Loi de mouvement en trapze de vitesse (figure 1)

Figure 1
La Loi de mouvement en trapèze de vitesse (figure 1)
Cette loi présente l’avantage de limiter l’accélération ;
Le tableau ci-dessous présente les équations du mouvement dans les différentes
zones :
- mouvement uniformément accéléré en zone (1),
- mouvement uniforme en zone (2),
- mouvement uniformément retardé en zone (3).
La loi de vitesse est obtenue par intégration de l’accélération ;
La loi de position est obtenue par intégration de la loi de vitesse.
Equations
Accélération
Translation
Rotation
Vitesse :
Translation
Rotation
zone (1)
zone (2)
zone (3)
a1 (t ) = a m
ω '1 (t ) = ω ' m
a 2 (t ) = 0
ω ' 2 (t ) = 0
a3 (t ) = −a m
ω '3 (t ) = −ω ' m
V1 (t ) = a m ⋅ t
ω1 (t ) = ω ' m ⋅t
V2 (t ) = Vm
ω 2 (t ) = ω m
V3 (t ) = − a m ⋅ (t − t 2 ) + Vm
ω 3 (t ) = −ω ' m ⋅(t − t 2 ) + ω m
1
am ⋅ t 2
2
1
θ1 (t ) = ω ' m ⋅t 2
2
1
X 2 (t ) = Vm ⋅ (t − t1 ) + X (t1 ) X 3 (t ) = − a m ⋅ (t − t 2 ) 2 + Vm ⋅ (t − t 2 ) + X (t 2 )
2
1
θ 2 (t ) = ω m ⋅ (t − t1 ) + θ (t1 ) θ 3 (t ) = − ω ' m ⋅(t − t 2 ) 2 + ω m ⋅ (t − t 2 ) + θ (t 2 )
2
Position
Translation
Rotation
X 1 (t ) =
Conseil pratique :
Dans beaucoup de problèmes il n’est pas nécessaire d’écrire ces équations en utilisant une origine commune des temps et des
espaces ; on obtient des équations beaucoup plus simples en effectuant un changement de l’origine des temps et des espaces
sur chaque zone du mouvement :
le tableau ci-dessous reprend les équations des différentes zones, avec des origines des temps et des espaces différentes pour
chaque zone.
Equations
Accélération
Translation
Rotation
Vitesse :
Translation
Rotation
zone (1)
zone (2)
zone (3)
a1 (t ) = a m
ω '1 (t ) = ω ' m
a 2 (t ) = 0
ω ' 2 (t ) = 0
a3 (t ) = −a m
ω '3 (t ) = −ω ' m
V1 (t ) = a m ⋅ t
ω1 (t ) = ω ' m ⋅t
V2 (t ) = Vm
ω 2 (t ) = ω m
V3 (t ) = −am ⋅ t + Vm
ω3 (t ) = −ω 'm ⋅t + ωm
1
am ⋅ t 2
2
1
θ1 (t ) = ω ' m ⋅t 2
2
X 2 (t ) = V m ⋅ t
1
X 3 (t ) = − am ⋅ t 2 + Vm .t
2
1
θ 3 (t ) = − ω 'm ⋅t 2 + ωm .t
2
Position
Translation
Rotation
TPline.fr
X 1 (t ) =
loi en trapèze de vitesse
θ 2 (t ) = ωm ⋅ t
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Application :
Ce conseil permet par exemple de résoudre rapidement le problème suivant
(appliqué au cas d’un mouvement de translation) :
L’accélération (am) et la vitesse (Vm) étant fixées ;
la distance à parcourir (Xm) étant fixée ;
déterminer le temps total (T) du mouvement.
Démarche :
1 - calcul du temps T1 mis pour parcourir la zone 1 : avec l’équation de vitesse de la zone 1 exprimée en T1 où V3 (t ) = Vm
Æ
T 1 = Vm / am
2- calcul de la distance X1 parcourue en zone 1 : avec l’équation de position de la zone 1 exprimée en
Æ
X1 =
T 1 = Vm / am
Vm2/2.am
3 - calcul du temps T3 mis pour parcourir la zone 3 : avec l’équation de vitesse de la zone 3 exprimée en T3 où
Æ
V3 (t ) = 0
T 3 = Vm / am
4 - calcul de la distance X3 parcourue en zone 3 : avec l’équation de position de la zone 3 exprimée en
T 3 = Vm / am
Æ X3 = Vm2/2.am
5 – calcul de la distance X2 parcourue en zone 2 : X2 = Xm – X1 – X3
Æ X2 = Xm - Vm2/am
6 – calcul du temps T2 mis pour parcourir la zone 2 : avec l’équation de position de la zone 2 exprimée en T2 : X2 = Vm.T2
Æ T2 = Xm/Vm - Vm/am
7 – calcul du temps T de parcours total : T = T1 + T2 + T3
Æ T = Xm/Vm + Vm/am
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loi en trapèze de vitesse
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