programme linéaire planification statique. - LOMAG

Planification statique
Programmation linéaire
T.G. Crainic - Planification agrégée statique - L.P.
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Programmation linéaire
à Un des outils les plus puissants et les plus utilisés en applications
« industrielles » parmi les technologies d’aide à la décision
Þ Planification de la production
Þ Répartition des ressources
Þ Choix de produits à fabriquer
Þ Planification d’investissements
Þ Établissement de routes et d’horaires
Þ Planification des acheminements
Þ Logistique
Þ Distribution
Þ Affectation et gestion du personnel
Þ Gestion de projet, …
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Programmation linéaire
(2)
à Première méthodologie proposée
(George B. Dantzig – 1949)
à Facile à résoudre: méthode du simplexe
à Permet de traiter de façon systématique des problèmes complexes où
plusieurs activités sont en compétition pour des ressources limitées et un
objectif global (maximisation des profits, minimisation des coûts, ...) est
recherché
à L’approximation linéaire offre de bonnes indications
à « En prime » des informations intéressantes: coûts marginaux ou
d’opportunité : la valeur d’une unité supplémentaire de produit ou de
ressource étant donné l’état actuel du système
à Analyses de scénarios
à A la base d’autres approches plus puissantes
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Programmation linéaire – Approche
à Analyser et comprendre la situation
à Identifier le problème
à Données disponibles?
à Bâtir un modèle
à Résoudre le modèle
à Placer les résultats dans le contexte du problème initial
à Effectuer des analyses
à Boucles de feed-back
à Décisions
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Nos objectifs
à Se familiariser avec la modélisation à travers de cas (très) simples
à Comprendre les principes et les limitations de la programmation
linéaire
à Illustrer l’approche
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Modèle + Méthode de résolution
Données
non contrôlables
((description
description du système
système))
Données
contrôlables
((variables
variables de décision
décision))
Modèle
Sortie:
Résultats prévus
Méthode de
résolution
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Modèle
à Paramètres (données non contrôlables) qui décrivent le système et son
état actuel
à Objectif à atteindre; normalement en termes économiques : minimiser
les coûts, maximiser les profits, ...
à Des actions qui permettent de modifier l’état du système et d’atteindre
les objectifs – Les paramètres contrôlables.
Les intensités de ces actions constituent les variables de décision
à Des relations entre les données du système et les actions
(consommation de ressources pour produire une unité, par exemple)
à Des contraintes qui limitent la portée des actions (disponibilités de
ressources, capacité de production, limites du marché, par exemple)
à Les relations et les contraintes décrivent le système et son
comportement
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Planification des opérations —
Répartition des ressources : Exemple
à Une compagnie produit des bâtons de hockey et des jeux d’échecs. Chaque
bâton rapporte un profit de 2$ et chaque jeu un profit de 4$.
à La compagnie utilise trois types de machines : A, B et C. Pour la
prochaine période, l’entreprise dispose de 120 heures de machines A, 72
heures de machines B et 10 heures de machines C.
à La fabrication de chaque bâton nécessite 4 heures de travail sur des
machines de type A et 2 heures sur des machines B.
à La fabrication de chaque jeux d’échecs nécessite 6 heures de machines A,
6 heures de machines B et 1 heure de machines C.
à Assumons (pour simplifier) que les coûts d’achat des ressources et de
production ont été comptabilisés dans les profits unitaires et que la
compagnie pourra vendre toute sa production.
à Combien de bâtons de hockey et combien de jeux d’échecs produire afin
de maximiser les profits?
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Solution simple?
à Le profit unitaire d’un jeu d’échecs est deux fois plus grand que celui
d’un bâton de hockey. Pourquoi de pas produire uniquement des jeux
d’échecs?
à 10 jeux pour un profit de 40$ et il reste 60 heures sur la machine A et
12 sur la machine B
à Ou uniquement des bâtons?
à Ou alors une combinaison de jeux et de bâtons? Laquelle?
à Même pour un problème très simple, le nombre de solutions réalisables
est très grand et beaucoup semblent être intéressantes
à Besoin d’un modèle et d’une méthode systématique de recherche de
solution
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Modélisation
à Comprendre le problème
à Quelles sont les données non contrôlables?
Þ Les lignes de produits possibles et les profits espérés
Þ L’équipement les ressources disponibles
Þ Les recettes de fabrication
à Quelles sont les facteurs contrôlables? Les décisions :
Quoi et combien produire : les variables de décision
à Quel est l’objectif? Maximiser le profit total
à Quelles sont les contraintes? Le temps disponible sur chaque machine
à Ecrire une description « verbale » de l’objectif et de chaque contrainte
à Ecrire l’objectif et les contraintes en « forme mathématique », en
fonction des variables de décision et des données du problème
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Modélisation
Variables de décision
à Les éléments du problème que le gestionnaire peut contrôler
à Les actions possibles : fabriquer
Þ des bâtons de hockey
ou
Þ des jeux d'échecs
Þ ou les deux
à Les décisions
Þ combien de bâtons de hockey fabriquer
Þ combien de jeux d’échecs fabriquer
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Modélisation –Fonction-objectif
à Maximiser le profit total =
le profit provenant de la vente des bâtons +
le profit provenant de la vente des jeux
à Profit provenant de la vente des bâtons =
profit pour un bâton * nombre de bâtons vendus
à Profit provenant de la vente des jeux =
profit pour un jeu * nombre de jeux vendus
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Modélisation – Contraintes
Contraintes de fabrication - disponibilité
à Nombre d’heures de machine A utilisées ≤
Nombre d’heures de machine A disponibles
à Nombre d’heures de machine A utilisées =
nombre d’heures de machine A utilisées pour fabriquer des bâtons +
nombre d’heures de machine A utilisées pour fabriquer des jeux
à Nombre d’heures utilisées pour fabriquer des jeux =
nombre d’heures nécessaire pour fabriquer un jeu * nombre de jeux
fabriqués
à Nombre d’heures utilisées pour fabriquer des bâtons =
nombre d’heures nécessaire pour fabriquer un bâton* nombre de
bâtons fabriqués
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Le modèle
Variables de décision
ßH = nombre de bâtons de hockey à fabriquer
ßC = nombre de jeux d’échecs à fabriquer
Fonction-objectif
ßMaximiser Z = 2$H + 4$C
Contraintes de fabrication - disponibilité
ß4 H + 6 C ≤ 120 (heures machines A)
ß2 H + 6 C ≤ 72 (heures machines B)
ß
1 C ≤ 10 (heures machines C)
Contraintes de signe
H , C ≥ 0 (non-négativité)
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Principes
Effet (coût, intensité, consommation, etc.) total
=
somme des effets individuels
Effet individuel d’une action
=
effet unitaire * intensité de l’action
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Hypothèses (principes) de la
programmation linéaire
à Proportionnalité
à Aditivité
à Continuité (des variables de décision)
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Répartition des ressources
à Étant donné
Þ des ressources en quantités limitées,
Þ une gamme de produits « réalisables »,
Þ la « recette » de production de chaque produit : la quantité de
chaque ressource consommée pour en fabriquer une unité,
Þ des exigences sur les quantités produites,
Þ le coût d’acquisition d’une unité de chaque ressource,
Þ le profit unitaire pour chaque produit,
Þ les niveaux de demande de chaque produit,
déterminer le niveau de production optimal pour chaque produit afin
de maximiser le profit tout en respectant toutes les conditions.
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Types de contraintes
à Capacité: Limites sur la disponibilité des ressources, capacité de
production, de transport, de stockage, …
à Demande: Exigences minimales de production : prévisions de vente,
contrats, niveaux des commandes, …
à Les « recettes » de production apparaissent dans les contraintes de
capacité ou de demande
à À venir:
Þ Niveau des inventaires et relations entre les périodes
Þ Conservation des « flux »
Þ…
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Programmation linéaire — résolution
à Solutions graphiques : pour illustrer les caractéristiques des modèles et
méthodes de programmation linéaire
à Méthode du simplexe : ce qui est le plus largement utilisé et inclus
dans tous les logiciels
à Autres méthodes (ex: de point intérieur) pour des cas « extrêmes »
à Analyse de sensibilité : validation des résultats et analyse de scénarios;
réalisée à partir de la solution optimale
à De nombreux logiciels
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Solution graphique
Maximiser Z = 2$H + 4$C
4 H + 6 C ≤ 120 (heures machines A)
2 H + 6 C ≤ 72 (heures machines B)
1 C ≤ 10 (heures machines C)
H , C ≥ 0 (non-négativité)
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20
C
4 H + 6C = 120
H = 0 ⇒ C = 20
30
C = 0 ⇒ H = 30
Valeurs
Valeurs
réalisables
réalisables des
des
niveaux
niveaux de
de
production
production
20
4 H + 6C ≤ 120
10
H
0,0
10
20
30
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40
21
C
2 H + 6C = 72
H = 0 ⇒ C = 12
C = 0 ⇒ H = 36
2 H + 6C ≤ 72
30
Valeurs
Valeurs
réalisables
réalisables des
des
niveaux
niveaux de
de
production
production
20
10
H
0,0
10
20
30
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40
22
C
4 H + 6C ≤ 120
2 H + 6C ≤ 72
30
Valeurs
Valeurs
réalisables
réalisables des
des
niveaux
niveaux de
de
production
production
20
10
H
0,0
10
20
30
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40
23
C
4 H + 6C ≤ 120
2 H + 6C ≤ 72
C ≤ 10
30
20
10 A
B
C
0,0E
10
20
D
30
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H
40
24
C
4H + 6C ≤ 120
2H + 6C ≤ 72
C ≤ 10
Z = 2H + 4C
30
20
SOLUTION
OPTIMALE
C:
H=24
C= 4
H Z=64
B
10 A
C
0,0E
10
Z =8
H = 4, C = 2
20
D
30
Z = 52
H = 6, C = 10
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40
Z = 64
H = 24, C = 4
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Solution
à Nombre de bâtons (H) à fabriquer: 24
à Nombre de jeux d'échecs (C) à fabriquer: 4
à Profit prévu : 64$
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Méthode du simplexe
à Méthode algébrique itérative
à Solutions toujours dans un « coin » (point extrême) du domaine
réalisable :
Þ Si n variables (ex. 100 produits possibles)
et m contraintes (ex. 25 limites de capacité, demande, etc.),
le simplexe ne choisira que m (25) produits (au plus) !!
à La méthode passe de « coin » en « coin », en modifiant le choix des m
variables et l’écriture des équations, guidée par les contributions
relatives (marginales) des variables au profit
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Analyse post-optimale
à Effectuée afin de
Þ Compenser les hypothèses déterministes et faire face à l'imprévu
Þ Identifier les éléments critiques
Þ Analyser des scénarios et établir des plans de contingence
Þ Modifier les modèles
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Analyse post-optimale
à Questions: à partir de la formulation initiale
Þ Si le profit unitaire change, est-ce que la solution optimale change?
Þ De combien le niveau de la ressource peut baisser sans qu'on doive
reprogrammer la chaîne de production?
Þ Quel serait l'impact de l’amélioration de la productivité d’un
atelier?
Þ Doit-on se lancer dans la production d’un nouveau produit?
Þ ...
à Réponses: à partir de la solution optimale
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Types d’analyses post-optimales
à Sensibilité
Quelles ont les limites de la variation d'un élément du problème sans
que la solution optimale change?
Þ variation des coefficients de coût
Þ variation des membres droits
Þ variation des coefficients technologiques
à Paramétrique
Modifications successives d'un élément.
à Introduction de nouvelles activités
(variables)
à Introduction de nouvelles restrictions
(contraintes)
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