Modélisation des moteurs à aimant permanent avec saturation
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Modélisation des moteurs à aimant permanent avec saturation
Modélisation des moteurs à aimant permanent avec saturation magnétique Al-Kassem Jebai 1 Philippe Martin1 François Malrait2 Pierre Rouchon1 1 Mines ParisTech Centre Automatique et Systèmes [email protected] 2 Schneider Toshiba Inverter Europe [email protected] 23 juin 2011 Al Kassem JEBAI (Mines ParisTech) Modèle de saturation des PMSM 23 juin 2011 1 / 22 Plan 1 Modèle linéaire 2 Modèle de saturation Al Kassem JEBAI (Mines ParisTech) Modèle de saturation des PMSM 23 juin 2011 2 / 22 Introduction Moteur synchrone à aimant permanant MSAP - PMSM. Variation de vitesse. Contrôle sans capteur de position à basse vitesse. Problème d’observabilité autour de vitesse nulle. Estimation de position par l’ajout des signaux hautes fréquences. Saturation magnétique et contrôle du moteur à basse vitesse. Modèle paramétrique de saturation avec validation expérimentale. Al Kassem JEBAI (Mines ParisTech) Modèle de saturation des PMSM 23 juin 2011 3 / 22 1 Modèle linéaire 2 Modèle de saturation Al Kassem JEBAI (Mines ParisTech) Modèle de saturation des PMSM 23 juin 2011 4 / 22 Principe de fonctionnement du PMSM Al Kassem JEBAI (Mines ParisTech) Modèle de saturation des PMSM 23 juin 2011 5 / 22 Equations du PMSM dans le repère fixe (α, β) Changement de repère : ia + ib + ic = 0 [ iα iβ ] = C[ ia ib ic ] Courant et flux complex i = iα + iβ , φ = 12 (Ld + Lq )i − 12 (Lq − Ld )i ∗ e2θ + ϕm eθ Equations dynamiques dφ = u − Ri dt J dω = np = (φ∗ i) − τL np dt dθ = ω, dt Al Kassem JEBAI (Mines ParisTech) Modèle de saturation des PMSM 23 juin 2011 6 / 22 Equations du PMSM dans le repère du rotor (d, q) [ id iq ] = R(θ)[ iα iβ ] φd = Ld id , φq = Lq iq Equations dynamiques q did dt diq Lq dt J dω np dt dθ dt Ld = ud − Rid + ωLq iq b rotor = uq − Riq − ωLd id − ωϕm = np ϕm iq − (Lq − Ld )id iq − τL d w q repère fixe a =ω Pas d’observabilité autour de ω = 0 au premier ordre dans le repère (α, β). Al Kassem JEBAI (Mines ParisTech) Modèle de saturation des PMSM 23 juin 2011 7 / 22 Injection d’une tension haute fréquence Ajout d’une tension haute fréquence dans le repère (α, β) ef (Ωt). u =u+u u est la tension de commande du moteur. e est l’amplitude de la tension HF. u f (Ωt) est un signal HF rectangulaire de moyenne nulle où Ω Al Kassem JEBAI (Mines ParisTech) Modèle de saturation des PMSM 23 juin 2011 R Ld . 8 / 22 Injection d’une tension haute fréquence Ajout d’une tension haute fréquence dans le repère (α, β) ef (Ωt). u =u+u u est la tension de commande du moteur. e est l’amplitude de la tension HF. u f (Ωt) est un signal HF rectangulaire de moyenne nulle où Ω R Ld . Ainsi, d’après l’équation de tension : dφ ef (Ωt) − Ri =u+u dt Le flux totale φ est la somme des deux composantes e φ = φ + φ. Al Kassem JEBAI (Mines ParisTech) Modèle de saturation des PMSM 23 juin 2011 8 / 22 Expression du flux haute fréquence La moyennisation de second ordre permet de séparer la partie haute fréquence et la partie basse fréquence d’un signal. Ce qui permet d’établir dφ = u − Ri dt d φe ef (Ωt) =u dt Finalement, le flux s’écrit par φ=φ+ e u Ω F (Ωt) + O( Ω12 ) F est l’intégral de f , elle est triangulaire et de moyenne nulle. Al Kassem JEBAI (Mines ParisTech) Modèle de saturation des PMSM 23 juin 2011 9 / 22 Estimation de position par les tensions HF A partir de la relation courant-flux φ = 12 (Ld + Lq )i − 12 (Lq − Ld )i ∗ e2θ + ϕm eθ , on établit que i = i + eiF (Ωt) + O( Ω12 ) Amplitudes des courants eiα = eiβ = e u 2ΩLd Lq Lq + Ld + (Lq − Ld ) cos 2θ e u 2ΩLd Lq (Lq − Ld ) sin 2θ où ei = eiα + eiβ . L’information de position est multipliée par (Lq − Ld ). Ld et Lq ne sont pas constantes à cause de la saturation magnétique. Al Kassem JEBAI (Mines ParisTech) Modèle de saturation des PMSM 23 juin 2011 10 / 22 1 Modèle linéaire 2 Modèle de saturation Al Kassem JEBAI (Mines ParisTech) Modèle de saturation des PMSM 23 juin 2011 11 / 22 Modèle générale du PMSM dans (d, q) Equations de tension dφd = ud − Rid + ωφq dt dφq = uq − Riq − ω(φd + ϕm ) dt Les courants s’expriment d’une façon non linéaire id = Id (φd , φq ) iq = Iq (φd , φq ) Les fonctions Id et Iq doivent respecter l’égalité suivante ∂Iq ∂Id = ∂φq ∂φd Al Kassem JEBAI (Mines ParisTech) Modèle de saturation des PMSM 23 juin 2011 12 / 22 Principe énergétique Énergie magnétique Soit H(φd , φq ) l’énergie magnétique total du moteur ∂H (φd , φq ), ∂φd id = iq = ∂H (φd , φq ). ∂φq Cas linéaire Hl (φd , φq ) = 2 1 2Ld φd + 2 1 2Lq φq ∂H (φd , φq ) = ∂φd ∂H iq = (φd , φq ) = ∂φq id = Al Kassem JEBAI (Mines ParisTech) Modèle de saturation des PMSM φd Ld φq Lq 23 juin 2011 13 / 22 Modèle de saturation Énergie avec saturation : développement limitée à l’ordre 4 H(φd , φq ) = Hl (φd , φq ) + 3 X i α3−i,i φ3−i d φq i=0 + 4 X i α4−i,i φ4−i d φq . i=0 C’est un modèle paramétrique de perturbation avec des termes d’ordre supérieur qui corrigent le terme dominant Hl . Al Kassem JEBAI (Mines ParisTech) Modèle de saturation des PMSM 23 juin 2011 14 / 22 Modèle de saturation Énergie avec saturation : développement limitée à l’ordre 4 H(φd , φq ) = Hl (φd , φq ) + 3 X i α3−i,i φ3−i d φq + i=0 4 X i α4−i,i φ4−i d φq . i=0 C’est un modèle paramétrique de perturbation avec des termes d’ordre supérieur qui corrigent le terme dominant Hl . On peut le simplifier grâce à une symétrie par rapport à l’axe d H(φd , −φq ) = H(φd , φq ) Énergie magnétique avec 5 paramètres q 2 2 1 1 2Ld φd + 2Lq φq +α3,0 φ3d +α1,2 φd φ2q +α4,0 φ4d +α2,2 φ2d φ2q +α0,4 φ4q . H(φd , φq ) = Al Kassem JEBAI (Mines ParisTech) Modèle de saturation des PMSM d 23 juin 2011 14 / 22 Expressions des courant ∂H (φd , φq ) = ∂φd ∂H iq = (φd , φq ) = ∂φq id = φd Ld + 3α3,0 φ2d + α1,2 φ2q + 4α4,0 φ3d + 2α2,2 φd φ2q φq Lq + 2α1,2 φd φq + 2α2,2 φ2d φq + 4α0,4 φ3q id=0 200 id=1.5 0.16 φq in mWb Energie magnétique totale id=−1 300 0.2 0.18 0.14 0.12 0.1 0.08 100 id=2.5 0 −100 0.06 −200 0.04 Linéaire Saturé 0.02 0 −0.25 −0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 Flux 0.1 0.15 0.2 −300 0.25 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 i in A q Al Kassem JEBAI (Mines ParisTech) Modèle de saturation des PMSM 23 juin 2011 15 / 22 Principe d’estimation des paramètres de saturation (1) Tensions rectangulaires hautes fréquences à rotor bloqué ed f (Ωt), ud (t) = u d + u eq f (Ωt), uq (t) = u q + u Les flux correspondants sont (moyennisation second ordre) φd = φd + f u d Ω F (Ωt) Al Kassem JEBAI (Mines ParisTech) + O( Ω12 ), φq = φq + Modèle de saturation des PMSM f u q Ω F (Ωt) + O( Ω12 ) 23 juin 2011 16 / 22 Principe d’estimation des paramètres de saturation (1) Tensions rectangulaires hautes fréquences à rotor bloqué ed f (Ωt), ud (t) = u d + u eq f (Ωt), uq (t) = u q + u Les flux correspondants sont (moyennisation second ordre) φd = φd + f u d Ω F (Ωt) + O( Ω12 ), φq = φq + f u q Ω F (Ωt) + O( Ω12 ) Le courant de l’axe d devient f f u id = Id (φd , φq ) = Id φd + uΩd F (Ωt)+O( Ω12 ), φq + Ωq F (Ωt)+O( Ω12 ) Développement à l’ordre 2 en 1 Ω ed F (Ωt) u ed + 2α1,2 φq u eq + 6α3,0 φd u Ω Ld 2 2 ed + 2α2,2 (2φd φq u eq + φq u ed ) +O( 12 ) + 12α4,0 φd u Ω id = i d + eid F (Ωt) = i d + Al Kassem JEBAI (Mines ParisTech) Modèle de saturation des PMSM 23 juin 2011 16 / 22 Principe d’estimation des paramètres de saturation (2) Amplitude du courant de l’axe d ed 2 2 eid = 1 u ed +2α1,2 φq u eq +12α4,0 φd u ed +2α2,2 (2φd φq u eq +φq u ed ) +6α3,0 φd u Ω Ld La relation flux-courant en première ordre en αi,j φd = Ld i d + O(|αi,j |), Al Kassem JEBAI (Mines ParisTech) φq = Lq i q + O(|αi,j |) Modèle de saturation des PMSM 23 juin 2011 17 / 22 Principe d’estimation des paramètres de saturation (2) Amplitude du courant de l’axe d ed 2 2 eid = 1 u ed +2α1,2 φq u eq +12α4,0 φd u ed +2α2,2 (2φd φq u eq +φq u ed ) +6α3,0 φd u Ω Ld La relation flux-courant en première ordre en αi,j φd = Ld i d + O(|αi,j |), φq = Lq i q + O(|αi,j |) Amplitudes des courants en fonction des paramètres de saturation 2 eid = 1 eud + 2α2,2 Lq i q (2Ld i d u ed ) + 12α4,0 L2d i d u ed eq + Lq i q u Ω Ld eq ed + 2α1,2 Lq i q u + 6α3,0 Ld i d u 2 eiq = 1 euq + 2α2,2 Ld i d (2Lq i q u ed + Ld i d u eq ) + 12α0,4 L2q i q u eq L q Ω eq + Lq i q u ed ) + 2α1,2 (Ld i d u Al Kassem JEBAI (Mines ParisTech) Modèle de saturation des PMSM 23 juin 2011 17 / 22 Procédure d’estimation par moindre carré linéaire ed 6= 0 et u eq 6= 0 Estimation des inductances : i d = i q = 0, u Ld = ed 1 u Ω eid , Lq = e 1 uq Ωe iq ed 6= 0 et u eq = 0 Estimation des α3,0 et α4,0 : i d 6= 0, i q = 0, u eid = ued 1 + 6α3,0 Ld i d + 12α4,0 L2 i 2 d d Ω Ld ed 6= 0 et u eq = 0 Estimation des α1,2 et α2,2 : i d = 0, i q = 6 0, u eiq = 2ued α1,2 Lq i q eid = ued 1 + 2α2,2 L2 i 2 , q q Ω Ld Ω ed = 0 et u eq 6= 0 Estimation de α0,4 : i d = 0, i q 6= 0, u eiq = ueq 1 + 12α0,4 L2 i 2 . q q Ω Lq Al Kassem JEBAI (Mines ParisTech) Modèle de saturation des PMSM 23 juin 2011 18 / 22 Résultats expérimentaux - estimation 80 800 Measured value Estimated value 700 60 Measured value Estimated value 40 600 eiq in mA eid in mA 20 0 500 −20 400 −40 300 −60 200 −10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 −80 −6 Al Kassem JEBAI (Mines ParisTech) −4 −2 0 2 4 6 īq in A īd in A Modèle de saturation des PMSM 23 juin 2011 19 / 22 Résultats expérimentaux - validation 3 2.5 600 Measured value Estimated value 2 id in in A eid in mA 550 500 1 0.5 450 400 1.5 Measured value Simulation value with saturation Simulation value without saturation 0 −0.5 0 0 1 2 3 4 0.1 0.2 5 0.3 0.4 0.5 0.6 Time in s |i| in A 550 100 Measured value Estimated value 500 eiq in mA 80 60 φd in mWb 450 40 20 400 350 0 300 −20 0 1 2 3 |i| in A u d = 12 u et u q = Al Kassem JEBAI (Mines ParisTech) 4 Measured flux Estimated flux with saturation model Linear flux 5 250 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 id in A √ 3 2 u Modèle de saturation des PMSM Echelons de tension 23 juin 2011 20 / 22 Ouverture sur le moteur asynchrone Pas de saillance géométrique (Ld = Lq ). Estimation de la position du flux par la saillance magnétique. Modélisation de cette saillance magnétique par une fonction d’énergie. 1400 i=1 i=1.5 i=2.8 i=4 i=0 1200 Id in mA 1000 800 600 400 200 0 20 Al Kassem JEBAI (Mines ParisTech) 40 60 80 θ in degre 100 120 Modèle de saturation des PMSM 140 160 180 23 juin 2011 21 / 22 Conclusion Modèle paramétrique de saturation des moteurs PMSM basée sur une fonction d’énergie. Estimation des paramètres du modèle par l’injection des tensions hautes fréquences. Validation expérimentale sur un moteur synchrone. Verification par échelon de tension. Le but est d’utiliser ce modèle pour trouver une méthode robuste d’estimation de la position à basse vitesse. On poursuit le travail sur le moteur asynchrone qui n’a pas de saillance géométrique. Al Kassem JEBAI (Mines ParisTech) Modèle de saturation des PMSM 23 juin 2011 22 / 22