Une démonstration de la propriété caractéristique de la médiatrice d

Une démonstration de la propriété caractéristique de la médiatrice d'un segment.
Rappel de la définition : la médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment en
son milieu.
Un autre rappel fondamental (relatif à la définition de la symétrie axiale) : La médiatrice d'un
segment est un axe de symétrie de segment.
Propriété 1 : Si un point appartient à la médiatrice d'un segment, alors il est équidistant des
extrémités de ce segment.
Démonstration : Considérons un segment [AB] et la médiatrice  de ce segment. On appelle I le
milieu du segment [AB].
Considérons un point quelconque M sur .
On cherche à démontrer que AM = BM.
Les triangles AIM et BIM sont tous les deux rectangles en I.
D'après le théorème de Pythagore, on peut donc écrire les deux égalités suivantes :
2
2
2
2
2
2
AI IM =AM et BI IM =BM
Or, AI = BI
On en déduit rapidement que AM = BM
Le point M est donc bien équidistant des points A et B. cqfd (« ce qu'il fallait démontrer »)
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Propriété 2 (réciproque de la propriété 1) : Si un point est équidistant des extrémités d'un
segment, alors il est sur la médiatrice de ce segment.
Démonstration : Considérons un segment [AB] et un point M du plan tel que AM = BM. On appelle
I le milieu du segment [AB].
Considérons la médiatrice  du segment [AB].
On cherche à démontrer que M ∈  .
Pour cela, on peut mener ce que l'on appelle un raisonnement par l'absurde.
Supposons que le point M n'est pas sur la droite  : Supposons, par exemple, qu'il est du même
côté de  que B.
D'après l'inégalité triangulaire, on peut écrire : BN + NM > BM
A et B étant de part et d'autre de , on peut donc affirmer que le segment [AM] coupe  en un point
N:N≠M
N étant sur la médiatrice de , on peut écrire, grâce à la propriété 1 : AN = BN
Or on sait aussi que AM = BM.
Le fait de supposer que M n'est
pas sur  entraîne deux résultats
contradictoires....
De plus, N ∈ [AM], donc AN + NM = AM
Ce que entraîne
BN + NM = BM
« le point M n'appartient pas à  » est donc une proposition fausse.
Donc le contraire de cette proposition est vrai et on peut affirmer que : M ∈ . cqfd
On peut finalement regrouper les propriétés 1 et 2 en une seule, propriété caractéristique de la
médiatrice d'un segment :
Un point est sur la médiatrice d'un segment si et seulement s'il est équidistant des extrémités de ce
segment.
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Il existe une écriture symbolique des trois propriétés écrites en couleurs sur les pages précédentes
(on entre là dans le domaine de la logique)
Appelons P la proposition : « Le point M est sur la médiatrice du segment [AB]. »
Appelons Q la proposition : « Le point M est équidistant des extrémités du segment [AB]. »
La propriété 1 peut s'écrire : P ⇒ Q (qui se lit : « P implique Q »).
La propriété réciproque (propriété 2) peut s'écrire P ⇐ Q (« Q implique P »).
Et la propriété caractéristique s'écrit tout naturellement : P ⇔ Q (« P est équivalent à Q »).
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