Calcul de la distance entre deux villes et de l`orientation des

Calcul de la distance entre deux villes et de l’orientation des cathédrales
Sommaire :
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1. Distance entre deux villes repérées par leurs latitudes et longitudes ............................ 1
2. Direction d’une ville depuis une autre .......................................................................... 2
3. Orientations des cathédrales .......................................................................................... 3
1. Distance entre deux villes repérées par leurs latitudes et longitudes
Hypothèse simplificatrice : la Terre est considérée comme une sphère parfaite.
z
Nord

n
OP  R  6370 km
  longitude
  latitude

e
P

O
Équateur
y

x
Sud
Soit P le point d’un lieu repéré par ( , ) . Définissons les vecteurs unitaires suivants :
Verticale du lieu :
Direction de l’est :
Direction du nord :
 cos cos  

 
v   cos sin  
 sin  


  sin  

 
e   cos  
 0 


  sin  cos  

 
n    sin  sin  
 cos



(1)
Les points P1 et P2 étant repérés par (1 ,1 ) et ( 2 , 2 ) :
Angle entre deux vecteurs-unités :
 
cos   v1  v2
(2)
Distance entre deux points :
(selon un grand cercle)
D  R
(3)
Les formules ci-dessus peuvent se programmer dans une feuille de calcul.
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Distance_entre_2_villes.doc / André Perrenoud
2
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Distance entre deux villes et orientation des cathédrales
2. Direction d’une ville depuis une autre
Hypothèse simplificatrice : la Terre est considérée comme une sphère parfaite de rayon R.
z

n
Nord

n

e Est
b
P1
P2
O
P1
P2


e
a
Équateur
y
x
Sud


Soit OP1  Rv1 et OP2  Rv2 .
 
Projection de v2  v1 sur la direction est :
  
a  (v2  v1 )  e
(4)
 
Projection de v2  v1 sur la direction nord :
  
b  (v2  v1 )  n
(5)
Direction de P2 depuis P1
selon un grand cercle :

b
2
a

b
   Arc tan
2
a

 Arc tan
si a  0 degré est
si a  0 degré ouest
Exemple :
Ville 1: longitude, latitude
Lausanne
Ville 2: longitude, latitude
Paris
Verticale 1
Verticale 2
Est de 1
Nord de 1
Angle entre 1 et 2
Distance entre 1 et 2 selon un grand
cercle
v2 - v1
a
b
Direction de 2 depuis 1
Direction de 2 depuis 1
6.64
2.35
0.683459
0.65744
-0.11555
-0.72078
3.7
46.52
Degré
48.85
Degré
0.07951 0.725645
0.02698 0.753024
0.993301
0
-0.08385 0.688069
Degré
412
-0.02602
-0.05253 0.027378
-0.04917
0.041997
130.5 Degré Est
49.5 Degré Ouest
3
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Distance entre deux villes et orientation des cathédrales
3. Orientations des cathédrales
3.1 La cathédrale de Lausanne est-elle orientée vers Jérusalem ?
Ville 1: longitude, latitude
Ville 2: longitude, latitude
Verticale 1
Verticale 2
Est de 1
Nord de 1
Angle entre 1 et 2
Distance entre 1 et 2 selon un grand
cercle
v2 - v1
a
b
Direction de 2 depuis 1
6.64
35.24
0.683459
0.694346
-0.11555
-0.72078
26.4
46.52
31.78
0.07951
0.490453
0.993301
-0.08385
2935
0.010887
0.410943
0.406932
-0.17924
113.8 Degré Est
Degré
Degré
Lausanne
Jérusalem
0.725645
0.52663
0
0.688069
Degré
km
-0.19902
Est
Source ; Google Earth
Orientation de la nef mesurée sur le plan : (98,1 ± 0.5)° (par rapport à la direction du nord)
Différence avec la valeur calculée : (15,7± 0.5)°
Les bâtisseurs ont probablement choisi d’orienter la nef dans la direction du lever du soleil le
premier jour du printemps.
4
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Distance entre deux villes et orientation des cathédrales
3.2 La cathédrale de Genève est-elle orientée vers Jérusalem ?
Ville 1: longitude, latitude
Ville 2: longitude, latitude
Verticale 1
Verticale 2
Est de 1
Nord de 1
Angle entre 1 et 2
Distance entre 1 et 2 selon un grand
cercle
v2 - v1
a
b
Direction de 2 depuis 1
6.15
35.24
0.688143
0.694346
-0.10709
-0.71763
26.6
46.20
31.78
0.074122
0.490453
0.994249
-0.0773
2956
0.006203
0.416331
0.413273
-0.1717
112.6 Degré Est
Degré
Degré
Genève
Jérusalem
0.721779
0.52663
0
0.692123
Degré
km
-0.19515
Est
Source ; Google Earth
Orientation de la nef mesurée sur le plan : (114.1± 0.5)°
Différence avec la valeur calculée : (1,5± 0.5)°
5
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Distance entre deux villes et orientation des cathédrales
3.3 La cathédrale de Paris est-elle orientée vers Jérusalem ?
Ville 1: longitude, latitude
Ville 2: longitude, latitude
Verticale 1
Verticale 2
Est de 1
Nord de 1
Angle entre 1 et 2
Distance entre 1 et 2 selon un grand
cercle
v2 - v1
a
b
Direction de 2 depuis 1
2.35
35.24
0.65744
0.694346
-0.041
-0.75239
30.0
48.85
31.78
0.02698
0.490453
0.999159
-0.03088
3332
0.036906
0.463473
0.46157
-0.19104
112.5 Degré Est
Degré
Degré
Paris
Jérusalem
0.753024
0.52663
0
0.657994
Degré
km
-0.22639
Est
Source ; Google Earth
Orientation de la nef mesurée sur le plan : (114.5± 0.5)°
Différence avec la valeur calculée : (-2,0± 0.5)°