Notes de cours, Mathématiques pour la physique,

1
Notes de cours,
Mathématiques pour la physique,
Université Joseph Fourier, Grenoble ;
Master Physique M1,M2
(version : 30 décembre 2016)
Frédéric Faure
http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~faure
Frederic Faure, Institut Fourier, grenoble.
email : [email protected]
Table des matières
I
Analyse de Fourier, distributions et EDP à coecients constants
8
1
Dérivée et formule de Taylor
10
2
Séries de Fourier
23
3
Fonctions holomorphes à une variable
29
3.0.1
4
5
II
6
7
8
3.0.0.1
Première formule des résidus
3.0.0.2
Formule des résidus
. . . . . . . . . . . . . . . .
32
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
Application au calcul d'intégrales. Méthode des résidus. . . . . . .
33
Transformée de Fourier
35
4.0.1
Espaces de Banach est espace de Hilbert de fonctions . . . . . . . .
4.0.2
La transformée de Fourier
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.0.2.1
Transformée de Fourier et dérivation ou multiplication
4.0.2.2
Transformée de Fourier inverse
4.0.2.3
Transformée de Fourier et convolution
35
36
. .
38
. . . . . . . . . . . . . . .
40
. . . . . . . . . . .
Transformée par ondelettes
42
44
Espaces vectoriels et tensoriels
47
Espaces vectoriels
49
6.0.1
Somme directe d'espaces vectoriels
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
6.0.2
Espaces quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
Applications linéaires
57
7.0.1
Représentation d'une application linéaire dans une base . . . . . . .
58
7.0.2
Déterminant et Trace d'un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . .
61
Espace dual
62
2
3
TABLE DES MATIÈRES
9
Métriques sur un espace vectoriel
9.0.1
Métrique Euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
9.0.1.1
Existence et construction d'une base orthonormée . . . . .
69
9.0.1.2
Application linéaire adjointe . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
9.0.1.3
Applications linéaires qui préservent la métrique . . . . . .
72
9.0.2
Métrique Hermitienne
9.0.3
9.0.4
9.0.5
66
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
Métrique de Lorentz
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Schémas dans l'espace-temps de Minkowski E = R
. . . . . . . . .
75
Métrique symplectique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ω
9.0.5.1
Application linéaire adjointe symplectique A
. . . . . . .
77
9.0.5.2
Application linéaire qui préserve la métrique symplectique
10 Espaces tensoriels
11 Spectre et pseudo-spectre d'applications linéaires
89
11.0.1.2
Dénition du pseudo-spectre . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
11.0.1.3
Image numérique (étendue numérique) . . . . . . . . . . .
91
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Décomposition polaire
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
SO (2)
14 Le groupe
SO (3)
14.0.2 Algèbre
. . . . . . . . . . . . . . . . .
99
. . . . . . . . . . . . . . . . .
100
. . . . . . . . . . . . . . . . .
100
. . . . . . . . . . . . . . . . .
101
. . . . . . . . . . . . . . . . .
102
103
106
SO (3)
Topologie de SO (3) . . .
de Lie de SO (3) . . . . . .
14.0.1 Système de coordonnées sur
14.0.1.1
93
99
GLn (R) .
Le groupe spécial linéaire SL (n, R) .
Les groupe orthogonal O (n) , SO (n)
Les groupe unitaire U (n) , SU (n) . .
Le groupe symplectique Sp (2n, R)
.
12.0.1 Le groupe général linéaire
13 Le groupe
93
95
12 Les groupes classiques de matrices
15 Le groupe
89
. . . . . . . . . . . .
Groupes de matrices et représentations
12.0.5
87
Dénition du spectre d'un opérateur
11.0.2.1
12.0.4
81
11.0.1.1
11.0.2 Valeurs singulières
12.0.3
ω
89
11.0.1 Pseudo spectre d'un opérateur de rang ni . . . . . . . . . . . . . .
12.0.2
80
84
10.0.1 Changement de Base. Transformation de coordonnées d'un tenseur.
III
75
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
106
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
107
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
109
114
SU (2)
15.0.1 Système de coordonnées sur
16 Relation entre les groupes
SO (3)
et
SU (2)
SU (2)
et topologie
. . . . . . . . . . .
114
119
4
TABLE DES MATIÈRES
17 Représentation de groupe
123
17.0.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.0.2 Représentation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.0.3 Représentation de groupes de Lie compact
IV
. . . . . . . . . . . . . .
Géométrie diérentielle
124
127
135
18 Bases de la géométrie diérentielle
18.1 Variété diérentiable
123
136
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
136
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
142
18.3 Vecteurs tangents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
142
18.2 Fonctions
18.3.1 Expression d'un vecteur tangent
V
dans un système de coordonnées
locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.3.2 Trajectoires et ot
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.3.3 Exemples de champs de vecteurs et leur ot
18.3.4 Transport de fonctions par le ot
143
146
. . . . . . . . . . . . .
147
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
148
18.3.5 Crochet de Lie de deux champs de vecteurs
. . . . . . . . . . . . .
151
18.4 Vecteurs cotangents ou 1 formes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
153
18.5 1-formes et intégrales curviligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
156
18.6 Formes diérentielles
157
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
18.6.1 Exemple de l'espace M = R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
159
18.6.2 Formule de changement de coordonnées pour les formes diérentielles 162
18.7 Orientation d'une variété . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
163
18.8 Changement de coordonnées et intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
163
18.9 Dérivée extérieure et formule de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
164
18.10Diéomorphisme entre variétés et transport de champ de tenseurs
171
. . . . .
19 Géométrie Riemannienne et électromagnétisme
172
19.0.1 Rappels sur le produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.0.2 Variété Riemannienne
172
19.0.3 Métrique induite sur l'algèbre extérieure et l'opérateur adjoint
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d∗ .
176
19.0.4 L'opérateur Laplacian de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
179
19.0.5 Equations de Maxwell sur une variété Lorentzienne
19.0.5.1
Remarques sur les champs électrique
19.0.6 Divergence, gradient et loi de conservation
~
E
. . . . . . . . .
et magnétiques
~
B
174
181
186
. . . . . . . . . . . . . .
187
. . . . . . . . . . . . .
187
19.0.6.2
Loi de conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
188
19.0.6.3
Sur une variété Riemanienne
189
19.0.6.1
Divergence d'un champ de vecteur
. . . . . . . . . . . . . . . .
20 Géométrie symplectique et Mécanique Hamiltonienne
20.0.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
20.0.1.1 Mécanique Hamiltonienne sur le plan R . . . . . . . . . .
192
192
192
5
TABLE DES MATIÈRES
20.0.1.2
Mécanique Hamiltonienne sur la sphère
S2
. . . . . . . . .
20.0.2 Forme symplectique sur une variété et équations de Hamilton
. . .
195
196
21 Espaces brés et connexions
198
21.1 Espaces brés vectoriels
198
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
21.1.1 Topologie d'un bré vectoriel de rang 1 sur S
. . . . . . . . . . . .
2
21.1.2 Topologie d'un bré vectoriel de rang 2 sur S
. . . . . . . . . . . .
21.1.2.1
21.1.2.2
203
206
Connexion et indice de Chern . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Topologie d'un espace bré sur S à partir des zéros d'une
209
section . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
209
21.2 Connexion et dérivée covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.2.1 Dénition
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.2.2 Exemple : la connexion de Levi-Civita
. . . . . . . . . . . . . . . .
213
213
215
21.2.2.1
Exemple du pendule de Foucault
. . . . . . . . . . . . . .
216
21.2.2.2
Exemple de la Connexion de Berry . . . . . . . . . . . . .
218
21.2.3 Expression de la connexion par rapport à une trivialisation locale du
bré
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
219
21.2.3.1
Choix de Jauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
219
21.2.3.2
Cas d'un bré hermitien :
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
221
21.2.3.3
Transformation de Jauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
222
21.2.4 Courbure
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.2.5 Expression de la courbure pour la connexion de Levi-Civita . . . . .
21.2.5.1
224
228
Cas d'un bré de rang 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
229
21.2.6 Transport parallèle, holonomie et courbure . . . . . . . . . . . . . .
230
21.2.6.1
Transport parallèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
230
21.2.6.2
Holonomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
231
21.2.7 Propriétés de la courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
234
21.2.8 L'électromagnétisme est une théorie de Jauge abélienne
. . . . . .
235
21.2.8.1
Expression dans un système de coordonnées :
. . . . . . .
235
21.2.8.2
Equations variationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
237
21.2.9 Théories de Jauge non abéliennes (Yang-Mills) . . . . . . . . . . . .
238
21.2.10 Variation et changement de connexion
. . . . . . . . . . . . . . . .
240
21.2.11 Dérivée covariante de tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
241
21.3 Connexion de Riemmann sur une variété Riemannienne . . . . . . . . . . .
244
21.3.1 Connexion de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
244
21.3.1.1
Exemple : Sous variété d'un espace euclidien . . . . . . . .
245
21.3.1.2
Expression par rapport à une trivialisation . . . . . . . . .
246
21.3.2 Courbure de Riemann
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
249
Courbure comme caractérisation d'un espace non euclidien
251
21.3.3 Equations d'Einstein de la relativité générale . . . . . . . . . . . . .
251
21.3.2.1
21.3.3.1
Les champs :
21.3.3.2
L'action :
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
252
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
252
21.3.4 Modèles cosmologiques en relativité générale . . . . . . . . . . . . .
256
6
TABLE DES MATIÈRES
M
21.3.4.1
Description de l'espace temps
. . . . . . . . . . . . . .
256
21.3.4.2
Lignes d'univers cosmologiques
. . . . . . . . . . . . . . .
257
21.3.4.3
Tenseur énergie impulsion et équations d'Einstein . . . . .
259
21.3.4.4
Solutions de l'équation d'évolution de Friedmann-LeMaître
261
A Solution des exercices
263
A.1
Chapitre Analyse
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
263
A.2
Chapitre algèbre
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
268
A.3
Chapitre géométrie diérentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
272
A.4
Chapitre espaces brés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
277
A.4.0.1
Exercice 21.1.14 page 212 :
A.4.0.2
Exercice 21.2.4 page 218 :
. . . . . . . . . . . . . . . . .
277
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
278
B Formules
B.1
280
Analyse et intégrales
B.1.1
Conventions de notation :
est
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Intégrales Gaussiennes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
On utilise le signe
280
280
:= pour signier que le terme de gauche
déni par le terme de droite. Par exemple :
A := {2n, n ∈ N}
signie que
A
est l'ensemble des entiers s'écrivant
des entiers pairs.
2n
avec
n
entier.
A
est donc l'ensemble
Annexe B
Formules
B.1 Analyse et intégrales
B.1.1
Intégrales Gaussiennes
Formule 1
Z
+∞
√
exp −X 2 dX = π
(B.1.1)
−∞
I2
donc
I=
R +∞
2
e−x dx. Alors
Z +∞
Z +∞
Z +∞ Z +∞
−(x2 +y 2 )
−x2
−y 2
e dx
e dy =
e
dxdy
=
−∞
−∞
−∞
−∞
∞ Z ∞
Z 2π
Z ∞
1 −r2
−r2
−r2
drr
dθe
= 2π
re dr = 2π − e
=
=π
2
0
0
0
0
Démonstration. Soit
I=
−∞
√
π.
Formule 2
Soit
A, B, C ∈ C
et
Q(x) = Ax2 + Bx + C
< (A) > 0 pour la convergence.
Alors
Z
+∞
r
exp (−Q(x)) dx =
−∞
280
π
B2
exp −C +
A
4A
(B.1.2)
ANNEXE B.
281
FORMULES
Preuve : @@
Formule 3.
Pour
n ≥ 0,
Z
+∞
2
x2n e−x dx =
−∞
√ (2n − 1)!!
π
2n
où
(2n − 1)!! := (2n − 1) (2n − 3) . . . 5.3.1 ==
appelée
double factorielle.
(2n)!
2n (n!)
(par symétrie, pour une puissance impaire
R +∞
−∞
2
x2n+1 e−αx dx =
0).
Démonstration. Il faut dériver la formule
soit
Z
R +∞
−∞
+∞
e
Iα :=
2
e−αx dx
−αx2
r
dx =
−∞
On a
donc
dn Iα
=
dαn
Z
+∞
−x
2 n −αx2
e
dx =
√
π
−∞
Z
+∞
−∞
2
x2n e−αx dx =
par rapport à
−1
2
α
et faire
π
α
−3
2
√ (2n − 1)!!
π
2n
2n − 1
... −
2
α=1
à la n :
Index
A
F
atlas, 139
facteur de Hubble, 258
auto-adjoint, 38
fermeture, 30
fonction plate, 17
B
base canonique, 78
big-bang, 261
bord, 30
formule de Cartan, 187
formule de Cauchy, 31
Formule de Taylor, 16
formule des résidus, 33
Formule d'inversion de Fourier, 40
C
cartes, 139
champ scalaire, 142
complété, 35
constante de structure ne, 21
fractale, 13
G
géométrie non commutative, 142
continue, 10
H
convolution, 42
Hölder, 13
courbure sectionnelle, 251
I
D
identité de Palatiny, 240
décomposition en valeurs singulières, 94
image numérique, 92
décomposition polaire, 93, 94
intérieur, 30
densité de courant, 237
dérivée, 11
dérivée de Lie, 187
dérivées partielles, 11
diérentiable, 11
diérentielle, 11
dilatation, 159
E
ensemble résolvent, 90
espace de Banach, 35
espace de Hilbert, 35
espace de phase, 44
extension
analytique, 19
extension
méromorphe, 19
L
L'espace de Schwartz, 39
Lipchitz, 14
lisse, 11
loi de Boltzmann, 18
Loi de Hubble, 258
Lorentzienne, 33
M
matrice symplectique, 82
Méthode des résidus, 33
mode de Fourier, 36
N
norme euclidienne, 10
282
283
INDEX
norme Hilbert-Schmidt, 11
norme innie, 10
norme L1, 35
norme opérateur, 10
noyau de Dirichlet, 28
O
opérateur adjoint, 91
opérateur normal, 91
oscillateur harmonique quantique, 12
P
parité, 159
peigne de Dirac, 28
phase de Berry, 232
pôle d'ordre k, 32
principe d'incertitude, 37
produit de convolution, 42
pseudo spectre, 90
R
rayon spectral, 90
réelle
analytique, 19
référentiel cosmologique, 257
résolvente, 90
Resommation
de Borel, 18
Riemann-Lebesgues, 37
S
série
asymptotique, 21
série de Laurent, 33
Série de Taylor, 16
spectre, 90
support compact, 21
T
Théorème de Plancherel, 40
théorème fondamental de l'analyse, 16
transformation orthogonale, 72
transformée de Fourier, 63
V
valeurs singulières, 94
variété diérentiable, 139
vecteur contravariant, 173
vecteur covariant, 173
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Analysis, manifolds and
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