Introduction à la Mécanique des Fluides

Transcription

Introduction à la
Mécanique des Fluides
Principes et fondements de la
modélisation mathématique des
écoulements de fluides visqueux
newtoniens incompressibles
Damien VIOLEAU – EDF R&D / LNHE
Ecole Nationale des Ponts et Chaussées
Ecole des Ingénieurs de la Ville de Paris
ENPC – EIVP – Introduction à la Mécanique des Fluides – Damien Violeau
1 / 46
Cours de Mécanique des Fluides
Objectif du cours
•
•
•
•
Présenter et expliquer les phénomènes
Démontrer les équations fondamentales
Donner des outils simples d’expertise
Justifier et éclaircir les modèles numériques
Plan sommaire
•
•
•
Notions de cinématique des milieux continus
Equations de bilans des milieux continus
Equations des fluides visqueux newtoniens incompressibles
2 / 46
Première partie :
Notions de cinématique
des milieux continus
T. Levi-Civita
3 / 46
Contexte
Problématique
La mécanique des milieux continus a pour objectif de donner des
outils mathématiques simples permettant :
• d’estimer les efforts (contraintes)
• de déterminer les déformations
… au sein d’un milieu déformable (béton, métal, sol, fluide, etc.)
Cas des fluides
Il s’agit de déterminer, pour un
écoulement donné :
•
•
en chaque point de coordonnées x, y,
à chaque instant t
z
… les quantités suivantes :
•
•
les 3 composantes de la vitesse
la pression
4 / 46
Description spatiale
Représentation eulérienne et lagrangienne
Euler
Lagrange
J.-L. Lagrange
L. Euler
Points fixes (virtuels)
Particules mobiles (réelles)
Deux approches…
• en théorie équivalentes
• complémentaires.
Dans un logiciel, les deux approches
aboutissent à des modélisations
différentes et permettent de prédire
des phénomènes différents :
Eulérien
Lagrangien
5 / 46
Champs de tenseurs
On se donne une base orthonormée de vecteurs ei.
Les coordonnées spatiales (eulériennes) d’un
point sont notées xk (k = 1, 2, 3) ou x, y, z.
ez
ey
On distingue différents tenseurs :
• Ordre 0 (scalaires) : A( xk , t )
Ai ( xk , t )e i
• Ordre 1 (vectoriels) : A( xk , t ) =
ex
∑
• Ordre 2 (matriciels) : A( x , t ) = ∑ A ( x , t )e ⊗ e
10
20
30
scalaire
i =1, 2 , 3
k
k
i
j
i , j =1, 2 , 3
Conventions
• Convention d’Einstein :
ij
Ai e i =
∑
vectoriel
Ai ( xk , t )e i
i =1, 2 , 3
• On omet souvent la dépendance explicite en xi et t
• Symbole de Kronecker : coefficients δij de la matrice
I
⎛ 1 0 0⎞
⎟
⎜
I = ⎜ 0 1 0⎟
⎜ 0 0 1⎟
⎝
⎠
6 / 46
Opérateurs différentiels (1)
Opérateurs « gradient »
∂A
⎛ ∂A ∂A ∂A ⎞
ei = ⎜ , , ⎟
• Vectoriel : grad A =
∂xi
⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠
∂Ai
⎛ ∂Ax ∂Ax ∂Ax ⎞
grad
A
=
e
⊗
e
=
• Tensoriel :
i
j
⎜
⎟
∂x j
∂y
∂z ⎟
⎜ ∂x
∂Ay ∂Ay ∂Ay ⎟
⎜
60
A
70
⎜ ∂x
∂y
∂z ⎟
80
⎜ ∂A ∂A ∂A ⎟
grad A
z
z ⎟
⎜⎜ z
⎟
x
y
z
∂
∂
∂
⎝
⎠
Opérateur « rotationnel »
y
⎛ ∂Az ∂Ay ∂Ax ∂Az ∂Ay ∂Ax ⎞
(rot A)z > 0
rot A = ⎜
−
,
,
−
−
⎟
⎝ ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y ⎠
7 / 46
x
Opérateurs différentiels (2)
Opérateurs « divergence »
∂Ai ∂Ax ∂Ay ∂Az
• Scalaire : div A =
+
+
=
∂xi ∂x ∂y ∂z
∂Aij
⎛ ∂Axx ∂Axy ∂Axz ⎞
ei = ⎜
• Vectorielle : div A =
+
+
⎟
∂x j
∂z ⎟
∂y
⎜ ∂x
⎜ ∂Ayx ∂Ayy ∂Ayz ⎟
div A > 0
⎜ ∂x + ∂y + ∂z ⎟
⎜
⎟
Opérateurs « Laplacien »
∂Azx ∂Azy ∂Azz ⎟
⎜
+
+
2
⎜
⎟
∂ A
x
y
z
∂
∂
∂
⎠
⎝
• Scalaire : ΔA = div grad A =
∂xi ∂xi
∂ 2 Aj
• Vectoriel : Δ A = div grad A =
ej
∂xi ∂xi
8 / 46
Opérations élémentaires
Opérations entre tenseurs
• Produit scalaire : A ⋅ B = Ai Bi
T
• Transposée d’une matrice : ( Aij e i ⊗ e j ) = Aji e i ⊗ e j
T
• Produits matrice-vecteur : A ⋅ B = Aij B j e i
B ⋅ A = Bi Aij e j = A ⋅ B
• Produit de deux matrices : A ⋅ B = Aik Bkj e i ⊗ e j
• Trace d’une matrice : tr A = Aii
• Double produit de deux matrices : A : B = Aij B ji = tr ( A ⋅ B )
Théorème de Green-Ostrogradski
n
• Ω : volume de contrôle
• n : normale extérieure
∂Ω
unitaire au bord ∂Ω
Ω
∫ div A dΩ = ∫ A ⋅ n dΓ
∫ div A dΩ = ∫ A ⋅ n dΓ
Ω
∂Ω
Ω
∂Ω
9 / 46
Champ de vitesse
Notion de « particule » d’un milieu continu
•
Ensemble de molécules suffisamment grand pour
définir une vitesse statistique :
ℓ
1 N (A )
v(A ) =
vk
N (A ) k =1
Particule
∑
•
… mais suffisamment petit pour demeurer
microscopique ! (Typiquement, A ∼ 10−5 m)
L’approche statistique est nécessaire :
•
•
Pour utiliser correctement la notion de vitesse
à l’échelle moléculaire ;
Pour obtenir un champ de vitesse régulier
(continu et dérivable) u ( xi , t ) ≡ v(A 0 ) (ms−1)
Molécule
v(ℓ)
Î On appelle quantité de mouvement la grandeur ρu
(u est donc la quantité de mouvement par unité de masse)
ℓ
ℓ0
10 / 46
Autres champs
Champ de densité
• Définition : ρ( xi , t ) ≡ ρ(A 0 ) =
•
1
V (A 0 )
N (A 0 )
∑m
k
k =1
Comme la vitesse, c’est un champ régulier (kg.m−3)
Dérivée matérielle (ou lagrangienne) d’un champ
•
Taux de variation d’un champ en suivant une particule :
∂A
∂A
∂A
∂A
dA = dt + dx + dy + dz
∂t
∂x
∂y
∂z
dA
∂A ∂A
∂A
=
+
ui =
+ grad A ⋅ u
dt
∂t ∂xi
∂t
N
N
dérivée
lagrangienne
dérivée
eulérienne
u(xi,t)
Particule à
l’instant t + dt
Particule à
l’instant t
transport (convection)
A(xi+dxi,t+dt)
A(xi,t)
d u ∂u
=
+ gradu ⋅ u
Î Accélération d’une particule :
dt ∂t inertie
11 / 46
Déformation d’un milieu (1)
Tenseur taux de déformation
•
•
Dérivée lagrangienne d’un petit vecteur matériel :
d (d r ) d
= (r '− r ) = u (r + d r ) − u (r ) = gradu ⋅ d r
dt
dt
u(r)
u(r+dr)
dr
Dérivée d’un produit scalaire de vecteurs élémentaires :
d (d r ⋅ d r ' ) d (d r )
d (d r ' )
=
⋅ d r '+ d r ⋅
dt
dt
dt
= (gradu ⋅ d r )⋅ d r '+ d r ⋅ gradu ⋅ d r '
= d r ⋅ (gradu ) ⋅ d r '+ d r ⋅ gradu ⋅ d r '
T
dr
dr’
d (d r ⋅ d r ' )
= 2d r ⋅ s ⋅ d r '
dt
Î On introduit le tenseur taux de déformation :
1 ⎛ ∂ui ∂u j ⎞
⎟ = s ji
+
ou sij = ⎜⎜
2 ⎝ ∂x j ∂xi ⎠⎟
12 / 46
[
1
T
s = gradu + (gradu )
2
]
Déformation d’un milieu (2)
Interprétation du taux de déformation
•
Taux de dilatation :
d (d r ⋅ d r )
= 2d r ⋅ s ⋅ d r
dt
d(d r )
2
d r = 2d r ⋅ s ⋅ d r
dt
u(r)
u(r+dr)
dr
1 d(dr ) d r
dr
=
⋅s⋅
d r dt
dr
dr
Î Il s’agit de la rapidité avec laquelle le matériau
se dilate dans la direction dr
•
Taux de distorsion : d r ⋅ d r ' =
dθ
dr
dr
=2
⋅s⋅
dt
dr
d r'
d r d r ' sin θ ≈ d r d r ' θ
Î Il s’agit de la rapidité avec laquelle le matériau
se distord dans le plan contenant dr et dr’
dr
θ
dr’
13 / 46
Dilatation
Taux de contraction / dilatation
Dans la base de diagonalisation de s :
d (dz )
d (dΩ ) d (dx )
d (dy )
dxdz +
dxdy
=
dydz +
dt
dt
dt
dt
1 d (dΩ ) 1 d (dx ) 1 d (dy ) 1 d (dz )
⇒
=
+
+
dΩ dt
dx dt
dy dt
dz dt
= ex ⋅ s ⋅ ex + e y ⋅ s ⋅ e y + ez ⋅ s ⋅ ez
=
s xx +
s yy +
s zz = tr s
∂ui
1 d ( dΩ )
⇒
= tr s =
= div u
dΩ dt
∂xi
e
M
z
e
dz
M
M
y
dy
dx
M
ex
dΩ = dxdydz
représente donc le
taux de dilatation.
Î Exemple : le taux de dilatation de l’Univers en expansion est nommé
par les cosmologues la constante de Hubble H0 ≈ 3.10–15 s–1
14 / 46
Cisaillement
Taux de déformation scalaire
Par opposition, une mesure de la déformation du matériau,
même en l’absence de dilatation / contraction, est donnée
par le taux de déformation scalaire :
s = 2 sij sij = 2 s : s
Invariants de déformation
dΩ = cte
tr s = 0
s≠0
Un tenseur diagonalisable possède 3 invariants (indépendants
de la base), par exemple ses valeurs propres, ou encore les
p
quantités tr s , p = 1, 2, 3 :
1
2
2
(Cayley-Hamilton)
s − (tr s )s + [tr s − (tr s ) ]s − (det s )I = 0
2
s2
3
2
tr s = sij s jk ski
tr s = div u
tr s = sij sij =
2
3
2
15 / 46
Exemple : cisaillement constant
Glissement linéaire à volume constant
On se donne une échelle de temps τ
z
u = u ( z )e x = e x
τ
⎛0
⎜
gradu = ⎜ 0
⎜
⎜0
⎝
1/ τ⎞
⎟
0 ⎟
⎟
0 ⎟⎠
⎛0
⎜
1⎜
0
s=
0
2τ ⎜
⎜1
0
⎝
∂u 1
=
s = 2(s xz2 + s zx2 ) = 2 s xz =
∂z τ
0
0
0
0
z
x
1⎞
⎟
0⎟
⎟
0 ⎟⎠
Î D’une manière générale, le taux de déformation scalaire est
l’inverse du temps caractéristique de déformation du matériau :
1
τ~
s
16 / 46
Vorticité
Tenseur taux de rotation ou vorticité
Partie antisymétrique du gradient des vitesses :
1 ⎛ ∂ui ∂u j ⎞
1
T
⎟
ωij = ⎜⎜
−
ω = [gradu − (gradu ) ]
2 ⎝ ∂x j ∂xi ⎟⎠
2
∂u ∂v ∂u ∂w ⎞
⎛
0
−
− ⎟
⎜
0
− (rotu )z (rot u ) y ⎞
⎛
∂y ∂x ∂z ∂x ⎟
⎜
⎜
⎟
1 ⎜ ∂v ∂u
∂v ∂w ⎟ 1 ⎜
0
ω= ⎜ −
0
− ⎟=
− (rotu )x ⎟
(rotu )z
⎟
2 ∂x ∂y
2⎜
∂z ∂y
⎟
⎜ ∂w ∂u ∂w ∂v
⎜ − (rot u ) (rot u )
⎟
0
y
x
⎝
⎠
⎜⎜ −
0 ⎟⎟
−
⎝ ∂x ∂z ∂y ∂z
⎠
ω
s=0
gradu = s + ω
ω = ω(e x ⊗ e z
Rotation
Déformation
− ez ⊗ ex )
pure
pure
17 / 46
Deuxième partie :
Equations de bilans
des milieux continus
A.-L. Cauchy
18 / 46
Bilans
Bilan d’un champ sur un volume matériel
On considère un volume Ω constitué d’un nombre fixé de particules,
Et on note n le vecteur normal unitaire extérieur à sa frontière.
La variation (lagrangienne) de l’intégrale d’un champ sur
ce volume est due :
•
•
à la variation intrinsèque du champ en chaque point
au mouvement du volume de contrôle
d
∂A
AdΩ =
dΩ + Au ⋅ n dΓ
Ω ∂t
∂Ω
dt Ω
∫
∫
variation locale
∫
flux à travers
les bords
∂A
⎡
= ⎢ + div( Au )⎤⎥ dΩ
Ω ⎣ ∂t
⎦
∫
n
∂Ω(t )
Ω(t )
u ( xi , t )
n
Ω(t + dt )
∂Ω(t + dt )
19 / 46
Équation de continuité (1)
Cas général
On dresse un bilan de densité (A = ρ)
d
ρdΩ =
Ω
dt ∫
u
⎡ ∂ρ
⎤
u
dΩ
+
div
(
ρ
)
⎥
Ω⎢
⎣ ∂t
⎦
∫
∂ρ
<0
∂t
=M
La conservation de la masse M
contenue dans Ω donne
∂ρ
∂ρ ∂ρui
+
=0
+ div(ρu ) = 0 ou
∂t
∂t ∂xi
Illustration monodimensionnelle
∂ρ
∂ρu
Modèle de l’autoroute :
=−
∂t
∂x
∫ div(ρu )dΩ = ∫ ρu ⋅ n dΓ > 0
Ω
Conclusion : un ralentissement crée un bouchon
∂Ω
Zone de
ralentissement
20 / 46
Équation de continuité (2)
Autre forme de l’équation générale
En séparant le terme sous le digne divergence :
∂ρui
∂ui
∂ρ
+ ui
=ρ
∂xi
∂xi
∂xi
ou
div(ρu ) = ρ div u + u ⋅ gradρ
… l’équation de continuité s’écrit encore :
1 dρ
1 d (dΩ )
= − div u
à rapprocher de
= div u
ρ dt
dΩ dt
Cas incompressible (ρ = cte) :
∂ui
∂u ∂v ∂w
div u = 0 ou
= 0 ou
+ +
=0
∂xi
∂x ∂y ∂z
Î On se ramène dans ce cas à la conservation du volume.
Remarque : un fluide n’est jamais vraiment incompressible.
Il s’agit en réalité d’une propriété d’un écoulement donné.
21 / 46
Retour sur les bilans
Bilan massique sur un volume matériel
Cas où A = ρB (B représente la densité de A par unité de masse) :
d
⎡ ∂ρB
⎤
ρBdΩ = ⎢
+ div(ρBu )⎥ dΩ
Ω ⎣ ∂t
dt Ω
⎦
∂ρ
⎡ ∂B
⎤
B
B
u
u
B
= ⎢ρ +
+ div(ρ ) + ρ ⋅ grad ⎥ dΩ
Ω⎣
∂t ∂t ⎦
∫
∫
∫
= 0 (continuité)
Ainsi, la dérivée lagrangienne et l’intégrale commutent :
d
dB
ρBdΩ = ρ dΩ
Ω
dt Ω
dt
… même si ρ varie, mais uniquement si Ω est un volume matériel !
d
ρdΩ = 0
Î En particulier, pour la densité (B = 1):
Ω
dt
∫
∫
∫
22 / 46
Flux d’une quantité physique
Bilan massique d’une quantité physique B
L’intégrale d’un champ B varie à cause d’un flux (sortant) qB de cette
quantité à travers les bords, dû à différentes raisons physiques :
∫
∫
∫
d
B
ρBdΩ = − q ⋅ n dΓ
dt Ω
∂Ω
dB
B
ρ dΩ = − div q dΩ
dt
Ω
Ω
dB ∂B
1
B
=
+ gradB ⋅ u = − div q
dt ∂t
ρ
∂B ∂B
1 ∂qiB
ui = −
+
ou encore :
ρ ∂xi
∂t ∂xi
∫
Î Pour la densité (B = 1) :
n q ( xi , t )
B
Ω(t )
∂Ω(t )
q = 0 (conservativité de la masse)
B
23 / 46
Exemple : traceur passif
Equation de transport d’une substance C
Bilan massique de la quantité C (concentration, par exemple)
∂C
1
C
+ gradC ⋅ u = − div q
∂t
ρ
qC
Il est nécessaire de proposer un modèle
pour le flux :
1 C 1 C ,0
∂C
+
...
qi = qi − KC
ρ
ρ
∂xi termes d'ordres
1 C
ou encore : q = − K C gradC
ρ
supérieurs à 1
∂C
Finalement :
+ gradC ⋅ u = div(K C gradC ) + SC
∂t
• KC (m2s−1) est le coefficient de diffusion du traceur (positif)
• Des termes-source SC peuvent apparaître (réactions chimiques, etc.)
Î Si C ne dépend pas de u, l’équation est linéaire en C ! (si SC l’est…)
24 / 46
Convection et diffusion
Modes de transport de la quantité C
Il y a deux manières de communiquer une information dans
un milieu continu : ∂C
∂t Convection
Diffusion
• La convection (transport par la matière en mouvement)
• La diffusion (passage de proche en proche par « contagion »)
convection
diffusion
Î Le phénomène de diffusion homogénéise un champ au
cours du temps (phénomène irréversible !)
25 / 46
Contraintes dans un milieu continu
Efforts exercés sur une surface élémentaire
On considère une surface élémentaire Σ orientée par le vecteur n.
La contrainte T exercée par le milieu 1 sur le milieu 2 par
T
unité de surface sur Σ vérifie la loi de l’action – réaction :
2
T (n ) = −T (− n )
1
2
2
Σ
1
n
1
Efforts exercés sur un volume
n
T
Les efforts intérieurs s’annulent mutuellement :
F=
∫
Ω
∫
f dΩ = T dΓ
∂Ω
⇒ f = divσ
∫
⇒ F = σ ⋅ n dΓ
Ω
∂Ω
Î Conclusion : en chaque point de l’espace, il existe un
tenseur σ dit « tenseur des contraintes » tel que T (n ) = σ ⋅ n
26 / 46
Tenseur des contraintes
Pressions / tractions et cisaillements
La contrainte T exercée par le milieu 1 sur le milieu
unité de surface sur Σ possède :
• une composante normale p (pression / traction)
• une composante tangentielle τ (cisaillement)
Tenseur des contraintes de Cauchy
Nous avons montré les résultats suivants :
Il existe un tenseur du second ordre σ tel que :
T = σ⋅n
•
•
•
•
ou
2
par
ez
p = σzz
ey
ex
T
2
τ = σxz
Σ
1
n
Ti = σij n j
Les termes diagonaux σ ii représentent les pressions / tractions
Par convention, les σ ii sont négatifs s’il s’agit d’une pression
Les termes extra-diagonaux σ ij ( i ≠ j ) représentent les cisaillements
σ se mesure en pascals (force / surface)
27 / 46
Équation de quantité de mouvement
Principe fondamental de la dynamique
C’est un bilan de quantité de mouvement :
n
d
ρu dΩ = T dΓ + ρ g dΩ
Ω
∂Ω
Ω
dt ∫
∫
Quantité
de mouvement
Contraintes
∫
T
∂Ω
Champs
extérieurs
Ω
du
ρ
dΩ = σ ⋅ n dΓ + ρ g dΩ
Ω
∂Ω
Ω
dt
g
⎛ ∂u
⎞
ρ⎜ + gradu ⋅ u ⎟ dΩ = divσ dΩ + ρ g dΩ
Ω ⎝ ∂t
Ω
Ω
⎠
Equations de Cauchy :
∂u
1
∂ui ∂ui
1 ∂σij
+ gradu ⋅ u = divσ + g ou ∀i,
+
uj =
+ gi
∂t
ρ
∂t ∂x j
ρ ∂x j
∫
∫
∫
∫
∫
∫
28 / 46
Symétrie des contraintes
Calcul du moment des forces
Densité de force :
∫
∫
F = σ ⋅ n dΓ = div σ dΩ
∂Ω
∫
Ω
∫
⎛ σ xx
⎜
σ = ⎜ σ xy
⎜σ
⎝ xz
⇒ M = r × (σ ⋅ n ) dΓ = r × div σ dΩ
∂Ω
∂σ jA ⎞
⎛ ∂σ kA
⎟⎟dΩ
M i = ⎜⎜ x j
− xk
Ω
∂xA ⎠
⎝ ∂xA
= (x j σ kA − xk σ jA )nA dΓ −
Ω
∫
⎛ ∂x
⎞
∂x
∫
∫ ⎜⎜⎝ ∂x σ − ∂x σ ⎟⎟⎠dΩ
= [x (σ ⋅ n ) − x (σ ⋅ n ) ] dΓ − (δ σ − δ σ )dΩ
∫
∫
⇒σ =σ
= r × (σ ⋅ n ) dΓ − (σ − σ )dΩ
∫
∫
∂Ω
∂Ω
∂Ω
j
j
k
Ω
kj
jA
A
j
k
σ yy
σ yz
σ xz ⎞
⎟
σ yz ⎟
σ zz ⎟⎠
k
kA
Ω
σ xy
A
Ω
jA
kA
kA
jk
jk
Î Conclusion :
jA
σxy= σyx
n
ey ex
kj
σ est symétrique.
29 / 46
n
Résumé des équations obtenues
Equation de continuité (milieu incompressible)
∂u ∂v ∂w
+ +
=0
∂x ∂y ∂z
Equations de quantité de mouvement (z vertical)
1 ∂σ xx 1 ∂σ xy 1 ∂σ xz
∂u ∂u
∂u
∂u
+ u+ v+ w=
+
+
∂t ∂x
∂y
∂z
ρ ∂x ρ ∂y ρ ∂z
1 ∂σ yx 1 ∂σ yy 1 ∂σ yz
∂v ∂v
∂v
∂v
+ u+ v+ w=
+
+
∂t ∂x
∂y
∂z
1 ∂σ zx 1 ∂σ zy 1 ∂σ zz
∂w ∂w
∂w
∂w
+ u+
v+
w=
+
+
−g
∂t ∂x
∂y
∂z
… soit 4 équations pour 9 inconnues (u, v, w et les 6
Î Il est donc nécessaire de fermer le modèle.
A. L. Cauchy
σij) !
30 / 46
Loi de comportement
Idée maîtresse
•
On ne connaît pas encore les contraintes σ ij , car elles dépendent
du matériau considéré.
•
Un matériau est caractérisé par une loi de comportement, reliant
les contraintes aux déformations : σ = f (s )
•
La loi de comportement dépendant de la structure moléculaire du
matériau, elle sera donnée par la thermodynamique.
ez
σ zz
σ zz
σ zz
ey
ex
s xz
s xz
s xz
3 échantillons de matériaux différents,
réagissant différemment à une même sollicitation
31 / 46
Troisième partie :
Les équations de
Navier-Stokes
C.-L.-M. Navier
32 / 46
Bilan d’énergie
Energie cinétique
On multiplie l’équation de Cauchy par u :
du
1
(divσ ) ⋅ u = div(σ ⋅ u ) − σ : gradu
⋅ u = (divσ ) ⋅ u + g ⋅ u
dt
ρ
2
d u
= σ:s
⇒ ρ
= div(σu ) + ρ g ⋅ u − σ : s
dt 2
=σ s
ij ij
… puis on intègre sur un volume matériel :
d
dt
∫
u2
ρ dΩ =
Ω
2
= δEc
∫
∫
∫
(σ ⋅ u ) ⋅ n dΓ + ρ g ⋅ u dΩ − σ : s dΩ
Ω
Ω
= T ⋅u
∂Ω
puissance des forces extérieures
puissance dissipée
…ou encore E c = Pext − eΩ
e = σ : s est la puissance dissipée par unité de volume et de temps.
33 / 46
Résumé sur les flux
Analogie des lois de bilans
Toutes les équations vues présentent des formes semblables :
équation
∂C
∂t
∂u
1
+ gradu ⋅ u = divσ
∂t
ρ
∂Ec
1
+ gradEc ⋅ u = div(σ ⋅ u ) − e
∂t
ρ
flux
source
q = −ρK C gradC
SC
q = −σ
0
C
u
−e
q = −σ ⋅ u
Ec
• La quantité −Ti = −σijnj représente le flux de ui passant
de 1 vers 2 à travers une facette orientée par ni, par
unité de temps, de surface et de masse.
2
1
n
• A un vecteur correspond un flux tensoriel
34 / 46
Thermodynamique
Premier principe
Il donne la variation d’énergie totale dans un milieu :
dEc + dEint = dE = δWext + δQ
o
E c + E int = Pext + Q
− (E c
= Pext − eΩ )
o
E int = σij sij Ω + Q
… l’énergie cinétique dissipée
est convertie en énergie interne.
Puissance dissipée par une déformation virtuelle
On se limite aux transformations sans échange de chaleur (par exemple
à T constant), puis on fait varier la déformation. On obtient la puissance
virtuelle associée à cette déformation :
eint = E int / Ω
deint T = σij dsij
∂eint
⇒ σij =
∂sij
T
35 / 46
Tenseur des contraintes d’un fluide
Détermination de σij
Pour un fluide, eint ne peut dépendre que des invariants de sij :
2
3
eint = f (s ) = f (tr s, tr s , tr s )
λ
2
2
= α tr s + μ tr s + (tr s ) + ...
2
⇒ σij = αδ ij + 2μsij + λ(tr s )δij
σij sij = αδ ij sij + 2μsij sij + λ(tr s )δij sij
= α tr s + μs 2 + λ(tr s )
2
⇒ e = μs 2
Rôle de la grandeur α (fluide incompressible)
1 dΩ
tr s =
Pour une petite déformation : e ≈ α tr s
o
Ω dt
dE
=
α
d
Ω
+
δ
Q
Eint = Ωe + Q
int
o
⇒ σij = − pδij + 2μsij
= Ωα tr s + Q
−p
36 / 46
Pression et viscosité
Viscosité
•
La quantité μ est appelée viscosité dynamique
•
Elle est caractéristique d’un fluide donné et dépend de la
température ; elle se mesure en kg.m–1s–1
•
Les contraintes visqueuses sont les seules dissipatives, et μ
•
On appelle fluide newtonien un fluide de viscosité constante
(seul cas considéré dans ce cours)
I. Newton
>0
Pression
•
La pression p se mesure en Pa, comme les contraintes
•
Elle existe parce qu’un fluide est toujours
légèrement compressible : ρ ≈ cte
•
Elle est extrêmement sensible à de très légères variations
de densité. Il s’agit donc d’une nouvelle inconnue : p = p( xk , t )
37 / 46
Exemples de comportements
Résumé de la loi de comportement d’un fluide
⎛ ∂ui ∂u j ⎞
⎟ ou σ = − p I + μ(gradu + T gradu )
σij = − pδij + μ⎜⎜
+
⎟
⎝ ∂x j ∂xi ⎠
= τ (cisaillement)
Quelques exemples simples
• Cas d’un fluide au repos (sij = 0) : σ ij = − pδ ij
… Les contraintes y sont isotropes.
•
Cas d’un écoulement simplement cisaillé :
∂u
τ xz = μ
∂z
•
z
u
Flux de quantité
de mouvement
x
− τ xz
Cas d’un écoulement purement rotationnel :
s=0 ⇒ τ=0
… Le frottement y est nul.
38 / 46
Équations de Navier-Stokes (1)
Introduction de la loi dans les équations de Cauchy
∂u
1
+ gradu ⋅ u = divσ + g ⎫
∂u
1
⎪
∂t
ρ
+ gradu ⋅ u = − grad p + νΔu + g
⎬⇒
∂t
ρ
σ = − p I + 2μ s ⎪
⎭
∂ui ∂ui
1 ∂p
uj = −
+ νΔui + g i
+
ou ∀i,
∂t ∂x j
ρ ∂xi
Î ν = μ / ρ est la viscosité
cinématique du fluide.
… à 20° C :
•
•
•
Eau : ν = 10−6 m2s−1
Air : ν = 1,5.10−5 m2s−1
Mercure : ν = 12 m2s−1
39 / 46
Analyse physique des termes
Diffusion des vitesses
∂C
+ ... = div(K C gradC ) + ...
∂t
≡ K C ΔC
•
•
•
•
∂u
+ ... = ... + νΔu
∂t
Le terme visqueux homogénéise le champ de
vitesses en diffusant la quantité de mouvement
ν joue le rôle d’un coefficient de diffusion
des vitesses
Il s’agit bien d’une conséquence du frottement
Le changement t → − t affecte le terme visqueux seul (irréversibilité)
Convection des vitesses
∂ui
u j ei
• Le terme de convection est non-linéaire : gradu ⋅ u =
∂x j
(transport de la vitesse par la vitesse)
•
Dans la suite, il sera important de comparer les ordres de
grandeur de ces deux termes
40 / 46
Équations de Navier-Stokes (2)
Equation de continuité (fluide incompressible)
∂u ∂v ∂w
=0
+ +
∂x ∂y ∂z
Equations de quantité de mouvement (z vertical)
∂u
∂u
∂u ∂u
1 ∂p ⎛ ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ⎞
+ u+ v+ w=−
+ ν⎜ 2 + 2 + 2 ⎟
∂t ∂x
∂y
∂z
ρ ∂x ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠
C. Navier (1822)
∂v
∂v
∂v ∂v
1 ∂p ⎛ ∂ 2 v ∂ 2 v ∂ 2 v ⎞
+ ν⎜ 2 + 2 + 2 ⎟
+ u+ v+ w=−
∂y
∂z
ρ ∂y
∂t ∂x
⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠
∂w ∂w
∂w
∂w
1 ∂p ⎛ ∂ 2 w ∂ 2 w ∂ 2 w ⎞
+ ν⎜ 2 + 2 + 2 ⎟ − g
+ u+
v+
w=−
∂z
ρ ∂z
∂y
∂z ⎠
∂t ∂x
∂y
G. Stokes (1845)
⎝ ∂x
… soit 4 équations pour 4 inconnues (u, v, w et p)
Î Le modèle est fermé.
41 / 46
Conditions aux limites
Sur la frontière de l’ensemble du fluide :
•
Sur les parois solides imperméables, la vitesse
du fluide est celle de la paroi :
u = U paroi
•
Aux interfaces entre deux fluides, il y a
continuité de la contrainte :
[σij n j ] = 0
•
En particulier, sur une surface libre, la pression
est égale à la pression atmosphérique :
psurface = patmosphérique
•
Paroi fixe :
u=0
Saint-Malo
… et la contrainte de cisaillement est continue :
⎛ μ ∂u ⎞ = ⎛ μ ∂u ⎞
⎟
⎟
⎜
⎜
⎝ ∂ n ⎠ eau ⎝ ∂ n ⎠ air
42 / 46
Hydrostatique
Pression hydrostatique
On considère un fluide au repos (u = 0) sous l’effet de la pesanteur :
∂u
1
+ gradu ⋅ u = − grad p + νΔu + g
∂t
ρ
grad p = ρ g
z
z=η
p( z ) = patm + ρg (η − z )
•
•
•
La pression suit un profil linéaire (pression hydrostatique)
L’équation de continuité div u = 0 est automatiquement satisfaite
En toute rigueur, la cote η de la surface libre peut varier
*
p
= p + ρgz = p − phydrostatique + Cte
Pression dynamique :
1
1
C’est la partie de la pression liée
− grad p * = − grad p + g
au mouvement du fluide.
ρ
ρ
43 / 46
Écoulement de Poiseuille laminaire (1)
Ecoulement entre deux plaques fixes « infinies »
• Régime permanent ( ∂ / ∂t = 0)
y
• Invariance selon z (∂ / ∂z = 0)
2e
•
Vitesses parallèles aux plaques : u =
z
x
u ex
∂u ∂v ∂w
+ +
= 0 ⇒ u ( x, y , z ) = u ( y )
∂x ∂y ∂z
∂u ∂u
∂u
∂u
1 ∂p *
⎛ ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ⎞
+ u+ v+ w=−
+ ν⎜ 2 + 2 + 2 ⎟
∂t ∂x
∂y
∂z
ρ ∂x
⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠
∂p *
∂ 2u
=μ 2
∂x
∂y
N
F ( x)
G( y)
∂p *
⇒
= cte
∂x
J.-L. Poiseuille
1 ⎡ ∂p * ⎤ 2
2
(
)
−
u( y ) =
e
−
y
⎢
⎥
2μ ⎣ ∂x ⎦
= cte
44 / 46
Écoulement de Poiseuille laminaire (2)
Commentaires
1 ⎡ ∂p * ⎤ 2
2
(
)
−
u( y ) =
e
−
y
⎢
⎥
2μ ⎣ ∂x ⎦
•
Le profil des vitesses est parabolique
•
Le gradient de pression est le terme moteur de l’écoulement, qui
se fait des fortes pressions vers les faibles pressions
•
La pression est déterminée par ses valeurs en amont et en aval de
la « conduite » (conditions aux limites), et varie linéairement
•
La pression intervient sous sa forme dynamique (p*), car
l’inclinaison de la conduite peut générer un écoulement :
terme moteur
dZ
∂p *
∂p
−
= − − ρg
∂x
∂x
dx
•
Z
x
L’hypothèse de vitesses parallèles aux plaques est la plus
contraignante. En réalité, ce profil est souvent instable (turbulence)
45 / 46
Merci de votre attention.
46 / 46

Introduction à la Mécanique des Fluides

Transcription

Documents pareils

La fabrique de l`autonomie énergétique - 13

presentation avf

/ r~jr-t rj ri f`t

Inscription-FF3 2015

Master 2 recherche Sciences Mécaniques et Ingénierie

remerciements décès - Flat Club Dauphiné

4 avril - Métropolis

Siège Sanofi Pasteur (Lyon F-69)

Chargé d`étude - Odetec, bureau d`études techniques