DM1 :fonctions,suites,nombres complexes - Pagesperso
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PCSI DM n°1 À remettre le mercredi 18 septembre 2013 Exercice 1 2 On pose : K =∫ √2 1- Soit dx √ x2 1 f la fonction de [ 1,+∞ [ dans ℝ définie par : f ( x )=ln ( x+√ x 2 1) f est bien définie sur l'intervalle [ 1,+∞ [ . 1-a- Justifier que la fonction 1-b- Calculer la fonction dérivée de f , sur l'intervalle ] 1,+∞ [ . K . 1-c- En déduire la valeur de 2 2- On pose : J =∫ √ x 2 1 dx √2 2 2-a Démontrer que : J =∫ √2 2-b- Déterminer la valeur de x2 dx K √ x2 1 J . 3- La fonction cosinus hyperbolique, notée ch est définie sur ℝ par : ch ( x)= e x +e 2 x 3-a- Démontrer que : ∀ x∈ℝ , x≥1 : ch ( f ( x))= x 3-b- Démontrer que : ∀( x , y ) , x≥0 et y≥1 : y=ch ( x )⇒ x= f ( y ) Johann Heinrich Lambert (1728-1777) Johann Heinrich Lambert a tout d'un couteau Suisse multifonction. Et pour cause. À la fois mathématicien, physicien et astronome alsacien du 18ième siècle, ce scientifique est né à Mulhouse qui faisait partie, à l'époque, des terres helvétiques. Issu d'une famille de sept enfants et d'un père couturier, Lambert ne peut intégrer un établissement d'études supérieures – son milieu d'origine est trop modeste. Il met un terme à ses études afin d'aider sa famille, tout en étudiant les sciences en parfait autodidacte.......1765. C'est à cette époque que Lambert entreprend une étude complète des fonctions hyperboliques et introduit les notations modernes cosh, sinh, tanh. Il démontre en outre l'irrationalité du nombre pi. « Fonctions usuelles », Jean-Jacques Colin et Jean-Marie Morvan, édition Cépaduès. 1/4 PCSI DM n°1 À remettre le mercredi 18 septembre 2013 Exercice 2 : Entiers somme de deux carrés. Un entier naturel n est somme de deux carrés, s'il existe deux entiers naturels a et b tels que : n=a 2+b2 . 1- Parmi les entiers naturels compris entre 1 et 10 lesquels sont somme de deux carrés ? 2- Soient z et z ' deux nombres complexes. Démontrer que : ∣z ×z '∣=∣z∣×∣z '∣ . 3- En déduire que si n et n ' sont deux nombres entiers somme de deux carrés, alors n×n ' est aussi un entier somme de deux carrés. 3- Soit : (n , p)∈ℕ 2 . Démontrer que si n est somme de deux carrés, alors n p est somme de deux carrés. 4- Écrire 4225 comme somme de deux carrés. Pierre de Fermat (1601 ou 1607-1665) : le prince des amateurs. Les premières lettres de Fermat à Mersenne exposent en particulier la Théorie de la recherche du maximum et du minimum mise au point vers 1629 et qu'il applique à la détermination des tangentes à une courbe ; ce sont les débuts du calcul différentiel.... En optique, Fermat pose le principe que la nature agit toujours par les voies les plus courtes, montrant que ce principe implique les deux lois de Descartes et fondant ce qu'on appelle maintenant le calcul des variations. Si Fermat a marqué le monde mathématique, c'est surtout par ses résultats géniaux en théorie des nombres. Même Pascal ne pouvait le comprendre. : cherchez ailleurs qui vous suive dans vos inventions numériques...cela ma passe de loin (1654). En août 1659, il écrit à Carcavi une Relation des nouvelles découvertes en la science des nombres énumérant des résultats obtenus par sa méthode de descente infinie : tout nombre premier de la forme 4k+1 s'écrit comme somme de 2 carrés. p=a 2 +b2 . tout entier est somme de 4 carrés au plus. Une équation de la forme : x 2 dy 2=1 , avec d sans facteurs carré, a une infinité de solutions. Fermat « Multi pertransibunt et augebitur scienta » (beaucoup passeront et la science augmentera) – – – « Histoire des mathématiques », Jean-Pierre Escofier, édition Dunod. 2/4 PCSI DM n°1 À remettre le mercredi 18 septembre 2013 Exercice 3 : équation de droite avec les nombres complexe. A,B et C sont trois points d'affixes respectives a,b et c. 3-a- Démontrez qu'une condition nécessaire et suffisante pour que A,B et C soient alignés est que l'on ait : a ( ̄b ̄c )+b( ̄c ̄a )+c ( ̄a ̄b )=0 . 3-b- A et B étant deux points distincts donnés, écrivez une condition nécessaire et suffisante à laquelle doivent satisfaire z et ̄z pour que le point M d'affixe z appartienne à la droite (AB). 3-c- Déduisez-en que lorsque a et b sont de module 1, la relation précédente s'écrit : z +a b ̄z (a+b)=0 Exercice 4 : une propriété géométrique. z et 1- Démontrer que pour tous nombres complexes z ' on a : ∣z +z '∣2+∣z z '∣2 =2(∣z∣2+∣z '∣2 ) 2- Soient O, M,N, et P les points d'affixes respectives 0 , 2-a- Quelle est la nature du quadrilatère OMNP ? 2-b- Interpréter géométriquement l'égalité précédente. 3/4 z , z +z ' , et z' . PCSI DM n°1 À remettre le mercredi 18 septembre 2013 Exercice 5 : étude d'une suite homographique. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à1. On se propose de résoudre sur ] 0,+∞ [ , l'équation E n : x=1+ 2 E 1 : x=1+ ; x E 2 : x=1+ 2 1+ E n définie par : 2 1+ 2 x ; 2 1+ 1- Écrire les équations Que remarquez vous ? 2- Soit E1 , E 2 et (n traits de fractions) ⋱ 2 x E 3 et les résoudre. f la fonction définie sur ℝ∗ par f ( x )=1+ 2 et soit ( x n ) la suite définie par : x x 0>0 et x n+1= f ( x n) 2-a- Prouver que l'équation f ( x )=x admet deux solutions α et β telles que α<0<β . xn β ( x 0≠α) xn α Montrer que (u n ) est bien définie pour tout entier n et que la suite (u n ) est une suite géométrique, dont on précisera la raison. 2-b- On pose : u n= 3- Résoudre l'équation En . 4/4