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BACCALAUREAT GENERAL
SESSION DE NOVEMBRE 2014
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MATHEMATIQUES
SERIE : S
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Durée de l'épreuve :
4 heures
Les élèves ayant choisi la spécialité mathématiques
rédigeront l’exercice de spécialité sur une feuille séparée
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Ce sujet comporte 6 pages numérotées de 1 à 6
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée
Tous les candidats doivent traiter les exercices 1, 2, 3 et 5.
Seuls les candidats n’ayant pas choisi la spécialité mathématiques traitent l’exercice 4.
Seuls les candidats ayant choisi la spécialité mathématiques traitent l’exercice 6.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une
part importante dans l'appréciation des copies.
1
EXERCICE 1 (8 points)
Exercice à traiter par tous les candidats.
Dans tout cet exercice, on pourra admettre le résultat d’une question, même non résolue, et l’utiliser
dans la suite de l’énoncé.
On admet que si on mélange un litre d’eau à la température t (en °C) et un litre d’eau à la température t′
t+t′
(en °C), on obtient deux litres d’eau à la température moyenne : 2 (en °C).
On dispose d’un litre d’eau à la température t0 = 80° C ; on le mélange avec un litre d’eau à la
température 20°C : on obtient ainsi deux litres d’eau à la température t1 (en °C).
On prélève alors un litre d’eau à la température t1 sur les deux litres obtenus, et on y ajoute un litre d’eau
à la température 20° C : on obtient ainsi deux litres d’eau à la température t2.
On répète le processus : on prélève un litre sur les deux obtenus à l’étape précédente et on y ajoute un
litre d’eau à la température 20° C ; on obtient ainsi deux nouveaux litres d’eau.
Partie A
On fabrique ainsi une suite (tn ) telle que tn+1 est la température du mélange d’un litre d’eau à la
température tn et d’un litre d’eau à la température 20° C.
On a bien sûr t0 = 80.
1) Calculer t1 et t2.
2) Montrer que la suite (tn ) n’est ni arithmétique ni géométrique.
3) Justifier que l’on a, pour tout n à 0 : tn+1 = 0,5tn +10.
4) Dans le repère donné en annexe on a tracé :
• la droite D d’équation y = 0,5x+10 ;
• la droite Δ d’équation y = x.
a) Placer t0 à t4 sur l’axe des abscisses, sans calcul, et en laissant apparents les traits de construction.
b) Que peut-on conjecturer quant au sens de variation de la suite (tn ) et quant à sa convergence ?
Partie B
On propose dans cette partie B une première méthode pour démontrer les conjectures établies à la
question A4b.
1) Montrer par récurrence que pour tout entier n à 0, on a : tn à 20.
2) Démontrer que la suite (tn ) est décroissante.
3) Justifier que la suite (tn ) est convergente et déterminer sa limite.
Partie C
On propose dans cette partie C une deuxième démonstration des conjectures établies à la question A4b.
Soit (un ) la suite définie pour tout n à 0 par un = tn −20.
1) Montrer que (un ) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
2) Exprimer un en fonction de n, puis en déduire l’expression de tn en fonction de n.
3) Déterminer la limite de la suite (tn ).
4) A l’aide de la calculatrice, déterminer le nombre d’étapes minimal pour que la température du
mélange soit inférieure à 20,5° C.
2
EXERCICE 2 (5 points)
Exercice à traiter par tous les candidats.
Une entreprise fabrique des lecteurs MP3, dont 6% sont défectueux.
Chaque lecteur MP3 est soumis à une unité de contrôle dont la fiabilité n’est pas parfaite.
Cette unité de contrôle rejette 98% des lecteurs MP3 défectueux, et 5% des lecteurs MP3 fonctionnant
correctement.
On note :
• D l’événement « le lecteur MP3 est défectueux » ;
• R l’événement « l’unité de contrôle rejette le lecteur MP3 ».
Dans cet exercice, toutes les probabilités seront données, si besoin, arrondies à 10 - 5 près.
1) Représenter la situation dans un arbre pondéré de probabilités.
2) a) Calculer la probabilité qu’un lecteur MP3 soit défectueux et ne soit pas rejeté.
b) On dit qu’il y a une erreur de contrôle lorsqu’un lecteur MP3 est rejeté alors qu’il n’est pas
défectueux, ou qu’il n’est pas rejeté alors qu’il est défectueux.
Calculer la probabilité qu’il y ait une erreur de contrôle.
c) Montrer que la probabilité qu’un lecteur ne soit pas rejeté est égale à 0,8942.
d) Calculer la probabilité que le lecteur soit au moins défectueux ou rejeté.
e) Un lecteur MP3 a été rejeté par l’unité de contrôle.
Quelle est la probabilité qu’il ne soit pas défectueux ?
f) Un lecteur MP3 n’a pas été rejeté par l’unité de contrôle.
Quelle est la probabilité qu’il soit défectueux ?
3) Justifier que les événements R et D ne sont pas indépendants.
Dans la question suivante, toute trace de recherche, même infructueuse, sera valorisée.
4) Afin de faire baisser la proportion de lecteurs MP3 défectueux mis sur le marché par erreur,
l’entreprise fait passer un dernier test, uniquement aux lecteurs MP3 qui n’ont pas été rejetés par
l’unité de contrôle. Elle s’aperçoit que parmi eux, 80% des lecteurs MP3 non défectueux réussissent le
test et que globalement, 71,476% des lecteurs MP3 fabriqués passent ce test et le réussissent, et sont
donc mis sur le marché.
Calculer la proportion de lecteurs MP3 défectueux parmi ceux qui sont mis sur le marché.
EXERCICE 3 (2 points)
Exercice à traiter par tous les candidats.
1) Démontrer que pour tout nombre complexe z, et tout entier naturel n :
|z n | = |z |n
On pourra par exemple admettre sans la démontrer, et utiliser, la formule |zz′| = |z || z′| , et procéder
par récurrence sur n.
5
2) Calculer |(1+i 3 ) |.
3
EXERCICE 4 (5 points)
Exercice à traiter uniquement par les candidats n’ayant pas choisi la spécialité mathématiques.
Dans tout cet exercice, on pourra admettre le résultat d’une question, même non résolue, et l’utiliser
dans la suite de l’énoncé.
On se place dans le plan complexe, rapporté à un repère orthonormé (O ; Å
u,Å
v ) d’unité graphique 1cm.
1) Résoudre l’équation z 2−8z+17 = 0 dans l’ensemble C des nombres complexes.
2) Soit P défini pour tout complexe z par P(z) = z 3−(8−i)z 2+(17−8i)z+17i.
a) Calculer P(-i).
b) Montrer que pour tout complexe z, P(z) = (z+i)(z 2−8z+17).
c) En déduire, à l’aide de la question 1, les solutions dans l’ensemble C des nombres complexes de
l’équation P(z) = 0.
Dans la suite de l’exercice on note A, B et C les points du plan complexe d’affixes respectives :
zA = 4 + i, zB = 4 − i et zC = −i.
Placer les points A, B et C sur une figure que l’on complètera dans la suite de l’exercice.
3) Montrer que le triangle ABC est rectangle en B.
4) En déduire que les points A, B et C appartiennent à un même cercle B dont on déterminera le centre
et le rayon. Tracer B sur la figure.
5) A tout point M d’affixe z ' 2, on associe le point M’ d’affixe :
iz+10−2i
z’ =
z−2
a) Déterminer la forme algébrique des affixes des points A’ et B’ associés aux points A et B.
b) Vérifier que A’ et B’ appartiennent à un même cercle B’ de centre P, d’affixe i. Déterminer son
rayon et tracer B’.
 10 
c) Pour tout nombre complexe z ' 2, démontrer que |z′−i | =  z−2 .


d) Soit M un point d’affixe z appartenant au cercle B. Démontrer que |z′−i |= 2 5 .
e) En déduire à quel ensemble appartiennent les points M’ associés aux points M du cercle B.
4
EXERCICE 5 (1 point hors barème)
Exercice à traiter par tous les candidats.
n
On considère la suite définie pour tout entier n à 1 par un =
∑
1
= 1+
k
1
+
2
1
+…+
3
1
.
n
1
Ã
k
1
.
n
k=1
1) Démontrer que pour tout entier n à 1 on a : un à n .
Indication : on pourra d’abord remarquer que pour tout entier k entre 1 et n on a :
2) En déduire la limite de la suite (un ).
EXERCICE 6 (5 points)
Exercice à traiter uniquement par les candidats ayant choisi la spécialité mathématiques
et à rédiger sur une feuille à part.
Les exercices A et B suivants sont indépendants, et peuvent être traités dans n’importe quel ordre.
Exercice A
Soit A(n) = n 8+n 4+1, où n est un entier naturel.
On souhaite écrire A(n) comme produit de deux nombres toujours premiers entre eux.
1) Vérifier que A(n) = (n 4+n 2+1)(n 4−n 2+1).
2) Justifier que pour tout naturel n, les nombres n 4+n 2+1 et n 4−n 2+1 sont impairs.
3) Prouver que si d est un diviseur commun à n 4+n 2+1 et n 4−n 2+1, alors d divise 2n 2 et 2n 4+2.
4) Montrer que n 4+1 et n 2 sont premiers entre eux.
5) En déduire la valeur de PGCD(2n 2 , 2n 4+2).
6) Déduire des questions précédentes que n 4+n 2+1 et n 4−n 2+1 sont premiers entre eux.
Exercice B
Déterminer tous les entiers naturels x et y tels que PGCD(x , y) = 13 et x+2y = 117.
5
ANNEXE
Exercice 1
6
BAREME
Exercice 1 – 8 pts
Exercice 4 – 5 pts (en fait 5,25)
Partie A
1) 0,5
2) 0,5
3) 0,5
4) a) 0,5
b) 0,5
1) 0,5
2) a) 0,25
b) 0,25
c) 0,25
3) 0,75
4) 0,75
5) a) 0,5
b) 0,75
c) 0,5
d) 0,25
e) 0,5
Partie B
1) 1
2) 1
3) 1
Partie C
1) 1
2) 0,5
3) 0,5
4) 0,5
Exercice 5 – 1 pt (HB)
1) 0,75
2) 0,25
Exercice 2 – 5 pts (en fait 5,25)
1) 0,5
2) a) 0,25
b) 0,5
c) 0,75
d) 0,5
e) 0,75
f) 0,75
3) 0,5
4) 0,75
Exercice 3 – 2 pts
Exercice 6 – 5 pts
Exercice A
1) 0,25
2) 0,5
3) 0,5
4) 0,75
5) 0,5
Exercice B
1) a) 0,25
b) 0,5
c) 0,75
2) a) 0,5
b) 0,5
1) 1
2) 1
7