Le niveau de connaissances initial en mathématiques `a Polytech

Le niveau de connaissances initial en mathématiques à
Polytech’Montpellier
Les enseignants ayant pris part à ce groupe de travail sont :
Guy Cathebras (ERII)
André Chrysochoos (M)
Abdelsalam El Ghzaoui (Master Ingéniérie de la Santé, UM1)
Catherine Faur (STIA/STE)
Christophe Fiorio (IG)
André Mas (IG/STE/M)
Franck Nicoud (STE/M)
Gilles Silly (M)
René Zapata (ERII)
Introduction :
La définition d’un socle commun de connaissance en mathématique apparaı̂t depuis peu
comme une urgence dans certains départements. La diversité des origines de nos élèves est
une source de disparités en terme de connaissances et de savoir-faire. Il est aussi certain que
nos viviers de recrutement ont évolué avec la chute conjoncturelle du nombre d’étudiants en
sciences. Et il devient nécessaire de mieux définir le niveau que nous attendons de nos futurs
élèves dans le but de compléter efficacement leurs connaissances ou d’orienter le contenu du
parcours ingénieur Polytech.
Le niveau initial requis en mathématique peut être vu comme une quantité de connaissance
médiane attendue à l’entrée à Polytech. Certains étudiants se situeront au-delà de cette limite,
d’autres se placeront en-deçà. Ces derniers doivent être capables de se hisser à ce niveau grâce
aux enseignements différenciés dispensés au Semestre 5.
Remarques préliminaires :
– Le programme que nous proposons se décompose classiquement en deux parties principales : algèbre et analyse et une troisième partie, moindre mais nécessaire, englobant les
probabilités et statistiques. Nous nous bornons à proposer une liste la plus ”brute” possible
dans la mesure où nous ne cherchons pas à définir une approche pédagogique.
– Nos propositions ont été élaborées en faisant abstraction du parcours Peip Bio. Les étudiants
ayant suivi cette voie ont un avantage en statistique mais la quantité des enseignements
suivis en mathématique y est nettement inférieure à celle du parcours STI. Leur accession à ce niveau ”zéro” semble possible mais ne peut être envisagée qu’au prix d’un effort
particulier au semestre 5.
– En annexe sont présentés : une version raccourcie du programme des classes prépas MPSI
(Annexe 1), la liste des enseignements de Math en L1 et L2 à Montpellier 2 (Annexe 2),
un descriptif des enseignements de mathématiques suivis par les Peip STI (Annexe 3). Un
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rapide balayage des programmes de maths affichés sur les sites web de quatre départements
stratégiques de l’IUT s’est révélé assez peu informatif. Nous n’en rendrons pas compte ici.
Quelques points soulevés par le groupe de travail :
– L’affichage du niveau zéro -si un tel affichage est prévu- devrait se faire avec prudence
et circonspection. Il ne faut pas, par exemple, que les enseignants en PeiP le considèrent
à terme comme un objectif. L’école prendrait aussi des risques à trop se prévaloir de ce
”niveau zéro/niveau plancher” auprès de la CTI qui pourrait, en l’interprétant mal, nous
accuser de manquer d’ambition ou de relâcher nos exigences lors du recrutement. Dans les
cas d’opérations ”extérieures”, le socle commun est plus à-même de donner une juste idée
du niveau de nos élèves. Et le ”niveau-zéro” demeurerait un mètre-étalon à usage interne
à l’aune duquel nous pourrions ajuster nos recrutements et les enseignements en PeiP.
– Nous recommandons de sortir de la grille de lecture qui incite à poser, dès lors qu’il est
question du niveau en math :
IUT ≤ PeiP/L2 ≤ Prépa
Les enseignants de l’école constatent que, même si les programmes en IUT ont des ambitions théoriques moindres qu’en L2, le niveau réel des étudiants offre une vision très
contrastée. Il s’avère en particulier que les élèves issus de certaines de ces filières courtes
maı̂trisent au moins aussi bien les techniques de calcul mathématique et disposent parfois
d’un corpus de base plus solide. A l’inverse nous savons tous que les élèves issus de classes
préparatoires peuvent être décevants, y compris en math.
– Pour terminer nous posons quelques questions qui ne sont pas nécessairement propres
au mathématiques. Tout d’abord le constat du point précédent bat en brêche les idées
répandues sur les publics qui peupleront les enseignements différenciés du S5 et leur
répartition. Comment la ventilation des élèves se fera-t-elle dans ces groupes si une dichotomie selon l’origine n’est pas pertinente ? Si nos calculs sont bons, il est prévu de
dispenser une soixantaine d’heures de remise en niveau en math dans les départements
au S5. Ces UE seront-elles fondues dans le contingent annuel d’ ECTS ? Qu’adviendra-t-il
enfin des enseignements de mathématiques plus spécialisés à l’école - et il y en a- si un
transfert des heures est réalisé vers des UE de renforcement ou plus généralistes ? Les
ressources n’étant pas élastiques, on risque de ”déshabiller Pierre pour habiller Paul”.
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Connaissances initiales requises en mathématique à Polytech’Montpellier
Nous avons mis entre crochets [...] des propositions de notions ou de chapitres qui ne sont
pas à classer dans le niveau zéro mais qui doivent apparaı̂tre dans le socle commun.
Algèbre :
1- Bases de l’algèbre et de la géométrie
a/ Ensembles, relations, bases méthodologiques (équations aux dimensions, ordres de grandeurs...) et logiques (implication, négation, contraposée, démonstration par l’absurde, récurrence...).
b/ Nombres complexes, trigonométrie, surfaces et volumes.
c/ Résolution de systèmes linéaires.
d/ Polynômes, fractions rationnelles.
Compétences : Etre capable de démarrer tout seul une démonstration. Tenir au creux de sa
main les méthodes calculatoires de base sur la résolution de systèmes linéaires (pivot de Gauss...)
ou la décomposition des fractions rationnelles en éléments simples. A l’issue des 1-c et 1-d, les
élèves doivent être capables de distinguer les notions de variable et de paramètre.
2- L’espace euclidien Rn
a/ Espace vectoriel, sous-espace vectoriel, bases, indépendance, dimension
b/ L’espace euclidien et sa structure (produit scalaire, orthogonalité...)
Compétences : Etre capable d’effectuer des calculs dans un espace non représentable graphiquement, maı̂triser les notions basiques d’algèbre linéaire euclidienne.
3- Calcul matriciel
a/ Le concept de linéarité (qu’est-ce qu’une application linéaire ?..)
b/ Matrices : les différents types de matrices, calcul matriciel, déterminant, inverse...
[c/ Elements propres : définition, calcul.]
Compétences : Connaı̂tre les opérations effectuées par certaines matrices (projections, rotations...). Etre capable d’effectuer toutes les opérations de base du calcul matriciel.
Analyse :
1- Bases de l’analyse
a/ Fonctions usuelles réelles : manipulation, étude, graphe, dérivation et son interprétation
géométrique, développements limités, comparaison de fonctions, limites...
b/ Suites (étude, critères de convergence, somme des termes de suites arithmétiques et
géométriques...)
[c/ Séries, séries entières.]
Compétences : Savoir mener l’étude locale et globale des fonctions réelles de la variable réelle.
Etre capable d’étudier la convergence d’une suite réelle.
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2- Equations différentielles ordinaires
Savoir résoudre une équation différentielle linéaire simple (par exemple à coefficients constants
d’ordre 1 ou 2).
[2bis- Calcul différentiel pour les fonctions de deux ou trois variables.
a/ Systèmes de coordonnées (cartésiennes, cylindropolaires, sphérique).
b/ Dérivées partielles, gradient, jacobienne, dérivées d’ordres supérieur...
Compétences : Maı̂triser les notions de base du calcul différentiel pour application immédiate en
mécanique et mécanique des fluides, etc.]
3- Calcul Intégral pour les fonctions réelles
a/Techniques du calcul intégral (changement de variables, intégration par parties), intégrales
impropres...
[b/ Intégrales multiples.]
Compétences : Déterminer la nature d’une intégrale. Pratiquer l’intégration par parties, le
changement de variables.
Probabilités-Statistique :
1- Statistiques
a/ Statistiques descriptives pour une variable réelle.
[b/ Techniques statistiques de base pour plusieurs variables (ANOVA, régression linéaire...)]
2- Probabilités
Bases du dénombrement, évènements, théorème de Bayes, variables aléatoires discrètes et
réelles.
Compétences : Elles doivent permettre aux enseignants de l’école d’attaquer immédiatement
les cours de probabilités et de statistique mathématique ou multivariée sans ressasser les prérequis.
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Annexe 1 : Le programme des classes préparatoires MPSI1
Première année
A. Programme de début d’année
I. Nombres complexes et géométrie élémentaire
1- Nombres complexes
2- Géométrie élémentaire du plan, géométrie élémentaire de l’espace
II. Fonctions usuelles et équations différentielles linéaires
B. Analyse et géométrie différentielles
I. Nombres réels, suites et fonctions
1- Suites de nombres réels
2- Fonctions d’une variable réelle à valeurs réelles
II. Calcul différentiel et intégral
1- Dérivation des fonctions à valeurs réelles
2- Intégration sur un segment des fonctions à valeurs réelles
3- Approximation
III. Notions sur les fonctions à deux variables réelles
1- Espace R2 , fonctions continues
2- Calcul différentiel
3- Calcul intégral
C. Algèbre et géométrie
I. Nombres et structures algébriques usuelles
1- Vocabulaire relatif aux ensembles et aux applications
2- Nombres entiers naturels, ensembles finis, dénombrements
3- Structures algébriques usuelles
II. Algèbre linéaire et polynômes
1- Espaces vectoriels
2- Dimension des espaces vectoriels
3- Polynomes
4-Calcul matriciel
5- Déterminants
III. Espaces vectoriels euclidiens et géométrie euclidienne
Deuxième année
A.Algèbre et géométrie
I. Algèbre linéaire : espaces vectoriels, applications linéaires
II. Réduction des endomorphismes
1- Sous-espaces stables, polynômes d’un endomorphisme
2- Réduction des endomorphismes
III. Espaces euclidiens, géométrie euclidienne, espaces hermitiens
1- Espaces préhilbertiens réels
2- Espaces euclidiens
B.Analyse et géométrie différentielles
I. Suites et fonctions
1- Espaces vectoriels normés réels ou complexes
2- Espaces vectoriels normés de dimension finie
3- Séries d’éléments d’un espace vectoriel normé
4- Suites et séries de fonctions
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Certains chapitres du programme officiel ont été volontairement éliminés parce que trop éloignés du socle
commun d’un ingénieur Polytech : arithmétique, coniques, courbes paramétrées, courbes planes et champs, espaces
hermitiens ainsi que les activités algorithmiques.
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II. Fonctions d’une variable réelle : dérivation et intégration
1- Dérivation des fonctions à valeurs vectorielles
2- Intégration sur un intervalle quelconque
III. Séries entières, séries de Fourier
1- Séries entières
2- Séries de Fourier
IV. Equations différentielles linéaires et non linéaires
V. Calcul différentiel (et intégral curivligne) pour les fonctions de plusieurs variables réelles
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Annexe 2 : Liste des enseignements de Math en L1-L2 à l’UM22
N.B : les modules soulignés sont ceux suivis par les Peip. Leur descriptif est fourni dans
l’Annexe 3. L’UE FLMA 403 : Analyse 3 est optionnelle mais choisie majoritairement. Le module
FLMA 203 : Introduction à la statistique était obligatoire jusqu’à l’année dernière.
L1 (1ère année)
1er semestre (S1) :
FLMA102 Bio-Mathématiques
FLMA103 Algèbre linéaire 1
FLMA104 Mathématiques pour l’Economie
FLMAO99 Aide pédagogique en math. (soutien)
2nd semestre (S2) :
FLMA203 Introduction à la Statistique
FLMA204 Nombres et Structures
FLMA205 Analyse 1
FLMA207 Bio-Maths 2
FLMA250 Méthodes de travail en mathématiques
FLMAO99 Aide pédagogique en math. (soutien)
FLMAS1S Soutien math. inter-session S1
FLMAS1SD Soutien math inter-session à distance S1
FLMAS2S Soutien math. inter-session S2
FLHD206 Fondements Mathématiques de l’Informatique [MATH/INFO]
L2 (2ème année)
1er semestre (S3) :
FLMA203C Introduction à la biostatistique
FLMA301 Probabilités élémentaires
FLMA302 Algèbre linéaire 2
FLMA303 Analyse 2
FLMA305 Maths pour concours SV S3
FLMA306 Statistique Appliquée
FLMAO01 Résolution de problèmes
FLPH305 Math. pour prépa concours ENSI S3 [PHYS]
2nd semestre (S4) :
FLMA302D Algèbre linéaire 2
FLMA303D Analyse 2
FLMA401 Arithmétique de Z et corps finis
FLMA402 Algèbre linéaire 3
FLMA403 Analyse 3
FLMA404 Statistique inférentielle
FLMA406 Maths pour concours SV S4
FLMAO01 Résolution de problèmes
FLMAO05 Mathématiques, les brins d’une guirlande éternelle : Recréations mathématiques
et mathématiques du quotidien
FLSI451 Mathématiques en Mécanique [MATH/MECA]
FLPH406 Math. pour prépa concours ENSI S4 [PHYS]
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Source : serveur du département Enseignement de Math
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Annexe 3 : Descriptif des enseignements de Math des Peip à Montpellier 23
Chacune des UE présentée donne lieu à 51 heures avec le découpage commun suivant : CM :
21h + TD/TP : 30h
FLMA103 Algèbre linéaire 1 :
Systèmes linéaires ;
Matrices et systèmes linéaires ;
Algorithme de Gauss ;
Combinaisons linéaires, espace engendré, sous-espaces vectoriels de Rn ;
Indépendance linéaire, bases et dimension ;
Applications linéaires de Rn vers Rm ;
Calcul matriciel, matrice inversible et système linéaire inversible ;
Changement de base.
FLMA205 Analyse 1 :
Fonctions d’une variable réelle : continuité, théorème des valeurs intermédiaires, dérivabilité et
applications ;
Fonctions classiques (ln, exp, sin, cos, tan, cosh, sinh, arccos, arcsin), rappels sur les calculs
pratiques de primitives simples (changement de variables, intégration par parties) ;
Théorème de Rolle et des accroissements finis, applications à l’approximation d’une fonction par
une fonction affine ;
Fonctions polynômes, formules de Taylor-Young, développements limités ;
Fonctions de plusieurs variables : graphes, dérivées partielles.
FLMA302 Algèbre Linéaire 2 :
Espace vectoriel, sous-espace vectoriel, supplémentaire, combinaison linéaire, famille libre, génératrice,
base, dimension (3 séances)
Applications linéaires : lien avec le calcul matriciel, changement de base, noyau, image, rang,
théorème du rang, isomorphismes, forme linéaire (définition et exemples) (3 séances)
Déterminants : usage et calcul pratique (3 séances)
Valeurs propres, vecteurs propres (uniquement définition et exemples), sous-espace propre (exemples
de détermination de...), application au calcul de la puissance n-ième d’une matrice (3 séances).
FLMA303 Analyse 2 :
Rappels : suites numériques, convergence (définition par epsilon/N), fonctions continues, continuité uniforme ;
Intégration des fonctions continues sur un segment de R ;
Résolution exacte d’équations différentielles classiques ;
Equations différentielles linéaires ;
Initiation à la problématique de la modélisation mathématique et de l’analyse numérique :
un exemple de méthode numérique de résolution d’équations (dichotomie, Newton), de calcul
d’intégrales et de résolution d’équations différentielles ;
Intégrales dites « impropres » ou « généralisées ».
FLMA402 Algèbre Linéaire 3
Rappels sur les applications linéaires, changement de base et traduction matricielle ;
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Source : serveur du département Enseignement de Math.
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Valeurs propres, vecteurs propres, endomorphismes diagonalisables ;
Polynôme caractéristique, polynôme minimal, théorème de Cayley-Hamilton ;
Introduction à l’analyse numérique matricielle : conditionnement, décomposition PA=LU avec
stratégie de pivot, notions dans le cas des matrices creuses et sur les mises à jour de telles
factorisations ;
Décomposition QR, transformation de Householder et de Givens ;
Initiation aux méthodes de calcul de valeurs propres et de vecteurs propres sur machine à l’aide
de Matlab (ou Scilab, ou Octave).
FLMA403 Analyse 3
Séries numériques : convergence, convergence absolue, critère de Riemann, comparaison avec
une intégrale, séries alternées ;
Suites de fonctions : convergence simple, convergence uniforme, théorèmes d’interversion de
limites ;
Séries de fonctions, convergence simple, convergence normale ;
Séries entières : rayon de convergence, critères d’Abel et d’Alembert.
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