Complément sur la modélisation des liaisons

Cours 05 - Compléments et Rappels sur la Modélisation des Liaisons
Lycée Bellevue Toulouse - CPGE MP
Compléments et Rappels sur la Modélisation des
Liaisons
Illustration du processus de
conception dans le cadre du
pilote automatique
(1)
Voir cours 01 de
MPSI
Cahier des charges - Diagrammes fonctionnels SysML
Définition du besoin
et étude de faisabilité
(2)
Voir cours 01 et 02
de MPSI
(3)
Voir cours 03 et 04
de MPSI
(4)
Voir cours 31 de
MPSI
(1)
(2)
Définition des
exigences
Processus de
conception
Processus
d’intégration
Diagrammes Structurels SysML
(3)
(4)
+ Schémas blocs + Modèles multiphysiques
Validation d
Conception de
l’architecture fonctionnelle
Conception de
l’architecture organique
Vérification de
l’intégration
Assemblage
Réception
(5)
Voir cours 09 et 22
de MPSI
Schémas cinématiques / Schémas d’architecture
(5)
Fabrication - réutilisation achats
Processus de réalisation
Modèles CAO et plans
Exemple de système
PILOTE AUTOMATIQUE DE BATEAU
L’ingénieur doit constamment procéder à des choix lors des différentes étapes du processus
de conception afin d’obtenir les performances attendues par le cahier des charges. Cette
phase de conception passe nécessairement par l’optimisation de l’architecture des
constituants des systèmes et donc, dans ce cadre, un des problèmes essentiel de l’ingénieur
est de choisir les « meilleures » solutions technologiques pour réaliser les liaisons.
Florestan MATHURIN
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Cours 05 - Compléments et Rappels sur la Modélisation des Liaisons
(6)
La théorie des
mécanismes est un
outil préliminaire dans
le processus de
conception qui a pour
finalité de maitriser la
mobilité et
l’hyperstaticité d’un
mécanisme modélisé
par des liaisons
théoriques.
Lycée Bellevue Toulouse - CPGE MP
Pour définir puis valider ses choix de conception, l’ingénieur s’appuie systématiquement sur
des modèles plus ou moins détaillés, posés en fonction d’un objectif d’étude et validé par la
théorie des mécanismes(6).
1 - RAPPEL DE LA DEMARCHE DE MODELISATION
L’objectif de l’ingénieur est de comprendre, analyser, améliorer ou valider un mécanisme.
Pour cela, il le modélise pour appliquer ensuite les outils de la mécanique.
Domaine Physique (réel)
Le choix du modèle dépend :
• de l’étude que l’on cherche
à mener,
• du degré de précision
demandé pour cette étude,
• des moyens de calcul
disponibles.
Comportement réel du système
Groupe hydraulique
Objectif d’étude
Modélisation
Validation
Domaine de simulation
Comportement simulé du système
Le domaine de validité des lois
de la mécanique implique la
mise en place d’hypothèses
simplificatrices lors de la
phase de modélisation.
Modèle
Outils de calcul adaptés
Plus le modèle est proche du système réel, plus les résultats obtenus seront satisfaisants.
2 - MODELISATION CINEMATIQUE ET STATIQUE DES LIAISONS
2.1. Modélisation cinématique des liaisons
Pour caractériser les mouvements relatifs entre deux solides
liaison, on utilise l’outil torseur cinématique.
(1)
et
(2)
constituant une
Ω x 12 v x 12 


rr r
Dans une base ( x , y , z ) donnée, il prend la forme générale : C1 / 2 = Ω y 12 v y 12 
{
}
Ω
O
z 12
v z 12  r r r
( x ,y ,z )
On appelle NC le nombre de degré de liberté d’une liaison, il correspond au nombre de
paramètres de position relatifs indépendants. 0 ≤ NC ≤ 5
NC = 0 correspond à la liaison encastrement et l’existence même d’une liaison impose NC ≠ 6
puisqu’un solide sans liaison possède 6 degrés de liberté.
Deux hypothèses sont nécessaires à la mise en place du modèle cinématique d’une liaison.
Hypothèse 1 : géométrie parfaite
Réel
Florestan MATHURIN
Modèle
Hypothèse 2 : liaison sans jeu
Réel
Modèle
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2.2. Modélisation statique des liaisons
Pour caractériser l’action mécanique transmissible entre deux solides (1) et (2) constituant
une liaison, on utilise l’outil torseur d’action mécanique transmissible.
X12 L12 
rr r


Dans une base ( x , y , z ) donnée, il prend la forme générale : {F1→2 } =  Y12 M12 
Z N  r r r
12 (x ,y ,z )
O  12
On appelle NS le nombre d’inconnues statiques d’une liaison, il correspond au nombre de
composantes non nulles et indépendantes. 1 ≤ NS ≤ 6
NS = 6 correspond à la liaison encastrement et l’existence d’une liaison impose NS ≠ 0
puisqu’un solide avec liaison possède au minimum 1 inconnue statique.
Deux hypothèses fondamentales supplémentaires sont nécessaires à la mise en place du
modèle d’action mécanique transmissible.
r
r
n12 = z
r
d F1→2
Réel
Hypothèse 3 : déformations nulles
r
r
n12 = z
x
Modèle (global)
R1→2
Zone de contact
S2
(π)
(S)
S1
Point de contact
S2
S1
O
(π)
Plan tangent
Plan tangent
r
r
n12 = z
r
d F1→2
Réel
Hypothèse 4 : frottement négligé
r
r
n12 = z
x
R1→2
Zone de contact
S2
(π)
(S)
S1
S2
(π)
Modèle (global)
Point de contact
S1
O
Plan tangent
Plan tangent
Lorsque les hypothèses 1, 2, 3 et 4 sont vérifiées, on dit que la liaison est parfaite :
• La puissance développée par les actions mécaniques de la liaison est nulle pour tout
mouvement compatible avec la liaison.
• Il y a une complémentarité entre le torseur cinématique et le torseur d’action mécanique
transmissible : NS + NC = 6
Torseur d'action
mécanique
transmissible
A une vitesse linéaire nulle correspond une force
 0 L12 
{F1→2 } =  0 M12 
Z 0  r r r
(x , y , z )
O  12
r
z
Torseur
cinématique
 0 v x 12 
{C1 / 2 } =  0 v y12 
Ω
0 (xr ,yr ,zr )
O  z12
(2)
r
x
O
(1)
r
y
A une vitesse angulaire nulle correspond un moment non nul pour le torseur d'action mécanique transmissible
Florestan MATHURIN
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2.3. Cas particuliers concernant la modélisation du contact cylindre/cylindre et
plan/plan
Suivant la longueur du contact cylindre/cylindre, le modèle à retenir peut changer :
(2)
d
L
L
L
≤ 0,5 ou 0,5 ≤ ≤ 1,5 + jeu important → Liaison linéaire
d
d
annulaire
L
L
≥ 1,5 ou 0,5 ≤ ≤ 1,5 + jeu faible → Liaison pivot glissant
d
d
(1)
Ces bornes sont des valeurs moyennes, elles dépendent bien sur de l’ajustement du guidage. Le
choix de la modélisation dépend également de l’objectif d’étude….
Suivant les dimensions x et y de la surface plane (inclue dans une liaison de plus grande longueur
L), le modèle à retenir peut changer :
L
x ≈ y → Liaison appui plan
(2)
x ≈ 0,1.y ou y ≈ 0,1.x → Liaison linéaire rectiligne
x
y
(1)
x et y << L → Liaison contact ponctuel
Là encore ces bornes sont des valeurs indicatives, le choix de la modélisation dépend également
de l’objectif d’étude….
2.4. Dernières recommandations
Il est essentiel de garder en mémoire qu’une liaison réelle n’est jamais parfaite puisqu’il s’agit
d’un modèle !
r
En réalité il ne faudrait pas dire « cette liaison est une liaison pivot glissant d’axe (O, x ) » mais
plutôt « cette liaison peut être raisonnablement modélisée par une liaison pivot glissant parfaite
r
d’axe (O, x ) compte tenu de l’objectif fixé ».
La modélisation par liaisons simples permet de définir et de calculer de façon relativement
simple les éléments de réduction des torseurs cinématiques et d’action mécanique transmissible.
Les liaisons simples constituent donc un modèle de référence utile et commode. Un des
objectifs du concepteur consiste donc à s’approcher au maximum de ces liaisons
simples !
3 - NECESSITE DE COMBINAISON DES LIAISONS - LIAISON EQUIVALENTE
3.1. Besoin
Les liaisons simples ne permettent pas toujours à l’ingénieur de traduire un besoin cinématique
car deux problèmes apparaissent rapidement lorsque l’on se limite à l’utilisation des liaisons
simples définies précédemment :
• La notion de pression de contact dans une transmission d’efforts joue un rôle
prépondérant et impose le plus souvent des contacts surfaciques. Or, trois liaisons parmi
les liaisons simples font intervenir des surfaces de contacts infiniment petites (la liaison
ponctuelle, la liaison linéaire rectiligne et la liaison linéaire annulaire).
Florestan MATHURIN
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Pour palier ce problème, ces liaisons à forte mobilité peuvent être remplacées par des
liaisons surfaciques montées en séries dont la mobilité globale est la somme des mobilités
des liaisons surfaciques. → Dans ce cas, on parle de liaisons simples montées en série.
• Il n’existe pas de liaisons simples permettant une mobilité cinématique nulle ou égale à
1. Au minimum la mobilité cinématique est égale à 2 (liaison pivot glissant) alors que
c’est pourtant, dans un grand nombre de mécanismes, la majorité des liaisons
rencontrées (liaison pivot, liaison glissière, liaison encastrement) → Dans ce cas, on parle
de liaisons simples montées en parallèle.
3.2. Liaison équivalente - Définition
La liaison équivalente correspond à la liaison théorique qui a le même comportement que
l’association des liaisons en série et/ou parallèle qu’elle remplace. Elle transmet la même action
mécanique et elle autorise le même mouvement que l’association de liaisons.
La liaison équivalente doit appartenir aux liaisons normalisées !!!
Il n'est pas toujours possible de trouver une liaison équivalente !!!
Exemple : Modélisation en liaisons séries et liaison équivalente d’un roulement à bille à rotule.
Besoin
Réalisation technologique
r
A
z
r
A
z
1
Liaison équivalente
3
1
Linéaire annulaire
r
d’axe (A, z )
2
1
Rotule en A
Pivot glissant
r
d’axe (A, z )
3
3
Exemple : Modélisation en liaisons parallèles et liaison équivalente d’un montage de roulement.
Besoin
Réalisation technologique
r
r
B
A
C
z
z
Rotule en C
0
1
r
Pivot d’axe (A, z )
0
1
r
Linéaire annulaire d’axe (B, z )
3.3. Recherche de la liaison équivalente dans le cas de liaisons séries
On parle de liaison série si n liaisons sont
disposées en série en chaîne ouverte et si elles
sont disposées les unes à la suite des autres par
l’intermédiaire de n solides. Le but de l’étude
est de remplacer l’ensemble de ces liaisons
simples
en
série
par
une
liaison
cinématiquement équivalente.
1
0
L1
2
L2
n
i
Li
Ln
n
0
Leq
Pour déterminer la liaison équivalente on doit traduire le fait que le mouvement équivalent
résulte de la composition des mouvements autorisés par chaque maillon de la chaîne ouverte.
On utilise donc l’outil torseur cinématique et pour trouver le torseur cinématique de la liaison
équivalente, on écrit que le torseur cinématique de la liaison équivalente est la somme des
torseurs cinématiques des liaisons en série.
Florestan MATHURIN
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{Cn / 0 }
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{Cn / n−1} les torseurs
cinématiques des n liaisons en série alors : {Cn / 0 } = {Cn / n−1 }+ ... + {Ci / i−1 }+ ... + {C1 / 0 }
Soit
le torseur cinématique de la liaison équivalente et
{
n
} ∑ {Ci / i−1 }
Torseur cinématique de la liaison équivalente : Cn / 0 =
i=1
Les torseurs doivent tous être écrits au même point si l’on veut les sommer !
Exemple : Recherche de la liaison équivalente entre le piston et l’arbre de la pompe hydraulique
Modèle
Réel
(schéma d’architecture)
r
z5
5 B
A
A
6
r
AB = l.z5
0
Appui plan de
r 5
normale (A, z5 )
4
4
6
Rotule en B
 0 v x 54 
Ω x 65 0
Ω x 65 − l.Ω y 65 






{C5 / 4 } =  0 v y 54 
= Ω y 65 l.Ωx 65 
et {C6 / 5 } = Ω y 65 0 
Ω
Ω 0
Ω
0  r r r
0  r r r
r r r
A  z 54
(x 5 ,y 5 ,z5 )
B  z 65 ( x 5 ,y 5 ,z 5 ) A  z 65
(x 5 ,y 5 ,z5 )
Il est en effet
préférable sur ce
système de réaliser
une liaison ponctuelle
par mise en série
d'une liaison appui
plan et d'une liaison
rotule pour limiter la
pression de contact.
En passant d’un
contact ponctuel où la
pression est infinie à
un contact surfacique,
la pression devient
admissible pour les
matériaux.
 Ωx eq = Ωx 65
 Ω =Ω
y 65
 y eq
Ω x v x 
 Ωz eq = Ωz 65 + Ωz 54
eq
eq
{Ceq} = Ωy eq v y eq 
→ {C eq } = {C6 / 4 } = {C6 / 5 }+ {C 5 / 4 } d’où :  v = v − l.Ω
x 54
y 65
 x eq
Ω v 
z eq z eq  r r r

v
=
v
+
l
.
Ω

A
(x 5 ,y 5 ,z5 )
y
y 54
x 65
 eq
 v z eq = 0
 Ω x 65
v x 54 − l.Ω y 65 

r
{Ceq} =  Ωy 65 v y 54 + l.Ωx 65 
soit une liaison ponctuelle en A de normale (A, z5 ).
Ω + Ω

0
z 54
 z 65
r r r
A
( x 5 ,y 5 ,z5 )
3.4. Recherche de la liaison équivalente dans le cas de liaisons parallèles
On parle de liaison parallèles entre deux pièces
(ou groupes de pièces) si le graphe des liaisons
présente deux ou plusieurs traits parallèles qui
relient ces deux pièces contiguës. Le but de
l’étude est de remplacer l’ensemble de ces
liaisons simples en parallèle par une liaison
cinématiquement équivalente.
Florestan MATHURIN
L1
1
L2
Li
Ln
2
1
Leq
2
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Pour déterminer la liaison équivalente on doit traduire le fait que la liaison équivalente transmet
une action mécanique égale à la somme des actions mécaniques transmises par chacune des
liaisons en parallèle. On utilise donc l’outil torseur des actions mécaniques transmissibles et pour
trouver le torseur statique de la liaison équivalente, on écrit que le torseur statique de la liaison
équivalente est égal à la somme des torseurs statiques des liaisons en parallèle.
{F } le torseur d’AM transmissibles de la liaison équivalente et {F } les torseurs d’AM
transmissibles des n liaisons en parallèles alors : {F }= {F }+ {F }+ ... + {F }+ ... + {F } .
Soit
eq
1→2
Ln
1→2
eq
1→2
L1
1→2
L2
1→2
Li
1→2
Ln
1→2
{ }= ∑ {F }
n
Torseur d’actions mécaniques transmissibles de la liaison équivalente :
F1eq→2
i=1
Li
1→2
Les torseurs doivent tous être écrits au même point si l’on veut les sommer !
Recherche de la liaison équivalente pour le cas du montage de roulements de l’arbre moteur de la
Réel
Modèle
pompe
r
B
C
z
Rotule en C
0
1
r
Linéaire annulaire d’axe (B, z )
{F }
LA
0→1
XLA
01
 LA
= Y01
0
B
XROT
0
01

 ROT
ROT
et F0→1 = Y01
0

ZROT
0 r r r
( x ,y ,z )
C  01
{ }
On pose : F0eq→1
{ }
→ F0eq→1
La théorie des
mécanismes n’est
désormais plus au
programme de MP et
sera exclusivement
abordée en école
d’ingénieur. Ce
chapitre est donc
uniquement pour la
culture personnelle.
eq
X eq

01 L 01
 eq eq 
= Y01 M01 
Z eq Neq 
01 (xr ,yr ,zr )
B  01
{ }
LA
ROT
 X eq
01 = X 01 + X 01
 eq
LA
ROT
Y01 = Y01 + Y01
ROT
 Z eq
01 = Z 01
 eq
ROT
et {F0eq→1 } = {F0LA→1 }+ {F0ROT
→1 } d’où :
 L 01 = −l.Y01
 Meq = l.X ROT
01
01
 eq
 N01 = 0
ROT
ROT
XLA

01 + X 01 − l.Y01
r
 LA
ROT
ROT 
soit une liaison pivot d’axe (O, z ).
= Y01 + Y01 l.X 01 
 ZROT
0  r r r
01

B
(7)
{ }
ROT
XROT

0
01 − l.Y01
r

 ROT
ROT
ROT 
→ BC = l.z → F0→1 = Y01 l.X 01 
0

ZROT
0 r r r
0  r r r
( x ,y ,z )
B  01
( x ,y ,z )
(x ,y ,z )
4 - INTRODUCTION AU CONCEPT DE LA THEORIE DES MECANISMES (7)
La théorie des mécanismes traite uniquement de modèles pour lesquels on considère qu’il n’y a
que des liaisons avec des géométries parfaites, sans jeux, ni frottement, ni déformations et qui
sont définis chacune par un torseur cinématique (le torseur d’action mécanique transmissible en
découlant automatiquement). Par conséquent la théorie des mécanismes s’appuie sur des
modèles architecturaux liés à des objectifs d’étude et a pour but de maitriser la mobilité et
l’hyperstaticité d’un modèles de mécanismes modélisés par des liaisons théoriques.
Florestan MATHURIN
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Notion d’hyperstaticité (ou hyperstatisme) d’un modèle
L’hyperstaticité d’un modèle de système mécanique est donnée par le nombre d’inconnues de
liaison qui n’ont pas pu être déterminées par les seules équations issues du principe fondamental
de la statique. Dans ce cas, on peut dire qu’il y a un excès de liaisons mécaniques sur le modèle
du système. Un modèle de mécanisme est dit isostatique si l’on peut calculer, après
modélisation des liaisons et par les seules équations de la statique, toutes les composantes des
actions mécaniques intervenant dans les liaisons du système.
Pourquoi calculer un degré d’hyperstaticité ?
(8)
Par conséquent
tous les modèles
posés au concours
pour la résolution de
problèmes de statique
ou de dynamique
seront isostatiques.
•
•
Pour déterminer les actions mécaniques transmissibles des liaisons avec les seules
équations issues des théorèmes généraux, il est préférable d’identifier si le modèle du
système est isostatique (et donc de savoir si cette détermination est possible) avant de
se lancer dans des calculs parfois longs et fastidieux(8).
La mise en évidence des liaisons surabondantes conduisant au degré d’hyperstaticité
aboutit à la mise en place de tolérances géométriques nécessaires à la définition
fonctionnelle des pièces.
Quel est la validité d’un degré d’hyperstaticité ?
Le calcul du degré d’hyperstaticité dépend de la modélisation choisie pour chacune des liaisons.
• Si l’objectif de l’ingénieur est de calculer les composantes d’actions mécaniques
transmissibles des liaisons, il s’orientera vers une modélisation « minimale » conduisant
à un degré d’hyperstaticité le plus faible possible.
• Si son objectif est la mise en place de spécifications fonctionnelles, il s’orientera à
l’inverse vers un degré d’hyperstatisme plus grand.
Modèles (schémas d’architecture)
Un exemple simple
Réel
Modèle 1
Modèle 2
Pour définir les tolérances géométriques nécessaires à la définition fonctionnelle de l’arbre, on
s’oriente vers une modélisation avec un degré d’hyperstaticité élevé. Compte tenu de ces choix
technologiques, on peut donc modéliser le comportement de chacun des roulements par une
liaison linéaire annuaire et une liaison pivot (modèle 1). Une étude rapide (liaisons parallèles)
permettrait de voir que cette modélisation possède un degré d’hyperstaticité de 2, ce qui
implique d’avoir une excellente coaxialité entre les différentes portées de roulement.
Dans le cadre d’un calcul de prédimensionnement des roulements ou bien d’un calcul de l’arbre
en résistance des matériaux, on a besoin de connaitre rapidement les torseurs d’action
mécaniques transmissibles, on s’oriente donc vers une modélisation isostatique (modèle 2).
Florestan MATHURIN
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