Poincaré et l`éther relativiste

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Poincaré et l’éther relativiste
Jean-Pierre PROVOST,
Institut Non Linéaire de Nice, Université de Nice-Sophia Antipolis, 1361 Route des lucioles,
Sophia Antipolis, 06560 Valbonne
Christian BRACCO,
IUFM de Nice, 89 av. George V, 06046 NICE CEDEX 2
et Laboratoire Universitaire d’Astrophysique de Nice
Résumé d’un article soumis au Bulletin de l’Union des Professeurs de Spéciales sur lequel
nous nous appuierons pour notre conférence : « Einstein, Poincaré et la théorie de la
relativité restreinte : aspects historiques et rapports à l'enseignement ».
1. Introduction : Poincaré, Einstein et la Relativité.
L’année 1905 voit apparaître quasiment en parallèle deux importants travaux d’esprit et de
facture très différents en relation avec la théorie qui sera appelée ultérieurement relativité
restreinte1. L’un des auteurs est un physicien alors presque inconnu, Albert Einstein, l’autre
un mathématicien déjà célèbre Henri Poincaré. L’année 2005, année mondiale de la physique
et centenaire de « l’année miraculeuse d’Einstein », voit la parution de nombreux ouvrages
dédiés à ces deux auteurs et à la relativité, conduisant à renouveler l’appréciation à porter sur
les apports de l’un et l’autre à la relativité restreinte. La réponse apportée à ce sujet dépend
fortement du cadre envisagé ; elle est de plus très influencée par le regard actuel
majoritairement einsteinien que porte l’enseignement sur la relativité. L’objet de cette
intervention est de revenir sur l’article (quasiment méconnu) de Poincaré de 1905 dont le
contenu relativiste n’a, de notre point de vue pas été apprécié à sa juste valeur. Cette analyse
permet indirectement de mieux comprendre l’apport d’Einstein.
Rappelons pour mémoire l’opposition certes schématique, mais non dénuée de
fondements, qui présente un Einstein « révolutionnaire » héritier direct de Galilée et un
Poincaré « conservateur » continuateur des travaux de Lorentz. Einstein est considéré comme
« révolutionnaire » et son article de juin 1905 comme fondateur de la relativité restreinte, dans
la mesure où à la fois il montre que l’invariance de la vitesse de la lumière oblige à repenser
les notions d’espace et de temps et que l’éther devient une notion superflue puisqu’il n’y a
plus, même pour l’électromagnétisme, de référentiel privilégié. Même si Einstein n’est alors
pas à même de bâtir pleinement une mécanique relativiste, il traite de l’équivalence masseénergie à travers son approche corpusculaire de la lumière, en septembre 1905. De plus, ses
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POINCARÉ Henri, Sur la dynamique de l'électron, Extrait des comptes rendus des séances de l'Académie des
Sciences du 5 juin 1905. Ed. J. Gabay, 1989.
EINSTEIN Albert, Sur l’électrodynamique des corps en mouvement, Annalen der Physik, t. XVII, 1905. Trad.
De M. Solovine, Paris, Gauthiers-Villars, 1925, éd. J. Gabay 1994.
EINSTEIN Albert, Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energiegehalt abhängig?, Annalen der Physik, vol.
17, septembre 1905.
POINCARÉ Henri, Sur la dynamique de l'électron, Estratto dal tomo XXI (1906) dei Rendiconti del Circolo
Matematico di Palermo. La Mécanique Nouvelle, Gauthiers-Villard, 1924. Ed. J. Gabay, 1989.
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idées sur l’espace et le temps associées au principe d’équivalence lui ouvriront la voie de la
relativité générale.
À l’opposé, Poincaré a été considéré comme un « conservateur » dans la mesure où il
reste dans la problématique de l’éther de Lorentz et discute de théories aujourd’hui
abandonnées comme l’origine électromagnétique de la masse. Il lui est aussi reproché d’être
resté très attaché à l’idée de contraction « réelle » que « subit » un corps en mouvement
(qu’Einstein considère plutôt comme un point de vue d’observateur). Même si l’on reconnaît
au mathématicien Poincaré la paternité du « groupe de Lorentz », c’est au travail de
Minkowski de 1908 que l’on fait référence quand on parle des aspects géométriques de
l’espace-temps. Ajoutons que l’article de Poincaré de juillet 1905 est d’une lecture ardue et a
certainement été compris par peu de lecteurs qui se sont plus attachés au vocabulaire employé
en dehors de l’article qu’à son réel contenu mathématique.
Comme nous allons le voir les idées relativistes sont en fait omniprésentes dans l’article
de Poincaré. Elles le sont non seulement à propos de l’invariance de l’électromagnétisme qui
est le point de départ de l’article, mais aussi dans l’analyse critique des théories de l’époque
de l’électron (Lorentz y compris), dans la formulation d’une authentique dynamique
lagrangienne relativiste comme dans son approche relativiste de la gravitation. De ce point de
vue l’approche de Poincaré est extrêmement moderne. Quant au prisme de lecture einsteinien,
il a notamment conduit à un contresens grave qui consiste à interpréter, comme on le fait la
plupart du temps en physique, les transformations de Lorentz comme des changements de
référentiels alors que Poincaré, mathématicien et restant dans le « référentiel de l’éther »,
considère que ces transformations agissent réellement sur les systèmes physiques.
2. Le contexte historique.
Il est important de rappeler le contexte historique, avec ses volets physique (en particulier
la théorie de Lorentz de 1904) et plus philosophique (avec les idées de Poincaré sur l’espace
et le temps avant 1905), sans oublier ses volets mathématique (le développement de la théorie
des groupes en lien avec la géométrie) et mécanique analytique (principe de moindre action et
théorie de l’électron) sans lesquels il est impossible de comprendre l’article de Poincaré.
2.1 L’éther et les « états correspondants » de Lorentz.
On rappellera l’éther mécanique de Fresnel, l’éther électromagnétique de Maxwell et
l’apport de Lorentz qui consiste à considérer les milieux comme formés de charges électriques
soumises à la force q( E + v ∧ B) expliquant ainsi la polarisation diélectrique. La méthode des
« états correspondants » de Lorentz (1895) consiste à trouver un changement de variable sur
x, y, z, t et E, B qui amène les équations de Maxwell pour un système en mouvement S à la
vitesse V à s’écrire, dans les « nouvelles variables », comme celles pour un système au repos
S0 . Ce changement au premier ordre en V/c est :
Vx
x’ = x - Vt,
t' = t −
,
y’ = y,
z’ = z
c²
V ∧ E⊥
E 'x = E x
B'x = B x
B' ⊥ = B ⊥ −
E' ⊥ = E ⊥ + V ∧ B ⊥
c²
Pour Lorentz, les grandeurs introduites ne sont que « de simples grandeurs auxiliaires dont
l’introduction n’est qu’un artifice mathématique. En particulier la variable t’ ne pourrait-elle
être appelée le temps dans le même sens que la variable t ». Suite à une remarque de
Poincaré, il étend en 1904 le domaine de validité à tous les ordres en faisant intervenir un
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. Mais il n’obtient l’invariance que pour trois équations sur quatre
facteur γ =
1 − v ² / c²
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suite à une erreur dans le passage de S0 à S où il utilise un « boost » galiléen, écrivant
notamment pour la densité de charges ρ = ρ 0 .
2.2 Les idées de Poincaré sur le principe de relativité et le temps.
Poincaré est un relativiste convaincu. Dès 1895, il écrivait « L’expérience a révélé une
foule de faits qui peuvent se résumer dans la formule suivante : il est impossible de rendre
manifeste le mouvement absolu de la matière, ou mieux le mouvement relatif de la matière
par rapport à l’éther. Tout ce qu’on peut mettre en évidence, c’est le mouvement de la
matière pondérable par rapport à la matière pondérable ». Mais jusqu’en 1904 (conférence
de Saint-Louis), il ne voit pas clairement que faire de l’éther. Il proposera en 1900 une
interprétation du temps local t’ de Lorentz en donnant une convention de synchronisation des
horloges en mouvement, mais qui sera sans incidence sur son travail de 1905 fondé sur les
groupes.
2.3 Géométrie, groupes et coordonnées.
On verra que l’on ne peut pas comprendre Poincaré si l’on n’a pas en tête la vision
nouvelle des mathématiciens concernant la géométrie en 1870, ainsi que la correspondance
entre géométrie et physique relativiste : figure-système physique, propriété géométrique
(invariante par un groupe)-loi physique et espace-espace temps. Poincaré a beaucoup insisté
dans ses écrits en général sur le rôle des groupes. Comme en géométrie, Poincaré utilisera les
transformations de Lorentz comme des transformations actives. Quant aux coordonnées, il
aura tendance, nous verrons pourquoi, à ne pas les considérer comme fondamentales.
2.4 Le principe de moindre action et la théorie de l’électron.
Les raisonnements de Poincaré dans son article de 1905 sont fondés sur la notion d’action
et les principes de moindre action. Poincaré voit en eux un caractère universel qui dépasse la
considération de tel ou tel modèle. Pour des particules chargées en présence du champ
électromagnétique, on sait aujourd’hui que l’action est composée de trois termes
Stotal = Smat + Sint + Sem
Smat est l’action des particules matérielles libres, Sem celle des champs E et B, et Sint prend en
compte les interactions. Les variations par rapport aux positions des charges ri et aux
potentiels A, V conduisent à
δri Stotal = 0 ⇔ équations du mouvement
δA,V Stotal = 0 ⇔ équations de Maxwell
En 1905, les physiciens connaissent Sem, Sint mais pas Smat.
L’électron étant pensé comme un système étendu, ils lui attribuent pour énergie, quantité
de mouvement, et action, les intégrales des densités volumiques de (E²+B²)/2 (bien connue),
E∧B (vecteur de Poynting), (B²-E²)/2. Ils obtiennent notamment pour la quantité de
mouvement
Av
p=
1 − v ² / c²
où A est une constante proportionnelle à l’énergie (électrostatique) de l’électron au repos. La
dérivée temporelle de p (la force) prédit des masses variables avec la vitesse qui sont
confrontées aux expériences de Kaufman (1902).
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3. L’article de Poincaré de 1905.
3.1 Comment lire Poincaré ?
Il ne faut pas se focaliser sur les quelques rares phrases en langage courant qu’utilise
Poincaré dans cet article, ni bien sûr sur le détail des calculs, mais sur sa méthode. Pour
Poincaré, le postulat de relativité, exprimé mathématiquement par l’invariance des lois
physiques par transformation de Lorentz, est un outil puissant qui lui sert à analyser les
théories existantes (électromagnétisme, théories de l’électron, gravitation …) pour
éventuellement les modifier. Quant à l’invariance de la lumière : « je choisirai les unités de
longueur et de temps de telle façon que la vitesse de la lumière soit égale à un ».
Bien que la démarche de Poincaré soit très clairement une démarche relativiste
moderne, son article n’est malheureusement pas un article pédagogique destiné à l’expliciter.
Nous allons essayer de combler ce vide tout en respectant l’esprit de Poincaré et pour
l’essentiel le plan de son article.
3.2 Transformations de Lorentz et invariance relativiste de l’électromagnétisme
(§1,5).
Poincaré rappelle d’emblée les équations de Maxwell l’électromagnétisme pour les
∂A
− grad V et magnétique B = rot A dérivant des potentiels V et A.
champs électrique E = ∂t
∂B
∂E
rot E = rot B = ρv +
div E = ρ
div B = 0
∂t
∂t
où ρ et j =ρv sont les densités de charge et de courant. Il rappelle aussi la force volumique de
Lorentz
F = ρ( E + v ∧ B)
Puis il nous dit « ces équations sont susceptibles d’une transformation remarquable
découverte par Lorentz, et que nous appellerons « transformations de Lorentz », et qui doit
son intérêt à ce qu’elle explique pourquoi aucune expérience n’est susceptible de nous faire
connaître le mouvement absolu de l’Univers » et pose
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x' = lγ (x + εt ) ,
t ' = lγ (t + εx ) ,
y’ = ly,
z’ = lz
avec γ =
1− ε²
« où l et ε sont deux constantes quelconques ». Nous expliquerons en quoi il s’agit de
transformations actives (Poincaré ne changeant jamais de référentiel) et donnerons une
interprétation dimensionnelle moderne au facteur de dilatation l.
Après avoir corrigé Lorentz en donnant les bonnes transformations des vitesses, des
densités de charge et de courant, il obtient en quelques pages d’une rigueur et d’une beauté
inégalées, l’invariance des équations ci-dessus moyennant que les potentiels A,V, les champs
E,B, la force volumique F et la force par particule f se transforment convenablement. Nous
verrons d’autres applications (aujourd’hui classiques) de Poincaré à l’électromagnétisme,
mais son résultat le plus remarquable est l’invariance de l’action conséquence des relations
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E'² - B'² = 4 (E² - B² ), d 3 r' dt' = l 4 d 3 r dt .
l
3.3 L’action électromagnétique et le lagrangien relativiste (§2,3 et 7).
Quand les champs E et B sont exprimés en fonction des charges, l’action s’écrit
t2
(B² − E ² ) = L.( v )dt
S P = ∫ dt ∫ d 3r
∫
2
t1
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où L est le lagrangien (analogue de l’énergie cinétique pour une particule libre non
relativiste). Pour Poincaré l’invariance de l’action est certainement une découverte très
importante. De même que toute force doit se transformer comme une force
électromagnétique, toute action doit être invariante. C’est ainsi qu’indépendamment de tout
modèle il explique à partir de la formule ci-dessus la relation (fondamentale pour la
dynamique relativiste)
l
L = L'
γ
qui doit exister entre le lagrangien L d’un électron (étendu) ayant la vitesse v et celui L’ de
l’électron au repos. Il obtient donc (pour l=1) l’expression connue aujourd’hui
L(v ) = − A 1 − v ² où A est une constante (la masse !). L’obtention de la quantité de
mouvement, de l’équation de la dynamique
dp
dv
dv
f =
= h −1
+ h − 3v
v
dt
dt
dt
avec h = 1 − v ² et A=1, son invariance … deviennent pour Poincaré un « jeu relativiste ».
Peut-on en demander plus en matière de dynamique relativiste ?
3.4 Transformations de Lorentz, groupe et géométrie (§4 et 9).
« Il importe de remarquer que les transformations de Lorentz forment un groupe ».
Poincaré constate que la composition de deux transformations définies par les paramètres ε , l
et ε ' , l' est encore une transformation de Lorentz de paramètres
ε +ε'
ε''=
l' ' = ll'
1 + εε '
Mais comme il est un mathématicien, il s’intéresse à d’autres aspects du groupe (algèbre de
Lie …) et à son invariant fondamental : « une transformation quelconque de ce groupe
pourra toujours se décomposer en une transformation (dilatation) x’=lx, y’=ly, z’=lz, t’=lt et
une transformation linéaire qui n’altère pas la forme quadratique x²+y²+z²-t² ».
S’il n’y avait le contexte historique, Poincaré aurait certainement posé l=1 d’entrée.
Mais comme Lorentz avait envisagé que l dépende de la vitesse, Poincaré examine à quelle
condition ces transformations avec l(ε) forment un (sous-)groupe. Il trouve l=1.
Les aspects plus géométriques tels que l’espace-temps « x, y, z, t - 1 », les
transformations de Lorentz vues comme « rotation de cet espace autour de l’origine,
regardée comme fixe », les quadrivecteurs représentés par des bipoints, se retrouvent à la fin
de l’article consacrée à la gravitation (qui se propage à la vitesse c). On y reconnaît
notamment plusieurs quadrivitesses, un quadrivecteur force et de nombreuses propositions
(infructueuses mais relativistes) généralisant la loi de Newton. Peut-on être plus géomètre ?
3.5 La contraction de l’électron et la pression de Poincaré (§6 et 8).
Comme l’avaient fait avant lui Abraham, Langevin et Lorentz, avec chacun une
hypothèse sur la forme de l’électron en mouvement (l’électron au repos étant sphérique),
Poincaré calcule l’énergie W, la quantité de mouvement p et le lagrangien L en intégrant sur
l’espace les quantités E²+B², E∧B, B²-E². Il s’aperçoit alors que si l=1 (en conformité avec le
postulat de relativité) ces grandeurs ne satisfont pas aux équations de la dynamique
lagrangienne. Il nous rappelle alors qu’il faut assurer la stabilité l’électron. Mais comme le
lagrangien est de la forme
cste
L(v, r' ) = −W ' (r' ) 1 - v² avec W ' =
r'
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où r’ est un rayon typique de l’électron au repos, et où la loi en 1/r’ de son énergie W’
∂L
= 0. Il faut donc ajouter au lagrangien ciprovient de l’électrostatique, on ne peut avoir
∂r '
dessus un terme supplémentaire. Comme d3rdt est un invariant, Poincaré nous dit que ce
terme doit être proportionnel au volume de l’électron en mouvement, c’est-à-dire de la forme
(en raison du facteur de contraction)
F (v, r' ) = −ar '3 1 - v²
« Quelles sont alors ces forces qui engendrent le potentiel ? Elles peuvent évidemment être
assimilées à une pression qui règnerait à l’intérieur de l’électron [et compenseraient la
pression électrostatique] ; tout se passe comme si chaque électron était une capacité creuse
soumise à une pression interne [négative] constante (indépendante du volume) ». Faudrait-il
fustiger Poincaré sous prétexte qu’il pense alors implicitement à l’éther alors qu’on peut lire
dans un livre récent de physique des particules pour expliquer un mécanisme de confinement
possible des quarks : « Comme le vide physique est l’état fondamental, la formation d’une
« bulle » de vide perturbatif dans le cadre de QCD [chromodynamique quantique] coûte de
l’énergie. Cette énergie EV est proportionnelle au volume [avec] une constante
phénoménologique appelée parfois « constante du bag » ».
4. Discussion.
Poincaré croit-il à l’éther ? Nous reviendrons sur cette question. Mais observons qu’il
n’utilise pas une seule fois le mot « éther » dans les neuf paragraphes de l’article de 1905 et le
concept lui-même n’est d’aucune utilité au déroulement du raisonnement et des calculs.
L’éther serait-il devenu relativiste ?
En 1905, Einstein rejette lui très clairement l’éther milieu de propagation des ondes
puisque désormais il n’y a plus d’ondes, mais des « quanta d’énergie localisés en des points
de l’espace », se déplaçant à la vitesse c. Mais les quanta indépendants déduits de la loi de
Wien sont insuffisants pour expliquer la loi de Planck de 1900 et font douter Einstein. L’éther
n’est donc pas le sujet principal de la distinction entre les relativités de Poincaré et d’Einstein.
Cette distinction tient d’abord à une « vision du monde » différente où le continu (l’éther)
et le discontinu (la vision atomiste) s’opposent. On verra en quoi l’article d’Einstein de mars
1905 dans lequel il a introduit les quanta, conditionne celui de juin 1905 sur la relativité et
celui de septembre sur l’équivalence masse-énergie. Pour Poincaré qui se situe dans une
physique du continu, c’est l’invariance des équations des champs qui conditionne son
approche de la relativité. Finalement la physique de la lumière étant quantique, avec ses
aspects corpusculaire et ondulatoire, elle aura permis deux approches distinctes et
complémentaires de la relativité restreinte.
Cette distinction tient aussi au fait que l’un des acteurs est physicien et l’autre
mathématicien. Mais de quel domaine relèvent la Relativité et la Géométrie ? De la
physique ? Des mathématiques ?