Chapitre I : Le transformateur 1. Introduction

Spéciale PSI - Cours "Conversion de puissance"
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Conversion électromagnétique statique
Chapitre I : Le transformateur
Objectifs :
• déterminer les principales caractéristiques d’un transformateur et comprendre son principe de fonctionnement ;
• présenter un modèle simple : le transformateur parfait.
1. Introduction
Les chapitres précédents abordaient le problème de traitement du signal sans aucune référence aux puissances mises en jeu
alors que les techniques à utiliser ne sont pas les mêmes si ces puissances sont de l’ordre du milliwatt ou du kilowatt.
De plus, les procédés de production, de transport et d’utilisation de l’énergie électrique font appel à de nombreuses conversions
de puissance.
• Production : dans les centrales, l’énergie thermique est convertie en énergie mécanique (mise en mouvement des
turbines) puis en énergie électrique grâce à un alternateur qui réalise une conversion électromécanique. (cas
particulier des centrales hydroélectriques).
• Transport : pour diminuer les pertes par e*et Joule dans les lignes électriques on transporte l’énergie électrique sous
haute tension. Pour limiter les risques, l’utilisateur reçoit cette énergie sous une tension bien plus faible. Ces di*érentes
conversions statiques de la puissance sont obtenus grâce à des transformateurs.
• Utilisation : selon les modes d’utilisation, il pourra être nécessaire d’e*ectuer une conversion électronique de
puissance.
Au cours de ces conversions la puissance reçue en entrée Pe est égale à la somme de la puissance Ps cédée en
sortie et de la puissance PP perdue (sous forme de chaleur, rayonnement, vibrations mécaniques). On dé0nit alors le
rendement du convertisseur comme le rapport de la puissance utile délivrée à la charge à la puissance absorbée à la source :
Pe = Ps + PP et
=
Ps
Pe
Exercice n 01 : Nécessité des hautes tensions
Quels diamètres de 0l choisir pour fournir à une usine, distant de 50 km, une puissance de 10 MW avec moins de 10% de pertes
sous une tension de 220 V ou de 200.103 V ?
La résistivité du cuivre est = 2, 0.10 8 .m.
Exercice n 02 : Limite d’utilisation d’un montage potentiométrique dans la conversion de puissance
E = 24 V, R = 80 , on pose r1 + r2 = R et R = 1 k .
1) On réalise le montage ci-dessus. Déterminer la fem E et la résistance interne ri du dipôle AA . Exprimer
de r1 et r2 .
2) En déduire la puissance P2 dissipée dans la résistance de charge R en fonction de E , , R et R.
3) Calculer la puissance P1 fournie par la source de tension E en fonction de E , , R et R.
4) En déduire le rendement en puissance du circuit en fonction de , R et R.
Application numérique : calculer pour = 3/4. Que pensez-vous de la valeur obtenue ?
et ri en fonction
Conversion de puissance. Chapitre I : Le transformateur
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2. Rappels
• Les phénomènes expérimentaux liés aux milieux magnétiques sont très bien interprétés à l’échelle macroscopique par
l’hypothèse que tout élément de volume d’un matériau aimanté possède un moment dipolaire magnétique. Le phénomène
d’aimantation est alors entièrement caractérisé par la densité volumique de moment dipolaire, champ vectoriel que
nous désignerons par M ; M est appelé ”vecteur aimantation” ou simplement ”aimantation” du milieu. Unité: M
s’exprime en Ampère par mètre (symbole A m 1 ) dans le système d’unités internationale.
• Par dé0nition on appelle ”vecteur H ” ou vecteur ”excitation magnétique” le vecteur donné en tout point par la
relation
B
M
H=
µo
Le vecteur H a la même dimension que le vecteur M, il s’exprime donc en Ampère par mètre (symbole A m
1
) en SI.
• Le théorème d’Ampère s’écrira alors dans un milieu magnétique
H.d
j.dS +
=
C
S
H .d l
soit dans l’ARQS
S
D
.dS
t
= Ilibre, enlacé
C
• Loi de Faraday généralisée : Pour une maille fermée, mobile dans un champ magnétique variable B, la f.e.m.
d’induction est donnée par la loi de Faraday :
d
e=
dt
où ddt représente la dérivée totale du Aux (t), tenant compte du déplacement du circuit et de la variation de B. (e est
la somme de eL =
C
ve
B .d et de eN =
A
t .d
C
).
• Si le circuit à une inductance propre L et est parcouru par un courant d’intensité i alors
= L.i et e =
L di
dt
• Si deux circuits sont en inductance mutuelle et en supposant qu’il n’y a pas d’autre source de champ
magnétique, les Aux totaux à travers chacune des deux bobines s’écrivent :
1
2
=
=
+
2+
1
1
2
2
1
1
2
= L1 i1 + Mi2
= L2 i2 + Mi1
D’où les f.e.m. induites :
e1 =
e2 =
d 1
dt
d 2
dt
1
L1 di
dt
di2
L2 dt
=
=
2
M di
dt
di1
M dt
M
i1
R1
L2
L1
A
B
i1
R2
D
C
R1
R2
A
B
e1
i2
i2
D
C
e2
On en déduit les di*érences de potentiel aux bornes de chacun des deux circuits :
di1
di2
+M
dt
dt
di1
di2
+M
uCD = v2 = R2 i2 e2 = R2 i2 + L2
dt
dt
Les équations électriques de chacune des deux branches sont couplées par inductance mutuelle.
En régime sinusoïdal permanent à la pulsation ! ces équations deviennent :
uAB
= v1 = R1 i1
e1 = R1 i1 + L1
v1 = R1 i1 + j!L1 i1 + j!M i2
v2 = R2 i2 + j!L2 i2 + j!M i1
Conversion de puissance. Chapitre I : Le transformateur
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3. Le transformateur
3.1. Description du dispositif
• Un transformateur est constitué d’un circuit magnétique fermé sur lequel sont bobinés deux enroulements électriquement indépendants (galvaniquement isolé) : le primaire (relié à la source) et le secondaire (relié à la charge)
(dans le cas particulier de l’autotransformateur, il n’y a qu’un seul bobinage : le secondaire est une partie du primaire).
Le circuit magnétique est constitué d’un matériau ferromagnétique (cf. travaux pratiques), en général de minces tôles
de fer au silicium d’épaisseur comprise environ entre 0, 05 mm et 0, 5 mm isolées les unes des autres par du vernis ou
par une oxydation super0cielle, et fortement comprimées par un système de serrage.
Chacun des circuits électriques est constitué de 0l de cuivre ou d’aluminium émaillé ou enrubanné de coton, papier ou
toile pour l’isolation électrique. Ces circuits sont noyés dans de la résine ou imprégnés de vernis et comprimés pour
résister aux e*orts électromagnétiques.
Dans les transformateurs de forte puissance, le circuit électrique est isolé du circuit ferromagnétique et de l’enveloppe
extérieure par un diélectrique (de l’huile ou du pyralène, avant son interdiction). Ce Auide permet aussi d’évacuer vers
l’extérieur la chaleur dissipée dans le transformateur.
• Importance du circuit ferromagnétique :
Grâce aux propriétés ferromagnétiques du matériau qui le constitue, le circuit magnétique canalise les lignes de champ
magnétique : le champ magnétique peut être considéré comme quasiment nul en dehors du matériau, appelé ici noyau.
Le couplage entre les enroulements est alors pratiquement total, car quasiment toutes les lignes de champ magnétique
traversent les deux enroulements. De plus, le circuit ferromagnétique rend l’intensité dans le circuit primaire très faible
en l’absence de courant dans le secondaire.
L’utilisation de tôles feuilletées dans le sens du champ magnétique permet de diminuer les pertes par courants de
Foucault.
3.2. Convention d’orientation
On oriente de façon arbitraire le circuit magnétique.
L’orientation des enroulements primaire et secondaire est telle que leur normale (obtenue avec les règles habituelles) est dans
le sens choisi pour l’orientation du circuit magnétique. On repère alors par deux points une paire de bornes homologues
du transformateur : cette paire est composée de la borne du primaire et de celle du secondaire par où rentre un courant
positif avec la convention d’orientation précédente.
3.3. Hypothèses simpli,catrices
L’étude d’un transformateur réel est complexe mais nous pourrons adopter des hypothèses simpli0catrices :
• sur le matériau constituant le noyau :
— le noyau est torrique
— les champs magnétiques mis en jeu sont faibles devant le champ de saturation et le cycle d’hystérésis est suEsamment étroit pour être assimilé à un segment de droite. On peut alors faire l’approximation d’un milieu linéaire,
homogène et isotrope (milieu L.H.I.) pour lequel
B = µ0 µr H
Conversion de puissance. Chapitre I : Le transformateur
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— l’hypothèse précédente peut être complétée : dans le cas des matériaux ferromagnétiques, la perméabilité relative
+ .
µr est souvent grande devant 1 et on ferra parfois l’approximation µr
• sur le champ magnétique dans le noyau :
— les lignes de champ magnétique sont assimilées à des cercles de même axe de révolution que le tore,
qui se comporte donc comme un tube de champ. Il n’y a pas de ”fuites” (c’est à dire pas de lignes de champ qui
se referment en dehors du noyau). II en résulte que le 0ux du champ B à travers toute section est constant et
que le couplage entre les deux enroulements est total.
— on considère la section du tore de diamètre très inférieur au rayon moyen R, de telle sorte qu’on puisse
supposer les champs uniformes sur toute une section.
• sur les enroulements :
Ils sont parfaitement conducteurs et ne présentent pas de pertes par e*et Joule.
Exercice n 03 : Etude d’une bobine à noyau torique
Une bobine est constituée de n1 spires pratiquement jointives de rayon a, enroulées en une seule couche sur un tore de rayon moyen
r0 . L’enroulement est réalisé avec un 0l de cuivre de diamètre d
a. La bobine est parcourue par un courant I .
1) Quelle est la forme des lignes de champ magnétique ?
2) Exprimer le champ magnétique B en un point P situé à l’intérieur du tore et repéré par les coordonnées r et $.
3) Calculer l’inductance propre L de la bobine. On considérera pour cela que r0
a et les calculs seront développés au second
ordre.
n21 a2
4) Calculer la valeur maximale que doit avoir le rapport a/r0 pour que l’on puisse considérer que L
L1 = µ02r
, avec une
0
précision supérieure à 1% ? µ0 est la perméabilité du vide.
Application numérique: d = 0, 4 mm, a = 6 mm, r0 = 30 mm.
4.Mise en équation du transformateur parfait
4.1. Notations
Soit un transformateur pour lequel toutes les hypothèses simpli0catrices précédentes sont applicables (sauf µr
+ ):
Conversion de puissance. Chapitre I : Le transformateur
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• le noyau est torrique et constitué d’un milieu linéaire, homogène et isotrope : B = µ0 µr H
• les lignes de champ magnétique sont assimilées à des cercles de même axe de révolution que le tore (le Aux du champ B
à travers toute section est constant et le couplage entre les deux enroulements est total) et les champs sont uniformes
sur toute une section.
• les enroulements sont parfaitement conducteurs et ne présentent pas de pertes par e*et Joule.
Soit n1 (respectivement n2 ) le nombre de spires du primaire (respectivement du secondaire) et i1 , i2 , v1 et v2 les courants
et les tensions indiqués sur la 0gure 1 ci-dessus.
4.2. Expression des tensions
4.2.1. Première méthode
• les lignes de champ étant des cercles, le théorème d’Ampère appliqué au cercle orienté C de rayon R donne :
H .d l = Ilibre, enlacé
C
l’excitation magnétique H est donc :
H=
1
(n1 i1 + n2 i2 ) u
2&R
• le milieu est linéaire, homogène et isotrope
B = µ0 µr H =
• le Aux
µ0 µr
(n1 i1 + n2 i2 ) u
2&R
de B à travers toute section du tore s’écrit :
=
B.dS = BS =
µ0 µr
(n1 i1 + n2 i2 ) S
2&R
Ce Aux, souvent appelé 0ux commun (c’est la grandeur qui assure le couplage entre le primaire et le secondaire) est
le Aux pour une spire. C’est une grandeur continue ( est lié à l’énergie emmagasinée dans le noyau).
• Dans chaque enroulement va apparaître un phénomène d’induction lorsque le Aux va varier. On modélise alors le
transformateur par le quadripôle de la 0gure 2 du paragraphe 4.1..
Il y a n1 spires au primaire, le Aux à travers ce conducteur est donc 1 = n1 et la loi de Faraday donne (résistance
des bobinages négligeables) :
v1
=
d 1
d
d µ0 µr S
= n1
= n1
(n1 i1 + n2 i2 )
dt
dt
dt
2&R
µ µ S di1 µ0 µr S
di2
v1 = 0 r n21
+
n1 n2
2&R
dt
2&R
dt
e1 =
de même au secondaire on obtient :
v2
=
=
v1 =
v2 =
d 2
d
= n2
dt
dt
µ0 µr S
di1 µ0 µr S 2 di2
n1 n2
+
n
2&R
dt
2&R 2 dt
e2 =
e1 =
e2 =
µ0 µr S 2 di1
µ0 µr S
di2
2 R n1 dt + 2 R n1 n2 dt
µ0 µr S
µ0 µr S 2 di2
di1
2 R n1 n2 dt + 2 R n2 dt
4.2.2. Deuxième méthode
On pouvait retrouver directement ces résultats grâce aux rappels du paragraphe 2 :
nous pouvons donner le schéma électrique équivalent du transformateur (avec les hypothèses précédentes) :
Conversion de puissance. Chapitre I : Le transformateur
v1 =
v2 =
di2
1
e1 = L1 di
dt + M dt
di2
1
e2 = L2 dt + M di
dt
6
n2 S
n2 S
avec L1 = µ0 µr 2 1R et L2 = µ0 µr 2 2R
et M = L1 L2 = inductance mutuelle avec couplage total
4.3. Rapport de transformation en tension
D’après le paragraphe 4.2. v1 = n1 ddt et v2 = n2 ddt et donc
v2
v1
=
n2
n1
= m = rapport de transformation en tension
4.4. Transformateur parfait : rapport de transformation en courant
Dans le modèle du transformateur parfait nous supposons de plus que la perméabilité relative µr du matériau
magnétique tend vers l’in,ni. L’expression du Aux donne
=
µ0 µr
(n1 i1 + n2 i2 ) S
2&R
i2
i1
n1 i1 + n2 i2 = 2&R
n1
n2
=
1
m
µ0 µr S
0 et donc
si µr
Le symbole d’un transformateur parfait, est donné ci-dessous :
Remarques :
1) Dans un transformateur parfait, la puissance instantanée absorbée au primaire p1 = u1 .i1 est égale à la puissance
instantanée cédée au secondaire p2 = u2 .i2 . Cette propriété restant vraie pour les valeurs moyennes, le rendement d’un
transformateur parfait est donc égal à 1. Le transformateur est utilisable comme convertisseur de puissance, même
pour de fortes puissances.
0, l’excitation magnétique H est donc nulle.
2) Dans un transformateur parfait n1 i1 + n2 i2
4.5. Fonctionnement en régime sinusoïdal
Dans le cas où les tensions et courants primaires et secondaires varient sinusoïdalement dans le temps, les équations générales
de fonctionnement du transformateur s’écrivent en notation complexe :
di2
di1
di2
1
v1 = L1 di
dt + M dt et v2 = L2 dt + M dt
V 1 = jL1 !I 1 + jM!I 2 et V 2 = jL2 !I 2 + jM!I 1
Il en est de même pour les relations de transformation des courants et tensions
V 2 = mV 1 et I 1
mI 2
Exercice n 04 : Caractéristiques d’un transformateur
Le rapport de transformation d’un transformateur parfait est de 0, 22. L’enroulement secondaire comporte 100 spires.
1) Quel est le nombre de spires au primaire ?
Conversion de puissance. Chapitre I : Le transformateur
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2) Le primaire est alimenté sous 1000 V, 50 Hz, le secondaire est relié à un moteur de puissance 1000 W et de cos ) = 0, 8.
a) Quelle est la tension au secondaire ?
b) Quels sont les courants dans les circuits primaire et secondaire ?
Exercice n 05 : Fonction de transfert
Un transformateur a le schéma équivalent donné ci-dessus. Au primaire est connectée une source sinusoïdale de fem complexe e et
de résistance interne ; le secondaire est fermé sur une résistance de charge Rch .
1) v étant la tension aux bornes de Rch , déterminer, en notation opérationnelle, la fonction de transfert V (p) /E (p).
2) A quel modèle mathématique correspond-elle selon que l’on suppose ou non le couplage total ?
4.6. Transfert d’impédance par un transformateur parfait
Vu du primaire, l’ensemble transformateur charge est équivalent à un dipôle dont les caractéristiques dépendent de la charge et
du rapport de transformation. Remplacer l’ensemble {transformateur + charge} par le dipôle équivalent est appelé transfert
des caractéristiques de la charge au primaire.
La caractéristique courant-tension de la charge donne la relation entre u2 et i2 . Les équations couplant le primaire et le
secondaire permettent de déterminer la relation entre u1 et i1 .
Plaçons-nous dans le cas d’un régime sinusoïdal forcé de pulsation ! et d’une charge représentée par un dipôle linéaire
d’impédance Zc (p). Les équations U2 (p) = Zc(p).I2 (p), U2 (p) = mU1 (p) et I1 (p) = mI2 (p) imposent la relation :
U1 (p) =
Zc (p).I1 (p)
m2
c (p)
L’impédance vue au niveau du primaire du transformateur est Zm
impédance de la charge Zc (p) (branchée
2
au secondaire) divisée par le carré du rapport m de transformation.
L’impédance ”vue” au primaire du transformateur parfait a la même phase que l’impédance de la charge. En particulier, une
résistance est vue comme une résistance, un condensateur comme un condensateur et une bobine comme une bobine.
4.7. Transfert de la source
Inversement, vu du secondaire, l’ensemble transformateur-source est équivalent à un dipôle dont les caractéristiques dépendent
de la source et du rapport de transformation.
Remplacer l’ensemble {transformateur + source} par le dipôle équivalent est appelé transfert des caractéristiques de la
source au secondaire.
Plaçons-nous du point de vue de la charge et cherchons le dipôle équivalent au transformateur alimenté par un générateur.
La relation entre la tension u1 aux bornes du générateur et son courant de sortie i1 0xe la relation entre u2 et i2 .
Dans le cas d’un régime sinusoïdal forcé de pulsation !, modélisons la source par un générateur de Thévenin de f.e.m. E(p)
et d’impédance Zs (p) en notation opérationnelle.
Des relations U1 (p) = E(p) Zs (p).I1 (p) dé0nissant le générateur et l’ensemble des relations U2 (p) = m.U1 (p) et I2 (p) =
I1 (p)
m caractéristiques du transformateur, nous déduisons :
U2 (p) = m.E(p) + m2 Zs (p)I2 (p)
Conversion de puissance. Chapitre I : Le transformateur
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La source vue à travers le transformateur parfait est équivalente à un générateur de Thévenin de f.e.m. m.E(p) et d’impédance
m2 Zs (p):
La source transférée au secondaire a pour f.e.m. m.E(p), et pour impédance m2 Zs (p):
• la f.e.m. E(p) de la source (branchée au primaire) est multipliée par le rapport m de transformation ;
• l’impédance Zs (p) de cette source est multipliée par le carré du rapport m de transformation.
Exercice n 06 : Adaptation à l’aide d’un transformateur
Un générateur sinusoïdal a une force électromotrice complexe e et une résistance interne Re ; il est chargé par une résistance Rch .
1) Déterminer la puissance moyenne que dissipe le générateur dans Rch .
2) Déterminer le rapport m du transformateur parfait à interposer entre la source et la charge pour que la puissance que cette
dernière absorbe soit maximale. Que vaut alors cette puissance ?
Exercice n 07 : Transfert d’impédance et de puissance
Soit un transformateur considéré comme parfait de rapport de transformation m = 0, 22. Son primaire est relié à une source de
tension de 103 V, 50 Hz. Son secondaire est relié à un moteur de puissance 5 kW considéré comme un dipôle inductif de cos ) = 0, 9.
1) Calculer l’impédance du moteur.
2) Calculer cette impédance ramenée au primaire du transformateur.
3) La ligne d’alimentation primaire du transformateur présente en fait une résistance de 1 .
3.a) Quelle est la puissance fournie au moteur ? Quelle est celle fournie par la source de 103 V ?
3.b) Comparer ces résultats à ceux obtenus avec la même ligne alimentée en 220 V et reliée au même moteur.
5. Exemples d’utilisation
5.1. Problème de la composante continue
Si le courant primaire est continu et qu’il n’y a pas de source de signal (tension ou courant) connectée au secondaire, alors
di1 /dt = 0 donc v1 = v2 = 0 ; le primaire se comporte, vis à vis du continu, comme un court-circuit.
Il ne faut donc pas connecter directement le primaire du transformateur à une source de tension continue,
ou plus généralement à tout générateur possédant une valeur moyenne de tension non nulle, sous peine de
détériorer la source ou l’enroulement si aucune limitation de courant n’a été prévue.
5.2. Transformateur d’isolement
Lorsque l’on cherche à interconnecter deux circuits, il arrive que leurs masses soient distinctes et que le raccordement soit
problématique. L’insertion d’un transformateur d’isolement (de rapport parfois égal à 1) permet alors de s’a*ranchir de la
diEculté : on utilise les propriétés d’isolation galvanique du transformateur.
Conversion de puissance. Chapitre I : Le transformateur
9
5.2.1. Sécurité secteur : transformateur d’isolement abaisseur
Tous les points du montage sont galvaniquement isolés de la phase et du neutre du secteur.
5.2.2. Mesure
Lorsque l’on cherche à visualiser, sur un oscilloscope, la caractéristique i(v) d’un dipôle en mesurant simultanément la tension
à ses bornes et le courant le traversant par l’intermédiaire de la tension aux bornes d’une résistance placée en série, on peut
être confronté à un problème de masse. Il est possible de surmonter la diEculté en utilisant un transformateur d’isolement.
5.3. Conclusion
• Selon les cas un transformateur permet d’ :
— augmenter ou abaisser l’amplitude d’une tension (transformateur de tension)
— isoler deux circuits (transformateur d’isolement)
— adapter l’impédance (cf. § 4.5. et 4.6.)
• Caractéristiques nominales d’un transformateur :
Un transformateur doit être adapté à la source et à la charge auxquelles il est relié. Pour cette raison, les constructeurs
précisent les caractéristiques suivantes :
— la fréquence d’utilisation,
— la tension d’alimentation primaire,
— la tension de sortie à vide
— la puissance apparente (ou l’intensité nominale). La puissance apparente est le produit de l’intensité nominale
(qui correspond aux conditions d’utilisation optimale du transformateur) par la tension de sortie à vide elle est
exprimée en V A et non en watts.
Le constructeur indique parfois la tension secondaire en charge pour le courant nominal avec un facteur de puissance qui
est précisé. Elle di*ère, en général, de moins de 5% de la tension à vide.
Par exemple, un transformateur 220 V 24 V 100 V A doit être relié à une source de tension eEcace 220 V 50 Hz et fournit
une intensité de 100
24 = 4, 2 A sous 24 V dans les conditions nominales.
6. Transformateur réel (modèle linéaire)
On se propose d’examiner successivement les causes d’écart entre le fonctionnement réel d’un transformateur et le modèle du
transformateur parfait.
Conversion de puissance. Chapitre I : Le transformateur
10
6.1. Perméabilité du matériau
6.1.1. Courant magnétisant
Dans le transformateur parfait µr
le théorème d’Ampère :
; supposons que le matériau L.H.I. a une perméabilité relative µr ,nie. D’après
ligne
de champ
H .d l = Ilibre, enlacé = n1 i1 + n2 i2
On dé0nit alors le courant magnétisant im par :
im = i1 +
Cette dé0nition donne
n1 im = n1 i1 +
n2
n1 i2
n2
i2
n1
= courant magnétisant
= n1 i1 + n2 i2 =
ligne
de champ
H .d l
Le courant magnétisant im est l’intensité parcourant le primaire, avec le secondaire en circuit ouvert (i2 = 0),
créant la même excitation magnétique qu’au point de fonctionnement dé,ni par les intensités i1 et i2 .
Dans le cas d’un noyau torique
ligne
de champ
H .d l = 2&R H = H avec
im =
n1
H=
= périmètre du tore :
B
1
=
n1 µ0 µr
n1 µ0 µr S
Remarque : Si µr est 0nie l’exitation magnétique n’est plus nulle.
6.1.2. Modélisation
Montrons qu’un transformateur dont le seul ”défaut” est l’existence d’un courant magnétisant peut être modélisé par le
circuit ci-dessous :
par dé0nition de im
:
im = i1 +
n2
i2
n1
d i1 + nn21 i2
dim
v1 = L?
= L?
dt
dt
= L?
di1 n2 di2
+ L?
dt
n1
dt
le quadripôle complet (i.e. les deux circuits couplés) véri0e v1 = L1
par identi0cation
:
L1
di1
di2
+M
dt
dt
di1
di1 n2 di2
di2
+M
= L?
+ L?
dt
dt
dt
n1
dt
L? = L1
Remarque : le couplage étant total M =
n21 S
L1 = µ0 µr 2
R
n22 S
et L2 = µ0 µr 2
R
L1 L2 et la deuxième égalité L? =
(bobinage sur noyau torique) donc L? =
n1
n2
n1
n2 M
L1 L2 =
n1
n2
=
n1
n2
L1 L2 est compatible car
n2
L1 L1 n22
1
= L1 .
6.2. Inductances de fuite
Dans le modèle du transformateur parfait le couplage était total. Si il y a des fuites magnétiques (certaines lignes de champ
traversent un enroulement sans traverser l’autre) alors il apparaît pour chacun des enroulements un Aux qui n’est pas commun,
dont on peut tenir compte en ajoutant au modèle du transformateur parfait des inductances l1 et l2 , dites inductances de
fuite :
Conversion de puissance. Chapitre I : Le transformateur
11
Exercice n 08 : Inductances de fuite d’un système de circuits couplés linéaires
Soit un système de deux circuits couplés. Le Aux à travers le primaire s’écrit
2
M2
L1 L2
2
= L2 i2 + M i1 avec M < L1 L2 . Soit k =
1
= L1 i1 + M i2 et à travers le secondaire
le coeEcient de couplage des circuits.
1) Montrer que le système peut être modélisé par le circuit ci-dessous pour lequel Lf 1 = (1
M
2
et m = kL
= kL
M .
1
2) Véri0er que ces résultats sont compatibles avec le paragraphe 6.1.2..
k)L1 , Lf 2 = (1
k)L2 , L = kL1
6.3. Résistances de bobinage
Dans le modèle du transformateur parfait le bobinage du transformateur avait une résistance nulle. En réalité le 0l utilisé a
une résistivité non nulle et donc une résistance
r=
S
avec
= longueur du 0l et S = section du 0l
Le primaire et le secondaire présente donc une résistance qui par e*et de peau peut dépendre de la fréquence (la conduction
ne se fait pas uniformément dans la section du 0l).
6.4. Transformateur réel
Nous pouvons maintenant modéliser un transformateur dont :
• le noyau a une permitivité relative 0nie,
• le couplage entre primaire et secondaire n’est que partiel,
• les enroulements sont résistifs :
On pourra si nécessaire ramener les impédances au primaire ou au secondaire.
Conversion de puissance. Chapitre I : Le transformateur
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Les pertes par e*et Joule dans les conducteurs sont appelées pertes cuivre par opposition aux pertes fer (pertes par
courants de Foucault + pertes par hystérésis), autre cause de dissipation de puissance dans un transformateur (cf. TP sur le
transformateur).
Pour tenir compte des pertes fer on peut ajouter une résistance supplémentaire Rf en parallèle sur L :
Mais ce dernier modèle est encore imparfait car les pertes fer ne correspondent pas à des e*ets linéaires ;
On introduit alors un dipôle non linéaire :
Conversion de puissance. Chapitre I : Le transformateur
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Exercice n 09 : Transformateur en charge
Lors d’un essai à vide sous une tension sinusoïdale primaire de 225 V, la tension mesurée au secondaire est de 27 V. Le nombre de
spires du circuit secondaire est de 50.
1) On suppose le transformateur parfait :
a) Calculer le nombre de spires au primaire.
b) Lors d’un essai en charge avec une charge résistive sous la même tension primaire, l’intensité au secondaire est de 20 A.
Calculer l’intensité au primaire lors de cet essai en charge.
2) En charge, la tension mesurée au secondaire est de 25 V. Pour interpréter cette chute de tension, on tient compte de la résistance
des bobinages. Quelle est la résistance équivalente du transformateur ramenée au primaire ? ramenée au secondaire ? Quelle est la
puissance dissipée par e*et Joule dans le transformateur ?
Exercice n 10 : Rendement d’un transformateur non idéal
Un transformateur, pour lequel on néglige les pertes par courant de Foucault et hystérésis, a un schéma équivalent de la forme
donnée ci-dessus. Dans ce schéma, les inductances de fuite et les résistances rendant compte des pertes Joule dans les enroulements
ont été ramenées au secondaire.
La perméabilité relative du noyau magnétique est supposée très élevée. Au primaire est connectée une source de tension sinusoïdale
de force électromotrice complexe e, de pulsation ! et d’impédance interne nulle. Le secondaire est chargé par une résistance pure Rch .
1) Déterminer la tension complexe aux bornes de Rch ; comment varie son amplitude avec la pulsation ?
2) Déterminer le rendement du transformateur (rapport de la puissance moyenne absorbée par Rch à la puissance moyenne absorbée
au primaire).
3) Déterminer la capacité du condensateur qui, inséré en série entre le secondaire et la résistance de charge, permet de recueillir
une tension d’amplitude maximale aux bornes de celle-ci. Conclure.
Exercice n 11 : Surintensité à la mise sous tension d’un transformateur
Le noyau ferromagnétique d’un transformateur torique a un cycle d’hystérésis de la forme représentée ci-dessus. Le noyau a une
section de révolution S , un rayon moyen R ; le primaire comporte n1 spires et le secondaire est laissé en circuit ouvert. Les Aux de
fuite sont négligés, de même que les pertes Joule des enroulements. On suppose qu’aux instants t < 0, la tension au primaire est nulle,
et que l’induction rémanente dans le noyau est Br . Aux instants t 0, le primaire est soumis à une tension de la forme U1 sin (!t).
1) Déterminer l’équation di*érentielle à laquelle obéit le Aux ) dans le noyau. L’intégrer en tenant compte de la continuité au
temps t = 0 (propriété que l’on justi0era).
2) Que peut-on dire du champ magnétique H si U1 > Bsat2 Br n1 S! ? Qu’observe t-on alors sur le courant traversant le primaire
? Conclure.