I) La naissance du nombreπ 1) Les premières traces de π 2) Le

I) La naissance du nombre π
1) Les premières traces de π
2) Le premier record de π
3) π de nos jours; un nouveau record
II) Où classer ce nombre?
1) π, un nombre “irrationnel”
2) π, un nombre “transcendant”
III) π et l’aléatoire
1) π, nombre-univers?
2) Qu’est-ce que l’aléatoire? (au sens de Martin-Lof)
3) La “théorie de la complexité algorithmique”
4) Et π dans tout cela?
C.Turroque
Les mystères du
nombreπ
Introduction:
Le nombre π (3,141592...) intrigue doublement les mathématiciens.
D’abord, il possède une infinité de décimales qui se suivent, semble-t-il, de
manière aléatoire. Ensuite, c’est une constante mathématique présente dans
de nombreuses équations, notamment dans celles qui décrivent les lois
statistiques. De ce fait, si l’on mesure les positions des étoiles sur la voûte
céleste (dont la répartition est statistiquement aléatoire), on peut obtenir un
approximation de pi. En effet, on a établi qu’il existe, en statistique, un
rapport entre la position relative des étoiles et la valeur 6/π².
I) La naissance du nombre pi
1) Les premières traces
Les premières traces de calcul de ce nombre fantastique remonte aux
Babyloniens, 2000 ans avant J-C. Leur méthode consistait à calculer le
périmètre d’un hexagone inscrit dans un cercle de rayon 1. Ils obtinrent ainsi
une valeur approchée du nombre égale à 3,25. On venait ainsi de découvrir le
lien entre Le périmètre d’un cercle et son rayon!
2) Le premier record de π
Le premier record de décimales du nombre est à mettre au compte
d’Archimède, mathématicien de Syracuse, en 250 avant J-C. Il obtint les trois
premières décimales: 3,141.
Il avait conçu une méthode basée sur l’encadrement d’un cercle par une
succession de polygones aux côtés en nombre croissant.
3) π de nos jours
De nos jours, ce nombre est utilisé à tour de bras: dans de nombreuses
équations (des plus simples en géométrie, au plus complexes en statistiques),
et en physique quantique.
Ainsi, depuis l’apparition des ordinateurs et des calculatrices,
l’approximation du nombre n’a cessé de s’améliorer. Au début de l’année,
Yasumasa Kanada, professeur à l’Université de Tokyo, a établit un nouveau
record
record, après dix heures de calcul effectué par 1024 microprocesseurs montés en
parallèle, 51 milliards de chiffres après la virgule!!
II) Où classer ce nombre?
1) un nombre irrationnel
Le nombre pi, jusqu’au XVIIIème siècle était considéré comme inclassable. Il
fallut attendre 1766, pour que le mathématicien Jean Henri
Lambert démontre que pi est un nombre «irrationnel», c’est-à-dire que la suite
de ses décimales ne se répète jamais identique à lui-même. Ce qui traduit la
trace du choc des pythagoriciens (VI et Vème s. avant notre ère) lorsqu’ils
découvrirent que le nombre «radical de 2» avait cette propriété. Mais pi allait
s’avérer encore plus déconcertant encore........
2) un nombre transcendant
Bien que «radical de 2» ne soit pas rationnel, les mathématiciens ont réussi à
l’inclure dans l’ensemble des nombres dits algébriques. Ce dernier est formé
des solutions d’équations du type 2x² + x -1= 0.
Ainsi 2 est solution de x²-2=0.
Par définition, un nombre transcendant est un nombre qui n’est pas algébrique.
Cet ensemble fut ériger au XVIIIème siècle afin de «loger» π. Plus tard fut
rajouté à cette catégorie de nombres, e, c ...
III) π et l’aléatoire
1) un nombre univers?
Les nombres-univers jouissent de la caractéristique suivante: la suite des
chiffres qui les composent contient toutes les séquences possibles. En un lieu
donné de la suite, votre numéro de téléphone y figure...
Les nombres-univers sont majoritaires dans l’ensemble des nombres. Pourtant,
nous n’en connaissons qu’une infime parcelle. Ainsi, le nombre
0.12345678910111213......(composé de la suite des entiers naturels) est un
nombre univers. Quant à pi, il est a priori impossible de le dire. Car pour le
savoir, il faudrait disposer de la totalité de ses décimales, c’est-à-dire une
infinité, ce qui est exclu.
2) Qu’est-ce que l’aléatoire? (au sens de Martin-LÖF)
Le mathématicien suédois Pier Martin-Lof établit en 1965 qu’une suite
aléatoire possède toutes les propriétés vérifiables qui ont une «probabilité 1»
d’être observées.
Une propriété vérifiable est, par exemple, «les nuits alternent avec les jours»,
ou, dans le domaine mathématique, «à partir du centième rang, telle suite
devient périodique». Une probabilité 1 traduit la certitude qu’un événement se
produise.
Pour prouver que la suite des décimales de π est aléatoire, il faut démontrer que
que π est irrationnel, transcendant, universel et normal.
Un nombre est dit normal si tous les chiffres pris un par un, tous les couples
de deux chiffres, tous les couples de trois chiffres etc... apparaissent avec la
même fréquence dans la suite qui les composent. Les calculs après le dernier
record de π (6,4 milliards de décimales) ont montré que pi est proche de la
normalité. Mais cette constatation n’a pas valeur de démonstration.
3) la “théorie de la complexité algorithmique”
Cette théorie, énoncée par le logicien russe Andréi Kolmogorov permet de
savoir si un nombre est normal et aléatoire. Selon la théorie, le degré aléatoire
(ou de complexité) d’un objet mathématique est proportionnel à la taille du
plus petit programme informatique qui le décrit.
Exemple: la suite 0,2,4,6,8..... est peu complexe. Son programme s’écrirait:
pour n allant de 0 à 4, il faut multiplier n par 2 et afficher le résultat;on dit
que le programme est compressible. La suite 2,5,4,7,101,54,4.....(écrite au
hasard) est très complexe, son programme doit être écrit chiffre par chiffre; il
est dit incompressible. Un programme incompressible est aléatoire.
4)Et π dans tout cela?
Le programme informatique utilisé par Kanada est en fait très simple. Donc
pi ne peut être considéré comme aléatoire au sens de Martin-Lof. π est
vraisemblablement faiblement aléatoire.
Les limites des mathématiques et plus généralement des sciences est ainsi
mis en évidence, car pour le moment, on se trouve dans l’incapacité de
démontrer que π est aléatoire ou non, et on ne s’appuie que sur des théories
ou des observations.
Polygones qui ont permis à
Archimède de trouver les trois
premières décimales du
nombre π
C.Turroque
F
o r m u l es d ’ a p p roxim a ti o n
d u n o m bre
π
Tout d’abord une façon amusante et en rapport avec les statistiques de trouver une
première approximation du nombre pi. Car pi est partout dans la nature. Dans les cercles
bien sûr, mais aussi dans les couples mariés! La probabilité pour que deux nombres pris au
hasard n’aient pas de diviseur commun est égale à 6/pi².
D’où une méthode bien particulière pour évaluer pi/ prenez 1000 couples mariés;
mesurez pour chacun la taille de l’homme et de la femme en millimètre; cela donne deux
nombres h et f; comptez le nombre de fois que h et f n’ont pas de facteurs communs; soit N
ce nombre; alors la racine carrée de 6000/N est une valeur approchée de pi.
Formule d’approximation d’Archimède (troisième siècle avant notre ère):
3,1408...= 223/71<Œ<22/7=3,1429...
Formule de J. Gregory et G. Leibniz ainsi que par le mathématicien indien Madhava
(XVII ème siècle):
Π= 4x(1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11...)
Formule de Leonhard Euler:
Π= 2x(1+1/3+1.2/3.5+1.2.3/3.5.7+1.2.3.4/3.5.7.9+..
Cette dernière est la formule à la base de tous les programmes informatiques ayant pur
but de donner une valeur approchée du nombre pi. Ainsi Yasumasa Kanada l’a utilisée
pour donner une valeur approchée de pi à 51 milliards de décimales.
Voici une autre formule quelque peu étrange d’approximer pi du mathématicien
indien Ramanujan:
(102 - 2222/22²)^¼ = 3,14159265258
Un autre formule, toujours du même mathématicien:
∞
π
= 9801/ √ 8
(∑
n=0
( 4 n)!(1103+26390n)
/ (n!)^4.396^4n)
)^-1
Formule de Simon Plouffe, mathématicien Canadien, découverte il y a seulement 2 ans
et demi de cela:
π = (4/1 - 2/4 - 1/5 - 1/6)+1/16.(4/8+1 - 2/8+4 - 1/8+5 - 1/8+6)+ 1/16²(4/16+1 - 2/16+4 1/16+5 - 1/16+6)+...
c’est-à-dire:
∞
π
=
∑
1 / 1 6 ^i
(4/8i+1 - 2/8i+4 - 1/8i+5 - 1/8i+6)
i=0
En complément, un programme en langage C qui reprend la formule d’Euler et qui, ne
comportant que 158 caractères calcule 2400 décimales de pi:
int a=10000,b,c=8400,d,e,f[8401],g ; main(){for( ; b-c ;)f[b++]=a/5 ; for( ; d=0,
g=c*2 ; c-=14,printf(“%.4d”,e=d/a) , e= d%a)for(b=c ; d+=f[b]*a,f[b]=d% —g,
d/=g,—b ; d*=b);}
Et pour finir, quelques décimales de π , :
π = 3,141592653589793238462643383279502884197169399375105
82097494459230781640628620899862803482534211706798214808
6513282
ΝΟΤΑ−ΒΕΝΕ:
Pour les “mordus” du nombre π , il peuvent aller consulter la salle dédiée à ce nombre au
Palais de la découverte à Paris où ont été recopiée les 707 premières décimales du nombre pi
sur le plafond de cette salle. Celles -ci ont été calculées à la main par le mathématicien
Williams Shanks en 1874 (elles figurent à Paris depuis 1937).
Enfin, pour la petite histoire, une erreur s’était glissée dans les calculs du mathématicien à
partir de la 528ème décimale, et ne fut corrigée qu’en 1945. Donc il ne faut pas tenir compte
des rumeurs qui courent sur l’exactitude des décimales de pi au Palais de la découverte, car
elles sont tout à fait exactes.
C.Turroque
La classification des
nombres
ensemble des
-3 , -150 , ...
0,1,2,...
4/5,125/7,...
L=1,100100010000...
entiers naturels
nombre de
Chaitin Ω
entiers relatifs
nombres
transcendants
nombres rationnels
nombres
algébriques
nombres aléatoires
nombres normaux
nombres univers
π?
nombre de Champernowne
0,123456789101112....
√2
C.Turroque
Classification des nombres
(définitions)
Les entiers naturels:
Parmi eux, il y a les nombres premiers, les nombres carrés, les nombres
“puissance 2”, etc:
N = {0,1,2,3,4...}
Les entiers relatifs:
Les mêmes que précédemment auxquels on ajoute les nombres négatifs:
Z = N∪ {-1,-2,-3,...}
Les nombres rationnels:
Ce sont ceux qui peuvent s’écrire sous la forme d’une fraction de deux
entiers:
Q = {1/2,1/3,-3/4...}
Les nombres algébriques:
Ce sont les nombres qu’on peut définir par une équation polynomiale à
coefficients entiers comme:
1 + X - X² = 0
ou 3 + 2X +X² + X³ - 7X^5 = 0
(cette dernier équation a la particularité d’avoir le nombre d’or ( √ 5-1)/2
comme solution.
Les nombres transcendants:
Par définition, ce sont les nombres qui ne sont pas algébriques. Le nombre pi
est un nombre transcendant. Il n’existe aucune équation polynomiale à
coefficient entier dont pi est solution.
Ce résultat, démontré en 1882 par l’Allemand Ferdinand von Lindemann,
régla le problème de la “quadrature du cercle” (“construire un segment de
longueur pi avec une règle et un compas”). La quadrature du cercle est
insoluble et ceux qui s’y essaient perdent leur temps.
Les nombres univers:
Les nombres univers sont ceux qui dans leurs chiffres font apparaître toutes
les séquences possibles de chiffres: on rencontre donc dans leurs décimales au
moins 1, au moins 2, etc. mais aussi au moins une fois la séquence 1234567,
ou la séquence 1998.
L’exemple la plus simple est le nombre de Champernowne:
Ch = 0,12345678910111213...
Les nombres normaux:
Ils sont les nombres tels que: un chiffre sur 10 en moyenne est un 1, un
chiffre sur 10 est un 3,etc.; la séquence 00 se rencontre une fois sur 100,de
même pour les séquences de trois chiffres, quatre chiffres, cinq chiffres, etc.
Ces nombres sont majoritaires (c’est un résultat du mathématicien Emile
Borel), mais il est très difficile de montrer qu’un nombre précis est normal.
Ainsi, on ignore ce qu’il en est de √ 2.
Les nombres aléatoires:
Ce sont les nombres qui satisfont tous les tests statistiques raisonnables. Ils
sont normaux, transcendants, mais ne sont pas calculables.
Le nombre Ω de Chaitin est aléatoire. De quoi s’agit-il? Il s’agit d’une suite
de chiffres n’ayant aucun lien logique, et donc l’ordinateur a besoin d’un
programme aussi grand que lui pour le calculer. Ainsi, pour écrire ses 1000
premières décimales, vous n’auriez rien mieux que les énumérer les unes
après les autres. En revanche, le nombre pi, lui, est très compressible comme
le montre le programme de 158 caractères qui en calcule 2400 décimales et
donc il n’est pas aléatoire.
C.Turroque