Acoustique des salles

Chapitre 3. Acoustique des Salles
Yves Grenier
Dans ce chapitre, nous présentons les principaux outils permettant de décrire le comportement acoustique d’une salle. Nous rappellerons tout d’abord les équations de propagation en champ
libre, avant de nous intéresser à la propagation devant une paroi, étape intermédiaire nous permettant
ensuite de maîtriser la propagation en champ clos, ce qui correspond aux conditions présentes dans
toute salle.
Une caractérisation efficace du comportement d’une salle découle de l’acoustique géométrique, et en particulier sur le concept de source image. Nous conclurons ce chapitre avec quelques
mots sur les outils de mesure des réponses acoustiques, et les techniques de simulation qui fournissent une prédiction du comportement acoustique des salles.
1
Introduction
Pourquoi étudier l’acoustique des salles? Il y a d’abord le souci de comprendre comment réagit acoustiquement une salle, de comprendre ce qui fait la qualité d’une salle, ou sa médiocrité sur le
plan auditif. Au delà de cela, il y a le besoin de concevoir des locaux garantissant un bon environnement sonore. Comprendre les raisons pour lesquelles cet environnement est dégradé permet de caractériser et traiter les problèmes acoustiques dans les locaux (lieux publics, salles de spectacle,
habitations). On ne traitera d’ailleurs pas de la même manière un lieu destiné à la parole, par exemple
une salle de réunion, ou un théâtre, et un lieu destiné à la musique.
Dans un lieu destiné au spectacle, la question de la prise de sons, mais aussi de la sonorisation, se pose. Les théories de l’acoustique des salles nous enseignent la notion de réverbération et
celle de distance critique pour la prise de sons. L’acoustique géométrique nous aidera dans le placement des microphones, et des haut-parleurs, de façon à obtenir une clarté satisfaisante pour la musique, une intelligibilité pour la parole, en particulier en sonorisation.
Comprendre comme agit une salle nous permet aussi de définir des traitements numériques
du signal audio, et de concevoir ainsi à des outils de réverbération artificielle, qui sonnent naturellement. Les traitements visant à la déréverbération (encore plus qu’expérimentaux à ce jour) reposeront aussi sur ces connaissances.
2
Propagation en champ libre
Dans cette section, nous rappelons les principaux résultats sur la propagation des sons qui
sont nécessaires à l’étude de l’acoustique des salles.
2.1 Cas monodimensionnel
Dans le cas monodimensionnel, les coordonnées étant repérées par la position x et l’instant t ,
la pression sonore p ( x, t ) satisfait l’équation de propagation suivante:
PAMU/ACOUS
III-1
2
2
1 ∂p ∂p
-----2- 2 – 2 = 0
C ∂t
∂x
(III-1)
Il a été montré que la solution générale de cette équation s’obtient avec deux ondes se propageant en sens inverse toutes deux avec la célérité C :
p ( x, t ) = F ( Ct – x ) + G ( Ct + x )
(III-2)
2.2 Solution harmonique
On est amené à s’intéresser en priorité à la solution harmonique de ces équations, pour une
raison très simple: les équations de propagation sont linéaires, et les sinusoïdes forment une base de
fonctions propres des opérateurs linéaires invariants dans le temps. Dans ce cadre harmonique,
l’onde se propageant dans le sens des x croissants est:
p ( x, t ) = p m e
jk ( Ct – x )
= pm e
j ( 2πft – kx )
2πf
2π
C
avec k = -------- et λ = ------ = ---k
f
C
(III-3)
(III-4)
La variable k est appelée nombre d’onde, elle est l’inverse de la longueur d’onde, multiplié
par 2π . On est amené à définir la vitesse vibratoire, ou vitesse particulaire comme:
1 1 ∂p
k
p
u = – ---------- ----- = --------------p = ---------j2πf ρ 0 ∂ x 2πfρ 0
ρ0 C
(III-5)
Le rapport de la pression sur la vitesse vibratoire est l’impédance acoustique spécifique. Elle
est le produit de la densité ρ 0 par la célérité C :
Z = ρ0 C
(III-6)
L’intensité acoustique est définie comme la valeur moyenne de l’énergie transportée par
l’onde dans une direction donnée, par unité de surface et unité de temps. En écrivant cette énergie, on
voit qu’elle est le produit de la pressions acoustique p par la vitesse particulaire u . L’intensité
acoustique s’exprime donc de la manière suivante:
2
pm
I = ---------ρ0 C
(III-7)
2.3 Cas 3D
Dans l’espace à trois dimensions ( x, y, z ) , l’équation de propagation s’exprime de la manière
suivante:
2
2
2
2
1 ∂ p ∂ p ∂ p ∂ p
----2- 2 –  2 + 2 + 2  = 0
 ∂x
c ∂t
∂y
∂z 
PAMU/ACOUS
(III-8)
III-2
On a souvent à considérer le cas d’une onde sphérique. c’est le cas en particulier pour les
monopoles. L’équation des ondes s’écrit alors en coordonnées polaires sous la forme suivante:
2
2
2 ∂p
1∂p
-----+
=
2
r ∂ r C2 ∂ t2
∂r
∂p
(III-9)
Dans ce système de coordonnées polaires, la solution de l’équation de propagation s’écrit:
j ( 2πft – kr )
e
p ( r, t ) = p m -----------------------r
(III-10)
Dans le contexte tri-dimensionnel, pour des ondes planes, on s’intéresse ici aussi au cas particulier d’une onde harmonique, pour laquelle la solution de l’équation de propagation s’écrit:
p ( r, t ) = p m e
j ( 2πft – k.r )
(III-11)
Dans cette équation, les coordonnées sont repérées par la variable r = ( x, y, z ) , le nombre
d’onde est un vecteur à 3 composantes: k = ( k x, k y, k y ) , et la notation k.r désigne le produit scalaire des deux vecteurs k et r . Quand à la variable p m , elle représente la pression constante de
l’onde se propageant.
3
Propagation devant une paroi
Le premier problème à résoudre pour aborder l’acoustique d’une salle, et donc passer d’une
propagation en champ libre à une propagation en champ clos est: que se passe t’il au niveau d’une
paroi. L’expérience nous apprend que le son se réfléchit sur une paroi. Cette section va préciser ce
fait et en faire la théorie.
3.1 Réflexion et absorption
L’onde réfléchie diffère en amplitude et en phase de l’onde incidente. Le coefficient de
réflexion est défini comme le rapport de l’onde réfléchie sur l’onde incidente. Ce coefficient est donc
complexe:
R = Re
jγ
(III-12)
L’intensité acoustique réfléchie est proportionnelle au carré de ce coefficient de réflexion:
Ir = Ii R
2
(III-13)
L’intensité acoustique absorbée est la différence entre l’intensité acoustique de l’onde incidente, et l’intensité acoustique de l’onde réfléchie:
2
Ia = Ii ( 1 – R )
(III-14)
Au coefficient de réflexion R est ainsi associé un coefficient d’absorption α :
PAMU/ACOUS
III-3
2
α = (1 – R )
(III-15)
3.2 Réflexion en incidence normale
Dans un premier temps, nous allons considérer une onde incidente ayant une direction de propagation normale à la paroi, conformément à la Figure III-1. La paroi est placée à l’abscisse x = 0 ,
la propagation est ici monodimensionnelle.
Figure III-1. Réflexion d’une onde sonore incidente sur une paroi plane
3.2.1 Réflexion d’une onde harmonique
La résolution du problème se fera pour une onde harmonique. On passera ensuite au cas général. L’onde harmonique incidente a une pression acoustique décrite par l’Equation (III-16), tandis
que la vitesse vibratoire est définie par l’Equation (III-17):
p i ( x, t ) = p m e
j ( 2πft – kx )
p m j ( 2πft – kx )
u i ( x, t ) = ---------- e
ρ0 C
(III-16)
(III-17)
De manière analogue, l’Equation (III-18) décrit la pression sonore de l’onde harmonique
réfléchie par une paroi dont le coefficient de réflexion est R , tandis que l’Equation (III-19) décrit la
vitesse vibratoire, qui est non seulement multipliée par R , mais aussi changé de signe:
p r ( x, t ) = R p m e
j ( 2πft + kx )
p m j ( 2πft + kx )
u r ( x, t ) = – R ---------- e
ρ0 C
(III-18)
(III-19)
A la surface, on observe les deux ondes incidente et réfléchie. Pour définir l’impédance
acoustique de la paroi, il nous faut connaître pression et vitesse à l’abscisse x = 0 . L’Equation (IIIPAMU/ACOUS
III-4
20) et l’Equation (III-21) fournissent respectivement la pression et la vitesse:
p ( 0, t ) = pi ( 0, t ) + p r ( 0, t ) = pm ( 1 + R )e
j2πft
pm
j2πft
u ( 0, t ) = u i ( 0, t ) + u r ( 0, t ) = ---------- ( 1 – R )e
ρ0 C
(III-20)
(III-21)
3.2.2 Impédance de la paroi
Nous venons de déterminer pression et vitesse au niveau de la paroi. L’impédance acoustique
étant le rapport de la pression à la surface rapportée à la vitesse vibratoire normale à la surface, elle
est définie comme
ps
Z = ----un
(III-22)
Compte tenu des expressions de la pression et de la vitesse, l’impédance de la paroi a pour
valeur:
1+R
p ( 0, t )
Z = --------------- = ρ 0 C ------------1–R
u ( 0, t )
(III-23)
On voit que l’impédance est une fonction simple du coefficient de réflexion R . Réciproquement, le coefficient de réflexion s’écrit en fonction de l’impédance acoustique Z , ou de l’impédance
acoustique réduite ζ ( ζ = Z ⁄ ρ 0 C ) comme:
Z – ρ0 C
ζ–1
R = ------------------- = -----------Z + ρ0 C
ζ+1
(III-24)
En fonction de l’impédance et du coefficient de réflexion, nous pouvons considérer trois
types de parois. La paroi rigide a un coefficient de réflexion de 1 et une impédance infinie:
R = 1 et Z = ∞
(III-25)
La paroi élastique se situe à l’autre extrême. L’impédance acoustique est nulle, et la réflexion
est totale, avec un retournement de la phase:
R = – 1 et Z = 0
(III-26)
La situation intermédiaire de la paroi absorbante correspond à une impédance acoustique
égale à l’impédance du milieu. Il n’y a aucune réflexion:
R = 0 et Z = ρ 0 C
(III-27)
3.3 Réflexion en incidence oblique
La réflexion que nous venons de voir s’effectue en incidence normale. Lorsque le front
PAMU/ACOUS
III-5
d’onde attaque la surface suivant une direction de propagation faisant un angle avec cette paroi, on se
situera en incidence oblique. La Figure III-2 montre une telle réflexion, en supposant que cette
réflexion est purement spéculaire (comme sur un miroir). Ceci exclut la diffusion qui serait due au
matériau.
L’onde a une direction d’incidence qui fait un angle θ avec la normale à la paroi. On se place
dans le plan contenant la direction d’arrivée et la normale à la paroi. La réflexion se fait suivant une
direction symétrique de la direction d’arrivée par rapport à la normale. Les vitesses de propagation
ont deux composantes, l’une normale à la paroi (indexée par x ), l’autre parallèle à la paroi (indexée
par y ). La vitesse de l’onde incidente se décompose donc suivant:
ui = ( ui )x + ( ui )y
(III-28)
La vitesse de l’onde réfléchie se décompose de manière analogue:
ur = ( u r )x + ( u r )y
(III-29)
Figure III-2. Réflexion de type spéculaire (sans diffusion).
La vitesse de l’onde réfléchie est celle de l’onde incidente multipliée par le coefficient de
réflexion R .
3.3.1 Réflexion d’une onde harmonique en incidence oblique
En régime harmonique, pour l’onde incidente, la pression et la vitesse s’écrivent:
pi = pm e
– jk [ x cos ( θ ) + y sin ( θ ) ]
pm
– jk [ x cos ( θ ) + y sin ( θ ) ]
( u i ) x = ---------- cos ( θ ) e
ρ0 C
PAMU/ACOUS
(III-30)
(III-31)
III-6
Pour l’onde réfléchie, les mêmes quantités deviennent:
p r = Rp m e
– jk [ – x cos ( θ ) + y sin ( θ ) ]
(III-32)
pm
– jk [ – x cos ( θ ) + y sin ( θ ) ]
( u r ) x = – R ---------- cos ( θ ) e
ρ0 C
(III-33)
3.3.2 Impédance acoustique en incidence oblique
On obtiendra l’impédance acoustique de la paroi en faisant le rapport, au niveau de cette paroi
( x = 0 ) de la pression sur la vitesse:
ρ0 C 1 + R
Z = ----------------  -------------
cos ( θ ) 1 – R
(III-34)
La relation peut s’inverser pour exprimer le coefficient de réflexion en fonction de l’impédance acoustique Z , ou de l’impédance acoustique réduite ζ :
Z cos ( θ ) – ρ 0 C
ζ cos ( θ ) – 1
R = ------------------------------------ = ----------------------------Z cos ( θ ) + ρ 0 C
ζ cos ( θ ) + 1
(III-35)
2
La Figure III-3 montre la variation du coefficient d’absorption α = ( 1 – R ) en fonction de
l’angle θ pour deux parois d’impédance acoustique réduite ζ = 3 et ζ = 1 ⁄ 3 .
Figure III-3. Coefficient d’absorption de parois d’impédance ζ = 3 et ζ = 1/3 , en fonction de
l’angle d’incidence
Devant la paroi ( x ≠ 0 ), le calcul est un peu plus compliqué.
PAMU/ACOUS
III-7
3.4 Champ diffus
Nous pouvons maintenant calculer l’effet d’une paroi sur un champ diffus, c’est à dire un
ensemble d’ondes se propageant dans toutes les directions.
3.4.1 Directions d’incidence uniformément distribuées
Nous allons considérer que les ondes incidentes ont une direction d’incidence qui est aléatoire, les directions étant uniformément distribuées. La Figure III-4 permet de définir les paramètres
géométriques de la réflexion. Les incidences restent repérées par leur angle θ relativement à la normale. L’angle ϕ mesurera l’azimut autour de la normale. Un élément de surface sur la paroi sera
repéré par dS , et les réflexions ou incidences seront mesurées dans un angle solide dΩ
Figure III-4. Coordonnées pour une incidence sur un élément de surface dS avec un angle polaire θ
et un azimut de ϕ
L’angle solide dΩ se mesurera comme:
dΩ = sin ( θ ) dθ dϕ
(III-36)
Nous pouvons déterminer tout d’abord la pression au voisinage de la paroi dans l’hypothèse
où cette paroi est parfaitement rigide ( R = 1 ). Nous utiliserons l’hypothèse que les pressions engendrées par les ondes dont les angles d’arrivée sont dans deux angles solides disjoints s’additionnent de
manière incohérente. Par conséquent l’énergie totale reçue sera la somme des énergies reçues dans
tous les angles solides élémentaires. L’énergie étant proportionnelle au carré de la pression, nous calculerons l’intégrale du carré de la pression. Commençons par calculer le carré de cette pression en un
point d’abscisse x pour une onde provenant de l’angle θ . L’Equation (III-30) et Equation (III-32)
donnent respectivement la pression de l’onde incidente et celle de l’onde réfléchie au point ( x, y ) .
La pression en ce point est la somme des deux contributions, soit:
p ( x, y, θ ) = p m e
– jky sin θ
(e
– jkx cos θ
+ Re
jkx cos θ
)
(III-37)
Le carré du module de la pression vaut donc:
p ( x, θ )
2
= pm
PAMU/ACOUS
2
cos ( kx cos θ ) + R cos ( kx cos θ ) – j ( sin ( kx cos θ ) – R sin ( kx cos θ ) )
2
III-8
2
2
2
2
p ( x, θ )
2
= p m [ ( 1 + R ) cos ( kx cos θ ) + ( 1 – R ) sin ( kx cos θ ) ]
p ( x, θ )
2
= p m [ ( 1 + R ) + 2R ( cos ( kx cos θ ) – sin ( kx cos θ ) ) ]
p ( x, θ )
2
2
2
2
2
2
2
2
= p m [ 1 + R + 2R cos ( 2kx cos θ ) ]
Finalement, pour une paroi rigide ( R = 1 ), on trouve l’expression du carré de la pression au
point x , pour une onde incidente de direction θ :
p ( x, θ )
2
2
= 2p m [ 1 + cos ( 2kx cos ( θ ) ) ]
(III-38)
Il nous reste à intégrer cette expression pour tous les angles solides situés devant la paroi, soit
l’intégrale suivante:
2 1
2
〈 p ( x ) 〉 = 2p m -----2π
π/2
2π
∫0
dϕ
∫0
[ 1 + cos 2kx cos θ ] sin θ dθ
(III-39)
2
sin ( 2kx )
= 2 p m  1 + ---------------------

2kx 
2
La Figure III-5 montre cette courbe, normalisée par la pression p m . On y remarque que la
2
pression loin de la paroi est de l’ordre de p m , alors qu’à une distance petite devant la longueur
d’onde, la pression double.
Figure III-5. Distribution de la pression devant une paroi parfaitement réfléchissante pour une incidence aléatoire uniforme.
3.4.2 Application: microphones à effet de surface
La distribution de la pression devant une paroi parfaitement réfléchissante, pour une incidence aléatoire uniforme, fait apparaître un gain de 3 dB. Ce phénomène est utilisé pour améliorer la
PAMU/ACOUS
III-9
sensibilité de certains microphones. Il s’agit des microphones dits «à effet de surface», ou «boundary
layer microphones».
Ces microphones se présentent comme une capsule microphonique incluse dans un plaque
rigide, que l’on pose sur un support plan, par exemple une table. La Figure III-6 montre un tel microphone (modèle BLM3 de Schoeps). Ils ont une directivité hémisphérique, et reçoivent donc le son
avec un gain constant dans toutes les directions situées au dessus du plan du capteur.
Figure III-6. Microphone Schoeps BLM3, en haut sans amplificateur, en bas avec son préamplificateur (source: Schoeps)
4
Propagation en champ clos
Après avoir étudié la propagation du son au voisinage d’une paroi, nous sommes maintenant
en mesure d’étudier cette propagation dans un espace clos, ce qui constitue véritablement l’objet de
l’acoustique des salles. La propagation dans une salle se caractérise par des modes. ceux-ci se calculent bien dans le cas d’une salle parallélépipédique.
4.1 Solution formelle pour un champ harmonique
Dans une pièce quelconque, on peut établir de manière formelle la solution de l’équation de
propagation, pour un champ harmonique. En tout point de la salle, le champ doit satisfaire l’équation
de propagation:
2
∆p + k p = 0
(III-40)
Une solution de cette équation de propagation devra, pour être retenue, vérifier de plus des
conditions aux limites. Ces conditions précisent le comportement des ondes au niveau des parois. La
réflexion est déterminée par l’impédance acoustique des parois. Nous supposerons que cette impéPAMU/ACOUS
III-10
dance dépend de la fréquence, mais pas de l’angle d’incidence des ondes. La vitesse particulaire au
niveau des parois a sa composante normale qui est reliée à la pression par l’impédance acoustique de
la paroi. Conformément à l’Equation (III-5) (définition de la vitesse particulaire), on a:
j ∂p
1
u n =  – ---------------- grad(p) n = ------------- j2πfρ 0
2πfρ 0 ∂ n
(III-41)
En faisant intervenir l’impédance acoustique Z de la paroi, on obtient la condition aux limites
sur la paroi comme étant:
p
u n = --Z
⇒
Z
∂p
+ j2πfρ 0 p = 0
∂n
(III-42)
En utilisant l’impédance réduite, la condition aux limites s’écrit:
(III-43)
∂p
+ jkp = 0
∂n
(III-44)
ζ
Dans la cas général, on ne peut pas donner une solution explicite de l’équation de propagation
avec la condition aux limites. On peut cependant montrer que la solution n’existe que pour des
valeurs discrètes de k . Ces valeurs k n (il y en a une infinité dénombrable) sont appelées valeurs propres, et les solutions qui leur correspondent p n ( r ) sont les fonctions propres. On désignera aussi le
couple formé par une valeur propre et la fonction associée sous le nom de mode propre. Les modes
propres ont une propriété d’orthogonalité:
 k si n = m
p n ( r )p m ( r ) dV =  n
 0 si n ≠ m
V
∫
(III-45)
4.2 Excitation par des sources
Les modes propres correspondent à une solution libre de l’équation de propagation, sans excitation. Si nous excitons maintenant la salle par des sources, la solution de l’équation de propagation
peut se calculer à partir des modes propres. Supposons tout d’abord que nous avons une densité de
sources: q ( r ) . L’équation de propagation s’écrit maintenant:
2
∆p + k p = – j2πfρ 0 q ( r )
(III-46)
Nous pouvons utiliser l’ensemble des fonctions propres comme base de l’espace des solutions. Nous décomposons la densité de sources q ( r ) sur cette base, avec comme composantes c n .
De même, nous décomposons la solution p ( r ) avec ses composantes d n :
∞
q(r) =
∑ cn pn ( r )
n=0
∞
et
p(r) =
∑ dn pn ( r )
(III-47)
n=0
L’Equation (III-45), conjointement à l’Equation (III-47) permet de déterminer les valeurs des
PAMU/ACOUS
III-11
composantes:
∫
∫
V
V
1
1
c n = ----- q ( r )p n ( r ) dV et d n = ----- p ( r )p n ( r ) dV
kn
kn
(III-48)
L’équation de propagation (Equation (III-46)) devient:
∞
∞
∑ dn ( ∆pn ( r ) + k pn ( r ) ) = –j2πfρ0 ∑ cn pn ( r )
2
n=0
(III-49)
n=0
2
Les modes propres vérifient ∆p n ( r ) = – k n p n ( r ) , ce qui conduit à:
∞
∞
∑ dn ( ( k
2
2
– k n )p n ( r ) ) = – j2πfρ 0
n=0
∑ cn pn ( r )
(III-50)
n=0
puis, en utilisant l’orthogonalité de la base des fonctions propres à:
cn
d n = j2πfρ 0 --------------2
2
k – kn
(III-51)
On voit dans cette équation s’exprimer le phénomène de résonance associé aux modes. La
réponse à une excitation est constituée de la superposition de tous les modes. L’amplitude d n du
mode n dans la réponse est bien entendu proportionnelle à l’amplitude c n de ce mode dans l’excitation, mais le coefficient de proportionnalité est d’autant plus fort que le nombre d’onde k de l’excitation (harmonique) est proche de la valeur propre k n .
4.3 Excitation par une source ponctuelle
Pour une source ponctuelle, la réponse peut être précisée, en représentant la source comme
une distribution de Dirac:
q ( r ) = Qδ(r – r 0)
(III-52)
En utilisant l’Equation (III-48), on voit que les composantes c n sur la base sont donc simplement:
1
c n = ----- Qp n(r 0)
kn
(III-53)
On en déduit par l’Equation (III-51) la valeur de d n , puis par l’Equation (III-47) l’expression
de la solution:
p(r) = jQ2πfρ 0
p n(r)p n(r 0)
∑ -------------------------2
2
k (k – k )
n
PAMU/ACOUS
(III-54)
n
III-12
Cette solution fait apparaître la fonction de Green (ou réponse impulsionnelle) de la pièce. On
remarque en particulier la réciprocité de la solution entre r et r 0 : la solution au point r à une excitation ponctuelle en r 0 est identique à la solution au point r 0 à une excitation en r .
Si la source n’est plus sinusoïdale, sa transformée de Fourier conduira à Q ( f ) , et la fonction
de Green sera la réponse en fréquence du canal acoustique entre r et r 0 .
4.4 Vibration d’une salle parallélépipédique
Nous pouvons écrire explicitement la solution ses équations de propagation quand la salle a
une géométrie simple (toujours dans la cas harmonique). C’est le cas dans une salle parallélépipédique de dimensions L x , L y , L z , où la solution devient séparable:
p ( x, y, z ) = p 1 ( x )p 2 ( y )p 3 ( z )
avec
2
2
2
2
k = kx + ky + kz
(III-55)
où chacun des trois termes doit vérifier une équation de propagation monodimensionnelle:
2
d p1
dx
2
2
+ kx p1 = 0
(III-56)
2
d p2
dy
2
2
+ ky p2 = 0
2
d p3
dz
2
2
+ kz p3 = 0
Si les murs sont rigides ( R = 1 et donc ζ = ∞ ), chacune des trois fonctions doit vérifier les
conditions aux limites suivantes:
dp 1
= 0
dx
pour
x = 0 et x = L x
dp 2
= 0
dy
pour
y = 0 et y = L y
dp 3
= 0
dz
pour
z = 0 et z = L z
(III-57)
La solution générale de l’équation de propagation monodimensionnelle est une onde sinusoïdale, qu’on écrira sous la forme suivante pour la solution suivant l’axe des x :
p 1 ( x ) = A x cos ( k x x ) + B x sin ( k x x )
(III-58)
Cette solution n’est compatible avec les conditions aux limites que sous la forme:
PAMU/ACOUS
III-13
x
p 1 ( x ) = A x cos πn x ----Lx
(III-59)
c’est-à-dire avec un nombre d’onde k x vérifiant:
nx π
k x = -------- .
Lx
(III-60)
Ceci conduit aux modes propres de la salle, en regroupant les solutions suivant les trois axes.
4.5 Modes propres
En regroupant les trois solutions séparées, conformément à l’Equation (III-55), on vérifie que
la pièce est caractérisée par des modes propres. Les valeurs propres sont:
k nx ny nz
nx 2
ny 2
nz 2
= π  ----- +  ----- +  -----
Lx
Ly
Lz
1
--2
(III-61)
Elles correspondent aux fréquences propres:
C
f nx ny nz = ------k n x n y n z
2π
(III-62)
n y πy
n z πz
n x πx
p nx ny n z ( x, y, z ) = G cos  ----------- cos  ----------- cos  -----------
 Lx 
 Ly 
 Lz 
(III-63)
Les fonctions propres sont:
Cette expression représente une onde stationnaire en 3 dimensions, qui s’annule sur 3 ensembles de plans nodaux espacés respectivement de L x ⁄ n x , L y ⁄ n y et L z ⁄ n z . A partir de cette observation, on peut calculer la densité des modes dans une bande de fréquence donnée. ceci sera fait dans
un exercice. Ce calcul se généralise au cas où les murs ne sont pas rigides.
4.6 Amortissement des modes
Nous avions calculé (Equation (III-54)) la réponse en fréquence d’une salle, c’est-à-dire la
réponse en un point r à une excitation ponctuelle d’amplitude Q émise au point r 0 . Nous rappelons
ci-dessous cette expression:
∞
p(r) = jQ2πfρ 0
pn(r)p n(r 0)
∑ -------------------------2
2
k (k – k )
n=0
n
(III-64)
n
Cette expression dépend de la fréquence f (soit directement, soit par l’intermédiaire du nombre d’onde k ) Par transformée de Fourier inverse de cette expression, on reconstitue la réponse
impulsionnelle:
PAMU/ACOUS
III-14
∞
∑
g ( t ) = 2πU ( t )
an e
–βn t
sin ( 2πf n t )
(III-65)
n=0
Dans cette expression, on voit apparaître chaque mode n avec une amplitude a n , une fréquence f n , et un amortissement β n . Excitée par un signal qui devient nul pour t > 0 , la salle répond
avec
∞
h ( t ) = 2πU ( t )
∑ cn e
–βn t
cos ( 2πf n t – ψ n )
(III-66)
n=0
où les coefficients d’amplitude c n et de phase ψ n dépendent à la fois du signal d’excitation et
de la réponse g ( t ) . On voit donc que l’amortissement des modes influe sur la manière dont le son
s’éteint dans une salle donnée. Si nous observons la décroissance de l’énergie, nous pourrons caractériser la réverbération d’une salle. L’énergie de la réponse temporelle h ( t ) décroît comme:
∞
2
w( t) = 〈 h(t ) 〉 =
∑ cn e
2 – 2β n t
(III-67)
n=0
Dans cette expression, nous retrouvons les termes d’amortissement des modes, simplement
pondérés par les coefficients c n .
4.7 Temps de réverbération
Figure III-7. Définition du temps de réverbération (Sabine)
Nous avons dit précédemment que la réverbération d’une salle se mesurait par la manière
dont le sons s’éteint dans la salle après que la source sonore cesse d’émettre. Dans la théorie de
PAMU/ACOUS
III-15
Sabine, le temps de réverbération d’une salle est défini comme le temps T 60dB que met la réverbération (au sens de la réponse libre de la salle une fois que la source sonore s’arrête) pour diminuer de
60 dB:
– 60 = 10 log ( e
– 2βT 60dB
)
(III-68)
où β mesure l’amortissement moyen. La Figure III-7 illustre cette définition du temps de
réverbération d’une salle. On peut effectivement mesurer ce temps en mettant en place une expérience dans laquelle on excite une salle avec un bruit qui sera un bruit blanc large bande, un bruit
blanc dans une bande de un octave, un bruit blanc dans une bande d’un tiers d’octave, voire un bruit
rose. Le bruit rose a une densité spectrale en 1 ⁄ f ce qui lui donne une décroissance de 3 dB par
octave. On dit parfois du bruit rose qu’il a la même énergie dans chaque octave, mais ceci prête à
confusion. La mesure du temps de réverbération se fait simplement en mesurant le temps qui
s’écoule entre le moment où l’on coupe le générateur de bruit, et le moment où l’énergie est réduite à
un millionième de ce qu’elle était. Nous reviendrons sur d’autre manières de caractériser la réponse
d’une salle et son temps de réverbération, mais nous allons d’abord étudier la réponse d’une salle par
une autre approche qui nous donnera une description plus concrète de cette réponse.
5
Acoustique géométrique
Dans cette section, nous allons décrire la propagation des sons dans une salle en utilisant des
concepts géométriques. Principalement, nous nous servirons des résultats établis dans la section
“Propagation devant une paroi”, page III-3, en effet nous nous intéresserons essentiellement aux trajets du sons dans ses multiples réflexions.
5.1 Lancer de rayons
La technique du lancer de rayons permet de reconstituer la propagation du son à partir d’une
source ponctuelle. La propagation d’un front d’onde qui était sphérique tant qu’une paroi n’était pas
atteinte, devenait très compliquée dès que le front d’onde frappait une paroi. La technique de lancer
de rayons consiste à remplacer le front d’onde par les vitesses de propagation, et donc de suivre le
rayon que parcourt un vecteur vitesse. D’une source on lance donc un très grand nombre de rayons,
et on suit la propagation de ces rayons. En un point où l’on veut connaître la réponse de la salle, on
«écoute» le passage des rayons. Chaque rayon passant en ce point (en fait dans un très petit volume
entourant ce point) fournira une contribution élémentaire à la réponse impulsionnelle, sous la forme
d’une impulsion de Dirac, dont le temps d’arrivée est la distance parcourue par ce rayon, divisée par
la célérité du son, et dont l’amplitude est calculée à partir de la distance parcouru (atténuation inversement proportionnelle à la distance) et des réflexions subies (avec pour chacune une absorption due
à la paroi).
La technique de lancer de rayons suivant le rayon depuis la source suppose de lancer un très
grand nombre de rayons afin de simuler de manière réaliste le réponse en un point. elle est très générale, mais ne donne pas beaucoup d’indications sur la manière dont se constitue effectivement la
réponse impulsionnelle. Une amélioration substantielle de cette technique intervient lorsqu’on est en
mesure de déterminer quels sont les rayons qui parviendront effectivement au point de mesure
depuis la source. C’est ce que permet de faire l’acoustique géométrique.
PAMU/ACOUS
III-16
5.2 Sources images
5.2.1 Image dans une réflexion spéculaire
Le point de départ de l’acoustique géométrique est de représenter la réflexion des ondes sur
une surface plane comme une réflexion optique sur un miroir. Ceci conduit au concept de source
image. On voit dans la Figure III-8 une source A à partir de laquelle sont lancés plusieurs rayons.
Ces rayons se réfléchissent sur une paroi et se propagent après la réflexion comme si ils avaient été
émis par une source située en A’, symétrique de A par rapport au plan de la paroi. Celui des rayons
qui parvient au point de mesure B est donc le rayon qui a frappé la paroi au point où le segment A’B
rencontre cette paroi. On voit donc que l’on peut remplacer le rayon réellement émis de puis le point
A par un rayon émis depuis le point A’. Dans le calcul de l’atténuation, il faudra tenir compte de la
traversée de la paroi par le rayon A’B comme si il s’agissait d’une réflexion sur la paroi, avec le coefficient de réflexion R associé.
Figure III-8. Construction d’une source image
5.2.2 Réflexions diffuses
Si les rayons sont diffusés, le concept de source miroir ne s’applique plus, il faut tenir compte
des angles d’incidence dans le lancer de rayons. La Figure III-9 illustre une diffusion idéale. Le
rayon incident est réfléchi dans toutes les directions, avec une amplitude qui dépend de l’angle du
rayon après la réflexion.
5.2.3 Sources images d’ordres supérieurs
Dans une salle, les rayons se réfléchissent sur plusieurs parois durant leur trajet depuis une
source jusqu’à un récepteur. Un rayon provenant d’une source image (symétrique de la source par
rapport au plan de la première paroi sur laquelle le rayon se réfléchit) va se réfléchir sur une
deuxième paroi. Après cette deuxième réflexion, le rayon se propage comme si il provenait d’une
deuxième source image, symétrique de la première source image par rapport au plan de la deuxième
PAMU/ACOUS
III-17
paroi. On utilisera donc les images des sources images, et ceci de manière itérative... Ceci revient à
«déplier» infiniment la salle en ajoutant son symétrique par rapport à chaque paroi.
Figure III-9. Modèle de diffusion idéale lors d’une réflexion
La Figure III-10 illustre ce dispositif en deux dimensions (en réalité, il se déroule suivant les
trois dimensions). La zone grisée centrale représente la salle, avec une source représentée par un
point plutôt sur la gauche de la salle. Dans les réflexions successives, la pièce est tantôt translatée,
tantôt retournée et translatée, ce qui fait que les images de la source apparaissent tantôt à gauche, tantôt à droite, suivant la parité du nombre de réflexions. Les rayons parvenant au récepteur entre les
instants t et t + dt sont ceux qui ont été émis par les sources images situées à une distance comprise
entre R et R + dR avec R = Ct et dR = C dt .
Figure III-10. Sources images pour une pièce rectangulaire.
5.3 Distribution temporelle des réflexions
La répartition des sources images permet de mieux comprendre comment est constituée la
réponse impulsionnelle d’une salle. Elle s’obtient en addition les réponses de toutes les sources imaPAMU/ACOUS
III-18
ges. On est amené à les répartir en trois groupes, qui sont respectivement le trajet direct, les
réflexions précoces, et enfin le champ diffus. La Figure III-11 montre la répartition des temps d’arrivée des premières réflexions, et la décroissance de leurs amplitudes.
5.3.1 Trajet direct
Le trajet direct est celui qui relie la source et le capteur, sans aucune réflexion. Le seul élément intervenant dans la réponse au niveau de ce trajet direct est la distance source-capteur. Le trajet
direct correspond à la première impulsion visible dans la réponse. Le temps d’arrivée de cette contribution est la distance source-capteur divisée par la célérité du son. L’atténuation est en 1 ⁄ d , c’est-àdire inversement proportionnelle à la distance source-capteur.
Figure III-11. Arrivée des réflexions pour une pièce de 40m x 25m x 8m, si le trajet direct correspond
au temps t=0.
5.3.2 Réflexions précoces
Les sources images les plus proches correspondent à des réflexions d’ordre 1 ou 2 sur les
parois. Leur contribution à la réponse impulsionnelle suit immédiatement la contribution du trajet
direct. On peut encore les lire séparément (par exemple sur le début de la réponse impulsionnelle de
la Figure III-16).
5.3.3 Réverbération, champ diffus
Après les premières réflexions, le nombre de sources images intervenant dans chaque intervalle de temps [t,t + dt] croît très rapidement, mais ces réflexions sont de plus en plus atténuées, ce
qui donne à la suite de la réponse une allure très aléatoire, sur laquelle on voit clairement la décroissance exponentielle de la réponse. Cette partie de la réponse correspond au champ réverbéré, qu’on
qualifie aussi de champ diffus, car la diffusion sur les murs intervient fortement dans cette partie de
la réponse. Le modèle des sources images n’incorpore pas de diffusion, et considère uniquement des
réflexions spéculaires. En réalité, la diffusion contribue à brouiller l’ensemble des sources images, et
en faire un champ continu simplement renforcé aux endroits des sources images.
6
Caractérisation de la réponse d’une salle
Dans cette section, nous étudions comment se mesure la réponse impulsionnelle d’une salle.
Il nous faudra pour cela placer un source et un capteur, ce qui nous permet de mesurer le canal acousPAMU/ACOUS
III-19
tique que représente la salle entre ces deux points.
6.1 Mesure de la réverbération
6.1.1 Mesure directe du temps de réverbération
Historiquement, la caractérisation d’une salle s’est d’abord faite en excitant la réponse de la
salle par une impulsion de Dirac pour accéder directement à la réponse impulsionnelle. ceci se faisait
par l’emploi d’un pistolet tirant à blanc dans la salle. Outre les éventuels problèmes de répétition de
l’expérience, on comprend qu’elle était assez agressive pour les opérateurs.
On n’emploie plus cette méthode. La méthode moderne a déjà été décrite plus haut: excitation
par bruit rose, analyse par octave de la décroissance de l’énergie après l’instant de suppression du
bruit d’excitation.
6.1.2 Mesure indirecte
On privilégie maintenant des méthodes indirectes de caractérisation d’une salle. Ceci veut
dire que l’on estime la réponse impulsionnelle de la salle, et que c’est ensuite qu’on en déduit les
caractères de la salle
Nous verrons plus loin (section 6.2) comment s’effectue l’estimation de la réponse (excitation
par une séquence pseudo-aléatoire, échantillonnage du signal de réponse à cette excitation, déconvolution pour extraire la réponse impulsionnelle).
La caractérisation de la réponse impulsionnelle peut se faire en mesurant un certain nombre
de paramètres: l’amplitude maximale de la réponse ce qui correspond à la première arrivée, durée du
trajet direct, temps d’arrivée des réflexions précoces. L’accès au temps de réverbération se fait en
général à partir de la courbe de décroissance de l’énergie, appelée EDC pour «Energy Decay
Curve».La courbe de décroissance de l’énergie permet d’accéder à la durée des réflexions précoces,
à la clarté, au temps de réverbération.
La courbe de décroissance de l’énergie C ( t ) se définit comme l’énergie de la réponse impulsionnelle depuis l’instant t jusqu’à la fin de la réponse, théoriquement à t → ∞ . On la mesure en
décibels:
∞
C ( t ) = 10 log
∑ h( τ)2
(III-69)
τ=t
La Figure III-12 montre l’allure typique de la courbe de décroissance de l’énergie. On la normalise en général de manière que C ( 0 ) = 0 dB . Le premier plateau horizontal dure jusqu’à l’arrivée du trajet direct. Ensuite la courbe chute brutalement entre le moment où on élimine de la réponse
le trajet direct, puis les réflexions précoces. On passe ensuite à une décroissance plus régulière de la
courbe EDC, qui correspond à la décroissance exponentielle de la partie de la réponse qui correspond
au champ diffus ou réverbéré. La courbe permet ainsi de lire le temps de réverbération.
La clarté est le rapport entre l’énergie totale, et l’énergie contenue dans la partie réverbérée de
la réponse. Cette clarté est donc reliée au rapport champ direct sur champ réverbéré. C’est un concept important dans la prise de son, surtout de la voix humaine. Pour que la capture du son se fasse
bien, il faut que cette clarté soit supérieure à un seuil qui est de l’ordre de 10 dB. Quant la clarté est
inférieure à cette valeur, le champ réverbéré prend trop d’importance par rapport au champ direct.
L’intelligibilité de la parole est dégradée quand cette condition n’est pas satisfaite.
PAMU/ACOUS
III-20
Figure III-12. Paramètres extraits de la courbe de décroissance de l’énergie (EDC).
6.2 Mesure d’une réponse impulsionnelle
6.2.1 Intercorrélation
La mesure de la réponse impulsionnelle se fait en utilisant une excitation pseudo-aléatoire,
qui est un signal échantillonné à valeurs binaires et qui est diffusée par un haut-parleur après conversion analogique-numérique. On capte la réponse à cette excitation avec un microphone de mesure et
on la convertit en signal numérique. Comme le montre la Figure III-13, la réponse impulsionnelle est
fournie, dans cette méthode, par l'intercorrélation Rxy ( n ) entre le signal d'entrée et le signal de sortie
du système. Il suffit pour cela que le signal aléatoire x ( n ) soit un bruit blanc, car on a dans le cas
général, en régime stationnaire:
R xy ( n ) = Rxx ( n ) ⊗ h ( n )
(III-70)
En pratique, l'intercorrélation R xy ( n ) peut être estimée soit par la méthode du périodogramme moyenné (utilisée dans les analyseurs à FFT), soit par celle du corrélogramme. Dans les
deux cas, un temps d'observation relativement long est nécessaire pour que la fonction d'autocorrélation R xy ( n ) estimée se rapproche de la réponse impulsionnelle réelle.
x(n)
x(n)
amplificateur
amplificateur
salle
x(t)
x(t)
CAN
CAN
y(n)
y(n)
y(t)
y(t)
CNA
CNA
générateur de
de
générateur
séquence
séquence
pseudo-aléatoire
pseudo-aléatoire
intercorrélation
intercorrélation
h(n)
h(n)
Figure III-13. Principe de la mesure d'une réponse impulsionnelle par la méthode proposée par
Schroeder [6]
PAMU/ACOUS
III-21
Cette méthode a fait l'objet de nombreuses publications depuis sa proposition initiale par
Schroeder [6]. Des réalisations commerciales ont vu le jour récemment, et utilisent pour la plupart un
micro-ordinateur équipé d'une carte développée spécialement pour assurer la production du signal
d'excitation et l'enregistrement numérique du signal reçu.
6.2.2 Les séquences MLS
Les signaux d'excitation x ( n ) proposés par Schroeder [6] sont des séquences de longueur
k
maximale (MLS), signaux périodiques de période L = 2 – 1 . Ces signaux, qui ne prennent que les
valeurs instantanées +1 et -1, sont aisément produits au moyen d'un calculateur ou de registres à
décalage en boucle fermée [4]. La propriété intéressante de ces séquences est que leur fonction
d'autocorrélation est presque exactement une fonction peigne de Dirac de période L . Plus précisément, leur fonction d'autocorrélation cyclique pour la période L , notée ici R xx,L ( n ) ne prend que
deux valeurs:
L–1
1
R xx,L ( n ) = --L
∑
m=0

x ( m – n )x ( m ) =  1 si n ≡ 0 [ modL ]
 – 1 ⁄ M sinon
(III-71)
Ce qui peut s'écrire:
1
1
R xx,L ( n ) =  1 + --- δ [ L ] ( n ) – --
L
L
(III-72)
où l'on note δ [ L ] ( n ) la fonction peigne de Dirac de pas L . Il est aisé de vérifier que
l’Equation (III-71) reste vraie pour les fonctions de corrélation cycliques, auquel cas l'Equation (III72) implique:
L–1
1
R xy,L ( n ) = --L
∑ x ( m – n )y ( m ) =  1 + --L- δ[ L ] ( n ) ⊗ h ( n ) – --L- h
1
1
(III-73)
m=0
où h représente la composante continue de la réponse impulsionnelle du système considéré.
L'Equation (III-73) exprime que, à la composante continue près (qui est le plus souvent négligeable),
la fonction de corrélation entrée-sortie n'est autre que la réponse impulsionnelle cherchée, multipliée
par ( 1 + 1 ⁄ L ) et «périodisée» (c'est-à-dire convoluée par le peigne de Dirac δ [ L ] ( n ) ). La réponse
impulsionnelle peut donc être calculée sans approximation sur un horizon d'observation fini (une
seule période suffit). Cet avantage provient du fait qu'une séquence MLS est en réalité un signal
déterministe: l'élimination du caractère aléatoire du signal d'excitation garantit la répétabilité (au
bruit ambiant près). De plus, un algorithme utilisant la transformée de Hadamard permet le calcul
rapide de l'intercorrélation cyclique, bien que la période L des signaux ne soit pas une puissance de
2 (ce qui interdit l'utilisation de l'algorithme FFT).
La périodicité du signal d'excitation se traduit par un échantillonnage en fréquence de la
réponse impulsionnelle. Le respect du théorème de Shannon (vu dans le domaine des fréquences)
implique ici le choix d'une période L suffisamment grande pour éviter le recouvrement temporel
entre les images de la réponse impulsionnelle mesurée, comme l'illustre la Figure III-14. Une étude
de la sensibilité de cette méthode au bruit de mesure montre que, même pour mesurer des réponses
impulsionnelles courtes, il est préférable de choisir une période L de l'ordre de 214 ou 215 échanPAMU/ACOUS
III-22
tillons au moins. En théorie, la dynamique sur la mesure augmente de 3 dB lorsque la durée d'observation est multipliée par 2, que ce soit par doublement de la période L , ou bien par la moyenne de
deux périodes successives du signal y ( n ) avant calcul de la corrélation entrée-sortie.
Cependant, les performances de la méthode sont sensibles aux «dérives» du canal acoustique
(variations de ce dernier dans le temps) et aux non-linéarités de la chaîne de mesure. Ces non-linéarités sont principalement celles apportées par la conversion numérique-analogique lors de la génération du signal, qui se traduisent, dans la réponse impulsionnelle calculée, par des pics parasites
reproductibles dont l'emplacement temporel dépend de la séquence MLS choisie.
(n)
hh(n)
R
Cxx(n)
xx (n)
1
-1/L
-1/L
n
n
L= 2 k -1
L=
convolution
convolution
(n)
=R
R
Cxy(n)
Cxx(n)
h(n)
xy (n) =
xx (n) ∗ h
nn
Figure III-14. La réponse impulsionnelle périodisée
6.2.3 Codes de Golay
Plus récemment, un autre type de signaux d'excitation a été proposé: les codes de Golay [7].
Leur génération est aussi aisée que celle des séquences MLS (ils ont aussi la propriété de ne prendre
que les valeurs +1 et -1). Ils se distinguent des séquences MLS sur les points suivants:
- leur durée L est une puissance de 2 (la répétition périodique n'est pas supposée a priori),
- ils se présentent sous la forme de deux séquences complémentaires, dont la somme des fonctions d'autocorrélations est exactement une impulsion de Dirac. Si a ( n ) et b ( n ) sont deux séquences formant une paire de codes de Golay, on a:
∞
R aa ( n ) + R bb ( n ) =
∑
m = –∞
PAMU/ACOUS

a ( m – n )a ( m ) + b ( m – n )b ( m ) =  2L si n=0
 0 sinon
(III-74)
III-23
Ce qui peut s'écrire, si δ( n ) est l'impulsion de Dirac:
R aa ( n ) + R bb ( n ) = 2L δ( n )
(III-75)
Les codes de Golay peuvent être utilisés pour fabriquer une paire de signaux d'excitation
périodiques, mais ils nécessitent d'effectuer l'enregistrement et le calcul de la corrélation entrée-sortie pour chacune des deux séquences a ( n ) et b ( n ) . La réponse impulsionnelle cherchée est alors
exactement la demi-somme des deux fonctions de corrélation ainsi obtenues. Il faut pour cela vérifier
que lorsque les codes de Golay a ( n ) et b ( n ) sont rendus périodiques de période L (convolués par le
peigne δ [ L ] ( n ) ), la somme de leurs fonctions d'autocorrélation cyclique devient:
R aa,L ( n ) + R bb,L ( n ) = 2δ [ L ] ( n )
(III-76)
j2πf
Démonstration: si la transformée de Fourier de a ( n ) est A ( e ) , la transformée de Fourier
discrète du signal périodisé a [ L ] ( n ) et celle de sa fonction d'autocorrélation cyclique Raa,L ( n ) sont
des fonctions de la fréquence discrète f = k ⁄ L qui valent respectivement:
A[L ] ( k ) = A ( e
j2πk ⁄ L
) et
A[L ]( k )
2
= A( e
j2πk ⁄ L 2
)
pour
k <L⁄2
(III-77)
Donc la transformée de Fourier discrète de la somme R aa,L ( n ) + R bb,L ( n ) vaut, d'après
l'Equation (III-76), et quelle que soit la fréquence discrète k :
A(e
j2πk ⁄ L 2
) + B(e
j2πk ⁄ L 2
) = 2L ∀k
(III-78)
Par la transformée de Fourier discrète inverse, on obtient l'Equation (III-76).
La «périodisation» des signaux d'excitation n'est pas indispensable pour effectuer la mesure,
(ni même le choix d'une période égale à la durée du code de Golay). Cependant, un calcul rapide des
deux intercorrélations au moyen de l'algorithme de FFT est possible lorsque la période est une puissance de 2, à choisir, comme précédemment, suffisamment grande pour éviter le recouvrement temporel dans la réponse impulsionnelle périodisée.
6.3 Exemple de réponse de salle
Nous présentons ici un exemple de réponse de salle acquise par la techniques des codes de
2
Golay. La salle avait une superficie de 35 m . La Figure III-15 montre la réponse sur 250 ms . On
observe en particulier la décroissance exponentielle de l’enveloppe de la réponse.
La Figure III-16 montre les premières millisecondes de la réponse. On peut observer le trajet
direct et l’arrivée des premières réflexions. Le trajet direct a une longueur de 2 m , distance entre la
haut-parleur et le microphone. Trois des premières réflexions sont particulièrement visibles après
l’arrivée du son direct.
6.4 Outils de simulation
Pour compléter les outils de mesure que nous venons de voir, il faut ajouter les outils de simulation, qui sont en particulier utiles en acoustique prévisionnelle, lorsqu’un architecte veut prévoir
les caractéristiques acoustiques d’une salle avant sa construction.
6.4.1 Eléments finis (3D)
La technique d’éléments finis permet d’intégrer les équations de la propagation, grâce à un
maillage de l’ensemble de la salle. Les équations différentielles sont converties en relations entre
PAMU/ACOUS
III-24
paramètres en chaque noeud du maillage. Ces relations permettent de calculer de manière itérative
les modes propres de la salle. Cette technique est très générale, car elle permet d’intégrer les équations différentielles de propagation avec très peu d’hypothèses. cependant, cette technique devient
rapidement extrêmement lourde quand la géométrie de la salle est compliquée.
Impulse response (35 m2 room), file zzir01fb.rb1
1
0.8
0.6
Amplitude
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
0
50
100
150
200
250
Time (ms)
Figure III-15. Réponse mesurée dans une salle de 35 m 2
Impulse response (35 m2 room), file zzir01fb.rb1
1
0.8
0.6
Amplitude
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
0
5
10
15
20
25
Time (ms)
30
35
40
45
50
Figure III-16. Premières millisecondes de la même réponse (salle de 35 m 2 )
PAMU/ACOUS
III-25
6.4.2 Lancer de rayons
Nous avons déjà vu le principe de la méthode de lancer de rayons. Elle permet de calculer les
réponses en fréquence, ou les réponses impulsionnelles en temps. La limitation du lancer de rayon
est la complexité. La technique s’emploie facilement avec des géométries simples, et des réflexions
uniquement spéculaires. Cette technique devient extrêmement compliquée en cas de diffusions lors
des réflexions.
6.4.3 Sources images
Nous avons vu plus haut qu’en acoustique géométrique, la propagation du son depuis une
source, dans une salle, peut être remplacée par la propagation depuis une ensemble infini de sources
images. dans ce cas, la propagation se fait comme en champ libre, mais avec une atténuation dépendant de la distance parcourue par un rayon, et du nombre de parois virtuelles traversées. C’est une
simplification du lancer de rayons qui ne peut s’appliquer en simulation que dans des géométries très
simples. Il faut que l’on soit en mesure de calculer la position des sources images, Ceci devient très
difficile lorsque la géométrie de la salle se complique, en particulier quand les murs présentent plusieurs facettes faisant des angles non nuls entre elles.
6.4.4 Eléments finis (2D)
Il existe une variante de la méthode des éléments finis utilisée en trois dimensions pour intégrer les équations de propagation. Cette méthode effectue un maillage uniquement en deux dimension, sur la surface des parois. La méthode est une application du principe de Huygens. ce principe
permet de remplacer une source dont le front d’onde a une certaine forme par un ensemble de sources ponctuelles situées sur ce front d’onde et ayant chacune l’amplitude qu’a localement l’onde
sonore initiale.
Dans cette méthode d’éléments finis, la source ponctuelle illumine les parois. Ces parois sont
considérées comme un réseau maillé de petits éléments de surface. On remplace alors la source
ponctuelle par l’ensemble des sources ponctuelles sur ce réseau d’éléments de surface. Chaque nouvelle source rayonne et illumine les parois, en constituant un nouvel ensemble de sources et on itère
ce processus.
Cette technique permet de prendre en compte la diffusion, puisque finalement le modèle de la
salle se ramène à une très grande matrice, qui spécifie la propagation de l’ensemble des facettes à ce
même ensemble. La technique est puissante, et un peu moins lourde que la technique initiale d’éléments finis en trois dimensions.
7
Conclusion et bibliographie
Dans ce chapitre, nous avons montré comment il était possible de faire une description théorique des phénomènes intervenant dans la propagation du son en champ clos, et en particulier dans une
salle. La description est relativement complète dans des cas simples. Ceci s’applique en particulier
au modèle d’une salle parallélépipédique sans diffusion. Dans les cas compliqués (et réalistes) d’une
salle dont la géométrie est quelconque, avec à la fois des réflexions sur les parois, tant spéculaires
que diffuses, et de la diffraction autour des obstacles, la description théorique ne donne que peu
d’informations. Par contre cette description permet d’accéder à des indications qualitatives.
Cette description théorique met en évidence les modes de résonance, et la réverbération (dans
une approche en fréquence), et la structure de la réponse de la salle (dans l’approche géométrique,
qui s’applique en temps).
A cette description, nous avons pu ajouter une caractérisation empirique qui s’en déduit. Ceci
PAMU/ACOUS
III-26
permet d’introduire le temps de réverbération, et les autres paramètres lus sur la courbe de décroissance de l’énergie, tels que la clarté.
Références
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
H.Kuttruff, «Room Acoustics», Applied Science Publishers LTD, London, 1973.
L.E.Kinsley, A.R.Frey, «Fundamentals of Acoustics», John Wiley & Sons, New York, 1950.
M.C.Junger, M.Perulli, «Eléments d’acoustique physique», Maloine, Paris, 1978.
Y.Ando, «Concert Hall Acoustics», Springer-Verlag, Berlin, 1985.
J.M.Jot, «Etude et réalisation d’un spatialisateur de sons par modèles physiques et perceptifs»,
thèse ENST, 1992.
[6] M.R.Schroeder, «Integrated Impulse Method for Measuring Sound Decay without using
Impulses», J. Acoust. Soc. Am. Vol. 66, n°2, pp 497-500, 1979.
[7] S. Foster, «Impulse response measurements using Golay codes», Proc. ICASSP, Tokyo, pp 929932, 1986.
Les images de la Figure III-1 à la Figure III-5 d’une part, et de la Figure III-7 à la Figure III-11 d’autre part, sont
tirées du livre de Heinrich Kuttruff [1].
La section 6.2 est tirée de la thèse de Jean-Marc Jot [5].
PAMU/ACOUS
III-27
Brique PAMU, module ACOUS
Acoustique des Salles. Exercices.
Yves Grenier
Exercice 1. Répartition des modes propres d’une salle.
Cet exercice a pour objet de calculer la densité des modes propres dans une bande de fréquence donnée, pour une salle parallélépipédique de dimensions L x , L y et L z . On rappelle que chaque mode propre de la salle est caractérisé par un nombre d’onde k tel que:
2
2
2
2
k n x, n y, nz = k x + k y + k z
nx π
ny π
nz π
avec k x = -------, k y = -------et k z = -------.
Lx
Ly
Lz
De plus la fréquence du mode propre est reliée au nombre d’onde par la relation:
C
f nx, ny, n z = ------k n x, n y, nz
2π
1. Comment se placent les modes propres dans l’espace { n x, n y, n z } ?
2. Quel est le volume occupé par les modes propres dont la fréquence est comprise entre 0 et f ?
Quel est le volume occupé par chaque mode dans l’espace { n x, n y, n z } ? En déduire le nombre N f
des modes propres dont la fréquence est comprise entre 0 et f .
3. Déduire du résultat précédent la densité des modes par Hertz.
4. Montrez que dans la méthode d’estimation précédente de N f (Question 2), on n’a compté les
points sur les plans que pour moitié, et les points sur les axes que pour un quart. Corriger l’estimation de N f pour tenir compte correctement du poids de ces modes.
Exercice 2. Temps de réverbération dans une pièce parallélépipédique.
Cet objectif vise à calculer le temps de réverbération d’une pièce, à partir du modèle des sources images. On se place une salle parallélépipédique de dimensions L x , L y et L z . Une source ponctuelle est
placée dans cette pièce. Elle émettra une impulsion de Dirac, afin d’exciter la réponse impulsionnelle
de la salle.
1. Comment se placent les sources images par rapport à la pièce? Comment déterminer l’instant où
est reçue chaque source image?
2. On souhaite évaluer le nombre des réflexions survenant entre t et t + dt . Quel est le volume dans
lequel se situent les sources images responsables de ces réflexions? Compte tenu du volume éléPAMU/ACOUS
III-28
mentaire occupé par chaque source image, en déduire le nombre des réflexions survenant entre t
et t + dt .
3. Comment décroît l’intensité de ces sources du fait de la propagation en ondes sphériques?
4. On supposera que l’absorption par l’air induit une atténuation en e
– mCt
où m est le coefficient
d’absorption dans l’air, C est la célérité du son, et t le temps. On supposera aussi qu’à l’instant t ,
les sources reçues ont subi en moyenne n réflexions sur les parois. L’absorption de chaque paroi
est identique, et vaut α . En déduire l’intensité moyenne des réflexions reçues entre t et t + dt .
5. Déduire des résultats des questions 2 et 4 l’intensité totale des réflexions reçues entre t et t + dt .
6. Pour évaluer le nombre moyen n des réflexions sur les parois à l’instant t , on considérera qu’un
rayon d’angle β x par rapport à l’axe x est réfléchi n x fois par seconde sur les parois perpendiculaires à cet axe, en suivant la relation:
C
n x ( β x ) = ----- cos β x
Lx
1
On considérera aussi que la valeur moyenne de cos β x dans toutes les directions vaut --- . En
2
déduire le nombre moyen n des réflexions par seconde sur toutes les parois.
7. Exprimer l’intensité totale des réflexions à l’instant t en tenant compte de l’expression de ce
nombre moyen n . En déduire le temps de réverbération (temps que met l’intensité pour décroître
de 60 dB).
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