MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie • définition • fonction

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MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie
Définition
VARIABLES ALÉATOIRES
•
E : expérience aléatoire
S : espace échantillonnal associé
X fonction de S dans les nombres réels ( R )
définition
X est une variable aléatoire ; X( o ) est un nombre réel
• fonction de répartition
Exemple :
• variable aléatoire discrète
lancement d’une pièce de monnaie 3 fois
X = nombre de fois « P I L E »
X = 0, 1, 2, 3
• moyenne - variance - écart type
S
• espérance mathématique
• variable aléatoire continue
F : Face
• fonction d’une variable aléatoire : transformation
P : Pile
• combinaison linéaire de variables aléatoires
FFF
FFP
FPF
PFF
FPP
PFP
PPF
PPP
0
R
1
Les probabilités
sur S
2
se transportent
3
sur R
1
Bernard CLÉMENT, P h D
2
Fonction de répartition
X une v,a,
VARIABLE ALÉATOIRE DISCRÈTE
x une valeur (réelle) prise par X
Événement : { X ≤ x }
X est une v,a, discrète si elle prend un nombre fini ou infini de
valeurs distinctes généralement des entiers 0, 1, 2, 3, 4, …
x
F X ( x ) = P X ( X ≤ x ) : fonction de répartition
Exemples (comptages)
propriétés
•
•
•
•
•
1. 0 ≤ F X ( x ) ≤ 1
-∞
∞
2. x
x
3. F X (x)
4. F X (x)
F X (x)
F X (x)
non décroissante
continue à droite
0
1
X discrète
1
X continue
nombre de défauts de surface ;
nombre de versions d'un dessin de définition pendant une année;
nombre de pièces non conformes dans un lot de 500 ;
nombre de pièces en attente devant une machine;
nombre de cotes ambiguës,
Fonction de masse
p X (x) = PX ( X = x)
p X (x) ≥ 0
Fonction de répartition
Fx(u) =
p X (x)
Distributions importantes Binomiale - Poisson - Hypergéométrique
3
∑
4
VARIABLE ALÉATOIRE DISCRÈTE
Binomiale
X le nombre de succès dans une suite de n essais de
Bernoulli
Bar/Column Plot (ch3.sta 10v*31c)
0.18
avec une probabilité commune de succès de θ
0.16
X i la variable associée au i-ème succès
X 1 , X 2 , …,, X n
indépendantes X = ∑ X i
X est une variable binomiale X ~ b (n , θ )
p x (x)
masse
0.14
0.12
= [ n! / x ! ( n- x) ! ] θx ( 1 – θ ) n – x
0.10
x
FX (x) = ∑[
répartition
θ = 0,30
Exemple : n = 30
0.08
n! / k ! ( n- k ) ! ] θ k ( 1 – θ ) n – k
0.06
F∩E3
k=0
0.04
0.02
étude détaillée - chapitre des lois discrètes
binom
0.00
5
0
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
6
moyenne - variance - écart type
Espérance mathématique
X v,a, discrète
Moyenne : E [ X ] = µ = ∑ x p X (x )
n = 30
en général / n
θ = 0,3
E[X]=9
Variance : Var [ X ] = σ 2 = ∑ ( x - µ )2p X (x ) = ∑ x 2p X (x ) - µ2
Exemple : X ~ b i nom ( n, θ )
σ 2 = n θ ( 1 - θ ) en général
n = 30
θ = 0,3
h: R
E [ h(X) ] = ∑ h(x) p X(x)
Exemple : X ~ b i nom ( n, θ )
E[X]=nθ
p X(x) sa fonction de masse associée
h fonction de R dans R
premier moment par rapport à l’origine – centre de masse
Var [ X ] = σ 2 = 6,3
Écart type : ET [ X ] = σ = √ Var [ X ]
Exemple : X ~ b i nom ( n = 30 , θ = 0,3 )
Cas particuliers
E [ h( X ) ]
h( x ) = x
h(x)=x2
h(x)= (x-µ)2
h(x)= xk
h(x)= (x–µ)k
moyenne µ
R
: espérance mathématique de h
2 ième moment par rapport è l’origine 0
variance
k - ième moment par rapport à l’origine
k – ième moment par rapport à la moyenne µ
ET [ X ] = σ = 2,51
7
2
8
Exemple 2: - vous achetez des billets du spectacle des « RS » à 40,00$ dans
l'espoir de les revendre 70,00$ le soir du spectacle.,
- estimation de la demande billets X
Espérance mathématique
Exemple 1 : soumission pour la réalisation d'un travail d’ingénierie
X v.a.
« nombre de jours requis pour le travail »,
Vous estimez vos
« probabilités »
x
<3
3
4
5
6
p(x)
0
1/8
4/8
2/8
1/8
Y = profit net = φ (X)
x
Y = φ (x)
4
5
10K$ 3K$
1
24
25
26
27
28
29
30
0,02
0,04
0,08
0,16
0,32
0,18
0,12
0,08
L(x, s) = 40 (s - x )
L(x, s) = (70 - 40) (x – s)
6___
0,7K$
23
probabilité p(x)
Combien de billets S acheter pour minimiser les pertes ?
-Vous perdez 40$/billet si vous stockez trop de billets: x ≤ S
-Vous 30$/billet (profit) si vous ne stockez pas assez de billets: x ≥ S+1
Fonction de perte L (x, s):
total
dépend du nombre de jours X pris pour
réaliser le travail
3
nombre billets x
-1,5K$
perte moyenne
Profit net moyen = ?
E(L)
si 23 ≤ x ≤ s
stock excessif
si s+1 ≤ x ≤ 30 stock manquant
s
E [L ( X , s)] =
30
40(s − x) p X ( x) +
x=23
E( Y ) = 10K$ *1/8 + 3K$ * 4/8 + 0,7K$ * 2/8 + (-1,5K$) * 1/8 = 2,73K$
30 ( x − s) p X ( x)
x=s+1
Quelle valeur de S minimise E(L) ?
9
Exemple 2:
suite
10
S
∑40(s – x)p(x)
23
24
25
26
27
28
29
30
0,00
0,80
3,20
8,80
20,80
45,60
77,60
114,40
∑30(x –s)p(x)
VARIABLE ALÉATOIRE CONTINUE ( v,a,c )
E [ L(X,s) ]
124,20
94,80
66,60
40,80
19,20
6,20
0,00
0,00
124,20
95,60
69,90
49,60
40,60
51,60
77,60
114,40
L'espace de la v,a, X est un intervalle sur les nombres réels
sa fonction de répartition FX( x ) est dérivable
La dérivée de FX( x ) notée f X
minimum
Exemples (mesures)
- température réelle d'un recuit ;
- longueur extrudée avant perte de contrôle ;
- volume réel du réservoir
- temps requis pour finaliser une conception ;
- tension d'un hauban,
nouvelle distribution de probabilité
x
prob
23
24
0,30 0,20
25
26
0,15
0,12 0,10 0,08
solution optimale devient
27
28
29
30
0,04
0,01
S = 24
11
est la densité de X
12
VARIABLE ALÉATOIRE CONTINUE ( v,a,c )
PX ( X = x) =
Exemple : loi uniforme (équiprobabilité)
lim
[ FX ( x + ∆x) − FX ( x) ] = 0
∆x → 0
d
f X ( x) =
FX ( x )
dx
fX(x)
x
F
X
(x)=
∫
f
X
( t ) dt
x
E ( X ) = ∫ xf X (t ) dt = µ
∞
∫
RX
X ≤ a ou X ≥ b
= k
si
a ≤ X ≤ b
FX ( x ) = 0
f ( x ) dx
a
fX x
si
a
f X ( x ) dx = 1
+∞
+∞
∞
∞
X
b
k=?
k=1/(b–a), E(X) = (a+b)/2 ,
∞
b
P (a ≤ x ≤ b) =
= 0
si
Var ( X ) = ( b – a ) 2 / 12
X≤a
= (x–a)/(b–a)
si
= 1
si X ≥ b
a ≤ X ≤ b
a
b
Application générateurs de nombres (pseudo) aléatoires de la loi uniforme
méthode linéaire congruente : I i
VAR[ X ] = ∫ (x − µ)2 f (x) dx = ∫ x 2 f X ( x) dx − µ 2
+1
= ( a I i + b ) mod m
À choisir : a, b, m , I 0 ( semence )
employé pour la SIMULATION : Statistica
i = 0, 1, 2,…
u i= I i / m
;
fonction Rnd
13
14
Fonction d’une variable aléatoire
Fonction d’une variable aléatoire discrète
X v,a, sur S et d’espace image R X ( réels )
RX
Y = φ ( X ) une transformation ( fonction ) est une v,a,
.
.
x i1 ..
l’espace image est R Y ; E Y événement dans R Y
Alors PY ( E Y ) = PX ( { x dans RX : φ ( x ) dans E Y} )
Exemple:
RY
Y = φ (X)
.
.Yj
x i2 .
X diamètre d’un fil - distribution uniforme intervalle ( 1,00 à 1,01 )
f X ( x ) = 100
1,00 ≤ x ≤ 1,01
= 0
autrement
Y = aire de la section = π ( X / 2) 2 = 0,25 π X 2
x i3 .
Quelle est la probabilité que Y varie entre 0,252 π et 0,254 π ?
.
.
.
pY ( y j ) = PY (Y = y j ) =
varie dans l’intervalle ( 0,25 π , 0,255025 π )
.
PX ( xik )
x i k ∈Ω j
réponse : P ( 0,252 π ≤ Y ≤ 0,254 π ) = P ( 1,00399 ≤ X ≤ 1,00797 )
= 100 ( 0,00398) = 0,398
15
16
Exemple : tir de Bernoulli sur loi exponentielle
f x (x ) = λ e
–λ
x
x ≥0
=0
E [X ]=
probabilités de Y
x<0
∞
∫
x λ e −λ x dx = − xe
−λ x
[X ] =
∞
∫
0
x λ e
2
λ x
 1 
dx −  
λ 
∞
0
0
Var
,
Exemple : tir de Bernoulli sur loi exponentielle (suite)
∞
+
∫
e − λ x dx =
0
1
1/ λ
λ
pY (0) =
∫
λ e −λ t dt = − e −λ t
1/ λ
0
2
=1/λ
0
= 1 − e −1 ≈ 0.6321
2
∞
p Y (1) =
Le temps X jusqu'à la défaillance (ex, tube à rayons cathodiques)
X durée vie suit une loi exponentielle, λ taux de défaillance
∫
λ e − λ t dt = − e − λ t
1/ λ
∞
1/ λ
=e
−1
≈ 0 .3679
Posons : Y variable Bernoulli définie par le fait que X excède ou non
sa durée moyenne 1/ λ
Y=0
si X ≤ 1 / λ
=1
si X > 1 / λ
17
18
Fonction continue d’une V,A, continue
X
v.a.c densité f x
Densité f Y = ?
φ fonction continue Y = φ (X)
Fonction continue d’une V,A, continue (suite)
Y est une v.a.c
Exemple:
Pour la trouver la densité il faut :
1. Obtenir F Y (y) = P( Y ≤ y ) par l'événement de R X équivalent à (Y ≤ y) dans R y
2. Dériver F Y (y) par rapport à y pour obtenir la fonction de densité fy
Y = aire de la section = π ( X / 2) 2 = 0,25 π X 2 varie dans l’intervalle
0,250000 π = 0,78540 quand x = 1,00
à 0,255025 π = 0,80118 quand x = 1,01
3. Trouver l'espace image de cette v.a.c.
THÉORÈME
Si est une v.a.c de densité f x telle que f x > 0 pour a < x < b
et y = φ (x ) est une fonction continue strictement monotone,
alors la v.a.c
Y = φ ( X) possède une densité
f Y ( y ) = f X ( x) •
avec x = φ - 1 (y )
X diamètre d’un fil - distribution uniforme intervalle 1,00 à 1,01
100
f X ( x ) = 100
1,00 ≤ x ≤ 1,01
0
0
= 0
autrement
X
1,00
1,01
transformation inverse X = Y 0,5 / 0,25 π
dx / dy = 1/ (2 y 0,5 0,25 π ) = ( 1/ 0,50 π ) y - 0,5 = 0,6366 y - 0,5
dx
dy
fY ( y) = f X ( x) •
exprimé en terme de y
f y (y ) = 100 ( 0,6366 y - 0,5 ) = 63,66 y - 0,5
71,28
0
19
dx
dy
0,7854
67,86
0
0,80118
Y
20
Combinaison linéaire de variables aléatoires indépendantes
a 1 , a2 , …, a n
X 1 , X2 , …, X n
combinaison linéaire
E(Xi )= µi
moyenne de X i
Var( X i ) = σ i 2
variance de X i
alors
modèle : X Y variables indépendantes
P ( X = x j ; Y = y j ) var iables
PROBABILITÉES CONJOINTES
variables aléatoires discrètes ou continues indépendantes
W = ∑ ai Xi
Théorème
probabilités conjointes p(x,y)
exemple
constantes
 n

E  ai X i  =
 i −1


Var 

n
i −1
n
Y
p(X=6, Y = 4)
3
5
6
9
10
13
14
prob
0,05
0,15
0,20
0,30
0,10
0,10
0,10
1,00
1
0,05
0,0025
0,0075
0,0100
0,0150
0,0050
0,0050
0,0050
0,05
= p(X=6)*p(Y=4)
2
0,10
0,0050
0,0150
0,0200
0,0300
0,0100
0,0100
0,0100
0,10
= 0,20* 0,15
3
0,30
0,0105
0,0450
0,0600
0,0900
0,0300
0,0300
0,0300
0,30
= 0,0300
4
0,15
0,0075
0,0225
0,0300
0,0450
0,0150
0,0150
0,0150
0,15
5
0,20
0,0100
0,0300
0,0400
0,0600
0,0200
0,0200
0,0200
0,20
6
0,20
0,0100
0,0300
0,0400
0,0600
0,0200
0,0200
0,0200
0,20
1,00
0,05
0,15
0,20
0,30
0,10
0,10
0,10
ai µ i
i −1

ai X i  =

X
n
ai2 σ i2
Moyenne et variance de W = 4X + 3Y ?
i −1
21
22
CALCUL DES MOYENNES
Exemple
valeurs de W = 4 X + 3 Y
Exemple
suite
X
3
5
6
9
10
13
14
3Y
4X
12
20
24
36
40
52
56
3
3
15
23
27
39
43
55
59
6
6
18
26
30
42
46
58
62
9
9
21
29
33
45
49
61
65
12
12
24
32
36
48
52
64
68
15
15
27
35
39
51
55
67
71
18
18
30
38
42
54
58
70
74
suite
aij
a=4
x=3
5
6
9
10
13
14
E(X)=
b=3
45,85
0,15
0,75
1,20
2,70
1,00
1,30
1,40
8,50
y=1
0,05
0,0375
0,173
0,270
0,585
0,215
0,275
0,295
2
0,20
0,090
0,390
0,600
1,260
0,460
0,580
0,620
3
0,90
0,315
1,305
1,980
4,050
1,470
1,830
1,950
4
0,60
0,180
0,720
1,080
2,160
0,780
0,960
1,020
5
1,00
0,270
1,050
1,560
3,060
1,100
1,340
1,420
6
1,20
0,300
1,140
1,680
3,240
1,160
1,400
1,480
E(Y) =
3,95
45,85
Calcul avec la formule : E(W) = 4*E(X) + 3*E(Y) = 4*8,50 + 3*3,95 = 45,85
a i j = (4x i + 3y j )* p(x i , y j )
23
E(W) =
Calcul direct : E(W) = ∑ ∑ a i j
24
CALCUL DES VARIANCES
Exemple
suite
a=4
3
5
6
9
10
13
14
V(X) =
b=3
178,528
1,513
1,838
1,250
0,075
0,225
2,025
3,025
9,950
1
0,435
2,379
3,916
3,553
0,704
0,041
0,419
0,865
2
0,380
3,878
5,910
5,024
0,445
0,000
1,476
2,608
3
0,271
9,263
12,777
9,907
0,065
0,298
6,886
11,002
Application importante : processus échantillonnage aléatoire d’une population X
n variables X
Définition d’un échantillon aléatoire:
(a) X 1 , X 2 , X 3 , …….., X n indépendantes
(b) toutes les variables ont la même distribution que X
La variable aléatoire moyenne, notée X,
b ij
n
4
0,000
3,581
4,316
2,911
0,208
0,567
4,941
X =∑
7,359
1
5
6
V(Y) =
0,221
0,841
3,553
2,512
3,532
1,849
1,877
0,593
1,591
3,985
2,148
1,674
2,952
8,946
15,848
V(W) =
Propriétés de X
178,528
b i j = [w i j – E( W )
p(x i , y j )
Calcul direct : Var(W) = ∑ ∑ b i j
E [X ]=
25
est une combinaison linéaire des X i
= ∑ ai Xi
1
n
n
∑
ai=1/n
E[X ] = E[X ] = µ
1
1
Var[ X ] =  
 n
Calcul avec la formule : Var(W) = 42 * 9,95 + 32 * 2,148
]2
1
Xi
n
12,650
11,664
i
2
n
Var[ X ] =
1
Var[ X ] σ 2
=
n
n
26

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie • définition • fonction

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