Théorème de Thalès : La démonstration d`Euclide

Théorème de Thalès : La démonstration d’Euclide
Cn
Cette démonstration repose sur un théorème
relativement simple à comprendre, mais pas si simple
à démontrer...
A
Ce théorème dit que lorsque deux triangles ont
une hauteur égale, leur aire est proportionnelle
au côté correspondant à cette hauteur.
B’
C’
B
C
fig.1
Ainsi, le rapport des aires des triangles ABC’ et
AB’C’ est égal à AB/AB’ et le rapport des aires des
triangles ACB’ et AB’C’ est égal à AC/AC’.
De plus, les aires des triangles BCC’ et BCB’ sont
égales (même hauteur et même base).
(fig. 2 et 3)
A
Les aires des triangles ABC’ et ACB’ sont donc
égales, par soustraction dans le triangle ABC.
(fig. 4 et 5)
B’
C’
B
C
fig.2
A B = aire (ABC’) = aire (ACB’) = A C
AB’
aire (AB’C’)
aire (AB’C’)
AC’
A
Pour le troisième rapport, il suffit d’introduire une
parallèle à AB passant par C’ et de faire le même
raisonnement depuis le sommet C.
B’
C’
B
C
fig.3
B’
C’
B
C
fig.4
A
B’
C’
C
fig.5
Thalès vécut bien avant Euclide, vers 600 av. J.-C.
La tradition rapporte que, en visite à Alexandrie,
Thalès réussit à mesurer depuis le sol la hauteur de la
grande pyramide (qui avait déjà un millénaire et demi).
A votre avis, comment a-t-il
fait ?
(une réponse se trouve
dans le “théorème du
perroquet” de Denis Guedj,
édition Roman Seuil)
A
B
Euclide en a déduit :
De retour d’Égypte où il
avait appris l’astronomie, il
réussit à prédire avec une
belle précision l’éclipse de
soleil du 28 mai de l’an
– 585 !
Thalès
Euclide vécut au IIIe siècle
av. J.-C. Il est l’auteur du
célèbre
ouvrage
“Les
Éléments”, synthèse de
résultats
mathématiques,
divisée en 13 livres. Les 4
premiers
traitent
de
géométrie plane.
Euclide