CORRIGÉ

Université de Nice
Mathématiques pour la Biologie (semestre 1)
L1SV, année 2014-2015
17-21 novembre 2014
CORRIGÉ
TD 7 : Séries statistiques à une et deux dimensions
Exercice 1. :
1. On considère la droite D passant par les deux points de coordonnées (4 2) et (12 -2).
Tracer cette droite puis calculer son équation en précisant sa pente et son ordonnée à l’origine.
y
b
D′
10
8
6
4
2
b
D
b
b
x
0
b
2
4
6
8
10
−2
La droite D d’équation y = ax + b
passe par (4 2) donc 4a + b = 2
et par (12 -2) donc 12a + b = −2
On
résoud le système
4a + b = 2
12a + b = −2
donc 8a = −4, a = − 21 , c’est la pente
et b = 2 − 4a = 4, c’est l’ordonnée à
l’origine.
L’équation de D est y = − 21 x + 4 .
12
b
2. Sur le graphique précédent tracer la droite D′ d’équation y = 3x − 1. Expliquer votre méthode.
Les points (4 11) et (6 1) appartiennent-ils à la droite D, à la droite D′ ? Expliquer.
On choisit deux points bien écartés sur D′ , par exemple (0 -1) et (4 11) et on trace la droite.
Le point (4 11) n’est pas sur D car 11 6= − 21 · 4 + 4 mais est sur D′ car 11 = 3 · 4 − 1,
Le point (6 1) est sur D car 1 = − 21 · 6 + 4 mais n’est pas sur D′ car 1 6= 3 · 6 − 1.
3. Vérifier que le point (7 2) est au dessus de la droite D. Justifier par un calcul.
Comment vérifier qu’un point (7 y) est au dessus de D ? En dessous ?
Le point (7 12 ) est sur D car 21 = − 21 · 7 + 4
Le point (7 2) est plus haut sur la même droite verticale que le point (7 21 ), il est au dessus de D.
Un point (7 y) est au dessus de D si y > 12 , en dessous si y < 21 .
Exercice 2. : On possède 6 spécimens fossiles d’un animal disparu et ces spécimens sont de tailles
différentes. On estime que si ces animaux appartiennent à la même espèce il doit exister une relation
linéaire entre la longueur de deux de leurs os, l’humérus et le fémur.
Voici les données de ces longueurs en cm pour les 5 spécimens possédant ces deux os intacts :
x=humérus
y=fémur
44
40
62
57
71
59
73
65
87
77
On écrira les calculs suivis de leur résultat.
1. Calculer la moyenne µ(x) et µ(y) de chaque type d’os.
= 337
et
µ(x) = 44+62+71+73+87
5
5 = 67,4
µ(y) =
40+57+59+65+77
5
=
298
5
= 59,6
2. Calculer la variance Var(x) et l’écart-type σ(x) des humérus. Même question pour les fémurs.
√
2
2
2
2
2
Var(x) = 44 +62 +715 +73 +87 − µ(x)2 = 4743, 8− 67,42 = 201,04 et σ(x) = 201,04 ≃ 14,179
√
2
2
2
2
2
Var(y) = 40 +57 +595 +65 +77 − µ(y)2 = 3696,8 − 59,62 = 144,64 et σ(y) = 144,64 ≃ 12,027.
3. Tracer le nuage de points correspondant à ces données. Calculer les coordonnées de son centre de
gravité G et ajouter ce point sur le dessin (en utilisant un autre symbole que celui des points du
nuage).
y
G = (µ(x), µ(y)) = (67,4 59,6)
80
b
70
b
60
+
G
b
b
50
b
40
x
30
40
50
60
70
80
90
Exercice 3. (covariance de deux séries) :
1. Compléter les deux tableaux suivants (dans la dernière colonne mettre la moyenne de la ligne).
En déduire les valeurs de Cov(x, y) et Cov(x, z).
xi
1
2
3
4
4
2,8
xi
1
2
3
3
4
2,6
yi
2
2
4
5
7
4
zi
7
5
4
3
2
4,2
xi yi
2
4
12
20
28
13,2
xi zi
7
10
12
9
8
9,2
Cov(x, y) = µ(xy) − µ(x)µ(y) = 13,2 − 2,8 · 4 = 2
Cov(x, z) = µ(xz) − µ(x)µ(z) = 9,2 − 2,6 · 4,2 = −1,72
2. Tracer les deux nuages de points (xi , yi ) et (xi , zi )
En déduire une justification des signes des covariances obtenues.
7
7
b
6
b
6
5
5
b
4
b
4
b
3
b
3
2
b
b
2
b
1
b
1
0
1
2
3
0
4
Cov(x, y) > 0 : le nuage est montant
1
2
3
4
Cov(x, z) < 0 : le nuage est descendant.
Exercice 4. (transformations de la variance) :
1. On considère la série (xi ) des mesures d’humérus de l’exercice 2. et la série (yi ) déduite par la
translation yi = xi − µ(x) que l’on appelle série centrée. Compléter le tableau suivant (en inscrivant
la moyenne de la ligne dans la dernière colonne) et en déduire la variance des deux séries xi et yi .
xi
44
62
71
73
87
67,4
x2i
1936
3844
5041
5329
7569
4743,8
yi = xi − µ(x)
-23,4
-5,4
3,6
5,6
19,6
0
31,36
384,16
201,04
yi2
547,56 29,16 12,96
Var(x) = µ x2 − µ(x)2 = 4743,8 − 67,42 = 201,04
Var(y) = µ y 2 − µ(y)2 = 201,04 − 02 = 201,04.
2. Comparer ces deux variances. Quelle propriété de la variance explique ce résultat ?
Elles sont égales. D’après le cours Var(ax + b) = a2 Var(x), ici y = x − µ(x) donc a = 1 et b = −µ(x)
et donc Var(y) = Var(x − µ(x)) = Var(x).