Mines-Ponts 2006 Physique II PSI

Concours Mines-Ponts 2006
Épreuve : PHYSIQUE II
Filière PSI
Correction proposée par Eddie Saudrais [email protected]
Partie I
I-1
La variation de la masse volumique étant ρ − ρ 0 = ρ 1 et celle de la pression p − p 0 = p 1 ,
on a
µ ¶
∂ρ
ρ1
=
,
∂p S p 1
Évolution de l’air contenu dans une bulle
Propagation du son dans l’air
q 1 – L’équation d’Euler s’écrit
d’où au premier ordre
· →
¸
−−−→ −
−−−→
∂−
v
−
ρ
+ (→
v · grad )→
v = −grad p .
∂t
χ0 =
En se limitant aux termes du premier ordre (on se place dans le cadre de l’approximation
acoustique), on obtient
−
−−−→
∂→
v
ρ0
= −grad p 1 .
(I.1)
∂t
L’équation de conservation de la matière s’écrit
µ
En se limitant aux termes du premier ordre, on obtient
−
ρ 0 div →
v +
∂ρ 1
=0 .
∂t
(I.4)
Pour une transformation isentropique, la loi de Laplace s’écrit pV γ = cte, soit pρ −γ = cte.
On a alors
dp
dρ
−γ
= 0,
p
ρ
d’où
∂ρ
−
div(ρ→
v )+
= 0.
∂t
1 ρ1
.
ρ0 p1
∂ρ
∂p
¶
=
S
ρ
.
γp
D’après l’équation (I.3), on a donc
(I.2)
χ0 =
1
1
≈
.
γp γp 0
q 2 – Si le temps caractéristique de l’évolution de l’air est petit devant le temps caractéristique des échanges thermiques par diffusion au sein de l’air, on peut considérer l’évolution
comme isentropique ; c’est le cas ici, si les grandeurs ne varient pas trop lentement.
Par définition, on a
µ
¶
1 ∂V
χ0 = −
.
V ∂p S
Une masse m d’air a un volume V =
ρ
−
−−−→
∂ div →
v
= − div(grad p 1 ) = −∆p 1 ,
∂t
soit
m
ρ . On a donc
−
µ
¶µ ¶
ρ ∂V ∂ρ
ρ
m ∂ρ
χ0 = −
=−
− 2
,
m ∂ρ ∂p S
m
ρ
∂p S
µ
q 3 – D’après les équations (I.1) et (I.2), on a
¶
∂2 ρ 1
= −∆p 1 .
∂t 2
D’après l’équation (I.4), on en déduit
soit
χ0 =
µ ¶
1 ∂ρ
.
ρ ∂p S
(I.3)
ρ 0 χ0
∂2 p 1
= ∆p 1 .
∂t 2
(I.5)
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Filière PSI
La surpression vérifie l’équation de d’Alembert
solutions étant
2
1 ∂ p1
c 2 ∂t 2
Partie II
= ∆p 1 , la vitesse caractéristique des
II-1
1
c=p
.
ρ 0 χ0
(I.6)
Oscillations d’une bulle d’air dans l’eau
Oscillations dans un fluide parfait incompressible
q 7 – Le fluide étant incompressible, on a
¡
¢
1 d r 2 v(r, t )
→
−
div v = 0 = 2
.
r
dr
−
−
La forme générale des solutions en ondes planes se propageant selon →
u x ou −→
u x est
p 1 (x, t ) = f (x − ct )
et
p 1 (x, t ) = g (x + c t ) .
On a donc r 2 v(r, t ) = cte. La continuité de la composante normale de la vitesse du fluide
2
2 dR
sur la « paroi » de la bulle s’écrit v(R, t ) = dR
dt , d’où r v(r, t ) = R dt . On a donc
q 4 – La célérité des ondes sonores dans l’air est donnée par c = pρ10 χ0 =
q
γp 0
ρ 0 , soit
µ
v(r, t ) =
c = 329 m · s−1 .
La longueur d’onde est relié à la célérité et à la fréquence de l’onde par λ =
domaine audio, on a donc
c
f
R(t )
r
¶2
dR
.
dt
(II.8)
−
q 8 – L’équation d’Euler s’écrit, en projection sur →
ur ,
. Pour le
ρE
·
3,3 cm É λ É 3,28 m .
¸
dv(r, t )
∂p
dv(r, t )
+ v(r, t )
=−
,
dt
dr
∂r
soit compte tenu de (II.8),
I-2
µ ¶2
µ ¶2 ¸
·
∂p
R
R2
R
2R Ṙ
= −ρ E
Ṙ +
R̈ − 2 3 Ṙ
Ṙ ,
∂r
r2
r
r
r
Étude d’une bulle d’air
q 5 – La dimension de la bulle est largement inférieur à la longueur d’onde des ondes so-
soit
nores du domaine audio dans l’air ; on peut donc considérer que la pression à l’intérieur
de la bulle est uniforme.
¸
· µ
¶
∂p
ρE
R3
2
= − 2 2 1 − 3 R Ṙ + R R̈ .
∂r
r
r
γ
q 6 – Pour des oscillations isentropiques, la loi de Laplace s’écrit p(t )V (t ) = cte soit, avec
V = 34 πR 3 (t ),
q 9 – On a
lim p(r, t ) = p 0
p(t )R 3γ (t ) = cte .
r →∞
lim p(r, t ) = p B (t ) .
et
r →R(t )
q 10 – Avec R(t ) = R 0 + ξ(t ), l’équation (II.9) s’écrit
On a donc
dp
dR
+ 3γ
= 0.
p(t )
R(t )
∂p
(R 0 + ξ)ξ̇2
(R 0 + ξ)2
(R 0 + ξ)4 2
= −2ρ E
−
ρ
ξ̈
+
2ρ
ξ̇ ,
E
E
∂r
r2
r2
r5
En considérant de faibles variations autour de p 0 et R 0 , on a dp = p B (t ) − p 0 et dR =
R(t ) − R 0 = ξ(t ), d’où au premier ordre
p B (t ) − p 0
ξ(t )
+ 3γ
=0 .
p0
R0
soit au premier ordre en ξ/R 0
On a donc
(I.7)
Z
p0
p B (t )
Page 2
ρER 2
∂p
= − 2 0 ξ̈ .
∂r
r
dp = −ρ E R 02 ξ̈
· ¸∞
dr
1
2
=
ρ
R
ξ̈
E
0
2
r R(t )
R(t ) r
Z
∞
(II.9)
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soit
p 0 − p B (t ) = −
Filière PSI
ρ E R 02
R(t )
ξ̈ = −
ρ E R 02
R0 + ξ
À l’ordre le plus bas en ξ/R 0 , on a donc
ξ̈ ≈ −ρ E R 0 ξ̈
p(r, t ) = p B (t ) +
au premier ordre en ξ/R 0 .
C’est l’hypothèse d’incompressibilité du fluide qui permet de considérer une transmission instantanée des variations de volume ou de pression.
Compte tenu de (I.7), on a
p B (t ) − p 0 ρ E R 0
3γ
=
ξ̈ = − ξ ,
p0
p0
R0
d’où
ξ̈ +
II-2
Propagation d’ondes acoustiques dans l’eau
q 13 – On a
3γp 0
·
¸
∂p
1 ∂2 (r p)
∂2 p 2 ∂p 1 ∂2 p
+
=
r
+
2
=
.
∂r 2 r ∂r
r
∂r 2
∂r
r ∂r 2
L’équation d’onde s’écrit alors
∂2 (r p)
1 ∂2 (r p)
= 2
.
2
∂r
c E ∂t 2
ξ = 0,
2
∆p(r, t ) =
ρ E R0
que l’on peut écrire
d2 ξ
+ ω2M ξ(t ) = 0 ,
dt 2
)
En posant p(r, t ) = p 0 + π(r,t
r , on a donc
r
p
en posant ωM = 3γ R 2 ρ0 .
∂2 π(r, t )
1 ∂2 π(r, t )
=
.
∂r 2
c E2 ∂t 2
0 E
q 11 – On calcule ωM = 2,0 · 104 rad · s−1 et f M = 3,3 kHz .
La longueur d’onde des ondes sonores de fréquence f M est λ = c f M = 10 cm ; on a bien
λ À R 0 , ce qui valide l’hypothèse d’uniformité de la pression faite en I-2.
La variable π(r, t ) vérifie donc l’équation de d’Alembert à une dimension.
La solution générale de cette équation peut s’écrire comme combinaison linéaire d’ondes
progressives dans le sens des r croissants et des r décroissants. Les ondes étant émises
par les oscillations de la bulle, on cherche donc des ondes divergentes, progressives dans
le sens des r croissants à la célérité c E , soit
¶
µ
r − R0
π(r, t ) = ϕ t −
pour r Ê R 0 ,
cE
q 12 – La vitesse est donnée par
µ
v(r, t ) =
ρ E R 02 d2 ξ
.
r dt 2
R 0 + ξ(t )
r
¶2
dξ
,
dt
soit à l’ordre le plus bas en ξ/R 0
d’où la forme proposée pour p(r, t ).
µ
v(r, t ) =
R0
r
¶2
−
q 14 – L’équation d’Euler s’écrit en projection sur →
ur :
dξ
.
dt
ρ E a(r, t ) = −
D’après l’intégrale établie à la question 10, on a
Z
p(r,t )
p B (t )
∂p(r, t )
1 ∂ϕ 1
1 ∂ϕ ∂u
1
1 0
1
=−
+ ϕ=−
+ ϕ=
ϕ (u) + 2 ϕ(u) ,
∂r
r ∂r r 2
r ∂u ∂r r 2
r cE
r
d’où
·
¸
· ¸r
1
1
1
2
2
dp = ρ E R 0 ξ̈
= ρ E R 0 ξ̈
−
,
r R(t )
r R(t )
→
−
a (r, t ) =
·
¸
1
r 0
−
ϕ (u) + ϕ(u) →
ur .
ρ E r 2 cE
L’accélération du fluide au niveau de la surface de la bulle est donnée par
soit
p(r, t ) = p B (t ) + ρ E R 02 ξ̈
·
¸
1
1
−
.
r R0 + ξ
a(R(t ), t ) =
Page 3
d2 R(t ) ∂2 ξ
= 2.
dt 2
∂t
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∂ξ
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∂2 ξ
On a de plus ∂t = du ∂u
∂t = du et de même ∂t 2 =
pour r = R 0 + ξ à l’ordre le plus bas en ξ/R 0 :
dξ
dξ
∂2 ξ
1
=
∂u 2 ρ E
·
d2 xi
.
du 2
q 18 – La pression est donnée par
L’expression de a(r, t ) s’écrit alors,
p(r, t ) = p 0 + ρ E R 02
¸
R0 0
ϕ (u) + ϕ(u) ,
cE
µ
¶
µ
¶
r − R0
r − R0
ξ000 t −
= −ω2M ξ0 t −
,
cE
cE
2
d ξ
R 0 dϕ
+ ϕ(u) = ρ E R 02 2 .
c E du
du
d’où
"
q 15 – L’expression proposée ne conserve que les deux premiers termes du développe-
p(r, t ) = p 0 + ρ E R 02
ment de la solution. Elle pourra être choisie si les termes suivants sont négligeables ; le
temps caractéristique de l’évolution de la surpression étant 1/ωM , il faut donc
"
p 0 + ρ E R 02
q 16 – On garde pour la surpression la forme
r
µ
¶
r − R0
ξ00 t −
.
cE
ρ E R 0 ξ00 (t ) +
ρ E R 02 ω2M
cE
ξ0 (t ) + 3
γp 0
ξ(t ) = 0 ,
R0
soit
ρ E R 02
µ
¶
ξ(t )
γp 0
ξ00 t −
= p0 − 3
ξ(t ) .
R 0 + ξ(t )
cE
R0
2
d2 ξ R 0 ωM dξ 3γp 0
+
+
ξ(t ) = 0 .
dt 2
c E dt ρ E R 02
En se limitant au premier ordre en ξ/R 0 , on en déduit
γp 0
ρ E R 0 ξ00 (t ) = −3
ξ(t ) ,
R0
Comme ωM =
r
3γp 0
, on peut écrire
ρ E R 02
dξ
d2 ξ
+ 2ΓωM
+ ω2M ξ(t ) = 0 ,
dt 2
dt
soit
ξ00 (t ) + ω2M ξ(t ) = 0 ,
µ
¶
µ
¶#
ω2M 0
ξ(t )
γp 0
ξ(t )
1
00
= p0 − 3
ξ t−
+
ξ t−
ξ(t ) .
R 0 + ξ(t )
R0
cE
R0
R0
En se limitant au premier ordre en ξ(t )/R 0 , on en déduit
La continuité de la pression à la surface de séparation de la bulle d’air et de l’eau s’écrit
p(R(t ), t ) = p B (t ), soit en utilisant (I.7)
p0 +
µ
¶
µ
¶#
ω2M 0
r − R0
1 00
r − R0
ξ t−
+
ξ t−
.
r
cE
cE
cE
La continuité de la pression à la surface de séparation de la bulle s’écrit p(R(t ), t ) = p B (t ),
soit en utilisant la relation (I.7) de la question 6, avec R(t ) = R 0 + ξ(t ),
c E À ωM R 0 .
ρ E R 02
µ
¶
¶¸
µ
1 00
r − R0
1 000
r − R0
ξ t−
− ξ t−
.
r
cE
cE
cE
D’après l’équation (II.10), on a par dérivation
d’où
p(r, t ) = p 0 +
·
(II.10)
avec
s
r
p
où ωM = 3γ R 2 ρ0 est la pulsation de Minnaert.
Γ=
0 E
−
−
q 17 – La forme des solutions {ϕ(r, t ), p(r, t ), →
v (→
r , t )} est maintenant plus satisfaisante
3γp 0
4c E2 ρ E
.
q 19 – Le liquide étant compressible, la bulle rayonne de l’énergie en émettant une onde
que celle de la solution établie à la question 10, car elle fait apparaître un terme de propa0
gation (en t − r −R
c E ) à la vitesse finie c E . Les variations du rayon de la bulle ne se répercutent
plus instantanément dans tout le fluide.
acoustique ; cette perte d’énergie par rayonnement est à l’origine de l’amortissement des
oscillations.
Page 4
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En ordre de grandeur, on a 3γ/4 ≈ 1, et Γ ≈
grandeur Γ ≈ 10
−2
10
c E . Dans l’eau, c E
≈ 103 m·s−1 , d’où en ordre de
D’après (III.12) et (III.13), l’équation (III.11) s’écrit
. L’amortissement est faible ; on a Γ ¿ 1 .
ρ E R 02
L’amortissement étant faible, la pseudo-période ces oscillations peut être confondue avec
la période propre TM = ω2π . On lit sur le graphe T = 1 ms ; le rayon moyen de la bulle est
M
alors estimé par
R0 =
TM
2π
s
−3
3γp 0 10
=
ρE
2π
s
3 × 1,40 × 105
103
·
soit
ξ001 +
= 3,3 · 10−3 m .
¢ 3γp 0
R 0 00 R 0 ωM ¡ 0
ξ1 = 0 .
ξ2 +
ξ1 + ξ02 +
d
cE
ρ E R 02
Compte tenu des expressions de ωM et de Γ établies précédemment, on peut écrire
On a donc R 0 ≈ 3 mm , ordre de grandeur réaliste.
Partie III
¸
¤
1 00
ωM £ 0
1
3γp 0
ξ1 (t ) + ξ002 (t ) +
ξ1 (t ) + ξ02 (t ) = −
ξ1 (t ) ,
R0
d
cE
R0
¡
¢
ξ001 + αξ002 + 2Γω2M ξ01 + ξ02 + ω2M ξ1 = 0 ,
avec
Couplage acoustique de bulles
α=
III-1
Étude théorique du couplage
3γp 0
ξ1 (t ) .
R0
p 1 (A 2 , t ) + p 2 (A 2 , t ) = −
(III.11)
p 1 (A 1 , t ) = ρ E R 02
µ
¶
µ
ω2
r 1 − R0
r 1 − R0
1 00
ξ1 t −
+ M ξ01 t −
r1
cE
cE
cE
¶#
.
Comme c E À ωM d , on peut négliger le terme de propagation dans l’expression de ξk (u k )
et écrire ξk (t ).
On a donc
"
p 1 (A 1 , t ) = ρ E R 02
2
ω
1 00
ξ1 (t ) + M ξ01 (t ) .
R0
cE
La surpression créée par la bulle 2 en A 2 s’écrit de même au premier ordre
"
p 2 (A 2 , t ) = ρ E R 02
#
(III.12)
"
"
ρ E R 02
#
ω2M 0
1 00
ξ (t ) +
ξ (t ) .
r2 2
cE 2
#
ω2M £ 0
¤
1 00
1 00
3γp 0
0
ξ (t ) +
ξ (t ) +
ξ (t ) + ξ2 (t ) = −
ξ2 (t ) ,
d 1
R0 2
cE 1
R0
d’où
ξ002 +
Comme R 0 ¿ d , on a r 2 ≈ d , d’où
"
p 2 (A 1 , t ) = ρ E R 02
#
ω2M 0
1 00
ξ (t ) +
ξ (t ) .
d 2
cE 2
#
ω2M 0
1 00
ξ (t ) +
ξ (t ) .
R0 2
cE 2
On a donc
La surpression rayonnée par la bulle 2 en A 1 vaut, avec la même approximation,
p 2 (A 1 , t ) = ρ E R 02
3γp 0
ξ2 (t ) .
R0
Comme précédemment, on peut écrire la surpression créée par la bulle 1 en A 2 au premier
ordre :
#
"
ω2M 0
2 1 00
ξ (t ) +
ξ (t ) .
p 1 (A 2 , t ) = ρ E R 0
d 1
cE 1
La surpression rayonnée par la bulle 1 en A 1 vaut
"
R0
.
d
Considérons un point A 2 à la surface de la bulle 2. On a
q 20 – Soit A 1 un point à la surface de la bulle 1. On peut écrire
p 1 (A 1 , t ) + p 2 (A 1 , t ) = −
(III.14)
¢
R 0 00 R 0 ωM ¡ 0
ξ1 +
ξ1 + ξ02 + ω2M ξ2 = 0 .
d
cE
On a donc
(III.13)
¡
¢
ξ002 + αξ001 + 2ΓωM ξ01 + ξ02 + ω2M ξ2 = 0 .
Page 5
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q 21 – Le mode symétrique correspond à ξ1 (t ) = ξ2 (t ) ; l’équation (III.14) s’écrit alors
Au bout d’un temps t À
soit
ω2
4ΓωM 0
ξ1 + M ξ1 = 0 .
1+α
1+α
III-2
Si Γ ¿ 1, la pseudo-pulsation des oscillations symétriques est
Discussion du couplage
2
q 24 – Attention aux unités, la valeur numérique de 1/ f moyen
est donnée en kHz−2 ,
comme ne le précise pas l’énoncé. . . On calcule alors
ωM
.
ωs ≈ p
1+α
(R 0 )moyen =
Leur pseudo-pulsation a donc pour expression
p
2π 1 + α
Ts ≈
.
ωM
3γp 0
2
f moyen
ρE
1
f s2
et
1
f a2
Comme α = Rd0 ¿ 1, on a Γ0 ≈ 2Γ : le coefficient d’amortissement du mode symétrique est
deux fois plus élevé que pour une bulle unique.
=
1 p
3 × 1,40 × 0,47 · 10−6 1,0 · 103 = 2,2 · 10−3 m ,
2π
=
1
2
fM
(1 + α) =
¶
µ
R0
1
+
2
d
fM
1
µ
¶
R0
= 2 (1 − α) = 2 1 −
.
d
fM
fM
1
1
Les courbes théoriques représentatives de 1/ f 2 en fonction de R 0 /d sont des droites, de
pente +1 pour le mode symétrique et −1 pour le mode antisymétrique. Les courbes expérimentales sont, au jugé, en accord avec les prédictions théoriques.
q 22 – Le mode antisymétrique correspond à ξ1 (t ) = −ξ2 (t ) ; l’équation (III.14) s’écrit
alors (1 − α)ξ001 + ω2M ξ1 = 0, soit
1−α
s
ω
M
q 25 – D’après les questions 21 et 22, on a ωs = pω1+α
et ωa = p M , d’où
1−α
2
Γ0 = p
Γ .
1+α
ω2M
1
2π
soit (R 0 )moyen = 2,2 mm .
L’équation des oscillations amorties peut s’écrire ξ001 + 2Γ0 ωs ξ01 + ω2s ξ1 = 0 ; le coefficient
d’amortissement est donc donné par
ξ001 +
le système évolue selon le mode antisymétrique, avec
ξ1 (t ) = −ξ2 (t ) = A cos(Ωt + ψ).
Les pulsations des modes symétrique et antisymétrique étant très proches (α ¿ 1), leur combinaison donnera lieu à un phénomène de battements durant la phase transitoire.
(1 + α)ξ001 + 4ΓωM ξ01 + ω2M ξ1 = 0 ,
ξ001 +
cE
,
R 0 ω2M
q 26 – Les deux droites ne se coupent pas sur l’axe des abscisses comme la théorie le pré-
voit (pour α = 0 on doit avoir ωs = ωa = ωM ). On a considéré l’eau comme un fluide parfait
illimité ; dans la pratique, il faut tenir compte de la présence de la surface libre de l’eau et
des parois du récipient.
ξ1 = 0 .
La mode antisymétrique n’est pas amorti : il est décrit par un oscillateur harmonique de
pulsation
ωM
ωa = p
.
1−α
q 27 – On n’a considéré que l’amortissement par rayonnement. Il faudrait prendre en
compte l’amortissement par viscosité, par effet thermique (l’évolution de la bulle n’est
pas rigoureusement isentropique), ainsi que par effet de tension superficielle.
Dans la pratique, l’effet de la tension superficielle peut être négligé, ainsi que l’amortissement par viscosité ; par contre, l’amortissement thermique ne peut pas être négligé.
q 23 – La solution générale du système d’équations différentielles couplées est une combinaison linéaire des modes symétrique et antisymétrique.
Le mode symétrique est amorti, avec une constante de temps
q 28 – En tombant dans l’eau, les gouttes donnent naissance à des bulles. Plus les gouttes
sont grosses, plus les bulles sont grosses, et plus leur fréquence de Minnaert est basse. Une
analyse spectrale du bruit ambiant permet d’obtenir des informations sur la pluviométrie.
1+α
1
cE
τs =
≈
=
.
2ΓωM 2ΓωM R 0 ω2M
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Mines-Ponts 2006 — Physique II
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ξ t)
Commentaires personnels
mieux préciser à l’ordre le plus bas par rapport à R( 0 : un développement en puissance se
fait vis-à-vis d’une grandeur sans dimension (et petite devant 1 en l’occurrence ).
N’hésitez pas à me faire part de vos remarques, ou à critiques mes commentaires.
Partie I
q 19 – Il est étonnant d’observer des battements dans les oscillations représentées dans
la figure 1 ; ne correspondrait-elle pas au signal produit par une bulle appartenant à un
système de deux bulles couplées ?
Évolution de l’air contenu dans une bulle
q 2 – Il serait plus juste de faire établir la relation χ0 =
µ ¶
1 ∂ρ
.
ρ ∂p S
Partie III
−
−
−
q 3 – La notation →
r = ±x →
u x pour caractériser les ondes progressives p 1 (→
r , t ) dans le sens
Couplage acoustique de bulles
« On néglige [. . .] toute variation de la variation hydrostatique de la pression dans
l’eau ». Les variations de la variation ne peuvent donc pas varier ?. . .
Erreur d’énoncé, page 6 ; il faut lire : « on suppose
à enfin!vérifiée l’inégalité c E À ωM d ».
1
Page 7 : la valeur numérique de la grandeur
est donnée sans unité ! C’est
2
f moyen
d’autant plus gênant qu’il faut lire
Ã
!
1
= 0,47 kHz−2 .
2
f moyen
q 12 – « Donner, à l’ordre le plus bas par rapport à ξ(t ) ou à ses dérivées » ; il vaudrait
L’unité n’est précisée qu’à la question 26, mais on en a besoin dès la question 24. . .
des x croissants ou décroissants est absurde.
Partie II
Oscillations d’une bulle d’air dans l’eau
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