Corrigé - COLLEGE LOUISE MICHEL

Exercice 1 : (4 points)
Un confiseur a préparé 840 nougats et 1 176 pralines. Il souhaite faire des paquets, tous
identiques, en mélangeant les nougats et les pralines. Il veut utiliser tous les nougats et toutes
les pralines.
a) Sans faire de calcul, expliquer pourquoi les nombres 840 et 1 176 ne sont pas premiers entre
eux.
840 et 1 176 sont deux nombres pairs donc ils admettent 2 comme diviseur commun ; or deux
nombres sont premiers entre eux si leur seul diviseur commun est 1 : ainsi 840 et 1 176 ne sont
pas premiers entre eux.
b) Le confiseur peut-il faire 21 paquets ? Si oui, calculer le nombre de nougats et le nombre de
pralines dans chaque paquets.
840 et 1 176 sont divisibles par 21 en effet 840 : 21 = 40 et 1 176 : 21 = 56
donc Le confiseur peut faire 21 paquets et chaque paquet contiendra 40 nougats et 56 pralines.
c) Quel est le nombre maximum de paquets qu’il peut faire ? Expliquer précisément votre
réponse. Quelle sera alors la composition de chacun des paquets ?
Tous les nougats et les pralines sont utilisés :
Il faut donc diviser le nombre de nougats et le nombre de pralines par le nombre de
paquets
Si n désigne le nombre de paquets , alors 840 doit être divisible par n
et 1 176 doit être divisible par n
c'est-à-dire n divise le nombre de nougats ( 840)
et n divise le nombre de pralines ( 1 176)
donc n est un diviseur commun de 840 et 1 176
On veut le nombre maximum de paquets donc n est le plus grand diviseur commun de 840 et
1 176
D’après l’algorithme d’Euclide, n= pgcd( 840 ;1 176) = 168. Il peut faire 168 paquets
maximum .
840 : 168 = 5
1 176 : 168 = 7
la composition de chacun des paquets est de 5 nougats et 7 pralines.
Exercice 2 : (4 points)
Il sera tenu compte de toute trace de réponse même incomplète dans l'évaluation.
Joachim doit traverser une rivière avec un groupe d'amis.
Il souhaite installer une corde afin que les personnes peu rassurées puissent se tenir.
Il veut connaître la largeur de la rivière à cet endroit ( nommé D ) pour déterminer si la corde
dont il dispose est assez longue.
Pour cela il a repéré un arbre ( nommé A ) sur l'autre rive.
Il parcourt 20 mètres sur la rive rectiligne où il se situe et trouve un nouveau repère :
un rocher ( nommé R ).
Ensuite, il poursuit sur 12 mètres et s'éloigne alors de la rivière, à angle droit, jusqu'à ce que le
rocher soit aligné avec l'arbre depuis son point d'observation ( nommé B ).
Il parcourt pour cela 15 mètres.
Il est alors satisfait : sa corde d'une longueur de 30 mètres est assez longue pour qu'il puisse
l'installer entre les points D et A.
A l'aide de la figure, confirmer sa décision.
Il parcourt 20 mètres sur la rive rectiligne où il se situe et trouve un nouveau repère :
un rocher ( nommé R ).Ensuite, il poursuit sur 12 mètres : ainsi les points D, R, V sont alignés
de même, le rocher est aligné avec l'arbre depuis son point d'observation ( nommé B ).
que A, R , B. sont alignés
Les droites (AD) et (VB) sont perpendiculaires toutes deux à (DV) donc elles sont
parallèles .
Donc d’après le théorème de Thalès , on peut écrire l’égalité des rapports suivants :
Donc AD =
Or
AD = 25
25 < 30
donc Il peut donc utiliser sa corde (la rivière ne mesure que 25 m et sa corde 30 m .)
Exercice 3 : (4,5 points)
Dans une classe de collège, après la visite médicale, on a dressé le tableau suivant:
Fille
Garçon
Porte des lunettes
3
7
Ne porte pas de lunettes
15
5
Les fiches individuelles de renseignements tombent par terre et s’éparpillent.
1. Si l’infirmière en ramasse une au hasard parmi les 30 fiches tombées .
On note F, l'événement : " la fiche est celle d’une fille qui porte des lunettes"
la probabilité que est donné par le quotient :
p(F) =
3 issues réalisent l’événement F d’où
p(F) =
b) On note G, l'événement : " la fiche est celle d’un garçon "
la probabilité que est donné par le quotient :
p(G) =
12 issues réalisent l’événement F d’où
p(G) =
( 7 + 5 = 12)
2. Les élèves qui portent des lunettes dans cette classe représentent 12,5% de ceux qui en
portent dans tout le collège. Combien y a-t-il d’élèves qui portent des lunettes dans le collège?
Soit N le nombre d'élèves du collège
La proportion des élèves qui portent des lunettes dans cette classe est de 12,5% et il y a 10
élèves qui portent des lunettes .
d'où
d'où
N=
N = 80
on bien
en utilisant un tableau de proportionnalité :
Nombre d 'élèves qui portent des lunettes
Nombre d'élèves du collège
100
12,5
N
10
de la même façon d'après l'égalité des prodiuts en croix , on trouve N = 80
Il y a 80 élèves qui portent des lunettes dans le collège.
Exercice 4 : (4,5 points)
Léa pense qu’en multipliant deux nombres impairs consécutifs (c’est-à-dire qui se
suivent) et en ajoutant 1, le résultat obtenu est toujours un carré parfait (c'est à dire le
carré d'un nombre entier).
1) Etude d’un exemple.
5 et 7 sont deux nombres impairs consécutifs.
a) Calculer
.
b) Léa a-t-elle raison dans cet exemple ?
Léa a raison, en effet :
=
2) Avec un tableur.
Le tableau ci-dessous montre le travail qu’elle a réalisé dans une feuille de calcul.
a) D’après ce tableau quel résultat obtient-on en prenant comme premier nombre
impair 17 ?
Si l’on choisit 17 comme premier nombre impair, on obtient alors : 324 on lit la
réponse dans la cellule D10.
b) Montrer que ce résultat est un carré parfait.
c) Donner la formule à entrer dans la cellule D2.
d) Dans la cellule D2 on rentre la formule
= A2*B2+1
3) Etude Algébrique.
Sachant que deux nombres impairs consécutifs peuvent s’écrire
et
où est un nombre entier, montrer que Léa a raison : le résultat obtenu est
toujours un carré parfait.
A=4
On reconnaît la forme développée de la première identité remarquable :
avec : a=2n et b=2
donc
Donc en multipliant deux nombres impairs consécutifs et en ajoutant 1 on obtient un carré
parfait.
Exercice 5 : (4 points)
On s’intéresse à la zone au sol qui est éclairée la nuit par deux sources de lumière: le
lampadaire de la rue et le spot fixé en F sur la façade de l’immeuble.
On réalise le croquis ci-contre qui n’est pas
à l’échelle, pour modéliser la situation:
On dispose des données suivantes:
1) Justifier que l’arrondi au décimètre de la longueur PL est égal à 3,4 m.
Dans le triangle PHL rectangle en P, on a :
2) On modifie l'orientation du spot situé en F afin que M et L soient confondus.
Déterminer la mesure de l’angle
. On arrondira la réponse au degré.
Si les points M et L sont confondus alors :
CL=PC-PL
Dans le triangle FLC rectangle en C, on a :
donc
Exercice 6 : (4.5 points)
Affirmation 1 :
ABC est un triangle rectangle en A, BC = 10 cm,
donc AC = 5 cm ;
Dans ABC triangle rectangle en A ,on a
Soit sin 30° =
Soit AC = 10
.
Donc l’affirmation est vraie.
Affirmation 3 :
La somme de deux multiples de cinq est un multiple de 10.
5 = 5 1 et 10 = 5
2 donc 5 et 10 sont 2 multiples de 5.
5 + 10 = 15 n’est pas un multiple de 10.
Donc l’affirmation est fausse.
Affirmation 4 :
E, D, F et I, D, K sont alignés dans le même ordre et on sait que
les droites (EI) et (FK) sont parallèles.
On a
alors par la propriété réciproque de Thalès les droites (EI) et (FK) sont parallèles.
Donc l’affirmation est vraie.
donc
Exercice 7 : (6 points)
Cet exercice est un QCM a choix multiples. Aucune justification n’est demandée.
Pour chaque question, une seule réponse est exacte.
Indiquer sur la copie, le numéro de la question et la réponse.
N° Questions
1
2
3
4
5
6
Réponse A
Le PGCD de 170 et 238
est :
Réponse B
PGCD (170 ; 68)
1
Réponse C
17
est égale à
–
–
–
est
égal à :
les nombres premiers
entre eux sont :
L’expression factorisée de
–
est :
–
On donne
–
La valeur de F pour
est :
–
-1
Exercice 8 : (4,5 points)
Le terrain de foot est un rectangle de 400 m de
longueur et de 300 m de largeur.
Le triangle ORS est donc rectangle en O, alors on peut
utiliser le théorème de Pythagore pour calculer la
longueur de la diagonale
du terrain.
On a : RS2 = OR2 + OS2
Soit RS2 = 3002 + 4002
RS2 = 250 000
Donc RS =
= 500 m
Par le chemin habituel, Théo parcourt 700 m au lieu de 500 m.
En coupant en diagonale le terrain de foot, Il fait donc une économie de
700m – 500m = 200 m.
Théo marche à la vitesse de 4,5 km/h.
On peut donc faire le tableau de proportionnalité suivant :
Distance en m
4,5
200
Temps mis en
s
3 600
t
On a donc t =
= 160 s
et 160 = ( 2
L'économie de temps, en minutes et secondes est donc 2 min 40 s.