les produits derives climatiques : des outils de gestion des risques

LES PRODUITS DERIVES CLIMATIQUES : DES OUTILS DE GESTION
DES RISQUES AGRICOLES ?
UNE APPLICATION A LA FILIERE VITI-VINICOLE
Laetitia GARCIA1
Janvier 2005
Résumé. La gestion des risques climatiques est placée au centre des préoccupations
des exploitants agricoles : le développement d’outils leur permettant de gérer des saisons au
climat défavorable paraît indispensable.
Cet article s’intéresse plus particulièrement à une famille de contrats financiers: les
dérivés climatiques. L’étude sera focalisée sur une filière particulière de l’agriculture : la
filière viti-vinicole, qui a déjà connu en France la création d’un marché à terme (Winefex)
pour couvrir ses risques.
Le type de risques climatiques auxquels sont soumis les viticulteurs est d’abord
analysé. En parallèle, l’offre de dérivés climatiques pouvant être proposée par le marché est
étudiée. Un type de produit pouvant à la fois espérer bénéficier d’une liquidité suffisante, et
pouvant répondre à la demande de couverture de risque des viticulteurs en est déduit.
Afin de proposer un pricing de ces produits, une simulation de la température est
réalisée. Elle repose sur une méthode itérative d’estimation des paramètres déterministes. La
partie stochastique est basée sur un modèle autorégressif à volatilité saisonnière, dont les
paramètres sont estimés par la méthode des moindres carrés généralisés et dont le bruit
résiduel a été simulé par une estimation numérique de sa fonction de répartition inverse. Les
résultats de l’étude sont présentés pour des produits construits à partir des températures de
Paris et Bordeaux.
1
Doctorante en Sciences de Gestion
Laboratoire PRATIC Université d’Avignon
A.T.E.R. – Université Paris XIII
[email protected]
Le secteur agricole est soumis comme tous les secteurs économiques à de nombreux
aléas, mais il présente la particularité d’être tout particulièrement exposé aux risques
climatiques. Les exploitations agricoles peuvent subir en très peu de temps des pertes de
récolte importantes et se retrouver dans une situation financière critique. De ce fait, la gestion
des risques climatiques est placée au centre des préoccupations des acteurs de ce secteur : le
développement d’outils permettant aux exploitants de réduire leurs risques et de poursuivre
leur activité après des saisons au climat particulièrement défavorable paraît indispensable.
Durant ces dernières années, de nombreux programmes d’assurance agricole ont été testés et
développés dans différents pays. Néanmoins, leur domaine d’application reste limité, les
risques devant présenter certaines caractéristiques d’assurabilité. Par ailleurs, à la vue des
résultats obtenus suite à leur mise en place (sur la production et les échanges), certains auteurs
remettent en cause leur efficacité et suggèrent de reconsidérer l’utilisation et l’étendue de tels
programmes (J.Skees, 2001; S.Makko, 2002).
Dans ce contexte, le développement de nouveaux outils permettant la gestion des risques
agricoles parait nécessaire. Nous nous intéressons dans cet article plus particulièrement à une
classe de contrats financiers permettant de couvrir le risque de perte d’activité ou de résultat
du fait de certains phénomènes climatiques : les produits dérivés climatiques. L’étude sera
focalisée sur une filière particulière de l’agriculture : la filière viti-vinicole, qui a déjà connu
en France la création d’un marché à terme (Winefex) pour couvrir ses risques.
Le type de risques climatiques auxquels sont soumis les viticulteurs sera identifié dans une
première partie. En parallèle, l’offre de dérivés climatiques pouvant être proposée par le
marché est étudiée. Un type de produit pouvant à la fois espérer bénéficier d’une liquidité
suffisante, et pouvant répondre à la demande de couverture de risque des viticulteurs en est
déduit.
Préalablement à l’évaluation de ces produits, une simulation de la température basée sur un
modèle autorégressif à volatilité saisonnière est proposée. Les résultats de l’étude sont
présentés pour des produits construits à partir des températures de Paris et Bordeaux.
2/27
I. IMPORTANCE DU RISQUE CLIMATIQUE POUR LES VITICULTEURS
Les exploitations viti-vinicoles sont confrontées à de nombreux risques, liés le plus
souvent à la qualité et au volume récolté. Ces deux caractéristiques restent largement
déterminées par les conditions climatiques.
I.1. Risque climatique et qualité de la récolte
Les critères objectifs couramment utilisés permettant d’estimer la qualité de la récolte sont
les teneurs en sucre, en polyphénols et l’acidité, largement déterminées par le phénomène de
photosynthèse. Ce phénomène de photosynthèse dépend de trois caractéristiques climatiques :
la température, l’ensoleillement et la pluviométrie.
La température est généralement considérée en France comme le principal facteur limitant
de la photosynthèse. Ce facteur joue sur la qualité essentiellement durant la phase de
maturation du raisin. Entre 18 et 33°C, l’efficacité de la photosynthèse atteint 90 à 100%
(Kliewer, 1970), l’optimum étant atteint autour de 25°C (Alleweldt & Ruehl, 1993). Cette
efficacité décroît fortement au delà de ces limites de température. Deux types de conditions
pouvant nuire à la qualité de la récolte sont donc à considérer : des températures trop basses
sur l’ensemble de la période de maturation, pouvant produire des raisins insuffisamment
sucrés ou trop acides; des températures trop élevées, pouvant engendrer des récoltes trop peu
acides et obligeant par ailleurs les producteurs à avancer la vendange, et à la réaliser durant
une période où les températures sont encore hautes, ce qui peut nuire au processus de
vinification, en particulier pour le vin blanc. Il est à noter que des processus de vinification
spécifiques peuvent corriger certains paramètres de la récolte ; leur impact sur l’évaluation
des risques associés au climat ne sera pas pris en compte dans notre étude.
L’ensoleillement joue également un rôle significatif sur la qualité de la récolte, puisqu’il
intervient aussi dans la photosynthèse. Ainsi, plus l'insolation sera importante pendant la
période végétative de la vigne, plus les raisins obtenus seront riches en sucre et de faible
acidité. De ce point de vue, la vigne exige des climats relativement lumineux pour donner le
maximum de ses possibilités. Le risque pour la qualité de la récolte serait d’avoir un
ensoleillement insuffisant, notamment au moment de la maturation. L’ensoleillement étant
corrélé avec la température et son importance étant moins cruciale que la température sous
nos latitudes, il ne sera pas pris en compte comme facteur de risque climatique dans cette
étude.
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La pluviométrie intervient également dans la qualité du raisin : la relation sucre-aciditépolyphénols est sous la dépendance du régime hydrique du lieu considéré. Le meilleur
équilibre est obtenu lorsque la vigne est soumise à un régime plutôt humide (mais sans excès)
jusqu'à la véraison (débutant en général fin juillet) pour permettre une croissance optimum de
la vigne et à un régime plutôt sec (mais sans excès) pendant la phase de maturation qui permet
une accumulation optimum de réserves (principalement du sucre) dans les baies, jusqu’aux
vendanges, généralement réalisées en septembre octobre. Dans nos régions, ce facteur a un
impact plus faible que celui de la température sur la qualité du raisin; il joue principalement
sur l’aspect quantitatif de la récolte.
I.2. Risque climatique et quantité de la récolte
Comme pour la qualité, les conditions climatiques ont également un fort impact sur la
quantité de la récolte. Dans le cadre de cette étude, il ne sera tenu compte ni des limitations
réglementaires (pour les AOC par décision de l’INAO), ni des limitations volontaires de
quantité de la récolte, l’objectif étant de s’attacher exclusivement à l’étude du risque
climatique.
Le facteur thermique intervient directement sur le développement de la vigne et ainsi sur
la quantité de la future récolte. Durant la période hivernale, la vigne peut supporter des
températures très basses. Elles doivent à partir de la nouaison jusqu’à la phase de maturation
atteindre un niveau suffisant (entre 18 et 25°C) afin de permettre une bonne croissance de la
vigne. Deux risques pouvant affecter la quantité de récolte peuvent être soulignés : le gel et
les températures très élevées sur une durée prolongée.
Les fortes gelées hivernales (inférieures à -15°C) peuvent provoquer la destruction partielle
ou totale des souches et des racines ; les gelées de printemps sont également susceptibles de
causer des dégâts importants après le débourrement par destruction des bourgeons et des
jeunes pousses, entraînant une perte de récolte. Ce risque ne sera pas pris en compte dans cet
article pour deux raisons : il peut être limité par l’utilisation de procédés agricoles1 et par
ailleurs couvert par des produits d’assurance.
Enfin, les températures très élevées sur une durée prolongée peuvent également engendrer des
pertes de quantité en entraînant un phénomène de « grillage » et l’assèchement de la future
récolte.
1
Dans les régions particulièrement touchées par les gelées, les viticulteurs ont adapté le travail de la vigne par la
mise en place de techniques spécifiques (conduite de la vigne sur fil de fer, création de nuages artificiels de
fumée limitant la baisse de température, taille tardive, etc.).
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La pluviométrie intervient également sur la quantité de la future récolte. Des pluviosités
de 400 à 600 millimètres par an constituent des conditions idéales pour le développement de
la vigne.
En période hivernale, les pluies n'exercent aucune influence directe sur le vignoble mais
permettent la constitution de réserves d'eau accumulées dans le sol et qui serviront au
printemps et en été.
Au printemps, les pluies ont une grande importance puisqu’elles conditionnent la vitesse de
croissance de la vigne.
Durant la période estivale, un excès de pluie peut entraîner le développement du mildiou et
menacer la récolte. A l’inverse, si les réserves hydriques sont insuffisantes, une sécheresse en
été est également néfaste pour la récolte. Ces deux risques sont fortement corrélés avec les
risques températures vus précédemment (un été pluvieux est généralement frais, et une
sécheresse prolongée s’accompagne généralement de températures élevées). Nous nous
restreindrons donc dans cet article à l’étude du risque température.
Les pluies d’automne survenant avant les vendanges peuvent quant à elles provoquer un
développement de la pourriture grise et un éclatement de la baie.
Les risques liés aux pluies de printemps et d’automne ne seront pas traités dans cet article. Ils
pourront constituer une voie de recherche à approfondir.
Reste le risque de grêle, pouvant anéantir en quelques minutes le travail de toute une
année et compromettre complètement une récolte. Ce risque ne sera pas considéré dans cette
étude puisqu’il peut être couvert par des produits d’assurance.
I.3. Identification des risques principaux à couvrir par des produits financiers
On peut identifier deux types de risques climatiques récurrents et non assurables qui
pourraient donc être couverts par des dérivés climatiques : des températures moyennes
insuffisantes de la nouaison aux vendanges, et des températures moyennes trop élevées
pendant la phase de maturation.
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II. OFFRE DE DERIVES CLIMATIQUES ENVISAGEABLE A MOYEN TERME
Les dérivés climatiques sont des produits peu liquides, disponibles aujourd’hui sur le
Chicago Mercantile Exchange, et encore gérés en OTC en France. Les énergéticiens dominent
ce marché. Deux facteurs expliquent cette domination des énergéticiens :
− Un effet volume : le risque climatique énergétique est massif vu le chiffre d’affaires
généré par les besoins de chauffage et de climatisation (plusieurs dizaines de milliards
d’euros en France en 20032), chiffre d’affaires très sensible au climat.
− Leur besoin de couverture équilibré favorisant la liquidité du marché : au même moment,
deux acteurs sont susceptibles de rechercher simultanément des positions opposées. En
effet, des températures élevées en été représentent un risque pour un énergéticien
« court » en énergie : elles augmentent la demande (consommation des climatiseurs en
hausse) et réduisent les capacités de certaines centrales de production. Elles sont par
contre une opportunité pour un énergéticien « long » (hausse des prix). A l’inverse, des
températures élevées en hiver représentent une opportunité pour un énergéticien « court »
en énergie et un risque pour un énergéticien « long » : elles réduisent la demande
(consommation liée au chauffage en baisse) et donc les prix. Un énergéticien « court »
cherchera donc à acheter le dérivé climatique que cherchera à vendre un énergéticien
« long ».
Les viticulteurs, même s’ils décidaient de recourir massivement aux dérivés climatiques,
resteraient des acteurs moins importants sur ce marché :
− Le volume concerné est plus faible (11 milliards d’euros pour l’ensemble de la filière3).
− Les viticulteurs ont tous un risque orienté « dans le même sens », ce qui fait qu’un
marché propre au vin serait complètement illiquide. En effet, les viticulteurs chercheront
tous à se couvrir contre des températures moyennes trop basses pendant la période
végétative ou des températures excessivement hautes, en particulier avant les
vendanges... Certaines nuances existent en fonction des caractéristiques des vignobles,
mais elles se traduiront plutôt au niveau des prix d’exercice des dérivés climatiques plus
que dans une position d’acheteur ou de vendeur d’un produit donné.
2
La consommation énergétique des ménages à usage domestique est de 35 milliards d’euros en 2003 (« l’énergie
en France – Repères » observatoire de l’énergie – MINEFI – édition 2004), et cette consommation est très
majoritairement liée au chauffage. Il faut également y ajouter la consommation d’énergie pour des besoins de
chauffage des secteurs tertiaires et industriels.
3
dépêche AFP du 7 décembre 2004
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L’hypothèse suivante est donc retenue : les viticulteurs ne pourront pas s’appuyer sur une
offre de dérivés climatiques spécifique à leur filière, mais devront couvrir leurs besoins en
recourant aux dérivés climatiques proposés sur les marchés, soit ceux utilisés par les
énergéticiens.
Ces dérivés climatiques sont définis à partir des éléments suivants :
¾ Une température moyenne journalière, calculée à partir de données d’une ou plusieurs
stations météo. Ces données peuvent être calculées à partir de la température minimale
et la température maximale sur une période de 24 heures, ou à partir de plusieurs
températures relevées à intervalles réguliers pendant ces 24 heures (ce dernier cas
correspondant mieux au besoin des firmes énergétiques).
¾ Des degrés jours, calculés comme suit :
o En été : Max (température moyenne journalière – 18° C ; 0)
o En hiver : - Min (température moyenne journalière – 18° C; 0)
¾ Une période sur laquelle le dérivé est appliqué,
¾ Un strike exprimé en nombre de degrés jours sur la période,
¾ Un tick, exprimé en € par degrés jours, qui permet de calculer le montant du pay-off,
¾ Le pay-off calculé comme suit : nombre de degrés jours au-dessus ou en dessous du
strike sur la période considérée multiplié par le tick,
¾ Une prime, montant fixe payé à l’avance par l’acquéreur de l’option,
¾ Eventuellement un cap, limitant le pay-off en cas d’évènement climatique extrême.
7/27
III.
PRODUITS DERIVES ETUDIES
Dans le chapitre précédent, il a été fait l’hypothèse que la structure des produits dérivés à
étudier est celle des produits utilisés par les énergéticiens. Les paramètres des produits dérivés
décrits précédemment sont donc à fixer pour prendre en compte les besoins des viticulteurs.
III.1.
Période d’application
Dans le chapitre 1, deux risques majeurs à couvrir par les viticulteurs ont été retenus,
permettant de définir la période d’application des dérivés climatiques correspondants :
¾ Des températures trop fraîches sur la période de nouaison et de maturation,
correspondant à une période d’application du dérivé du 1er juillet au 30 septembre,
¾ Des températures excessives précédant la vendange correspondant à une période
d’application du dérivé du 1er août au 15 septembre4.
Ces périodes pourront être adaptées pour répondre aux besoins de vignobles spécifiques
comme par exemple ceux situés en altitude.
III.2.
Choix et calcul du sous-jacent
Les périodes d’application correspondent à la période estivale des énérgéticiens. Le sousjacent est donc du type Cooling Degree Days, et est calculé comme suit :
∑ Max(température moyenne journalière − 18°C;0)
Période d 'application
Restent à définir les stations météo d’où proviennent les températures moyennes journalières.
Paris Montsouris et Bordeaux Mérignac ont été choisies sur la base des critères suivants :
¾ Paris est la station la plus susceptible d’être retenue pour les dérivés climatiques les
plus liquides, et donc les plus facilement disponibles pour les viticulteurs. En effet, la
liquidité est apportée majoritairement par les énergéticiens (cf . chapitre II), et cette
station est représentative du climat de la région la plus peuplée de France, et la plus
consommatrice d’énergie.
Si les dérivés climatiques les plus liquides en France devaient être indexés sur un
indice composite constitué à partir de plusieurs stations météo, la pondération des
différentes stations se ferait en fonction de critères démographiques (correspondant au
nombre de clients finaux), ou de critères de consommation d’énergie sensible au
climat. Dans les deux cas, c’est la région parisienne qui aura la plus forte pondération.
4
Des températures élevées favorisent une vendange avancée dans la saison.
8/27
¾ Bordeaux Mérignac est une station représentative d’une grande région viticole, au
climat significativement différent de celui de la région parisienne.
III.3.
Choix du strike
Le strike devra être déterminé localement : en effet, selon le cépage, l’orientation du vignoble,
les méthodes de vinification utilisées, chaque viticulteur pourra déterminer les seuils en deçà
ou au-delà desquels il jugera la qualité ou la quantité de sa récolte menacée.
L’étude du pricing se fera donc en choisissant plusieurs niveaux de strike.
III.4.
Valeur du tick
La valeur du tick n’a que peu d’influence sur le pricing des produits dérivés (plus il est élevé,
plus il rend difficile l’accès à ce type de produits pour de petites exploitations).
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IV.
PRICING DES PRODUITS DERIVES CLIMATIQUES ETUDIES
Le pricing des dérivés climatiques a fait l’objet d’une abondante littérature. Ce pricing
nécessite de modéliser la température, puis à partir de ce modèle, de modéliser les pay-offs
des dérivés climatiques considérés, et enfin d’en déduire la prime correspondante.
IV.1.
Modélisation de la température
IV.1.1. Caractéristiques générales de la température
De façon intuitive, certaines caractéristiques de la température sont évidentes :
¾ La température est un phénomène saisonnier,
¾ La température présente une corrélation sur plusieurs jours,
¾ La température est stationnaire en première approximation.
Ces caractéristiques se retrouvent dans tous les modèles de températures de la littérature, qui
peuvent se regrouper en deux types:
• Les modèles avec retour à la moyenne,
• Les modèles autorégressifs.
IV.1.2. Présentation des deux types de modèles
IV.1.2.1. Les modèles avec retour à la moyenne
Alaton, Djehiche and Stillberger (2001) proposent un modèle de ce type, reposant sur la
modélisation initiale de Dischel (2000).
Ce modèle est un modèle avec retour à la moyenne, de la forme :

 dθ
dTt =  t + α (θt − Tt )dt + σ t dWt avec :
 dt

θt = Tendt + Saist la moyenne historique des températures pour la date t,
α le paramètre de retour à la moyenne,
σt la volatilité,
Wt un mouvement brownien standard.
La température à une date t est donc donnée par :
Tt = (T0 − θ 0 )e −αt + θ t + ∫ e −α ( t − u )σ u dWu
t
0
10/27
Barrieu (2002) montre que ce modèle avec retour à la moyenne est moins bien adapté à la
modélisation des produits dérivés climatiques :
¾ Le modèle est extrêmement sensible au calcul du paramètre α. Cela limite fortement
sa fiabilité.
¾ La simulation d’une série de températures par ce modèle donne des résultats éloignés
d’autres modèles considérés, et surtout éloignés de la tendance historique.
IV.1.2.2. Les modèles autorégressifs
Ces modèles sont de la forme suivante :
Tt = Tendt + Saist + Corrt + Rt avec :
Tendt, la partie tendancielle de la température, qui est une fonction affine par morceau du
temps, estimée sur plusieurs années,
Saist, la partie saisonnière de la température,
Corrt, un processus de type AR(n) modélisant la corrélation,
Rt, le résidu du modèle.
Ces modèles donnent de meilleurs résultats que les modèles de retour à la moyenne. Ce sont
donc ces modèles qui seront retenus dans la suite de l’étude.
IV.1.3. Modélisation de la température
La modélisation des températures est réalisée à partir de données minimales et maximales par
jour issues des sources suivantes : Météo France pour les années 2002 et 2003, et le site
European Climate Assessment and Dataset du Koninklijk Nederlands Meteorologisch
Instituut pour les années antérieures.
IV.1.3.1. Estimation de la partie déterministe
Un premier examen des séries sur plus de 80 ans (partiellement incomplète pour Bordeaux
Mérignac notamment durant la seconde guerre mondiale) met en évidence le caractère
pratiquement stationnaire des séries.
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Températures journalières Paris Montsouris 1917-2003
Températures journalières Bordeaux Mérignac 1920-2003
Cependant, un examen des moyennes mobiles annuelles et sur cinq ans fait apparaître une
hausse de la température moyenne annuelle.
12/27
- Choix du modèle de croissance tendancielle
Moyennes mobiles annuelles et sur 5 ans des températures journalières
de 1917 à 2003 – Paris Montsouris
Moyennes mobiles annuelles et sur 5 ans des températures journalières
de 1917 à 2003 – Bordeaux Mérignac
Une accélération de cette croissance semble se dessiner à partir des années 1985-1988.
Barrieu (2002) fait la même constatation pour la série de Paris Montsouris à partir de l’année
1985. Un premier facteur à prendre en compte est donc une hausse tendancielle de la
température moyenne annuelle.
Conformément à la littérature (Barrieu, 2002), nous choisissons de modéliser cette partie
tendancielle de la température par une fonction affine par morceaux :
 α1t + β1 ∀t < trupture
Tend t = 
α 2t + β 2 ∀t ≥ trupture
Le point de rupture ainsi que les coefficients α1 et α2 seront déterminés globalement avec tous
les autres paramètres déterministes (cf. infra).
13/27
- Modélisation de la saisonnalité
Un autre facteur à prendre en compte dans la partie déterministe est la saisonnalité.
Cette saisonnalité est observable sur les minimums et les maximums sur 30 jours des
températures journalières.
Minimums et maximums sur 30 jours des températures journalières –
Paris Montsouris
Minimums et maximums sur 30 jours des températures journalières –
Bordeaux Mérignac
Afin d’estimer cette saisonnalité, les « 29 février » sont supprimés de la série afin de mettre
en évidence d’éventuelles périodicités annuelles (Barrieu 2002; Diebold 2004).
Le périodogramme de la série est calculé de la façon suivante :
Périodogramme(n) =
N
∑T e
k =0
k
i
2 kπn
N
2
 N
 2kπn    N
 2kπn  
=  ∑ Tk cos
  +  ∑ Tk sin 
 
 N    k =0
 N 
 k =0
2
avec :
n, la périodicité testée de la fonction,
N, le nombre d’échantillons de la série de données (en l’occurrence 10950, soit 30 ans de
données),
Tk, la kième température de l’échantillon.
14/27
Les résultats suivants sont obtenus :
Deux pics très nets sont observés pour n = 30 (3,9 pour Paris Montsouris, 3,64 pour Bordeaux
Mérignac), correspondant à une fréquence annuelle, et pour n = 60 (0,4 pour Paris
Montsouris, 0,47 pour Bordeaux Mérignac) correspondant à une fréquence semestrielle.
Toutes les autres valeurs du périodogramme sont inférieures ou égales à 0,2.
La composante saisonnière est donc modélisée à l’aide d’une somme de sinusoïdes de
périodes annuelles et semestrielles de la forme :
Saist = a1 cos(2πt/365)+ b1 sin(2πt /365) + a2 cos(4πt /365) + b2 sin(4 πt /365)
- Estimation des paramètres tendanciels et saisonniers :
Il est donc nécessaire de calculer les paramètres de tendance et de saisonnalité suivants :
α1, β1, α2, β2, trupture, a1, b1, a2, b2.
La méthode proposée pour estimer ces paramètres est la suivante :
¾ La série est d’abord désaisonnalisée (calcul de a1, b1, a2, b2, les coefficients de la partie
saisonnière);
¾ Les coefficients de la tendance α1, β1, α2, β2, trupture sont estimés à partir de la série
désaisonnalisée;
¾ Les coefficients a1, b1, a2, b2 sont réestimés à partir des données brutes de température
une fois la tendance enlevée.
15/27
Cette démarche itérative a pour objet de corriger d’éventuels biais dus à une dépendance entre
la croissance tendancielle et la saisonnalité. En effet, des effets de bord ne peuvent être
complètement négligés sur des périodes d’étude de quelques décennies.
1ère étape : Désaisonnalisation initiale
L’expression suivante est minimisée en fonction de a1, b1, a2, b2 selon un algorithme de
Newton :


 2πt 
 2πt 
 4πt 
 4πt   
Tt − Saist = ∑  Tt −  a1 cos
 + b1 sin 
 + a2 cos
 + b2 cos
 
 365 
 365 
 365 
 365   
t =0 

N
2
Nous obtenons les valeurs suivantes :
Paris Montsouris Bordeaux Mérignac
-7,347
-6,780
-2,470
-2,648
-0,021
-0,121
0,759
0,932
a1
b1
a2
b2
2ème étape : Calcul de la tendance
Un critère empirique est proposé pour repérer le point de rupture optimisant l’adéquation de la
tendance aux chroniques de températures. Ce critère consiste à minimiser l’expression
suivante en fonction de α1, β1, α2, β2 selon un algorithme de Newton pour tous les
trupture ∈ [1/01/1977 ; 31/12/2000]:
Tt − Saist − Tendt =
t ruptre
∑ (T − Sais
t =0
t
t
− α1t − β1 ) +
N
2
∑ (T − Sais
t = t ruptre +1
16/27
t
t
− α 2t − β 2 )
2
Le minimum est atteint pour Paris comme pour Bordeaux le 01/08/1987.
Le choix de ce point de rupture n’a qu’un faible effet sur l’adéquation entre tendance et
température observée : les écarts restent importants (de l’ordre de 3°C) et varient très
faiblement quelque soit le point de rupture retenu. Ces écarts sont trop importants pour que le
test de Chow, par exemple, permette d’être conclusif sur la rupture paramétrique identifiée cidessus.
Le choix de ce point a par contre une incidence importante sur la tendance résultante : si par
exemple la tendance avait été estimée sur la série des dix dernières années, elle aurait été
nulle, créant un écart de 0,2°C en 2003.
Les résultats obtenus sont les suivants :
Paris Montsouris Bordeaux Mérignac
Tendance 01/1974 – 07/1987
-0,047°C/an
-0,011°C/an
Tendance 08/1987 – 12/2003
+0,027°C/an
+0,040°C/an
Décalage de la tendance au 1/08/1987 +1,071°C
+1,094°C
Ces résultats soulignent l’importance de la rupture en 1987.
Ils soulignent également les limites d’une modélisation linéaire de la tendance : les valeurs
légèrement négatives observées sur la période 1974 - 1987 sont contraires à ce qui serait
observable sur des périodes plus longues. Une voie de recherche ultérieure pourrait être
d’utiliser les résultats de modélisation physique du climat pour affiner cette approche
économétrique de la tendance.
3ème étape : 2ème itération de désaisonnalisation
Les paramètres a1, b1, a2, b2 sont calculés non plus à partir de la température brute, mais de
Tt - Tendt, afin de gagner en précision sur l’estimation de ces paramètres.
Les périodogrammes de Tt - Tendt sur l’ensemble de la période 1974-2003 sont plus nets
qu’auparavant : les pics annuels et semestriels ressortent mieux.
17/27
Périodogramme des données moins la tendance de Paris Montsouris (hors 29/02) sur la
période 1974-2003
Périodogramme des données moins la tendance de Bordeaux Mérignac (hors 29/02) sur la
période 1974-2003
Les résultats suivants sont obtenus :
a1
b1
a2
b2
Paris Montsouris
Après iteration
Avant itération
-7,352 (-0,08%)
-7,347
-2,451 (+0,79%)
-2,470
-0,016 (+30,5%)
-0,021
0,761 (+0,25%)
0,759
Bordeaux Mérignac
Après itération
Avant iteration
-6,785 (-0,08%)
-6,780
-2,620 (+1,04%)
-2,648
-0,116 (+4,42%)
-0,121
0,937 (+0,60%)
0,932
IV.1.3.2. Estimation de la partie stochastique :
Afin de modéliser au mieux la partie stochastique, il est nécessaire dans un premier temps
d’étudier l’autocorrélogramme des données.
18/27
¾ Autocorrélogramme des données :
Paris
Bordeaux
Les autocorrélogrammes montrent des autocorrélations partielles significatives à l’ordre 3
(toutes les autocorrélations partielles à un ordre supérieur sont inférieures ou égales au seuil
de significativité égal à 2 / nombre de données = 0,019 ). Le modèle d’AR3 qui a été
développé également dans la littérature (Cao & Wei, 2000; Tankov 2001; Roustant 2001;
Barrieu 2002) est donc retenu. Ses paramètres sont notés φ1, φ2, φ3.
¾ Modélisation des résidus Rt :
Le minimum de
N
∑ (R − φ R
k =4
t
1
t −1
− φ2 Rt − 2 − φ3 Rt − 3 )
2
moindres carrés ordinaires) afin d’estimer φ1, φ2, φ3.
19/27
est calculé classiquement (méthode des
Les résultats suivants sont obtenus :
-
Paris Montsouris Bordeaux Mérignac
0,923
0,838
φ1
-0,210
-0,139
φ2
0,072
0,054
φ3
Résidus εt de l’AR(3) :
Diebold (2004) suggère que la volatilité du résidu est le plus souvent saisonnière. Afin
d’identifier cette composante saisonnière, le résidu est modélisé comme suit :
εt = σtηt où σt est la volatilité des résidus de l’AR, supposée strictement positive, non
constante dans le temps.
En passant au carré puis en logarithme, il est obtenu :
ln(εt²)=2.ln(σt)+ln(ηt²)
ln(ηt²) est supposé ne pas être saisonnier. Le périodogramme du ln(εt²) est donc calculé.
- Pour Paris Montsouris :
- Pour Bordeaux Mérignac :
Une périodicité annuelle et semestrielle pour la volatilité σt en est déduite.
σt est modélisé par σ0 + a cos(2πt/365)+ b sin(2πt/365)+ c cos(4πt/365)+ d sin(4πt/365).
Les coefficients du modèle sont estimés en minimisant Σln(ηt²)2 qui est le logarithme de
vraisemblance.
Les résultats suivants sont obtenus :
σ0
a
b
c
d
Paris Montsouris Bordeaux Mérignac
1,058
1,117
0,031
0,152
0,075
0,019
0,066
0,084
-0,037
-0,047
20/27
Les coefficients de l’AR3 sont alors recalculés afin de minimiser ηt :
φ1
φ2
φ3
Paris Montsouris
Bordeaux Mérignac
Après iteration Avant itération Après itération Avant itération
0,919 (-0,4%)
0,923
0,838 (+0,03%)
0,838
-0,208 (+1,0%)
-0,210
-0,145 (-4,3%)
-0,139
0,072 (+0,3%)
0,072
0,057 (+4,7%)
0,054
Le bruit obtenu a des caractéristiques satisfaisantes :
• il ne présente pas d’autocorrélation significative,
• il ne présente pas de saisonnalité,
• il parait stationnaire,
• ses moments d’ordre 3 et 4 sont proches de ceux d’un bruit gaussien, même si le test de
Jarque Bera ne permet pas de retenir ce type de modélisation.
Ce bruit peut donc être généré numériquement en utilisant sa fonction de répartition inverse.
IV.1.3.3. Conclusion de la modélisation de la température
La température est donc modélisée de la façon suivante sur la période 1988-2003:
Tt = Tendt + Saist + Rt avec
Tendt = α2 + β2t
Saist = a1 cos(2πt/365)+ b1 sin(2πt /365) + a2 cos(4πt /365) + b2 sin(4 πt /365)
Rt = φ1 Rt-1 + φ2 Rt-2 + φ3 Rt-3 + σtηt avec
σt = σ0 + a cos(2πt/365)+ b sin(2πt/365)+ c cos(4πt/365)+ d sin(4πt/365)
ηt un bruit déterminé numériquement à partir de sa fonction de répartition.
IV.2.
Estimation du pay-off des dérivés climatiques considérés
Par convention, le dérivé correspondant à la période du 1er juillet au 30 septembre sera
appelé le produit « long » ; celui correspondant à la période du 1er août au 15 septembre sera
appelé le produit « court ».
La prime P correspondante peut être calculée simplement par la formule suivante :
P = E[pay-off] + λ.σ[pay-off], avec λ le coefficient d’aversion au risque du vendeur du
produit.
21/27
Un viticulteur qui souhaiterait avoir recours aux produits dérivés climatiques exprimera un
besoin sous la forme : « je souhaite avoir un pay-off supérieur ou égal à X pour un niveau de
risque qui se produit 20% ou 30% des années (ce qu’il jugera correspondre aux « mauvaises
années » d’un point de vue climatique), et je souhaite payer la prime la plus faible possible ».
Les notations suivantes sont retenues (en prenant le cas d’un pay-off fixé pour 30% des
années) :
− CDD les Cooling Degree Days,
− S le sous-jacent (correspondant à la somme des Cooling Degree Days sur la période
exprimé en °C.jours),
− S30% le niveau de sous-jacent correspondant à un risque de 30%,
− Ssup le strike pour le produit « long »,
− t le tick,
La demande du viticulteur (pour le produit « long ») correspond à la recherche de Ssup
minimisant la prime sous la contrainte d’un pay-off à S30% égal à X, ce qui revient à
rechercher Ssup minimisant (E[max(Ssup-S ; 0)]+λ.σ[max(Ssup-S ;0)]).t sous la contrainte
(Ssup-S30%).t = X.
Répondre à la demande du viticulteur consiste donc à déterminer :
Ssup minimisant
[
]
[
E max( S sup − S ; 0 ) + λ .σ max( S sup − S ; 0 )
S sup − S 30 %
]
Pour déterminer le Ssup du produit correspondant à la demande du viticulteur, il est donc
nécessaire de pouvoir identifier S30% avec une précision suffisante.
Pour cela, 1000 séries annuelles de températures sont calculées pour Paris et Bordeaux à
l’aide du modèle de température. Pour chacune de ces séries de températures, le sous-jacent S
est calculé. La distribution du sous-jacent S peut être estimée numériquement à partir de ces
séries, et est représentée ci-dessous pour chacun des produits considérés. Les pay-off des
dérivés climatiques décrits au chapitre III peuvent en être déduits en fixant le strike et le tick t.
Il sera également possible de calculer les primes correspondantes en fixant le coefficient
d’aversion au risque λ.
22/27
Distribution du sous-jacent du produit "court" Paris
100%
100
90
90%
90
100%
90%
Fréquence
80%
80
70
70%
70
70%
60
60%
50
50%
40
40%
30
30%
Fréquence
60
Fréquence cumulée
60%
Nombre d'occurrences
80
Fréquence cumulée
199
189
180
170
161
151
141
132
122
113
93
103
84
74
65
55
294
281
268
0%
255
0
242
10%
0%
229
10
0
216
20%
202
20
10%
189
20%
10
176
20
163
30%
150
30
137
40%
124
40
97
50%
Valeur du sous-jacent en°C.jours
Valeur du sous-jacent en°C.jours
Distribution du sous-jacent du produit "long" Bordeaux
Distribution du sous-jacent du produit "long" Paris
100%
100
100%
90
90%
90
90%
80
80%
80
80%
70
70%
70
Fréquence cumulée
60%
Valeur du sous-jacent en°C.jours
375
361
347
0%
332
0
318
10%
304
20%
10
289
20
275
30%
260
30
246
40%
232
40
217
50%
203
50
189
534
515
496
477
458
0%
438
0
419
10%
400
10
381
20%
362
30%
20
342
30
323
40%
304
40
285
50%
266
50
70%
Fréquence
60
174
Fréquence cumulée
60%
160
Fréquence
60
Nombre d'occurrences
100
246
Nombre d'occurrences
80%
50
110
Nombre d'occurrences
Distribution du sous-jacent du produit "court" Bordeaux
100
Valeur du sous-jacent en°C.jours
Ainsi, pour le produit « long » de Bordeaux, le S30% = 355°C/j et le S40% = 367°C/j. Cela
souligne le besoin de précision du modèle de température pour « pricer » correctement ces
produits : en effet, l’écart entre ces deux valeurs n’est que de 12°C/j pour une période de 3
mois. Le modèle de température utilisé doit donc avoir un biais strictement inférieur à
0,375°C en terme de température journalière moyenne pour offrir une couverture de risque
précise à ± 10 % près.
Cela est du même ordre de grandeur que la non stationnarité de la tendance identifiée au
chapitre IV.1.3.1. Pour avoir un pricing plus précis que ± 10 % près, il parait donc nécessaire
d’affiner la modélisation de la tendance.
Ces graphes soulignent également des différences significatives entre Paris et Bordeaux :
-
Les abscisses sont décalées, ce qui reflète l’écart de température moyenne entre ces
deux villes.
-
La distribution du sous-jacent du produit « long » de Paris est fortement asymétrique à
23/27
cause du seuil de 18°C, atteint beaucoup plus souvent à Paris qu’à Bordeaux en Juillet
et en Septembre.
Les séries de température permettent de calculer l’espérance et l’écart-type du pay-off en
fonction du strike.
200
Espérance et Ecart-Type du pay-off du produit long en fonction du strike (Bordeaux)
Espérance et Ecart-Type du pay-off du produit long en fonction du strike (Bordeaux)
180
160
140
120
100
espérance du pay-off
80
écart-type du pay-off
60
40
20
530
540
550
414
424
520
510
500
490
480
470
460
450
440
430
420
410
400
390
380
370
360
350
340
330
320
310
300
290
404
200
280
270
260
250
0
Espérance et Ecart-Type du pay-off du produit long en fonction du strike (Paris)
Espérance et Ecart-Type du pay-off du produit long en fonction du strike (Paris)
180
160
140
120
100
espérance du pay-off
80
écart-type du pay-off
60
40
20
394
384
374
364
354
344
334
324
314
304
294
284
274
264
254
244
234
224
214
204
194
184
174
164
154
144
134
124
0
Cela permet d’identifier plusieurs écarts majeurs entre Bordeaux et Paris :
-
les courbes sont décalées par l’écart de température moyenne entre ces deux villes
(l’échelle des graphiques a également été décalée pour faciliter la comparaison);
-
l’écart-type observé est plus important sur Bordeaux, ce qui pourrait augmenter le coût
de ces produits si les coefficients d’aversion au risque sont élevés ;
-
on retrouve des différences sur le produit « long » liées au fait que les CDD de Paris
sont beaucoup plus impactés par le seuil à 18°C : l’espérance de gain est tronquée pour
les premières valeurs du strike.
Ces différences permettent de conclure avant même l’étude de la corrélation entre les
températures de Bordeaux et de Paris, que les pricing de deux produits identiques calés l’un
sur les températures de Paris, l’autre sur les températures de Bordeaux, présenteraient des
écarts importants.
24/27
A partir d’une étude du risque climatique auquel sont soumis les viticulteurs, cet
article a proposé des produits adaptés à la gestion de ce risque. Il s’est attaché à modéliser les
températures de Paris et Bordeaux de manière aussi précise que possible afin de proposer une
méthode permettant la mise en place d’un pricing. Par rapport à la littérature existante, des
gains de précision ont été recherchés en agissant sur plusieurs éléments du modèle. La partie
déterministe a été affinée en proposant un critère empirique de positionnement du point de
rupture et en estimant les paramètres tendanciels et saisonniers par itérations successives. Les
paramètres de la partie stochastique ont été estimés par la méthode des moindres carrés
généralisés, ce qui a permis d’améliorer la précision des paramètres du modèle autorégressif.
Enfin, au lieu d’estimer le bruit résiduel par une gaussienne ou une fonction hyperbolique
(comme cela a déjà été fait dans la littérature), il a été préféré une estimation numérique.
De cette étude, plusieurs voies de recherche peuvent être dégagées.
Afin d’affiner les résultats obtenus lors de la modélisation de la partie déterministe, il
pourrait être intéressant d’intégrer des résultats de modélisation physique du climat,
notamment pour définir la tendance.
Par ailleurs, cet article suppose qu’il existe une parfaite corrélation entre le risque température
mesuré à la station de Bordeaux et celui observé sur les vignobles de la région. Afin de mieux
estimer l’adaptation entre ces produits dérivés et le besoin des viticulteurs, cette hypothèse
pourra être étudiée en comparant des séries de température de la station de Bordeaux et des
séries de températures mesurées directement sur des vignobles. Une autre voie de recherche
pourrait concerner l’étude des corrélations des températures entre différentes villes afin de
confirmer la nécessité d’utiliser des produits calés régionalement.
Enfin, la prise en compte des risques liés à la pluviométrie, et leur corrélation aux risques
températures pourrait compléter cette étude.
25/27
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