agrégation de physique 2002 – 2003

agrégation de physique 2002 – 2003
MP07 : formation des images par les instruments d’optique
Bibliographie :
[1] – Françon “Formation et traitement des images” chapitre 7 et autres ouvrages théoriques (Pérez...)
[2] – Berty optique (aberrations, diffraction, exp d’Abbe)
[3] – Expériences d’optique par R. Duffait (Bréal)
[4] – « Sextant » (Hermann)
⇒ Des modifications seront peut être apportées à ce montage.
1. Introduction
1.1 Généralités sur les instruments d’optique
Un instrument d’optique est une association plus ou moins complexe de lentilles (et parfois de miroirs), de diaphragmes et
d’un récepteur. Suivant le récepteur, on forme des images réelles ou virtuelles. Cette distinction suggère une classification.
Si le récepteur est l’œil, l’instrument forme des images virtuelles, il est dit subjectif ou oculaire. L’instrument est alors
composé en général de deux parties : un objectif qui donne une image réelle de l’objet, cette image intermédiaire (dite
aérienne) servant d’objet à un oculaire qui en donne une image virtuelle examinée par l’œil.
Si le récepteur est un écran, une pellicule photographique, un capteur photoélectrique (photodiode, détecteur à transfert de
charge...), l’instrument forme des images réelles, il est dit objectif.
récepteur
image
"aérienne"
objet
œil
objectif
image finale
virtuelle
oculaire
objet
objectif
(a)
image
réelle
(b)
(a) instrument “subjectif”, (b) instrument “objectif”
On remarquera qu’un instrument subjectif peut devenir objectif par un déplacement de l’oculaire ; il suffit que l’image
intermédiaire soit située avant le foyer objet de celui-ci.
Examinons les propriétés générales des instruments
• Grandeur de l’image
Pour un instrument objectif, l’image A’B’ est réelle ; pour un objet proche on utilise le grandissement transversal γ et pour
un objet éloigné seul le diamètre apparent (angle sous lequel on voit l’objet) α = A’B’/f’ a un sens.
Pour un instrument subjectif, l’œil n’étant sensible qu’au diamètre apparent α’ sous lequel il voit l’image, on utilise la
puissance P = α’/ AB pour les objets proches et le grossissement G = α’/α pour les objets éloignés.
NB : on définit une puissance intrinsèque Pi = 1/f’ ainsi qu’un grossissement commercial Gc = Pi/4 (observation à 25 cm).
• Champs
Le champ est la portion d’espace située en amont de l’instrument et visible à travers celui-ci. On divise le champ en deux
parties : le champ en largeur (ou transversal) et le champ en profondeur (sur l’axe).
a) Le champ transversal est lié aux différents diaphragmes présents dans l’appareil.
L’ouverture du faisceau utile (faisceau maximum
passant à travers l’instrument) à partir d’un point A
A"
faisceau arrêté
est déterminée par un diaphragme dit diaphragme
d’ouverture dont le conjugué dans l’espace objet est
B’
la pupille d’entrée et dans l’espace image la pupille
pupille d'entrée
de sortie.
déplacement
A'
Si le point A s’écarte de l’axe, il arrive un moment transversal
M
faisceau
où tous les rayons issus de A sont arrêtés par un du point A
utile
diaphragme. Ce diaphragme est dit diaphragme de
A
champ, son conjugué dans l’espace objet s’appelle
lucarne d’entrée et dans l’espace image lucarne de
sortie. Entre B et B’ il y correspond le champ de
B
lucarne d'entrée
pleine lumière, entre B’ et A” le champ de contour.
b) Le champ en profondeur dans un instrument objectif est lié à la tolérance de netteté de l’image. Ainsi, si on
diaphragme le faisceau, on coupe les fréquences spatiales élevées correspondants aux détails fins (voir plus loin), l’image
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1
est plus « grossière » et la netteté correspondante est acceptée sur une plus grande profondeur.
Dans un instrument subjectif, la profondeur ApAr entre les positions extrêmes d’un objet (ou latitude de mise au point)
doit correspondre à la distance PR (punctum proximum, punctum remotum) d’accommodation de l’œil.
• Pouvoir séparateur (résolution spatiale)
Le pouvoir séparateur caractérise l’aptitude d’un instrument à séparer des objets rapprochés. La limite de résolution est la
plus petite distance de deux points séparables par l’instrument.
Cette notion est avantageusement remplacée par celle de fréquence de coupure .
0,61λ/R
(a)
(b)
A' B'
(c)
A'
B'
A'
B'
α
(a) images A’ et B’ non séparées, (b) limite de séparation, (c) séparation
• Clarté
Pour un instrument subjectif et un objet étendu, la clarté est le rapport entre l’éclairement de l’image sur la rétine de l’œil
avec et sans l’instrument : C = E’/E. Ce calcul fait intervenir le rayon de la pupille de sortie ou de l’œil.
Si l’objet est ponctuel, la clarté est le rapport des flux C = φ’/φ.
Pour un instrument objectif, on parle de luminosité définie par le rapport de l’éclairement de l’image à la luminance de
l’objet.
1.2 La formation des images à l’aide de lentilles (facultatif)
On peut présenter les expériences simples suivantes (au choix) :
• lentille convergente : OR - IR ; OR - IV ; OV - IR.
• lentille divergente : OR - IV ; OV - IR ; OV - IV.
Mais il semble raisonnable de se limiter au cas simple : lentille convergente, OR – IR.
⇒ Conclure ici à l’existence de défauts : les aberrations.
2. Les aberrations
On classe les aberrations en deux catégories : chromatiques et géométriques. Les premières sont liées à la dispersion des
milieux traversés par la lumière (verres), les secondes à la non linéarité des relations de Descartes (n sini = Cte). On
examine sommairement ces 2 cas :
2.1 Aberrations chromatiques
objet+dépoli
source
blanche
filtres rouge bleu
condens.
lentille pour les
"aberrations chromatiques"
dépoli
+ caméra
+ télé
ou
écran
objet = grille sur dépoli ; on met au point sur l’image rouge (ou bleue), l’image bleue (ou rouge) n’est plus nette ; il faut
déplacer l’écran. On peut utiliser le camescope.
Conclusion : hormis la diffraction qui dépend de λ, la dispersion peut jouer un rôle non négligeable pour la résolution des
images.
2.2 Aberrations géométriques
On peut aborder le problème des aberrations géométriques par l’expression ∆x = x’ – γx (où γ est le grandissement
transversal). On développe généralement cette expression suivant les puissances de α (inclinaison des rayons par rapport à
l’axe) et r (écart des rayons par rapport à l’axe) ; les principaux termes sont en α3 (aberration longitudinale principale), en
rα2 (point hors de l’axe, coma), en r2 α (courbure de champ) et r3 (distorsion). Examinons sommairement ces quatre cas.
a) Les aberrations de sphéricité
Elles sont liées au non-stigmatisme de l’instrument; elle ne dépend que de l’ouverture de la pupille d’entrée.
aberration longitudinale principale (point sur l’axe)
eau + fluoréscéine
caustique
QI
caustique
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2
On utilise soit un matériel « pédagogique » avec modèles de lentilles... soit une cuve remplie d’eau et de fluorescéine...
On peut également utiliser un écran transversal que l’on déplace longitudinalement; ceci a pour but de montrer qu’il
n’existe aucune position de l’écran pour laquelle le point objet a une image unique sur l’axe.
• Règle des « 4P ».
b) Point objet hors de l’axe (on incline la lentille)
Observation de la coma
c) Courbure de champ et astigmatisme
L’image d’un objet plan n’est pas plane
Avec un pinceau hors de l’axe, on montrera les focales tangentielle et sagittale (astigmatisme).
d) Distorsion
Aberrations liées à la formation de l’image d’un objet étendu. Barillet, coussinet.
NB : la distorsion conserve le stigmatisme.
D
grille
D
A
A
courbure de champ
grille
grille
barillet
coussinet
⇒ Conclure ici sur la nécessité de diaphragmer.
3. La lunette astronomique
Instrument »subjectif » (voir Sextant). On insistera surtout sur les diaphragmes.
3.1 Description
Faire le schéma...
3.2 Le grossissement
Mesure du grossissement
3.3 Luminosité et champ : diaphragme d’ouverture et diaphragme de champ
Pupilles, lucarnes ; champ de pleine lumière, champ de contour... (où placer le diaphragme de champ pour éliminer le
champ de contour ?).
3.4 Pouvoir séparateur (voir plus loin § 5 )
On utilise un jeu de fentes d’Young comme objet et on diaphragme l’objectif avec une fente.
Remarques importantes : il est peut être intéressant de tout traiter (sauf les aberrations) à partir de la lunette
astronomique : les ≠ diaphragmes, la luminosité, la profondeur de champ (là, la lunette ne doit pas êtra afocale), le
filtrage des fréquences spatiales.
Ne pas oublier que les objets doivent être diffusant sinon le diaphragme d’ouverture devient diaphragme de champ
4. L’objectif photographique
On montre ici le rôle du diaphragme d’ouverture sur la luminosité et la profondeur de champ.
diaphragme de champ (d)
lucarne d’entrée
règle
graduée
δ’
D
X
Θ
δ
diaphragme d’ouverture ( D)
4.1 Diaphragme d’ouverture et luminosité
Voir Sextant page 34. L’expérience marche bien. On tracera uen coube.
4.2 Diaphragme d’ouverture et profondeur de champ
Voir Sextant § I.7. L’expérience marche bien également.
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3
d
récepteur
(dépoli)
a) Profondeur de champ
• Le diaphragme de l’objectif est un diaphragme d’ouverture (pupille d’entrée) : si le diamètre D varie, la luminosité
change…mais également la netteté de l’image.
Cette netteté de l’image est liée à la structure du récepteur (œil, capteur CCD, écran vidéo,…)
⇒ Par exemple, pour l’objectif photo :
objectif (diamètre D)
A1
A2
grain a
O
B
A'2
δ
A'1
pellicule
Si le grain de diamètre « a » correspond à la limite inférieure de l’image d’un point, celle-ci paraîtra nette si l’objet est
nδ 2
situé entre les points A1 et A2 . Le calcul montre que la profondeur de champ a pour expression : A1 A2 ≅ 2a 2 , δ étant
f
la distance de l’objet à l’objectif de distance focale f et n = f/D l’ouverture numérique.
Ainsi, la profondeur de champ augmente si δ et n (on diaphragme) augmentent et si f diminue : il est plus facile de réaliser
une mise au point avec un “grand angle” qu’avec un “téléobjectif”.
• On réalise le montage de Sextant page 36. On tracera une courbe.
b) Défaut de mise au point
La mise au point est un élément essentiel pour la qualité de l’image observée.
Lorsqu’on fait l’image d’un point sur un écran, on obtient une figure de diffraction (cf. ci-dessous). Si on réalise un défaut
de mise au point, la figure de diffraction est remplacée par un cercle (uniformément éclairé).
La nouvelle fonction de transfert de l’instrument est une « fonction cercle » : E = Cte si r ≤ ro et E = 0 ailleurs.
Si l’objet utilisé est une mire, on comprend aisément que lorsque le défaut s’accentue, « l’image » peut s’élargir jusqu’à
recouvrir une image voisine ; on peut ainsi réaliser une « inversion de contraste ».
On utilise ici une mire en éventail.
fonction “cercle” de
rayon ro
condenseur
source
mire
lentille
écran
“image”
En diaphragmant, on diminue le défaut de mise au point.
5. Résolution spatiale (pouvoir séparateur) d’un instrument ; filtrage des
fréquences spatiales
On utilise maintenant systématiquement une lentille de distance focale f (ou l’objectif photographique) diaphragmée par
une fente de largeur « a » associée à un récepteur (dépoli + camescope). L’éclairage est incohérent.
(on prendra 10 cm ≤ f ≤ 25 cm )
La fente de largeur « a », joue le rôle de diaphragme d’ouverture (monture de la lentille).
a) Image d’un point (réponse impulsionnelle d’un instrument)
C’est l’expérience fondamentale puisqu’elle montre le rôle essentiel joué par la diffraction due à la limitation spatiale d e
l’instrument (existence incontournable de diaphragmes).
La relation “objet-image” permet d’atteindre ici la fonction de transfert de l’instrument
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C’est une expérience classique de diffraction de Franhaufer (au voisinage des images) : on observe sur l’écran la figure d e
diffraction de la fente de largeur a : c’est la fonction de transfert de l’instrument, on note D(x’) cette fonction ; il est clair
πax'
que D(x’) = Io(sinc(
)) 2. C’est la réponse impulsionnelle (RI). Le montage est :
λδ '
δ
laser
image du
« point »
δ’
a
« point objet »
écran
instrument
On observe la figure de diffraction et on fait varier a.
b) Image de deux points, pouvoir séparateur, critère de Rayleigh (facultatif)
⇒ Faire le lien avec la profondeur de champ.
On utilise des fentes d’Young de largeur ε espacées de e ; le montage est (ajouter éventuellement un filtre) :
x
δ
δ’
e
x’
oscillo
a
CCD
fentes d’Young
instrument
L’objet est repéré par la variable x, l’image par la variable x’.
e
e
L’éclairement de l’écran est : E(x) = D(x’ – ) + D(x’ + ).
2
2
x
e
e
Dans le plan des transformées de Fourier on a : TF(I) = TF(O)×TF(D) avec O(x’) = E rect( )⊗ [ δ(x - ) + δ(x + )]
2
2
e
NB : pour les compléments théoriques voir ci-dessous.
La manipulation se fait ainsi :
On sélectionne une fente d’Young : séparation des objets
réels (les 2 fentes) : e
En agissant sur « a » on modifie la fonction triangle ; on
observe donc sur l’oscillo les figures ci-contre.
X’
images séparées
images confondues
Lorsque les images sont confondues, on note la valeur de a ; la valeur de e correspondante est le pouvoir séparateur
maximum pour « l’instrument donné observant à la distance δ ».
On vérifiera que pour une valeur de « e » plus grande, les images sont de nouveaux séparées, et que pour une valeur de
« e » plus petite, elles restent confondues.
λ
δ'
λδ'
λδ'
Le critère de Rayleigh est : X' =
à la limite de séparation ; or X’ = γe = e donc X' =
revient à écrire e = δ .
a
δ
a
a
On cherchera à vérifier cette relation.
2a
2
de la fonction triangle est égale à une période
• Dans l’espace de Fourier cette relation signifie que la largeur
:
γe
λδ'
TF(o) x TF (d)
X’
fonction triangle largeur 2a/λδ’
u
x’
o
période 2/γe
fonction cos(πγue) modulée
par sinc(πγεu)
Remarque : au lieu d’utiliser des fentes d’Young, on peut utiliser un trou suivi d’un spath et d’une lentille…(plus délicat).
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c) Image d’un objet étendu, fréquence de coupure
La répartition de lumière (transparence) dans un objet peut être représentée par une infinité de variations sinusoïdales
(décomposition en série de Fourier). L’objet étendu le plus simple est une généralisation des fentes de Young : la mire de
Foucault de pas p :
O(x)
p
E
x
o
ε
b
Mathématiquement, nous pouvons représenter cette mire par la convolution d’une fonction porte de largeur ε avec un
peigne de Dirac de pas p :
+∞
x
x
x
x
O(x) = E rect( ) ⊗
( ) où
( ) = ∑ δ( x − np) et rect( ) = 1 ou 0 suivant que 0≤ x’ ≤ ε ou ε ≤ x’ ≤ p
p
p
ε
ε
n =−∞
⇒ Mais nous pourrons pour simplifier l’étude prendre comme modèle de mire le peigne de Dirac seul :
x
O(x’) =
( ) (c’est-à-dire que l’on suppose ε << b)
p
Le montage est :
x’
x
δ
δ'
condenseur
a
source
blanche
filtre
rouge
mire
instrument
dépoli +
camescope + télé
- Quelques ordres de grandeur :
- source lumineuse : lampe quartz iode
- filtre interférentiel rouge (λ = 622 nm) ou vert, ou jaune…
- mire : une série de mires en créneaux (ε = b = p/2) allant approximativement de 1 à 10 traits / mm
- instrument : fente réglable (a compris entre 0,1 et 2 mm) ; lentille f =12,5 cm
- δ ≅ f δ’ ≅ 1,5m
NB : avec un montage dit « à 4f » on a δ = δ’= 2f et on a plus de problème de grandissement (dans tout ce qui suit il
faudrait prendre alors γ = –1).
Après avoir montré sur l’écran l’image d’une mire de pas élevé, on utilise une mire de pas plus petit (par ex p = 1/10 mm
ou 1/7 mm) pour faire les mesures
On ferme la fente de largeur a jusqu’à observer une teinte uniforme : dans ces conditions, l’instrument ne laisse passer plus
que la fréquence spatiale zéro, on a alors la relation (évidente dans le plan de Fourier) :
λ
1
a
uc =
=
fréquence de coupure
donc a = δ (faire varier λ à l’aide de différents filtres)
p
γp λδ'
1
On vérifie numériquement cette relation ; par exemple p = mm = 0,14 .10 -3 m , λ = 622 nm
7
λ
622.10 –9.0, 125
δ=
≅ 0, 5 mm ce qui est la valeur approximative de a.
p
0, 14.10 −3
⇒ Si on remplace maintenant cette mire par une mire de pas plus grand, le peigne de Dirac correspondant est plus serré,
l’image de la mire réapparaît !
⇒ De même si on change de longueur d’onde (par exemple si l’éclairement est uniforme avec un filtre vert, la mire
réapparait en enlevant le filtre).
δ ≅ 12,5 cm
donc
⇒ On tracera a = f(1/p).
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6. Conclusion
Les instruments d’optiques se comportent comme des filtres "passe − bas" ce sont d’abord les détails les plus fins qui
disparaissent (fréquences spatiales élevées). Il existe une fréquence de coupure au delà de laquelle plus aucune information
n’est transmise.
La résolution est correctement décrite dans le plan de Fourier alors qu’elle ne l’est pas dans l’espace image (ce plan de
Fourier n’est pas toujours accessible expérimentalement; il est souvent un simple “objet mathématique”)
La notion subjective de pouvoir séparateur (Rayleigh...) est avantageusement remplacée par la notion objective de fonction
de transfert.
7. Quelques compléments théoriques
7.1 Éclairage incohérent
On additionne les intensités.
Soit O(x) la luminance de l’objet et D(x’) la réponse impulsionnelle, pour tous les points de l’objet on aura sur l’écran l’éclairement
défini par la convolution:
I(x’) =
∫ O( x ) D( x' −γx )dx avec γ = grandissement
objet
Pour comprendre ce qui se passe lorsqu’on agit sur la fente, ou lorsqu’on change de mire on doit prendre la transformée de Fourier
(notée ici TF) de l’équation précédente : TF(I) = TF(O) × TF(D)
→TF(D) est la fonction d’autocorrélation de l’instrument : TF(D) = TF((sinc(
triangle de largeur à la base :
2a
λδ'
→TF(O) est : TF(O) = TF( E rect(
x
)⊗
obtient un autre peigne de Dirac de pas
+∞
∑ δ(x − np) ) =
n = −∞
- Le calcul de TF(rec(
x
x
) ) = E TF(rect( ) × TF(
p
ε
(
x
))
p
ε
x
( )) il faut d’abord décomposer cette fonction périodique en série de Fourier puis faire la TF; on
p
- Pour calculer TF(
TF(
(
πax' 2
)) il est évident que cette fonction est la fonction
λδ'
1
pγ
TF(O) x TF( D)
1
m
∑ δ( uγ − )
pm
p
x
)) est élémentaire :
1
ε
γp
TF(rec)= sinc(πεuγ)
Nous supposons que ε <<b de sorte que O(x) et
TF(O(x)) sont des peignes de Dirac (nous
indiquerons à la fin la modification qu’apporte le
créneau de largeur ε).
u
o
2a/λδ’
Dans le plan des transformées de Fourier (qui n’est pas visible pour cette expérience) nous faisons le produit des 2 TF (figure) :
1
TF(I) = TF(O)×TF(D) = 
p
∑ δ( uγ −
m
m  
2a  
) ×  triangle
 λδ'  
p  
7.2 La fonction créneau
Soit O(x) la fonction créneau de période p (avec p = ε + b voir figure). On peut écrire:
O(x) = E rect(
x
)⊗
ε
(
x
) où
p
(
x
)=
p
+∞
n =−∞
La transformée de Fourier est :TF(O) = TF( E rect(
Nous avons vu que : TF(
(
x
)) = TF(
p
+∞
x
)⊗
ε
∑ δ ( x − np) ) =
n =−∞
x
) = 1 ou 0 suivant que 0≤ x ≤ ε ou ε ≤ x ≤ p
ε
x
x
x
( ) )=E TF(rect( )) . TF(
( ))
p
p
ε
∑ δ ( x − np) et rect(
1
m
∑ δ( u − )( pour simplifier les calculs on prend maintenant γ =1)
pm
p
Et que : TF(rect)= sinc(πεu) nous supposons maintenant ε = β =
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p
2
7
Dans ces conditions TF(O)= (sinc(πεu)) (
1
p
∑
d(u –
m
) ) (on prend E =1)
p
m
k
Les zéros de sinc(peu) ont lieu pour u = ( kentier ) . Les harmoniques du peigne de Dirac ont lieu pour
ε
u=
m
p
TF(O)
fonction sinc pour p =2ε
0
1
3
2
4
5
1
P
u
o
m
k
p
= ou m = k . Par hypothèse p > ε
p
ε
ε
TF(O)
Le créneau est p = 2 ε; l’extinction des harmoniques a lieu pour m = 2k donc il
ne reste que les harmoniques impairs dont les intensités sont données par
2
(sinc(πεu))max =
avec m impair : l’intensité de l’harmonique m est
mπ
u
0
1
3
5
1
(m impair)
proportionnelle à
m
NB: ce résultat ne gène en rien les expériences précédentes.
On peut confirmer ce développement harmonique par un développement en série de Fourier. Si f(x) est la fonction créneau de hauteur 1
et de pas p (avec f(x) =1 si 0≤ x ≤ p/2 et = 0 ailleurs) :
x
x
f(x) = ao + ∑ a n cos 2πn + ∑ b n sin 2πn
p
p
n
n
Donc ces harmoniques seront éteints chaque fois que
on trouve facilement a o =
1
2
an = 0 ∀ n et bn = 0 ∀ n pair et =
2
∀ n impair (CQFD)
πp
7.3 L’éclairage cohérent
La répartition d’amplitude sur l’écran est de la forme : A(x’) =
∫ o( x )d ( x' −γx )dx donc TF(A) = TF(o) TF(d)
(d = amplitude)
objet
TF(o) est identique (mais en amplitude) au TF(O) précédent tandis que TF(d) est évidemment une fonction porte de largeur a/λδ.
Dans le plan des transformées Fourier on a la figure ci-dessous où, comme précédemment nous faisons le produit de TF(o) et TF(δ).
TF(o)xTF(d)
1
γp
u
o
a/λδ’
La fréquence de coupure est uc = a/2λδ’ (la moitié de celle de l’éclairage incohérent).
=========================
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