Champ de gravitation - Poly

POLY-PREPAS
Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux
- Section Audioprothésiste / stage i-Prépa intensif -
70
Chapitre 8 : Champ de gravitation - Satellites
I.
Loi de gravitation universelle :
( Isaac Newton - 1686 )
D’après la 3ème Loi de Newton, deux corps A et B dont la répartition des masses est à symétrie
sphérique et dont la distance d’éloignement est grande devant leurs tailles, exercent l’un surl’autre des
⃗ / , de même direction, de même valeur, mais de sens opposés, telles que :
forces attractives ⃗ /
⃗
⃗
:
⃗
II.
-
/
/
= − ⃗
= − .
è
/
.
²
( )
à
.
,
⃗
= 6,67. 10
Référentiels usuels :
Héliocentrique : défini par le centre du Soleil et 3 étoiles loitaines fixes sur la voûte céleste ;
sert à étudier le mouvement des planètes du système solaire
Géocentrique : défini par le centre de laTerre et 3 étoiles lointaines fixes sur la vôute céleste ;
sert à étudier le mouvement des satellites de la Terre
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III.
Etude du mouvement d’un satellite en orbite circulaire autour de
la Terre :
Système : {le satellite S}
Référentiel : géocentrique considéré comme galiléen
Bilan des forces : force d’attraction gravitationnelle de la Terre sur le satellite ⃗
2ème Loi de Newton :
− .
éé
⃗
.
⃗
/
⃗=−
=
=
.⃗
.⃗ =
.
/
²
.⃗
.⃗
. ⃗
:
⃗ est dirigée dans le sens opposé à celui du vecteur ⃗, donc ⃗ est centripète, c’est-à-dire dirigée vers le
centre de la Terre
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La base de Frénet : elle est constituée de deux vecteurs, l’un tangent à la trajectoire (sens arbitraire),
l’autre normal à la trajectoire et orienté vers l’intérieur de la courbe
⃗
Dans cette base, l’accélération s’exprime par :
⃗
=
=
²
⃗ étant colinéaires, ⃗ est entièrement porté par ⃗
⃗
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
⇒
=
=
²
=
=0 ⇒
.
²
⇒
=
=
.
Le mouvement d’un satellite en orbite de la Terre est circulaire uniforme, de vitesse :
.
=
Remarques :
·
·
=
1
⇒ la vitesse diminue lorsqu’on s’éloigne de la planète, et augmente
lorsqu’on s’approche de sa surface.
Si l’on pose :
=
+ ℎ, avec h ∶ altitude du satellite par rapport à la surface de la Terre, on a ∶
.
(ℎ) =
73
+ ℎ
IV.
=
Période de révolution du satellite :
=
.
⟹
é
3ème Loi de Képler
V.
é∶
=
:
.
²=
.
² ²
=
.
²
=
Satellite géostationnaire :
Un satellite géostationnaire est un satellite qui se trouve en permanence à la verticale du même lieu ;
pour un observateur en ce lieu, le satellite paraît donc immobile. (⟹ satellites d'observation, de
télécommunications, de télédiffusion)
a) Conditions pour que le satellite soit géostationnaire :
·
·
·
·
Le mouvement du satellite doit se faire sur une trajectoire circulaire de centre le centre de la
Terre
La période du satellite géostationnaire doit coïncider avec celle de la rotation de la Terre sur
elle-même, soit : T = 24h = 24 × 3600 = 86400 (jour sidéral)
Le satellite doit tourner dans le même sens que la Terre
Le plan de rotation de la Terre doit être perpendiculaire à l’axe de rotation de la Terre et
contenir G, le centre de la Terre ⟹
é
Remarque : plan équatorial ≠ plan de l’écliptique : plan de l’orbite de la Terre autour du Soleil
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b) Altitude du satellite géostationnaire :
∶
=
∶ (
=
.
. .
4
+ ℎ) =
∶
Unités : T en secondes :
= 6,67. 10
SI
+ ℎ,
ù:
⟹
+ ℎ=
. .
4
ℎ=
/
(
)
=
. .
4
.
/
−
= 24 × 3600 = 86400
∶
= 5,98. 10
;
= 6378
= 6,378. 10
Application numérique : h = 3,5786.10
~ 36 000
c) Vitesse du satellite géostationnaire :
=
⟹
=
.(
)
⟹
=
.( ,
.
,
.
)
= 3074
.
~ 11 000
d) Conclusion :
Un satellite géostationnaire est en orbite dans le plan équatorial
à 36 000 km d’altitude
et tourne à une vitesse de 11 000 km/h
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/ℎ
e) Complément (Hors-Programme) : Mise en orbite d’un satellite géostationnaire
Lancement du satellite depuis Kourou sur une
orbite de transfert.
Le satellite décrit plusieurs révolutions sur
l'orbite de transfert.
Lors d’un passage à l’apogée, la mise à feu du
moteur d’apogée place le satellite sur une orbite
circulaire équatoriale à environ 36 000 km du
sol.
D'ultimes corrections de trajectoires rendent la
satellite géostationnaire. Il est mis
ultérieurement à poste à l’emplacement
souhaité.
VI.
Lois de Képler :
Les Lois de Képler sont des lois issues de l’observation du Système solaire, et décrivant les
propriétés principales du mouvement des planètes autour du soleil.
Ø 1ère Loi : Loi des orbites
Les planètes décrivent une ellipse dont l’un des foyers est le Soleil.
L'aphélie est le point de l'orbite le plus éloigné du Soleil (3 juillet pour nous)
Le périhélie est le point de l'orbite le plus rapproché du Soleil (3 janvier pour nous)
Aphélie et périhélie sont mesurés de la surface de la planète à la surface du Soleil (et non de centre à
centre)
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Remarque : pour la Terre on parle d’apogée et de périgée :
En réalité, à l'exception de Mercure, les ellipses que décrivent les centres de gravité des planètes ont
une très faible excentricité orbitale ; on peut approximer la trajectoire de toutes les autres planètes
à une trajectoire est quasi-circulaire.
⟹ De la 1ère loi, on déduit que le Soleil exerce sur une planète une force centripète (ou centrale, ou
radiale) sur le centre de gravité des planètes.
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Ø 2ème Loi : Loi des aires
A durée égale, aires balayées égales.
Si S est le Soleil et P une position quelconque d'une planète, l'aire balayée par le segment [SP] entre
deux positions P1 et P2 pendant la durée Dt, est égale à l'aire balayée par ce segment entre deux
positions P3 et P4 pendant la même dur ée Dt.
Conséquences :
·
·
la vitesse d'une planète devient donc plus grande lorsque la planète se rapproche du soleil ; est
maximale au voisinage du rayon le plus court (périhélie), et minimale au voisinage du rayon le
plus grand (aphélie).
Le mouvement des planètes en orbite elliptique n'est donc pas uniforme. Elles accélèrent
lorsqu'elles s'approchent du Soleil, ralentissent lorsqu'elles s'en éloignent
Ø 3ème Loi : Loi des périodes
Dans l’approximation circulaire des orbites des planètes autour du Soleil, on a, pour chaque planète
éloignée (centre à centre) d’une distance r par rapport au Soleil, et de période sidérale T :
=
=
.
(voir démonstration plus haut)
78
Remarques :
·
Les lois de Kepler ne sont pas seulement applicables aux planètes mais à chaque fois qu'une
masse se trouve en orbite autour d'une autre masse. C'est le cas, par exemple, de la Lune et de
la Terre ou d'un satellite en orbite autour de la Terre
·
ne dépend que de l’astre attracteur, pas de la masse de l’objet attiré ; en effet :
avec M : masse de l’astre attracteur
Les périodes de révolution s'accroissent lorsqu'on s'éloigne du Soleil
·
=
.
,
VII. Champ de gravitation terrestre :
a) Champ de gravitation terrestre :
⃗
→
.
= −
⃗=
⃗
−
⃗=
Par analogie avec le poids d’un corps dans le champ de pesanteur terrestre
⃗
→
=
. ⃗
en posant :
⃗=− .
. ⃗,
∶
⃗
Champ de gravitation créé par la Terre
en un point situé à un rayon r de son centre
Remarques :
·
·
Ce champ diminue rapidement avec l’éloignement ; il varie en 1
En particulier, en posant
=
²
+ ℎ, on a la valeur du champ gravitationnel à l′ altitude h ∶
( ) = .(
)
b) Champ surfacique :
on a la valeur du champ gravitationnel à l′ altitude h ∶
donc à la surface de la Terre, où h = 0, on a :
=
79
(ℎ) = . (
(ℎ = 0) = . (
)
)
= .
expression du champ surfacique :
Application numérique :
⟹
= .
= 9,8 ~
ï
est l’expression du champ de gravitation créé par la Terre à sa surface dans le repère
géocentrique,
g est l’expression du champ de pesanteur dans un référentiel terrestre
c) Expression du champ de gravitation en fonction du champ surfacique :
Or (ℎ) = . (
= .
)
=
.
.(
⇒ G.
)
=
=
.
.
.(
)
=
.(
expression du champ à l’altitude h en fonction du champ surfacique :
( )=
.
80
+
)
Exercices sur la Gravitation
exercice 1 :
La trajectoire d'un satellite est elliptique.
Son apogée a une altitude de 2967 km par rapport à la terre. Son périgée a une altitude de 806 km.
Le rayon terrestre est de 6380 km.
Le champ de gravitation au sol est 9,8 ms-2.
Déterminer la valeur du champ de gravitation crée par la terre au point d'apogée.
exercice 2 :
Titan décrit une orbite circulaire de période T et de rayon r autour de la planète Saturne. On admettra
que Titan et Saturne ont une répartition sphérique de masse.
satellite période T (en j) rayon de l'orbite r (en km)
Titan
1,222 106
15,94
G = 6,67 10-11 SI ; densité moyenne de Saturne : d = 0,69. (pour les solides : dsolide = rsolide)
Déterminer le diamètre (en km) de Saturne.
exercice 3 :
Un satellite de masse m est en orbite dans le vide sidéral autour de la Terre (masse M T et rayon RT)
1. On suppose que la seule force agissant sur le satellite est la force gravitationnelle de la Terre.
Quelles sont les autres forces négligées dans ce cas ?
2. Après avoir rappelé l’expression vectorielle de la force de gravitation terrestre agissant sur ce
satellite en fonction de MT, m, RT, G et h (altitude du satellite par rapport au sol) , montrer que
le mouvement est uniforme (on précisera le référentiel choisi).
3. En déduire une expression de la vitesse du satellite.
4. Calculer cette vitesse si h = 300 km.
5. Cette vitesse augmente-t’elle ou diminue-t’elle au fur et à mesure que le satellite s’éloigne des
environs de la Terre ? Justifier
6. On souhaite mettre ce satellite en orbite géostationnaire ; rappeler les conditions nécessaires à
une telle mise en orbite.
7. Etablir l’expression de l’altitude à laquelle il devra orbiter, ainsi que sa vitesse ; faire
l’application numérique
Masse de la Terre MT = 5,98.1024 kg ; rayon de la Terre RT = 6380 km ; G = 6,67.10-11 SI
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exercice 4 : Gravitation et satellite
Au cours de son exploration du système solaire, une sonde Voyager, de masse M = 2l00 kg, s'est
approchée d'une planète notée A. On a mesuré à deux altitudes différentes comptées à partir du sol de
cette planète la force de gravitation exercée par celle-ci sur la sonde soit:
altitude z1 = 8 499 km
F1 =13 236,51 N
altitude z2 = 250 000 km F2 =189,25 N
Données : masse de la Terre: MT = 5,98. 1024 kg ; Cte de gravitation K= 6,67. 10-11
Masses des planètes du système solaire: (la masse de la Terre étant prise égale à l'unité) :
Terre Mercure Vénus Mars Jupiter Saturne Uranus Neptune Lune
1
0,056
0,817 0,11 318
95,2
14,6
17
0,012
1. Parmi les unités écrites ci-dessous, laquelle ou lesquelles conviennent pour exprimer le champ
de gravitation?
N/m ; m.s² ; m/s ; N/kg ; kg/N ; kg/m² ; kg/m² ; m²/s² ; kg/m
2. Calculer le diamètre moyen de la planète A.(unité: 103 km)
50,5 ; 48,6 ; 12,1 ; 6,77 ; 138 ; 11,4 ; 4,88 ; 3,48
3. Quelle est l'intensité du champ de gravitation au niveau du sol de la planète A? (unité S.I)
1,66 ; 3,78 ; 8,62 ; 22,93 ; 11,48 ; 9,05 ; 7,84 ; 2,57
4. Quel est le nom de la planète A?
Mercure ; Vénus ; Lune ; Jupiter ; Saturne ; Mars ; Uranus ; Neptune
5. La planète A possède un satellite de rayon R =1350 km dont la période de révolution autour
de A (sur une trajectoire supposée circulaire) vaut TS = 5 j 2l h 03 min.
calculer la distance séparant le centre du satellite au centre de la planète A (unité 103 km)
18,8 ; 188 ; 353,8 ; 419,7 ; 253,8 ; 92,6 ; 543,6 ; 612,5
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