CORRECTION DU CORRECTION DU DEVOIR N°6 DE

CORRECTION DU DEVOIR N°6
N°6 DE MATHEMATIQUES
EXERCICE 1 QCM (5 points)
1) Le nombre ln(݁²) + ݁ est égale à :
□1+݁
█ࢋ+૛
□ 1 + ln(݁ + 1)
Réponse : ln(݁ ଶ ) + ݁ = 2 ln(݁) + ݁ = 2 × 1 + ݁ = 2 + ݁.
2) Pour tout réel ܽ > 0, ln(3ܽ) − ln(ܽ) est égale à :
█ ‫(ܖܔ‬૜)
□ ln(2ܽ)
□ 2ln(ܽ)
Réponse : ln(3ܽ) − ln(ܽ) = ln(3) + ln(ܽ) − ln(ܽ) = ln(3).
3) Le nombre −3 est solution de l’équation :
□ ݁ ୪୬(௫) = −3
□ ln(‫ = )ݔ‬− ln(3)
█ ‫ = ) ࢞ࢋ(ܖܔ‬−૜
Réponse : ln(‫ )ݔ‬n’est pas défini pour x=-3 donc les deux 1ères réponses ne conviennent pas, de plus
ln(݁ ିଷ ) = −3.
4) L’équation ln(‫ ݔ‬ଶ + ‫ ݔ‬+ 1) = 0 admet dans IR:
□ aucune solution
□ une solution
█ deux solutions
Réponse : ln(‫ݔ‬² + ‫ ݔ‬+ 1) = 0 ⟺ ln(‫ݔ‬² + ‫ ݔ‬+ 1) = ln(1) ⟺ ‫ݔ‬² + ‫ ݔ‬+ 1 = 1 ⟺ ‫ݔ‬² + ‫ = ݔ‬0 ⟺
‫ ݔ(ݔ‬+ 1) = 0.
5) Pour tous réels a et b strictement positifs, ln(ܾܽ) − ln(ܽଶ ) est égale à :
࢈
█ ‫ ܖܔ‬ቀࢇቁ
୪୬(௕)
□ ln(ܾ − ܽ)
□ ୪୬(௔).
௕
Réponse : ln(ܾܽ) − ln(ܽ²) = ln(ܽ) + ln(ܾ) − 2 ln(ܽ) = ln(ܾ) − ln(ܽ) = ln ቀ௔ቁ .
EXERCICE 2 Probabilités conditionnelles et tableau (4,5
(4,5 points)
Une classe européenne est composées de 20 filles, dont 12 étudient le russe et de 15 garçons, dont
8 étudient le russe. On choisit un élève au hasard dans la classe et on définit les événements
suivants :
‫ ܨ‬: « l’élève est une fille »
‫ ܩ‬: « l’élève est un garçon »
ܴ : « l’élève étudie le russe »
1) Tableau de probabilités : (1,5 point)
‫ܨ‬
12
35
8
ܲ(ܴത ∩ ‫= )ܨ‬
35
20
ܲ(‫= )ܨ‬
35
ܴ
ܲ(ܴ ∩ ‫= )ܨ‬
ܴത
TOTAL
૚૞
ഥ ) = . (0,5 point)
2) Donc ࡼ(ࡾ
૜૞
‫ܩ‬
8
35
7
ܲ(ܴത ∩ ‫= )ܩ‬
35
15
ܲ(‫= )ܩ‬
35
ܲ(ܴ ∩ ‫= )ܩ‬
TOTAL
20
35
15
ܲ(ܴത ) =
35
ܲ(ܴ) =
1
3) ܲி (ܴ) =
௉(ோ∩ி)
௉(ி)
=
భమ
యఱ
మబ
యఱ
=
ଵଶ
ଶ଴
= 0,6
Donc la probabilité que l’élève étude le russe sachant que c’est une fille est de 0,6 ce qui signifie que
60% des filles étudient le russe. (1,25 point)
௉(ோത∩ீ)
௉(ோത)
ܲோത (‫= )ܩ‬
=
ళ
యఱ
భఱ
యఱ
଻
= ଵହ ≈ 0,47
Donc la probabilité que l’élève soit un garçon sachant qu’il n’étudie pas le russe est d’environ
d’environ 0,47 ce
qui signifie que 47%
47% des élèves qui n’étudient
n’étudient pas le russe sont des garçons.
garçons. (1,25 point)
EXERCICE 3 Problème de synthèse (7 points)
Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.
Le comité d’entreprise d’une société parisienne souhaite organiser un week-end en province.
Une enquête est faite auprès des 1200 employés de cette entreprise afin de connaître leur choix en
matière de moyen de transport (les seuls moyens de transport proposés sont le train, l’avion ou
l’autocar).
Train
Avion
Autocar
TOTAL
Femme
468
196
56
720
Homme
150
266
64
480
TOTAL
618
462
120
1 200
PARTIE A
Les résultats de l’enquête sont répertoriés dans le tableau suivant.
On interroge au hasard un employé de cette entreprise (on suppose que tous les employés ont la
même chance d’être interrogé). On note les événements suivants :
‫ ܨ‬: « l’employé est une femme »
ܶ : « l’employé choisit le train »
1) Calculs de probabilités : (1,5 point)
଻ଶ଴
ܲ(‫ = )ܨ‬ଵଶ଴଴ = 0,6 : la probabili
probabilité que l’employé soit une femme est de 0,6.
଺ଵ଼
ܲ(ܶ) = ଵଶ଴଴ = 0,515 : la probabilité que l’
l’employé prenne le train est de 0,515.
ഥ ) = 1 − ܲ(ܶ) = 1 − 0,515 = ૙, ૝ૡ૞.
la probabilité que l’employé ne choisisse pas le train est ࡼ(ࢀ
ସ଺଼
2) ‫ ܶ ∩ ܨ‬est l’événement « l’employé est une femme qui choisit le train » : ܲ(‫ = )ܶ ∩ ܨ‬ଵଶ଴଴ = ૙, ૜ૢ.
(1 point)
3) L’employé interrogé au hasard ne choisit pas le train.
La probabilité que cet employé soit une femme est la probabilité de F sachant ܶത.
ࡼࢀഥ (ࡲ) =
௉(ி∩்ത)
௉(்ത)
=
ళమబషరలఴ
భమబబ
଴,ସ଼ହ
≈ ૙, ૝૜૜. (1,5 point)
PARTIE B
Après l’étude des résultats de l’enquête, le comité d’entreprise choisit le train comme moyen de
transport. Pour les employés inscrits à ce voyage, deux formules sont proposées :
Formule n°1 : voyage en 1ère classe + hôtel pour un coût de 150€ ;
Formule n°2 : voyage en 2ème classe + hôtel pour un coût de 100€.
40% des employés inscrits choisissent la formule n°1.
Le comité d’entreprise propose une excursion facultative pour un coût de 30€.
Indépendamment de la formule choisie, 80% des employés inscrits choisissent cette excursion.
On interroge au hasard un employé inscrit à ce voyage et on considère les événements :
ܷ : « l’employé inscrit choisit la formule n°1 »
‫ ܦ‬: « l’employé inscrit choisit la formule n°2 »
‫ ܧ‬: « l’employé inscrit choisit l’excursion facultative ».
1) Arbre pondéré : (1,5 point)
Ω
0,4
0,6
ܷ
‫ܦ‬
0,8
‫ܧ‬
ܷ∩‫ܧ‬
0,2
‫ܧ‬ത
ܷ ∩ ‫ܧ‬ത
0,8
‫ܧ‬
‫ܧ∩ܦ‬
0,2
‫ܧ‬ത
‫ܧ ∩ ܦ‬ത
2) Montrer que la probabilité que l’employé inscrit choisisse la formule n°2 et l’excursion
facultative est égale à 0,48 : on cherche ࡼ(ࡰ ∩ ࡱ).
ܲ(‫ܲ × )ܦ(ܲ = )ܧ ∩ ܦ‬஽ (‫ = )ܧ‬0,6 × 0,8 = ૙, ૝ૡ.
3) Question bonus.
Soit ‫ ܥ‬le coût total du voyage, excursion comprise.
a. Valeurs possibles que peut prendre C : (+1 point)
Les différents événements possibles sont donnés par l’arbre.
ܷ ∩ ‫ ܧ‬: le coût est de 150+30=180€.
ܷ ∩ ‫ܧ‬ഥ : le coût est de 150€.
‫ ∶ ܧ ∩ ܦ‬le coût est de 100+30=130€.
‫ܧ ∩ ܦ‬ത ∶ le coût est de 100€.
b. Loi de probabilité de C : (+1 point)
Coût C
100
ܲ(‫ܧ ∩ ܦ‬ത )=
Probabilité
0,6 × 0,2 = 0,12
130
ܲ(‫ = )ܧ ∩ ܦ‬0,48
150
ܲ(ܷ ∩ ‫ܧ‬ഥ ) =
0,4 × 0,2 = 0,08
180
ܲ(ܷ ∩ ‫= )ܧ‬
0,4 × 0,8 = 0,32
c. Espérance mathématique de cette loi : (+0,5 point)
‫ = ܧ‬100 × 0,12 + 130 × 0,48 + 150 × 0,08 + 180 × 0,32 = 144
L’espérance est de 144 donc en moyenne les employés paie
paieront 144€
144€ pour le voyage.
voyage.