MAT 6609 : devoir 1 Calcul de représentations des Sn (sur les

MAT 6609 : devoir 1
Calcul de représentations des Sn
(sur les traces d’Alfred Young)
Date de remise : sera fixée au cours
Note : tout énoncé doit être justifié rigoureusement. Le devoir est sur 10 plus 1 en bonus.
Aucune autre famille de groupes finis n’a attiré autant d’énergie que celle des groupes de
permutation. La raison en est simple : les Sn apparaissent dans de nombreux chapitres des
mathématiques et des disciplines connexes. Ce devoir a pour but de construire certaines
représentations irréductibles des Sn .
Nous tiendrons pour acquis que Sn est engendré par les transpositions gi = (i, i + 1),
1 ≤ i ≤ n − 1, et que les contraintes suivantes caractérisent complètement Sn :
g2i = id,
1 ≤ i ≤ n − 1,
(G1)
gi gj = gj gi ,
|i − j| ≥ 2,
gi gi+1 gi = gi+1 gi gi+1 ,
1 ≤ i ≤ n − 2,
(G2)
(G3)
où id dénote le neutre de Sn . Ainsi, dans la notation de James et Liebeck, Sn = hid, gi , 1 ≤
i ≤ n − 1; (G1, 2, 3)i. Comme d’habitude CSn est l’algèbre de groupe de Sn .
(1)
1. Montrer que hid, ei , 1 ≤ i ≤ n − 1; (E1, 2, 3)i ≃ CSn comme algèbre où
e2i = ei ,
1 ≤ i ≤ n − 1,
ei ej = ej ei ,
|i − j| ≥ 2,
(E1)
(E2)
ei ei+1 ei − 14 ei = ei+1 ei ei+1 − 14 ei+1 ,
1 ≤ i ≤ n − 2.
(E3)
Suggestion : considérer gi 7→ id − 2ei et id 7→ id.
Soit
Pλ = (λ1 , λ2 , . . . , λp ) une partition de n. Ceci veut dire que λ1 ≥ λ2 ≥ · · · ≥ λp ≥ 1
et 1≤i≤p λi = n. Un tableau de Young de forme λ = (λ1 , λ2 , . . . , λp ) est un ensemble de
boı̂tes satisfaisant les énoncés :
(i) le tableau contient n boı̂tes placées sur p lignes et alignées à leur extrémité gauche ;
(ii) la ligne i contient λi boı̂tes ;
(iii) les nombres 1 à n sont répartis dans les boı̂tes à raison d’un nombre par boı̂te.
Par exemple, si λ = (4, 2, 1), alors
1 2 5 4
7 3
6
et
1 2 6 7
3 5
4
sont des tableaux de Young de forme λ. On note par Ṽλ l’espace vectoriel sur C des combinaisons linéaires formelles de ces tableaux de forme λ. Un tableau de Young est dit standard
s’il vérifie de plus la condition
(iv) les nombres dans les boı̂tes augmentent de gauche à droite dans chacune des lignes et
de haut en bas dans chacune des colonnes.
1
Par exemple, le premier tableau ci-dessus n’est pas standard, mais le second l’est. Le sousespace de Ṽλ engendré par les tableaux de Young standard est noté Vλ . On notera vt ∈ Ṽλ
le tableau de Young t vu comme élément de l’espace vectoriel.
( 21 )
2. Donner la dimension de Vλ et Ṽλ si λ = (3, 1, 1).
( 21 )
3. Soit la fonction a : Z \ {0} → Q définie par ad = (d + 1)/2d. Vérifier que
(i) ad + a−d = 1 ;
(ii) si k, l, m ∈ Z \ {0} satisfont k + m = l, alors ak am + al a−m − ak al = 14 .
Soit t un tableau de Young et 1 ≤ l, m ≤ n. On définit
dt,l,m = cl − cm + rm − rl
où cl et rl sont respectivement les étiquettes de la colonne et la ligne où se trouve l’entier l
dans t et similairement pour cm , rm et l’entier m. On définit, pour chaque ei , 1 ≤ i ≤ n − 1,
une transformation linéaire πλ (ei ) sur le sous-espace de Ṽλ où l’expression suivante est
bien définie :
1
(⋆)
πλ (ei )vt = at,i,i+1 vt + (at,i,i+1 at,i+1,i ) 2 vgi (t)
où at,k,m = adk,t,m et gi (t) est le tableau de Young obtenu en échangeant les entiers i et
i + 1 dans t.
( 21 )
4. Montrer que le sous-espace où les πλ (ei ) sont bien définis contient Vλ .
( 21 )
5. Montrer que Vλ est stable sous l’action (⋆).
(1)
6. Obtenir les matrices représentant les πλ (ei ), 1 ≤ i ≤ 4, restreintes à Vλ pour λ = (3, 1, 1)
dans la base des tableaux de Young standard.
(1)
7. Vérifier que πλ satisfait (E1). (Ceci veut dire que πλ (ei )2 = πλ (ei ), 1 ≤ i ≤ n − 1.)
(1)
8. Vérifier que πλ satisfait (E2).
(1)
9. Vérifier que πλ satisfait (E3) et expliquer pourquoi ceci permet de conclure que πλ : Sn →
GL(dim Vλ ; C) est une représentation de Sn . Note : la vérification de (E3) est laborieuse.
Prière d’utiliser la notation k = dt,i,i+1 , l = dt,i,i+2 , m = dt,i+1,i+2 .
( 21 )
10. Soit t ∈ Vλ et soit l’application t 7→ t ′ qui consiste à supprimer la case n de t. Ainsi t ′
est un tableau de Young standard de (n − 1) boı̂tes. Montrer que
M
Vλ ≃
comme espaces vectoriels,
Vλ ′
λ ′ <λ
où la somme porte sur les partitions de (n − 1) boı̂tes plus petites que λ. On écrit λ ′ < λ si
la forme λ ′ peut être obtenue de celle de λ en enlevant des boı̂tes (et au moins une).
(1)
11. Montrer que la représentation πλ |Sn−1 est isomorphe à
porte sur les partitions de (n − 1) boı̂tes.
2
L
λ ′ <λ
πλ ′ . À nouveau, la somme
( 21 )
12. Soit λ une partition de n. Soient λ1′ , λ2′ deux partitions distinctes obtenues en retirant
une boı̂te de λ. Montrer qu’il existe précisément une partition λ ′′ de (n − 2) boı̂tes tel que,
en ajoutant une boı̂te contenant (n − 1), on puisse obtenir λ1′ et λ2′ . (Évidemment cette boı̂te
devra être ajoutée à des endroits différents.)
(1 + 1) 13. Montrer, par induction sur n, que les πλ sont irréductibles.
Suggestion : considérer un sous-module V ′ ⊂ Vλ avec V ′ 6= {0}. Écrire Vλ = V ′ ⊕ V" et
prendre la restriction à Sn−1 . Utiliser πλ (en−1 ) pour montrer que si V ′ contient un des Vλ ′ ,
il les contient tous.
3