut Passe-bande © , David FOLIO Résistances Z1 , Z3 Z2 , Z4 Z1 , Z2 , Z4 Capacités Z2 , Z4 Z1 , Z3 Z3 , Z4 Identifie avec k = III.4 Filtrage actifs 54 C2 Example III.4.5 (Cellule passe-bas du 2nd ordre de Sallen-Key). R vin B R A + − C4 vout Montrer que H(p) = R2 C2 C4 p2 +R(2CK4 +C1 (1−K))p+1 ; A Si AOP de gain fini A ⇒ K = 1+A Identifier ω0 , Q et G0 . Exercice : retrouver les sensibilités suivantes : Sensibilités passives : SRQ = 0, SCQ2 = SCQ4 = 12 , SRω0 = −1, et SCω02 = SCω04 = − 12 , Sensibilités actives : SAQ ≈ 2Q2 K , et SAω0 = 0 A Structure à variables d’état Le principe des structures à variables d’état repose sur le fait que l’on peut décomposer une fonction de transfert d’ordre n en une somme de fonctions du premier ordre, ce qui permet de réaliser un circuit ayant une fonction de transfert biquadratique à l’aide d’intégrateurs et d’additionneurs-soustracteurs. En particulier, dans la pratique on n’utilise pas de dérivateur. À titre d’exemple, considérons la fonction passe-haut du second ordre : H(p) = b1 p2 , a1 p2 +a2 p+1 qui peut s’écrire sous la forme : V2 = b1 V a1 1 − a2 V1 a1 p − V2 V1 = V2 a1 p2 Remarque III.6 (Additionneurs-soustracteurs). Rappelons qu’il est aisé de réaliser des additionneurs-soustracteurs au moyen d’un AOP : Rn Vn R1 V1 R − + alors Vout = − ZR1 V1 . . . − R V Zn n Vout Remarque III.7. Ces cellules comportant généralement 3 ou 4 AOP sont disponibles sous forme intégrée. Aussi, l’augmentation du coût et de la consommation liée au nombre d’amplificateurs est compensée par l’ampleur des séries de fabrication et la simplification de la conception et des réglages. 1. Cellule de Kerwin, Huelsman, Newcombe (KHN) Fig. III.33 – Cellule KHN La cellule universel KHN est une structure de référence, la première utilisée pour réaliser des filtres universels. Cette cellule possède la particularité de présenter sur le même circuit simultanément une fonction de transfert de type : MRI-1A, ENSI de Bourges , Circuits Analogiques III. Le Filtrage Analogique Chap. III Le Filtrage Analogiques passe-bas en V2 : V2 = R2 C 2 p2 +1 RC p+1 Vin Q passe-haut en V4 : VVin4 = −RCp passe-bande en V3 : VVin3 = R2 C 2 p2 On reconnaît que Q correspond bien au coefficient de qualité du circuit, qui est alors réglable par le biais des résistances. Enfin, en ajoutant ces différentes sorties pondérées, on peut obtenir n’importe quelle fonction biquadratique. La fonction de transfert de la cellule universelle de type KHN est alors simplement donné par : 3 2 2 R C 2 p − RR2C p + RR1 Vout R3 = 2 2 2 RC H(p) = Vin R C p + Q p+1 Critères pour la conception du filtre Choix des composants passifs ,→ Sensibilité des paramètres du filtre aux composants passif La réponse d’un filtre peut être sérieusement altérée par la variation d’un ou plusieurs éléments entrant dans sa constitution. Les composants passifs entrant dans la réalisation des filtres doivent être précis et stables en fonction du temps et de la température. Ce sont donc des éléments coûteux. Les structures nécessitant peu de composants passifs sont donc avantageuses. Aussi, l’obtention d’un filtre performant est conditionnée par un choix rigoureux de ses composants. Choix des composants actifs Le choix de l’amplificateur tiendra impérativement compte des critères suivants : Produit gain-bande : celui-ci doit être suffisamment élevé pour que le gain A en boucle ouverte soit largement supérieur au coefficient de surtension Q autour de la fréquence f0 . . Slew-rate : pour minimiser les problèmes de distorsion, on rappelle qu’il faut que SR > max dVdtout . Choix des structures : Souplesse et facilité de réglage : les réglages seront faciles s’ils sont indépendants les uns des autres . Nombre de composants requis . Faible sensibilité vis-à-vis de la variation des éléments passifs et actifs du filtre. . Réglage des paramètres −− −− +++ −−− +++ − ++ ++ −−− ++ Surtension Sensibilité Contre-réaction simple S. Rauch S. Sallen-Key − + Cellule KHN (pour K = 1) © +++ −− NB composants − ++ Structure , David FOLIO