X PC1 2007 : Mouvement collé

X PC1 2007 : Mouvement collé-glissé, chant des verres
Corrigé proposé par Séverine Mensch ([email protected]) et Philippe Borel
([email protected]). Merci de nous signaler toute erreur.
I Principe du mouvement « collé-glissé »
I.1. Théorème du centre d’inertie dans le référentiel galiléen du laboratoire en projection sur Oy
− m.g + RN1 + RN2 = 0
Théorème du moment cinétique en G dans R* référentiel barycentrique : ao.RN1 − (Do − ao).RN2 = 0
d'où
RN1 =
(Do − ao)
.m.g
Do
et
RN 2 = ao .m.g
Do
I.2.Le TMC reste valable dans R* et l’absence de mouvement sur Oy conserve la première relation
donc les expressions précédentes restent valables avec D et a variables :
RN2 =
RN1 =
(D(t)− a(t))
.m.g
D(t)
et
a(t)
.m.g
D(t)
I.3. Le support sur lequel la barre glisse en premier est celui sur lequel la barre appuie le moins,
donc, avec ao < Do − ao , c'est le support (2).
d'où
F2= µ c.RN 2 = µ c.
a(t)
.m.g
D(t)
avec tant que le support (1) ne glisse pas a(t)=ao
Le TCI donne alors F1 : G se déplace à vo/2, donc aG=0 et F1− F2= 0 d'où
F1= F2= µ c.RN2 = µ c.
ao .m.g
Do − vo.t
I.4. La condition d'absence de glissement sur (1) est F1< µ s.RN1 , or F1 diminue, donc à un instant t1 le
glissement en (1) est inévitable.
D(t )− ao
.mg d'où t1 = µ s.Do −µ(µ.sv+ µ s ).ao et
t1 est donné par F1(t1)= µ s.RN1(t1) donc µ c. ao .mg = µ s . 1
s o
D(t1 )
D(t1 )
µ

D(t1 )= ao c + 1 = D1
 µs 
I.5. Au delà de t1 les 2 supports glissent car aucune des conditions d'absence de glissement n'est
réalisée.
La vitesse de glissement sur le support (1) est dirigée vers la gauche, celle du support (2) vers la
D(t)− a(t)
a(t)
droite, donc F1 = µ c.RN1= D(t) .µ c.mg et F2 = µ c.RN2= − D(t).µ c.mg d'où
D(t)− 2.a(t)
F1 + F2 =
.µ c.mg
D(t)
 µc 
 µc 
à t=t1 D(t1 )− 2.a(t1 )= ao + 1 − 2.ao = ao − 1 < 0 car µ c < µ s donc F1 + F2 < 0 .
 µs 
 µs 
Le point G ralentit du fait du glissement des 2 supports, sa vitesse va passer de vo/2 (support (1)
bloqué) à -vo/2 à l'instant t'1 où le support (2) se bloquera, F1 + F2 reste négatif durant toute cette
phase (rq : l'expérience peut être facilement réalisée avec une règle en plexiglas supportée par 2
doigts...)
I.6. Lors de la phase suivante, c'est le support (2) qui est bloqué, le support (1) glisse. Cette phase
1/6
s'étudie donc comme au I4), les rôles de 1 et 2 sont inversés, et les CI deviennent D(t'1) et a(t'1) d'où
µ

D(t2)= D(t1 ')− a(t1 ') . c + 1
 µs 
[
]
I.7. Si on peut négliger la durée de la phase de glissement des 2 supports, on assimile D(t'1) à
 µ
µ

µ
  µ

 µ
D(t1 )= ao. c + 1 et a(t'1)=a(t1)=ao, donc D(t2)= D(t1 ')− a(t1 ') . c + 1 =  ao. c + 1 − ao   c + 1 = c .D(t1 ) .
 µs 
 µs    µs 
 µ s  µ s
[
]
On peut donc déterminer expérimentalement µ c / µ s en calculant les rapports successifs des
longueurs entre les 2 supports lorsque le glissement change de côté. (rq :effectivement
expérimentalement avec la règle on ne voit pas cette phase.)
II Analyse d'un mouvement d'oscillation
→
→
→
→
→
→
II.1. On cherche une position d'équilibre /Ro lié au laboratoire : vRo = vtapis+ vtapis / Ro = vgl + vo = 0 , le
glissement se fait vers la gauche, la force de frottement est vers la droite.
A l'équilibre le TCI s'écrit -kx+F=0 avec F = µ c.m.g (équilibre sur y et condition de glissement) d'où
xéq =
µ c.m.g µ c.g
= 2
k
ω
••
•
II.2. ♦si X < vo alors vgl < 0 et F > 0 , le PFD dans Ro s'écrit m.x = − k.x+ µ c.m.g d'où
••
(1)
X + ω 2.X = 0
••
•
♦si X > vo alors vgl > 0 et F < 0 l'équation du mouvement devient m.x = − k.x− µ c.m.g d'où
••
(2).
X + ω .2x.X = − 2ω 2.xeq
•
••
♦S'il y a collage, X = vo = cste donc X = 0 , le TCI s'écrit − k.x+ F = 0 à la condition que F < µ s .mg


µs
µ 
µ 
donc k.x < µ s .mg d'où X + xéq < xéq donc X∈ X1 ,X 2 avec X 2 = xéq − 1+ µ cs  et X1 = − xéq − 1+ µ cs 




µc
[
]
II.3. Si la masse est posée sans vitesse initiale /Ro, vgl<0, c'est l'équation (1) qui donne le
mouvement. Avec les CI proposées, la solution est X(t)= X .cos(ω .t)
o
•
Pour rester dans ces conditions de glissement il faut ∀ t, X < vo donc X o.ω < vo soit
II.4. qeq = ω .
xeq
,
vo
,
q1 = − qeq(1+ γ )
•
X o <vo /ω = X m
q2 = qeq(γ −1)
•
•
II.5. q '= dq = dq . dt = X . 1 = X donc X = vo.q ' et
dθ dt dθ X m ω vo
••
q'
X = vo.q ''.ω = X m.ω 2 donc l'équation (1) se simplifie sous la forme
q''+q=0 (1'), valable si q'<1
0,5
(2)devient q''+q=-2qeq (2') avec q'>1
Avec les CI q(0)=0,5 et q'(0)=0, on est dans les conditions du II 2) , les oscillations sont
2/6
q
harmoniques, le diagramme de phase est un cercle :
•
•
II.6. Les points représentants les états de collage correspondent à x= vo donc X = vo et q'=1 : ils sont
situés sur le diagramme de phase sur l'axe q'=1, entre q1=-3qeq=-1,5 et q2=qeq=0,5.
II.7. Avec les CI proposées, la première phase du mouvement correspond à q'>1, c'est donc
l'équation (1') qui donne le mouvement : la solution est valable tant que q'<1 . Cette phase conduit à
un arc de cercle dans le diagramme de phase :
q'
1
2 q
Il suit une phase d'oscillation vers la droite, l'équation du
mouvement est (2'), le diagramme de phase est un arc de
cercle centré sur l'axe q en -2qeq=-1
q'
1
2 q
-1
Lors du deuxième passage par q'=1, le point est dans la zone
de collage : il se colle et part donc sur la droite jusqu'à
atteindre q2 . Une fois en q2, on retrouve l'équation (1') : le
diagramme de phase est à nouveau un arc de cercle de centre
O, lorsque le point
q'
atteint q'=1 il est cette
fois dans la zone de collage, et suit la droite q'=1 jusqu'à q2
: le mouvement devient périodique.
-1
0,5
2
q
Le cycle ne dépend pas des conditions initiales, l'arc de
cercle est centré en O, entre (q2,1) et (-q2,1), la phase de
collage entre (-q2,1) et (q2,1).
II.8. Une fois que le régime périodique est établi, Tc se décompose en Tc=t1+t2 : t1 durée de la phase
de collage de -q2 à q2 et t2 = durée de la phase de glissement.
q .X
q
t1 = 2. 2 m = 2. 2
ω
vo
t2 = θ o où θo est l'angle d'ouverture de l'arc de cercle décrit dans le plan de phase, donc
ω
θ o = π + 2.Arcos(q2) et t2 = π + 2.Ar cos(q2)
ω
Finalement
Tc =
π + 2.Arcos(q2)+ 2.q2
ω
II.9. ♦En l'absence de collage :
3/6
→ →
•
•
F = µ c.mg ∀t donc P= F.vgl = µ c.mg.(x− vo) et W = ∫ µ c.mg.(x− vo).dt
•
Or sur une période T : ∫ xdt = ∫ dx= 0 donc
W = − µ c.mg.vo.T = − µ c.mg.vo.2π
ω
♦S'il y a collage :
vgl = 0 pendant la phase de collage, donc P=0 et W=0
→ →
•
F = µ c.m.g pendant la phase de glissement (durée t2), donc P= F.vgl = µ c.mg.(x− vo) et
•
Wc = ∫ µ c.mg.(x− vo).dt l'intégrale portant cette fois uniquement entre 0 et t2, où q passe de q2 à
t2
 − q2 X m

-q2, donc Wc = µ c.mg ∫q X dx− ∫0 vo.dt  soit
 2 m


π + 2.Arcos(q2) 
Wc = µ c.mg − 2.q2.X m − vo.t2 = − µ c.mg 2.q2.vo + vo.

ω
ω


W
=
−
µ
.
mg
.
v
.
T
et finalement
[
]
c
c
o
c
Ainsi, dans les 2 cas, on trouve une puissance moyenne
Pmoy = W = Wc = − µ c.m.g.vo
T Tc
Qu'il y ait ou non une phase de collage, la puissance moyenne par cycle est la même : en cas de
collage, la puissance s'annule pendant le collage mais est plus importante pendant le glissement.
On préfère un freinage sans collage pour que la puissance instantanée soit constante, ce qui évite
des à-coups et des vibrations à la fréquence ω qui apparaissent dans le cas du collage.
III.Le chant du verre :
III.1.Analyse énergétique de la vibration
III.1.1. Pour θ=k.π/2 δr = δo.cos(ω.t) les vibrations présentent un ventre et pour θ=π/4+k.π/2 δr =0
ce sont des nœuds de vibrations. Ces résultats sont conformes à la figure 3.
III.1.2.Pour un point au bord du verre, par exemple sur le ventre θ=0, la déformation est sinusoïdale
2
δ (t)= δ o.cos(ω t) . E est la somme d’un terme d’énergie cinétique A. dδ et d’un terme d’énergie
dt
2
potentielle élastique B.δ de type parabolique conforme aux déformations sinusoïdales.
( )
III.1.3. Sans amortissement l’énergie mécanique se conserve soit dE/dt=0.
 d 2δ 
Après simplification A. dt 2  + B.δ 2= 0 équation d’un oscillateur harmonique de pulsation propre


ω= B
A
.
III.2.Energie cinétique du tube cylindrique
III.2.1. dm=ρv.R.dθ.H.a
III.2.2.
4/6
vr =
d(R+ δ r)
= − δ o.ω .cos(2.θ ).sin(ω .t)
dt
III.2.3.On intègre la relation
ds(ϑ ,t)
+ δ o.cos(2.ϑ ).cos(ω .t)= 0 par rapport à θ,
dϑ
s(ϑ ,t)= δ o .sin(2.ϑ ).cos(ω .t)+ f(t) , avec f(t)=0 la valeur moyenne temporelle de s(θ,t) étant nulle.
2
s(ϑ ,t)= δ o .sin(2.ϑ ).cos(ω .t)
2
et
ds (ϑ ,t)= − δ o .ω .sin(2.ϑ ).sin(ω .t)
dt
2
III.2.4. Les déformations sont supposées planes, vz=0 v2= vr2+ vs2
( ) ( )
2
2
sin 2(2.θ ) 

 .dθ .sin 2(ω .t)
dEc = 1.dm. dδ r + ds  = 1.H.R.a.ρ v.ω 2.δ o2. cos2(2.θ )+
2
dt  2
4
 dt


Intégrons dEc l’énergie cinétique élémentaire de l’élément de paroi dm entre 0 et 2.π :
2π
2π
0
0
∫ cos2(2.θ ).dθ = cos2(2.θ ).2π = π = ∫ sin2(2.θ ).dθ
Ec = 5.π .ρ v.H.R.a.ω 2.δ o2.sin 2(ω .t)
8
III.3.Analyse énergétique de la vibration. Energie potentielle élastique
III.3.1.En éliminant θ o des deux
relations lo = R.θ o et l = (R+ u).θ o , il
vient
( )
l = lo.1+ u
R
du
u
a/2
Quand le rayon de courbure
passe de R à R’ le filament subit
un alongement de
(
δ l = l(R')− l(R)= lo.u. 1 − 1
R' R
l(u)
lo
Filament
pour un
rayon de
courbure R
R
)
F = Y.δ l avec dS=du.δz ;
III.3.2.La loi de Hooke donne avec les notations suivantes δdS
l
( )
−1
Comme a<<R , u<<R donc δ l = δ l .1+ u ≈ δ l ;
l lo R
lo
(
)
δ F ≈ Y.δ l .du.δ z = Y.u. 1 − 1 .du.δ z
lo
R' R
.
III.3.3.Considérons le filament qui s’accroît de sa longueur l à l+δl , notons x une variable muette et
considérons le travail d’un opérateur qui réalise cette opération.
δl
x
δ 2Wop = ∫ δ F.dx avec δ F = Y. xl .du.dz
0
δl
δl
l
δ 2Wop = Y  ∫ x.dx  .du.dz
l 0

2
En définissant l’énergie potentielle par d 2Ep= δ 2Wop , d 2Ep= 2Yl .(δ l ) .du.dz
2
1 − 1 et
d 2Ep= Y .lo.( R− R' ) .u 2.du.dz
Avec δ l = lo.u. R
,
pour le filament.
l≈
l
o
2
RR
'
' R
(
)
En supposant la déformation uniforme dans la paroi, on intègre u entre –a/2 et a/2
Pour obtenir l’énergie potentielle du filament d’épaisseur a, de hauteur δz.
(
dE p = Y .lo. R− R'
2
RR'
5/6
) .
2
Y .lo.( R− R' ) .a3.δ z
∫ u2.du .δ z= 24
RR'
 − a/2
a/2

2
En assimilant la déformation à la variation de rayon de courbure et la considérant faible on peut
R− R' − δ r
alors écrire RR' ≈ R2 dans l’expression précédente.
(
)
III.3.4.On tient compte de la dépendance en θ de la déformation, pour le filament élémentaire de
largeur angulaire dθ, d’épaisseur du et de hauteur δz, l’énergie potentielle d3Ep s’écrit en
− R' 2.u 2.du.dz.R.dθ
remplaçant lo par lo = R.dθ : d 3Ep= Y2 . RRR
'
1 1 δ r + δ r''
avec R' − R = − R2 et δ r + δ r''= − 3.δ o.cos(2.θ ).cos(ω .t)
(
)
d 3E p = 9 3.Y.δ o2.cos2(2.θ ).cos2(ω .t).dθ .u 2.du.δ z
2.R
Pour l’anneau de hauteur δz il faut intégrer u entre –a/2 et a/2 et θ entre 0 et 2.π.
a/ 2
2π
dE p = 93.Y.δ o2.cos2(ω .t).δ z. ∫ u 2.du. ∫ cos2(2.θ ).dθ soit après calculs
R
− a/ 2
0
dE p = 3.π 3.Y.a3δ o2.cos2(ω .t).δ z.
8.R
III.4.Fréquence de vibration du tube
En tenant compte dans le modèle de la non indépendance des anneaux du cylindre, l’énergie
potentielle s’écrit par intégration sur δz :
3.π
Ep =
.H.Y.a3δ o2.cos2(ω .t)
8.R3.(1− σ 2)
3.π
3
Par identification avec le terme Bδ2, B= 8.R3.(1− σ 2).H.Y.a
( )
2
Par identification du terme d’énergie cinétique de la question III.2.4. avec le terme A. dδ ,
dt
A= 5.π .ρ v.H.R.a
8
La fréquence du mode de vibration s’écrit :
3.Y
f= 1 . B= a 2
2.π A 2.π .R 5.ρ v .(1− σ 2)
A.N. f=948 Hz
Remarque en ordre de grandeur:
Supposons que le mode fondamental de vibration correspond à une onde qui décrit la
circonférence du verre en une période, la fréquence est de l’ordre de f≈c/(2.π.R) où c est sa vitesse
Y
1
Y
de propagation c≈
, on obtient f ≈ 2.π .R
. Le calcul donne f=25,6kHz ! L’ordre de
ρv
ρv
grandeur n’est pas bon. En effet le modèle simpliste précédent ne tient pas compte de l’épaisseur du
verre ; le remplacement de 1/R par a/R2 de même dimension permet de retrouver un ordre de
a
Y = 1,2kHz
grandeur correct f ≈ 2.π .R2
.
ρv
6/6