TD1_2_corrigeÌ

Université Paris 7 - Denis Diderot
2013-2014
TD : Corrigé TD1 - partie 2
1
Mise en application
Exercice 1 corrigé
–
Exercice 2 corrigé - Vibration d’une goutte
La fréquence de vibration d’une goutte d’eau dépend de plusieurs paramètres. On supposera que la tension superficielle est le facteur prédominant qui assure la cohésion de la
goutte, par conséquent, les paramètres identifiés comme intervenant dans l’expression de la
fréquence de vibration f sont les suivants :
• R, le rayon de la goutte ;
• ρ, la masse volumique de l’eau ;
• A, la constante intervenant dans l’expression de la force due à la tension superficielle
(la dimension de A est celle d’une force par unité de longueur). La tension superficielle
est la force qu’il faut appliquer par unité de longueur le long d’une ligne perpendiculaire à la surface d’un liquide en équilibre pour provoquer l’extension de cette surface.
1. Justifier simplement le choix de ces paramètres.
solution :
La cohésion d’une goutte d’eau sphérique est assurée par la tension de surface pour la
goutte, elle va ici rappeler la goutte vers une forme sphérique, elle doit donc intervenir
dans la fréquence de vibration de celle-ci. L’inertie de la goutte va également intervenir
dans ce mouvement, ce qui est donné par la masse volumique du fluide considéré ρ.
Enfin la taille de la goutte paraı̂t être un paramètre pertinent lui aussi car pour une
goutte plus grosse d’un fluide donné, la cohésion est plus difficile à assurer. Il y a donc
un échange entre tension de surface et déformation de la goutte lors de la vibration dont
il faut rendre compte ici.
2. On peut écrire : f k1 Ra ρb Ac , où k1 est ici une constante sans dimension ; a, b et c sont
les exposants de R, ρ et A. En déduire les valeurs de a, b et c par analyse dimensionnelle.
solution :
f k1 Ra ρb Ac k1 constante sans dimension
rRs L, rAs M.L.T 2 L1 M T 2 et rρs M.L3.
rf s T 1. D’où T 1 La.M b.L3b.M cT 2c La3b.M b
Donc a 32 , b 12 , c 21 , soit f
k1
b
A
ρR3
c
.T 2c
k1 constante sans dimension
Ce résultat avait été donné par Lord Rayleigh dans un article Nature, 95,66,1915.
Exercice 3 corrigé - Astérosismologie
L’observation continue de milliers d’étoiles avec une très bonne précision nous permet de
faire de nombreuses études en astrophysique. L’une d’entre elles est l’étude des oscillations
de la surface des étoiles (des ”tremblements d’étoiles”) qui se manifestent par de petites
variations périodiques de la luminosité des étoiles. Ces observations peuvent être utilisées
pour étudier la structure interne des étoiles, un peu comme nous utilisons les tremblements
de Terre pour étudier la structure de la croûte terrestre. Nous allons faire ici les premiers
pas de ce travail en cherchant une relation entre la fréquence f des oscillations observées
et les propriétés de l’étoile via l’analyse dimensionnelle. On propose de s’appuyer sur les
grandeurs caractéristiques suivantes pour les propriétés d’une étoile :
• G la constante universelle de gravitation ;
• R rayon de l’étoile ;
• ρ la masse volumique de l’étoile.
1. On rappele l’ordre de grandeur de la masse et du rayon de l’étoile la plus proche de nous,
notre Soleil :
2.1030 kg
R@ 7.105 km
• M@
•
En déduire une estimation de la masse volumique moyenne du Soleil. Qu’en pensez vous
si vous la comparez à la masse volumique d’objets que vous connaissez ?
solution :
On trouve
103 kg.m3 . Une masse volumique tout à fait usuelle...Mais c’est une
moyenne, le soleil est loin d’être homogène.
2. (a) Donner une expression de la force d’interaction gravitationnelle entre deux corps
célestes de masses respectives m1 et m2 éloignés d’une distance r et qui fait apparaı̂tre la constante universelle de gravitation. En déduire les dimensions de G.
solution :
en projetant sur er F1,2
Gmd m
1
2
2
; d’où rGs L3 .T 2 .M 1
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(b) Donner les dimensions de ρ et f respectivement masse volumique de l’étoile et
fréquence des oscillations de sa surface.
solution :
rρs M.L3
r f s T 1
3. Trouver une loi (à une constante multiplicative k sans dimension près) donnant la
fréquence des oscillations de l’étoile f en fonction des grandeurs caractéristiques mentionnées précédemment.
solution :
?
f k ρG
Exercice 4 corrigé - Vitesse du son
1. On peut exprimer la célérité c (ou vitesse de propagation) du son dans un fluide en
fonction de la pression p et de la masse volumique ρ de ce milieu. Justifier brièvement
pourquoi ces paramètres paraissent pertinents. Trouver l’expression de c par analyse
dimensionnelle à une constante près sans dimension.
solution :
Question pas facile, en effet on peut par expérience du quotidien penser à p, T et ρ (le
son se propage plus vite quand...). Mais on a également l’équation d’état qui vient lier
deux paramètres, on ne doit travailler que sur p et ρ. Or ce point du nombre d’équations
n’est pas abordé en cours, car on met pas mal de choses sous le tapis. On peut donc les
aider un peu ici ou accepter une réflexion simple sur une variation attendue avec ρ (le son
se propage plus vite dans l’eau que dans l’air) et une variation avec la pression attendue
(plus difficile à ”sentir”). Pour bien faire il faudrait changer cet exo à l’avenir, je l’avais
repris d’un ancien TD mais c’était une erreur je pense, ils ne peuvent pas facilement
faire cette question seuls.
si c k.ρα .pβ , k sans dimension. Sachant rcs
M.L1 .T 2 , on retrouve :
b
c k.
p
,
ρ
L.T 1, rρs M.L3 et rps rF s{S avec k sans dimension.
2. On cherche maintenant une autre expression de c faisant apparaı̂tre explicitement la
dépendance en température. En supposant que l’air se comporte comme un gaz parfait,
exprimer ρ en fonction de p, de la température T et de la masse molaire M , puis exprimer c en fonction de T et M . En supposant que la constante de proportionnalité dans
l’expression de c vaut 1, faire l’application numérique pour l’air à 20 C. On rappelle les
valeurs de la constante des gaz parfaits : R = 8,31 J.mol1 .K1 et de la masse molaire
de l’air : M = 29 g.mol1 .
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solution :
pV nRT
b
c k.
ρRTM V
RT
,
M
car n ρV
M
d’où p ρRT
M
et ρ pM
.
RT
Donc :
avec k sans dimension qu’on prend à 1 ensuite.
Calcul : attention aux unités c b
10.300
30.103
?
105
300 m.s1
3. Pour un fluide quelconque, on admet que la célérité du son ne dépend que de la masse
volumiqueρ et de la compressibilité κ ρ1 dρ
, où p est la pression. Par analyse didp
mensionnelle, donner l’expression de c en fonction de ρ et de κ. Cette expression fait
intervenir une constante sans dimension. Quelle est sa valeur compte tenu de l’hypothèse
faite dans la question 2 ?
solution :
Pour la première question on cherche par AD une fonction de ρ et κ à une constante A
sans dimension près.
On retrouve c A
b
1
.
ρκ
La question suivante est un peu bancale. Là aussi il faudrait la virer ou la modifier. En
partant sur l’hypothèse du GP, on peut retrouver dans ce cas une expression pour κ et
en tirer par identification la valeur de A (qui vaut forcément 1 dans ce cas), mais c’est
assez circulaire. Vous pouvez leur dire de ne pas traiter cette dernière question.
4. On donne deux valeurs de compressibilité à 20 C : κ1 7.106 Pa1 et κ2 5.1010 Pa1 .
L’une de ces valeurs est celle de la compressibilité de l’eau, l’autre celle de la compressibilité de l’air. Attribuer à chacun des deux fluides sa compressibilité, en justifiant votre
réponse.
solution :
Leur demande ce qu’est une compressibilité pour eux, du coup : κ1 c’est l’air, κ2 c’est
l’eau, l’eau étant beaucoup moins compressible que l’air.
5. Calculer les valeurs de la célérité du son dans l’air et dans l’eau à 20 C.
solution :
cair 330 m.s1
ceau 1, 4.103 m.s1
6. Un soir d’orage, vous voyez un éclair et vous entendez le tonnerre 3 s plus tard. A quelle
distance la foudre est-elle tombée ?
solution :
D c.∆t
D 900 m
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Exercice 5 corrigé - Flexion d’une tige
On s’intéresse à l’équilibre d’une tige mince, de longueur l et de masse négligeable, encastrée
verticalement dans le sol. La tige n’est pas complètement rigide, et peut fléchir sous l’action
de forces extérieures.
Initialement, la tige est verticale. On observe expérimentalement le comportement suivant :
on ajoute une première petite masse à son extrémité supérieure, la tige reste verticale. On
ajoute ensuite ainsi progressivement des petites masses. La tige reste verticale, jusqu’à ce
que la masse m ajoutée atteigne une certaine valeur critique mc . Quand m est supérieure
ou égale à mc , la tige fléchit (voir la figure).
Le but de l’exercice est trouver par analyse dimensionnelle une expression de mc en fonction
des paramètres géométriques et physiques de la tige. Aucune connaissance préalable en
élasticité des matériaux n’est nécessaire.
1. Rappeler la dimension d’une énergie et de l’accélération de la pesanteur g.
solution :
rE s M.L2.T 2, rgs L.T 2.
2. La résistance à la flexion d’une tige est liée à une grandeur physique nommée raideur
en flexion, caractéristique du matériau et de l’épaisseur de la tige.
Sachant que pour donner à la tige de longueur l la forme d’un arc de cercle de rayon
l
R, il faut lui fournir une énergie Ef lexion 2R
2 , donner la dimension de .
solution :
rs M.L3.T 2
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3. (a) On suppose que la masse critique mc ne dépend que de , de l et de g. Justifier
brièvement le choix de ces paramètres.
solution :
Pour faire fléchir la tige en accrochant une masse il y a une compétition entre le
poids de la masse accrochée au sommet et la résistance de la tige à la flexion. Il y a
donc intervention de g accélération de la pesanteur. Le paramètre caractérise la
raideur d’une tige. Par conséquent, si on considère deux tiges de mÍme longueur
dont une a un paramètre de raideur est plus grand, il faudrait fournir une énergie
plus grande (et donc atteindre une masse critique plus grande) dans le 2e cas
pour arriver à faire fléchir la tige à un mÍme rayon minimal, le paramètre doit
donc intervenir dans la définition de mc . La longueur l de la tige intervient
également car il est plus difficile de faire fléchir une tige courte qu’une tige longue
(à constantes de raideur égales). Il faut donc fournir une masse critique plus
grande pour faire fléchir une tige courte.
(b) Trouver par analyse dimensionnelle la loi de puissance de mc en fonction de ces
paramètres.
On cherche une loi de la forme mc k.lα .g β .γ avec k constante sans dimension.
On peut donc écrire sur les dimensions :
solution :
M Lα Lβ .T 2β M γ .L3γ .T 2γ .
On en tire :
γ 1, α β 3γ 0 et β γ 0. Donc β 1 et α 2. Soit :
mc k. g.l 2 avec k constante sans dimension.
4. On fait l’expérience avec une réglette métallique. On trouve que la réglette fléchit pour
une masse critique de 200 g. On coupe la réglette en deux en son milieu de faÁon à ce
que la nouvelle longueur considérée l1 soit deux fois plus petite. Quelle est la nouvelle
masse critique à appliquer pour que la réglette de longueur l1 fléchisse ?
solution :
l1 2l
m1c k. g.l12
k. g.l4. 4mc. Il faut appliquer une masse critique de 800g.
2
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