Cours de Structures

Ecole Nationale Supérieure d’Architecture de Marseille – S2CE1
XI. Les poutres
Cours de Structures
Fonction de la poutre : franchir
A
Poutre sur 2 appuis
(bi-articulée)
B
XI. Les poutres : moment fléchissant et effort tranchant
A
Alexandre de la Foye
Poutre
P
t console
l
(encastrée)
7 avril 2011
B
2
XI. Les poutres
XI. Les poutres
Poutre bi-articulée sous charge uniforme
Poutre bi-articulée
Déformée générale
A
B
3
XI. Les poutres
4
XI. Les poutres
Poutre bi-articulée
Poutre bi-articulée
Zoom sur la partie centrale
Zoom sur la partie centrale
Mf = N × B
5
6
XI. Les poutres
XI. Les poutres
Poutre bi-articulée
Poutre bi-articulée
Zoom sur une extrémité
Zoom sur une extrémité
Glissement relatif des tranches
Contraintes de cisaillement transversal 
Raccourcissement diagonale : fibres comprimées
Contraintes de compression (>0)
Allongement diagonale : fibres tendues
Contraintes de traction (<0)
Cisaillement longitudinal 
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XI. Les poutres
XI. Les poutres
Poutre bi-articulée
é
Poutre bi-articulée
é
Moment fléchissant et contraintes de traction-compression
Effort tranchant et contraintes de traction-compression
T
C
C
C
C
C
C
C
T
T
T
T
T
T
T
Mf maxi
Mf nul
T
T
C
T
T nul
T maxi
Mf nul
T
C
C
T
T maxi
C
C
C
9
XI. Les poutres
10
XI. Les poutres
Poutre bi-articulée
Poutre bi-articulée
Lignes d’isocontraintes : cheminement des “efforts internes”
Fissuration d’une poutre en béton armé mal ferraillée
A
8
B
Compression
Traction
11
12
XI. Les poutres
XI. Les poutres
Poutre console sous charge uniforme
Poutre console
Allure de la déformée en fonction de l’élancement de la poutre
1
2
13
14
XI. Les poutres
XI. Les poutres
Poutre console
Poutre console
Zoom sur l’extrémité encastrée
Moment fléchissant et contraintes de traction-compression
T
T
T
T
T
T
T
T
C
C
C
C
C
C
C
Mf maxi
1
Mf nul
2
15
16
XI. Les poutres
XI. Les poutres
Poutre console
Poutre console
Effort tranchant et contraintes de traction-compression
T
T
T
T
T
T
T maxi
C
Fissuration d’une poutre en béton armé mal ferraillée
T
T nul
C
C
C
C
A
C
B
C
17
18
XI. Les poutres
XI. Les poutres
Sollicitations dans les poutres - 1
Poutre console
Lignes d’isocontraintes : cheminement des “efforts internes”
Une poutre chargée transversalement se déforme
sous les effets conjugués de l’effort tranchant et du
moment fléchissant.
Le moment fléchissant induit une rotation relative
des sections transversales associée à des contraintes
de traction-compression longitudinales.
L effort tranchant induit un glissement relatif des
L’effort
sections transversales associé à des contraintes de
traction-compression
p
obliques
q
et des contraintes de
cisaillement transversales.
Compression
Traction
19
20
XI. Les poutres
XI. Les poutres
Sollicitations dans les poutres - 2
Sollicitations des poutres bi-articulées
Les influences relatives de ll’effort
effort tranchant et du
moment fléchissant varient en fonction de
l’élancement de la poutre.
Une poutre sur deux appuis chargée uniformément
développe en se déformant des efforts internes
(sollicitations) de deux types :
Pour les poutres courtes, l’effort tranchant est
p épondé ant
prépondérant.
●
Pour les poutres longues,
longues le moment fléchissant est
prépondérant.
●
Moment fléchissant :
ma imal à mi-portée,
maximal
mi po tée nul
n l aux
a
e t émités
extrémités
Effort tranchant :
maximal aux extrémités, nul à mi-portée
21
22
XI. Les poutres
XI. Les poutres
Sollicitations des poutres consoles
Diagrammes T,
T Mf
Une
poutre
console
chargée
uniformément
développe en se déformant des efforts internes
(sollicitations) de deux types :
●
●
Mf
Moment fléchissant :
ma imal à l’encastrement,
maximal
l’encast ement nul
n l à l’extrémité
l’e t émité libre
lib e
Mf
pL2/
p
/2
pL
L2/8
Effort tranchant :
maximal à l’encastrement, nul à l’extrémité libre
L/2
L
s
L
T
pL/2
-pL/2
23
s
T
L/2
L
pL
s
L
s
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XI. Les poutres
XI. Les poutres
Moment fléchissant et moment d’inertie - 1
D
Dans
l majorité
la
j ité des
d
cas, les
l
contraintes
t i t
générées
é é é
par le moment fléchissant sont supérieures à celles
générées par ll’effort
effort tranchant (poutres longues).
longues)
Moment fléchissant et moment d’inertie - 2
La valeur du moment d’inertie est donc un
paramètre déterminant lorsque l’on cherche à
dimensionner la section d’une poutre fléchie.
Or, la capacité d’une poutre à résister au moment
flé h
fléchissant
dé
dépend
d directement
d
d’ une caractéristique
é
géométrique de sa section : le moment d’inertie.
Plus le moment d’inertie est grand plus les
déformations et contraintes associées au moment
fléchissant sont faibles.
25
26
XI. Les poutres
XI. Les poutres
M
Moment
d’i
d’inertie
i : définition
défi i i
qualitative
li
i
Moment d’inertie : définition mathématique
Moment d’inertie dans la direction verticale
Le moment d
d’inertie
inertie est une caractéristique
purement géométrique de la section d’un élément de
structure (au même titre que ll’aire,
aire, le périmètre…).
s
Il est toujours associé à une direction précise
(
(verticale
ti l ou horizontale).
h i
t l )
Ivert. = Σ s×y²
²
y
G
Le moment d
d’inertie
inertie dans une direction est d
d’autant
autant
plus grand que la quantité de matière est importante
et est éloignée du centre de gravité de la section
dans cette direction.
Ivert. : moment d’inertie vertical
G
: centre de gravité de la section
s
: surface élémentaire
y
: distance du centre de gravité dans la
direction verticale
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XI. Les poutres
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XI. Les poutres
Sections appropriées
é
Moment d’inertie : définition mathématique
(moment d’inertie vertical important)
Moment d’inertie dans la direction horizontale
x
G
s
Ihoriz. = Σ s×x²
²
Ihoriz. : moment d’inertie horizontal
G
: centre de gravité de la section
s
: surface élémentaire
x
: distance du centre de gravité dans la
direction horizontale
29
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XI. Les poutres
XI. Les poutres
Calcul du moment d
d’inertie
inertie - 1
Calcul du moment d
d’inertie
inertie - 2
B
S
H
B
H
I1 + I2
=
B
I3
H
S
Section rectangulaire pleine
I = BH3/12
I1
Section I, H, ou poutre treillis
I1
I = H2S/2
-
I2
=
=
I2
I3
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XI. Les poutres
XI. Les poutres
Déversement des poutres
p
Optimisation des poutres
Poutre pleine (béton, bois)
On
pourrait
être
tenté,
dans
un
soucis
d’optimisation, d’augmenter outre mesure le rapport
hauteur / largeur de la section d’une poutre. On
s’expose
s
expose alors au risque de déversement,
déversement
phénomène
d’instabilité
caractérisé
par
le
flambement latéral des fibres comprimées.
Poutre treillis (acier, bois)
Poutre pleine à inertie variable
32
Poutre treillis à inertie variable
33
XI. Les poutres
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XI. Les poutres
Dimensionnement des poutres
Vé ifi ti
Vérification
d la
de
l résistance
é i t
Dimensionnement des poutres
On vérifie, pour un cas de charge dimensionnant, que la contrainte admissible
du matériau n
n’est
est dépassée en aucun point de la poutre.
poutre
Vérification de la rigidité
Dans le cas d’une poutre élancée, la sollicitation dimensionnante est le moment
fléchissant. On identifie alors la section pour laquelle ce moment est le plus fort
et on calcule les contraintes sur les fibres extrêmes à l’aide de la formule
suivante :
 = Mf /(2I/H)
On vérifie, pour un cas de charge dimensionnant, que la poutre ne se déforme
pas trop.
trop
Cette déformation est caractérisée par la flèche f : amplitude maximale de la
déformation.
R
Remarque
: 2I/H estt souventt noté
té W ou I/v
I/
Les limites à ne pas dépasser sont généralement le 300e, le 400e, ou le 500e de
la portée. Ces limites dépendent essentiellement de la nature des éléments
posés sur la poutre (plus ou moins aptes à se déformer sans casser) ou de
considérations d’ordre esthétique.
Où H est la hauteur de la poutre, I son moment d’inertie et Mf le moment
fléchissant maximal.
maximal
Cette contrainte doit vérifier l’inégalité :
 < admissible du matériau
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XI. Les poutres
XI. Les poutres
Dimensionnement des poutres
Di
Dimensionnement
i
t des
d
poutres
t
Abaques
Formulaire
Mfmax = PL/8
f = PL3/(192 EI)
Mfmax = pL2/12
f = pL
L4/(384 EI)
Mfmax = PL/4
f = PL3/(48 EI)
Mfmax = pL2/8
f=5
5pL
L4/(384 EI
EI)
Mfmax = 3PL/16
f = PL3/(485 EI)
Mfmax = pL2/8
f = pL
L4/(185 EI)
Mfmax = PL
f = PL3/(3 EI)
Mfmax = pL2/2
f = pL
L4/(8 EI)
37
38