Les solides de Platon

Les solides de Platon
Classe de cinquième
Ce livret appartient à :
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Classe :
1
Table des matières
1 Recherches documentaires
1
Platon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1
Situons Platon dans le temps . . .
1.2
Situons Platon géographiquement .
1.3
Situons l’œuvre de Platon . . . . .
2
Polygones réguliers . . . . . . . . . . . . .
2.1
Polygone . . . . . . . . . . . . . .
2.2
Polygone régulier . . . . . . . . . .
3
Polyèdres réguliers . . . . . . . . . . . . .
3.1
Polyèdre . . . . . . . . . . . . . . .
3.2
Polyèdre régulier . . . . . . . . . .
4
Solides de Platon . . . . . . . . . . . . . .
2 Polygones réguliers
1
Herbier . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Constructions à la règle et au compas .
2.1
Le triangle équilatéral . . . . . .
2.2
Le carré . . . . . . . . . . . . . .
2.3
Le pentagone . . . . . . . . . . .
2.4
L’hexagone . . . . . . . . . . . .
3
Étude des angles des polygones réguliers
3.1
Le triangle équilatéral . . . . . .
3.2
Le carré . . . . . . . . . . . . . .
3.3
Le pentagone régulier . . . . . .
3.4
L’hexagone régulier . . . . . . . .
3 Les solides de Platon
1
Le tétraèdre . . . . . .
1.1
Carte d’identité
1.2
Patron . . . . .
2
Le cube . . . . . . . .
2.1
Carte d’identité
2.2
Patron . . . . .
3
L’octaèdre . . . . . . .
3.1
Carte d’identité
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12
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12
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14
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16
16
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18
18
4
5
3.2
Patron . . . . .
Le dodécaèdre . . . . .
4.1
Carte d’identité
4.2
Patron . . . . .
L’icosaèdre . . . . . .
5.1
Carte d’identité
5.2
Patron . . . . .
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4 Visite au Palais de la Découverte et à la Cité des
1
Palais de la Découverte . . . . . . . . . . . . . . .
1.1
Salle π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2
Salle des polyèdres . . . . . . . . . . . . . .
2
Cité des Sciences de la Villette . . . . . . . . . . .
2.1
Exposition Mathématiques . . . . . . . . .
2.2
L’Univers . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Organisation pratique . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1
Plan du métro parisien . . . . . . . . . . . .
3.2
Horaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
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Sciences
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la Villette
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28
Chapitre 1
Recherches documentaires
1
Platon
1.1
Situons Platon dans le temps
1. À quel siècle a vécu Platon ?
2. Combien de siècles nous séparent ?
1.2
Situons Platon géographiquement
1. Où a vécu Platon ?
2. Situer son pays sur la carte.
4
1.3
Situons l’œuvre de Platon
1. Dans quel domaine Platon est-il considéré comme l’un des premiers et des plus grands ?
2. Citer une œuvre de Platon.
2
Polygones réguliers
2.1
Polygone
1. Si on admet qu’un polygone est une figure fermée délimitée par des segments, dessiner un
polygone.
2. Faire apparaître sur le dessin les éléments caractéristiques du polygone.
2.2
Polygone régulier
1. Donner la définition d’un polygone régulier.
2. Citer trois polygones réguliers.
3
Polyèdres réguliers
3.1
Polyèdre
1. Donner la définition d’un polyèdre.
2. Citer les trois éléments caractéristiques d’un polyèdre.
5
3.2
Polyèdre régulier
1. Donner la définition d’un polyèdre régulier.
2. Citer les cinq polyèdres réguliers, en donnant à chaque fois leur nombre de faces.
4
Solides de Platon
Les polyèdres réguliers sont aussi appelés solides de Platon car il a décrit ces solides dans une de
ses œuvres, Le Timée. Dans ce texte, il associe les quatre éléments : la terre, l’eau, le feu et l’air
avec un des polyèdres, le cinquième polyèdre étant associé à l’univers.
Relier chaque polyèdre avec le bon élément.
6
Chapitre 2
Polygones réguliers
1
Herbier
Nommer et dessiner le plus précisément possible les polygones réguliers de trois à six côtés.
7
2
Constructions à la règle et au compas
Nous allons apprendre à construire les polygones réguliers inscrits dans un cercle donné.
2.1
Le triangle équilatéral
8
2.2
Le carré
9
2.3
Le pentagone
La construction est plus difficile, on va donc l’expliquer grâce au film suivant.
10
2.4
L’hexagone
La construction est assez simple et se comprend très bien à l’aide du film suivant.
11
3
Étude des angles des polygones réguliers
3.1
Le triangle équilatéral
1. Combien mesure la somme des angles d’un triangle quelconque ?
2. Quelle est la propriété des angles d’un triangle équilatéral ?
3. En déduire la mesure des angles du triangle équilatéral.
3.2
Le carré
1. Quelle est la mesure des angles d’un carré ?
3.3
Le pentagone régulier
1. Calculer l’angle au centre des cinq triangles inscrits
dans le pentagone.
2. Quelle est la nature de ces triangles ?
3. En déduire la mesure de tous les angles de ces triangles,
puis la mesure des angles du pentagone.
12
3.4
L’hexagone régulier
1. Calculer l’angle au centre des six triangles inscrits dans
l’hexagone.
2. Quelle est la nature de ces triangles ?
3. En déduire la mesure de tous les angles de ces triangles,
puis la mesure des angles de l’hexagone.
13
Chapitre 3
Les solides de Platon
On a vu qu’il n’existe que cinq polyèdres réguliers, que l’on appelle aussi solides de Platon.
1
1.1
Le tétraèdre
Carte d’identité
SOLIDES DE PLATON
Nom :
Face :
Nombre de faces :
Nombre de sommets :
Nombre d’arêtes :
F =
S=
A=
F +S =A+2
Nombre d’arêtes par sommet :
Patron :
14
1.2
Patron
15
2
Le cube
Le cube s’appelle aussi l’héxaèdre
2.1
Carte d’identité
SOLIDES DE PLATON
Nom :
Face :
Nombre de faces :
Nombre de sommets :
Nombre d’arêtes :
F =
S=
A=
F +S =A+2
Nombre d’arêtes par sommet :
Patron :
16
2.2
Patron
17
3
3.1
L’octaèdre
Carte d’identité
SOLIDES DE PLATON
Nom :
Face :
Nombre de faces :
Nombre de sommets :
Nombre d’arêtes :
F =
S=
A=
F +S =A+2
Nombre d’arêtes par sommet :
Patron :
18
3.2
Patron
19
4
4.1
Le dodécaèdre
Carte d’identité
SOLIDES DE PLATON
Nom :
Face :
Nombre de faces :
Nombre de sommets :
Nombre d’arêtes :
F =
S=
A=
F +S =A+2
Nombre d’arêtes par sommet :
Patron :
20
4.2
Patron
21
5
5.1
L’icosaèdre
Carte d’identité
SOLIDES DE PLATON
Nom :
Face :
Nombre de faces :
Nombre de sommets :
Nombre d’arêtes :
F =
S=
A=
F +S =A+2
Nombre d’arêtes par sommet :
Patron :
22
5.2
Patron
23
Chapitre 4
Visite au Palais de la Découverte et à
la Cité des Sciences de la Villette
Cette étude des solides de Platon se conclut par une visite au Palais de la Découverte et à la
Cité des Sciences à Paris. Durant cette visite, certaines activités seront libres, mais il faudra aussi
passer par un parcours obligatoire pour pouvoir remplir les questionnaires qui suivent.
Toutes les réponses aux questions posées se trouvent dans la salle correspondante. Il n’y a rien à
inventer !
1
Palais de la Découverte
1.1
Salle π
1. a) La valeur de π affichée dans cette salle est-elle exacte ?
b) Comment en est-on sûr ?
2. Donner une valeur approchée de π comportant dix chiffres après la virgule.
3. Citer le nom de trois mathématiciens dont tu as déjà entendu parler.
4. Donner les formules du périmètre du cercle et de l’aire du disque.
24
5. a) En entourant le cercle en métal avec la corde, combien de nœuds font le tour ?
b) À quoi est égale la distance qui sépare deux nœuds de la corde ?
c) En déduire la valeur du périmètre du cercle en fonction de son diamètre.
6. a) Donner le périmètre de l’hexagone.
b) Est-il plus grand ou plus petit que le périmètre du cercle de même rayon ?
7. Un panneau donne une méthode de construction du pentagone. Est-ce la même que celle vue
en classe ?
1.2
Salle des polyèdres
Polyèdres réguliers (solides de Platon)
1. Combien y a-t-il de polyèdres réguliers ?
2. Citer tous les polyèdres réguliers en donnant à chaque fois le nom de la face qui le compose,
le nombre de faces et sa formule d’Euler.
Polyèdres archimédiens
3. Citer une caractéristique des polyèdres archimédiens.
25
4. Combien y a-t-il de polyèdres archimédiens ?
5. Citer trois polyèdres archimédiens en donnant à chaque fois le nom des faces qui le composent.
6. L’un de ces polyèdres est connu de tous (pas son nom mais sa forme). Pourquoi ?
Les autres polyèdres
7. Citer trois autres types de polyèdres exposés dans cette salle.
Une citation d’Einstein
8. Écris une citation d’Einstein.
2
Cité des Sciences de la Villette
2.1
Exposition Mathématiques
1. Théorème de Pythagore
a) Le théorème de Pythagore s’applique sur un triangle particulier. Lequel ?
b) Que dit le théorème de Pythagore ?
26
c) Faire un schéma
2. Polyèdres
Donner le nom de l’intrus. Pourquoi est-ce un intrus ?
3. Réservoirs et graphiques
Associer le bon réservoir à son graphique.
4. Fractales
Un « légume fractal » est exposé. Lequel ?
2.2
L’Univers
1. Distance et parallaxe
Faire l’expérience comme indiquée. En déduire la distance de l’étoile.
2. La grande Ourse
Des extra-terrestres à l’autre bout de notre galaxie voient-ils la grande ourse comme nous
(une casserole) ? Pourquoi ?
27
3
Organisation pratique
3.1
Plan du métro parisien
3.2
Horaires
Noter ici la date de la visite ainsi que les différents horaires de la journée (heure de rendez-vous,
horaires de trains...).
28