La flûte des mornes. - Olympiades de Physique France

La flûte des Mornes
CLIO Stéphanie
JOSEPH-MONROSE Malick
GEORGES Miguel
PALMIS Yasmina
RAMASSAMY Karen
ZEZOT Tania-Elodie
Présentent
Lycée Joseph Pernock
97214 LE LORRAIN
MARTINIQUE
Professeur encadrant :
Mme BURTZ-GILLE Barbara
1/29
La flûte des Mornes
SOMMAIRE
PETITE HISTOIRE…
2
LA FLUTE ET QUELQUES ARTISTES
3
INTRODUCTION
5
PARTIE A : Quelques notions indispensables …
A1- Les ondes stationnaires dans un tuyau ouvert - fermé
A2- Méthode artisanale de fabrication de la flûte des mornes
A3-Analyse du son (hauteur, intensité, timbre)
6
7
7
PARTIE B : Premières expériences sur la tonalité
B1- Détermination de la précision de nos mesures
B2- Influence de la longueur
B3- Influence du diamètre
B4- Interprétation des résultats
9
10
13
15
PARTIE C : Expériences sur les accords
C1- Un peu de solfège
C2- Détermination de la position des trous
C3- Influence de la taille du trou
16
17
19
PARTIE D : Nouvelles expériences sur la tonalité
D1- Influence de la longueur
D2- Influence du diamètre
D3- Interprétation des résultats
D4- Réalisation d'un abaque
21
22
23
23
CONCLUSION
28
BIBLIOGRAPHIE
29
2/29
La flûte des Mornes
PETITE HISTOIRE DES ÉLÈVES DE TERMINALE S-SVT
DU LYCEE DU LORRAIN (MARTINIQUE)…
A la fin de l'année de première, nous avons sélectionné trois sujets parmis les sujets présentés
en T.P.E. dans le but de participer aux Olympiades de Physique pendant notre année de
terminale. Les élèves de la classe se sont alors répartis en trois groupes.
Nous avons ainsi choisi de faire de cette participation aux Olympiades notre projet de classe et
de profiter de ce voyage en métropole pour améliorer notre culture scientifique par la visite de
musées et de laboratoires de recherche universitaires. Pour mener à bien ce projet, nous avons
privilégié au début la partie financière. Une association a été créée afin d'être sponsorisée et
ainsi faciliter la récolte de fonds. Nous avons mené plusieurs actions : marchés, kermesse,
tombolas…
Notre groupe a choisi de travailler sur la flûte des Mornes, le programme de spécialité physique
– chimie incluant les ondes sonores nous permettant de bien comprendre la propagation des
ondes sonores dans un tuyau. Les débuts de nos recherches ont été difficiles, il n'y a que très
peu d'informations concernant la flûte en bambou dans la littérature. En effet, nous ne
trouvions que des documents parlant des flûtes à bec, enfin des différentes flûtes mais pas de
la flûte des Mornes.
Par la suite, nous avons contacté un flûtier, c'est à dire un fabricant de flûtes des Mornes. Il
nous a apporté de nombreuses informations, notamment sur le solfège et sur l'influence de la
taille des trous sur la flûte, paramètre dont nous avions sous-estimé l'importance.
Profitant de la semaine de la Science au Palais des
Congrès de Madiana, toute la classe s’y est rendue
pour exposer les différents sujets traités Cela nous a
été très bénéfique dans la mesure où nous nous
sommes exprimés devant un public inconnu, de tous
niveaux et relativement important. Puisque nous étions
la seule classe de terminale à participer au village des
Sciences, nous avons été très médiatisés (radio,
télévision). De plus, nous avons eu droit à la visite du
Recteur de la Martinique, ainsi que celle du Préfet.
Nous avons reçu beaucoup de soutien de la part des
visiteurs, de notre lycée (élèves, enseignants et administratifs) et de notre entourage. Il faut
dire que cette rencontre avec le public nous a donné des idées nouvelles et nous a incité à
poursuivre notre étude et à multiplier nos expériences.
Cet engagement dans le projet "Olympiades de physique", nous aura permis de renforcer l'esprit
d'équipe, par le fait de travailler en groupe, d'apprendre à gérer notre temps et de stimuler
notre esprit scientifique. Ce projet nous aura aussi permis de nous rendre compte de la
complexité de la fabrication d'une flûte…
Nous remercions vivement tous les élèves, tous nos professeurs et l'administration du lycée qui
ont fait preuve d'une grande compréhension et d'une forte collaboration. Nous remercions
particulièrement Meur FRANCOISE et Meur PARFAIT pour l'aide scientifique qu'ils nous ont
apportée, M eur PIERRE-CHARLES pour la tombola et le logo de l'association, les commercants
pour les dons de lots, M eur GENEVIÈVRE pour la sono lors de la kermesse et le micro
indispensable lors de notre étude des sons, M me HECTOR pour le soutien moral et biensûr les
sociétés CHANFLOR et ANTILLES LABO, le rectorat de Martinique et le conseil Régional pour
leur soutien financier.
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La flûte des Mornes
LA FLUTE ET QUELQUES ARTISTES 1
La Flûte des Mornes est un instrument cher au cœur de nombreux artistes locaux. Voici quelques
artistes qui en ont fait leur instrument fétiche tel que Eugène Mona, Dédé Saint-Prix, Max
Cilla….
Eugène MONA
Mona était l’un de ces grands musiciens Martiniquais, celui que nous appelions « le chanteur aux
pieds nus ». Ce chanteur issu de terroir se distinguait dans la musique traditionnelle sous les
sons magiques de sa flûte. Avec sa flûte il composa des compositions rythmées tel que « Bwa
brillé », « Mongo vèa ». Aujourd’hui nous rendons tous hommage à Mona et à sa flûte des mornes
originales qui nous captive beaucoup. Mèsi an chay misyé Mona (merci beaucoup monsieur Mona).
Mona mô (Mona est mort) le 21 Septembre 1991. Bien que décédé, sa musique vit et ses succès
l’immortalisent. C’est maintenant la légende la plus reconnue grâce à ses flûtes et à ses chansons
dans lesquelles se racontaient sa vie, sa terre, sa misère et l’injustice avec une passion
débordante.
Max CILLA
Il est le maître de la flûte traditionnelle, c’est le « Père de la flûte des Mornes ».
Max Cilla, dans sa conscience de précurseur de la « toutoun’ bambou » s’aperçut que la flûte
pouvait être le symbole des valeurs naturelles et culturelles. Dès le début de ses efforts pour
restaurer cet instrument de musique des campagnes, il a eu l’idée de lui attribuer comme nom :
La flûte des Mornes. Il fit de cette flûte un symbole vivant dont le souffle anime les énergies. Il
a fait des recherches lui permettant de mettre au point une méthode de fabrication de ces
flûtes dans toutes les tonalités.
Cet auteur, compositeur, interprète, leader de groupe musical Max Cilla après trente ans de
carrière offre une alliance harmonieuse de mélodies et de rythmes.
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La flûte des Mornes
Introduction
La flûte des Mornes est un instrument de musique à vent, réalisé à partir d’un tube creux de
bambou à embouchure fermée et percé de six trous.
C’est dans nos Montagnes antillaises, appelées Mornes, qu’est née la flûte de bambou bien connue
sur le nom de « Toutoun’ bambou ».
Qu’est-ce qu’une flûte ?
La flûte de mornes appartient à une famille d’instruments qui comprend les flûtes de Pan et les
sifflets. Tous ces instruments sont creux et on en joue en soufflant dans un trou. Cela fait
vibrer la colonne d’air contenue dans le tuyau, ce qui produit le son que l'on entend.
Les premières flûtes
On joue de la flûte dans le monde entier depuis la nuit des temps. Les premières ont sans doutes
été fabriquées par accidents, à partir de morceaux de bambou ou d’os creux. On s’est aperçu
qu’on pouvait jouer différentes notes en modifiant la longueur du tuyau et en y perçant des
trous.
De nombreux artistes se sont intéressés à cet instrument complexe contribuant ainsi à sa
spécificité et à son évolution.
Pour construire la tessiture d’un instrument de la famille des bois (étendue des sons qu'un
instrument est capable de produire), plusieurs solutions sont possibles :
- construire un tuyau par note dont la longueur est ajustée pour produire la hauteur
désirée : c’est la solution retenue dans l’orgue et dans la flûte de pan ;
- construire un tuyau de longueur variable. C’est le cas des flûtes « à coulisse »
- enfin, la solution utilisée pour de nombreux instruments consiste à ouvrir
successivement des trous latéraux depuis l’extrémité passive de l’instrument vers
l’embouchure afin de monter la gamme, comme pour la flûte des Mornes…
Outre ses qualités musicales, elle possède des caractéristiques qui suscitent un intérêt certain
dans le domaine de la physique :
- propagation des ondes sonores à travers un tube.
- relation entre la fréquence de ses notes avec la longueur et le diamètre du tube.
A partir de ces critères, une étude méthodologique a été réalisée montrant une modification des
sons issus de la flûte. De cette expérience a été élaborée un abaque (de tel diamètre on aura
une flûte en do, en ré, en sol etc.) et par la suite, nous avons tenté d'élaborer une méthode de
fabrication de la flûte des Mornes parfaitement accordée.
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La flûte des Mornes
PARTIE A : Quelques notions indispensables …
A1- Les ondes stationnaires dans un tuyau ouvert - fermé 2
Lorsqu'une onde incidente se propageant dans une colonne d'air parvient à l'une des ses
extrémités (ouverte ou fermée), il apparaît une onde réfléchie de forme semblable mais
inversée, qui se propage à la même vitesse, mais en sens contraire. Un point du milieu de
propagation est sollicité à la fois par l'onde incidente et par l'onde réfléchie. La déformation
qu'il subit, à chaque instant, est donc la superposition des deux déformations présentes en ce
point : il en résulte la formation d'une onde stationnaire.
Certains points (en particulier l'extrémité fermée du tuyau) ne subissent plus de vibration : ce
sont les nœuds de vibrations. Ces points où l’amplitude de la perturbation est nulle, sont situés à
la distance /2 les uns des autres. La zone comprise entre deux nœuds successifs est appelée
fuseau. Le centre d’un fuseau est appelé ventre, c’est là où l’amplitude de la perturbation est
maximale (en particulier l'extrémité ouverte du tuyau), et son amplitude est le double de celle
de l'onde incidente, on parle alors de phénomène de résonance.
Les ondes stationnaires ne peuvent s'établir que s'il existe une relation bien précise entre la
longueur d'onde de la vibration et la longueur L de la colonne d'air. (Il est important de
remarquer que, pour des raisons pratiques, les ondes représentées sur le schéma sont
transversales, ce qui ne correspond en rien aux ondes longitudinales réellement présentes dans
le tuyau.)
L
On remarque que
k=1
 L=¼
k=2
 L=¾
k=3
 L = + ¼ =
5
4

(2k 1)
4L
L
 d'où 
4
(2k - 1)
v
Or, on a f 
ce qui conduit à

(2k 1)v
fk 
(2k 1)f1
4L
L’ensemble des fréquences propres forme une suite discontinue : il y a quantification des
fréquences des modes propres de vibrations. Les fréquences des harmoniques sont des
multiples de la fréquence du fondamental :
f k=(2k-1)f 1
3
Dans ce cas, seuls les harmoniques de rang impair sont présents : f1 , f2 3f1 , f3 5f1 ,...
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La flûte des Mornes
L'excitation de la colonne d'air d'un tuyau sonore est provoquée par les vibrations au niveau de
l'embouchure, celle-ci effectue alors des oscillations libres. La colonne d'air entre en
résonance pour des fréquences qui donnent une onde stationnaire : elle effectue donc une
sélection des fréquences d'excitation.
Le son émis, dont la fréquence f1 est celle du fondamental ou harmonique de rang 1, est un son
complexe correspondant à la superposition de vibrations sinusoïdales dont les fréquences sont
celles des modes propres du tuyau.
A2- Méthode artisanale de fabrication de la flûte des mornes
Pour la construction de cet instrument en bambou typique de chez nous la méthode utilisée est
simple :
- on perce d’abord l’embouchure du coté fermée du bambou.
- Il faut ensuite souffler dans ce trou afin de déterminer le registre de notre flûte.
- Le dernier trou est placé du côté ouvert à 1/5 de la distance embouchure – bout de la flûte.
Le deuxième trou de la flûte est placé à ½ de la distance séparant les deux autres trous.
Les trous présents entre le deuxième trou et le dernier sont distants de 1/5 de la distance.
La coupe du bambou se fera le jour de la pleine lune pour la résistance optimale des fibres de
l’arbre. Il faut aussi savoir que si l’on veut un instrument de registre aigu il faudra choisir un
tube au diamètre pas trop important et qui ne soit pas trop long, au contraire si vous voulez un
instrument de registre grave, il vous faudra choisir un tube plus long et ayant un diamètre plus
important. Dans ce document, on remarque que l’influence du diamètre paraît considérable
alors qu'elle est totalement négligée dans notre cours de spécialité.
A3-Analyse du son (hauteur, intensité, timbre) 2
Les notes de musique des instruments à vent correspondent donc aux modes de vibrations d’un
tuyau dont la longueur et le diamètre interviennent de façon déterminante.
Tous les sons simples, tels qu'une note de musique, peuvent être décrits de manière exhaustive
par trois paramètres : la hauteur, l'intensité et le timbre. Ces trois critères correspondent
respectivement à trois caractéristiques de l'onde qui sont sa fréquence, son amplitude et sa
constitution harmonique.
Pour analyser un son, la méthode la plus simple consiste à utiliser un micro, qui traduit en
oscillations électriques les variations de pressions correspondant à l’onde sonore. Les nœuds de
vibration des molécules d’air correspondent aux ventres de pression (maximum d’amplitude des
oscillations électriques) et les ventres de vibration des molécules d’air aux nœuds de pression
(minimum d’amplitude des oscillations électriques). S’il s’agit d’un son « parfaitement pur », avec
une variation de pression sinusoïdale, on peut mesurer la période et par conséquent la fréquence.
Mais en général, la courbe obtenue est plus compliquée qu'une sinusoïde ; dans ce cas il est
nécessaire d’utiliser une analyse fréquentielle par décomposition de Fourier :
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La flûte des Mornes
Analyse fréquentielle d’un son
On démontre que tout phénomène périodique de fréquence f peut se décomposer en une somme
de sinusoïdes dont les fréquences respectives sont des multiples entiers de f : f, 2f, 3f, kf (k
est entier).
- f est appelé le fondamental (ou premier harmonique) ; il est associé à la période du signal.
- 2f, 3f, …, kf sont appelés les harmoniques de rang 2, 3 … k. (selon le Théorème de Fourier).
Hauteur et le timbre : La hauteur d’un son est la caractéristique qui le place sur l’échelle grave
aiguë. Une note définie a toujours la même hauteur donnée par la valeur du fondamental. Mais
d’un instrument à l’autre le timbre change. La richesse de ses harmoniques, qui permet de
différencier les instruments utilisés, est appelée le timbre du son.
 la 3 joué à la flûte et au violon : ces deux signaux périodiques correspondent bien à la même
note puisqu’ils ont la même période donc la même fréquence (hauteur).
 Analyses spectrales des deux sons précédents : ces deux spectres possèdent la même
fréquence du fondamental mais sont obtenus à partir de notes jouées par deux instruments
de timbre différent (nombre et amplitudes différents des harmoniques).
Les harmoniques ne sont d’ailleurs pas la seule différence entre les sons obtenus en jouant la
même note avec deux instruments différents.
En effet, le son émis n’est pas d'emblée périodique. Au début de l’émission de la note, le son
comporte des « transitoires » qui s’amortissent rapidement mais contribuent quand même à la
sensation produite. C’est ce que l’on appelle « l’attaque », qui elle aussi varie d’un instrument à
l’autre. Le timbre d’un son dépend donc de l’importance relative des différents harmoniques qui
le composent et des phases d’attaque lors de l’établissement des vibrations et d'extinction lors
de la diminution de l’intensité sonore.
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La flûte des Mornes
PARTIE B : Premières expériences sur la tonalité
D'après la littérature, la hauteur d'un son issu d'un tuyau sonore dépend principalement de la
longueur de ce tube ainsi que de son diamètre, bien que l'influence de celui-ci soit en général
négligée. De plus, il est connu que lorsqu'on perce un trou dans un tuyau, sa longueur initiale est
réduite et devient équivalente à celle d'un tube de longueur comprise entre l'embouchure et
le trou.
Dans la littérature, il n'existe à notre connaissance qu'une seule formule où le diamètre du tube
essentiellement « le diamètre » intérieur près de l’embouchure est pris en considération.
CAVAILLÉ-COLL4 proposait, en 1860, la formule empirique suivante pour un tuyau cylindrique
ouvert à embouchure :
f 
v
2(L

avec
5
D)
3
f : fréquence du son émis (Hz)
v : vitesse du son (m.s -1)
L : longueur du tuyau sonore (m)
D : diamètre intérieur du tuyau (m)
Nous avons décidé de reprendre cette formule et de l'utiliser en vue de la réalisation d'un
abaque. Celle-ci permettrait de savoir facilement et rapidement à quelle longueur couper un
bambou pour fabriquer une flûte à telle ou telle tonalité ; la tonalité d'une flûte étant la note
issue de la flûte lorsque tous les trous sont bouchés.
Pour toute notre étude, nous adopterons le point de vue du physicien : seule importe la
fréquence du son émis. L’état de la surface intérieure du tube ainsi que la nature du matériau
qui le constitue ont une importance très grande dans le timbre du son mais ne devrait pas en
affecter la hauteur.
Cependant, nous avons alors choisi de réaliser notre étude à l'aide de tuyau en PVC pour nous
affranchir des "imperfections" des bambous (indispensables pour obtenir des sons agréables) et
limiter ainsi l'influence de paramètres non contrôlés.
B1- Détermination de la précision de nos mesures
Afin d’assurer la fiabilité de nos mesures nous avons réalisé le calcul d'incertitudes sur la
mesure des fréquences.
Matériel :
 Une flûte
 Le matériel nécessaire à l'acquisition et le traitement du son :
 Le logiciel GTI / Regressi
 Un module d’acquisition orphy GTI
 Un ordinateur
 Un amplificateur (générateur MATELCO 6255)
 Un micro dynamic-SHURE SM57
Protocole :
 Installer le matériel c'est-à-dire relier le générateur, orphy, l’ordinateur et le micro.
 Réaliser 30 acquisitions de la même note, Ré issu de la flûte en Do, en soufflant le plus
régulièrement possible.
 Basculer les données vers Regressi. Le fichier obtenu permet de donner l'abscisse
temporelle et l'ordonnée de chaque mesure effectuée ; le nombre d’échantillons est très
largement suffisant pour pouvoir ensuite procéder à une analyse de Fourier correcte
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La flûte des Mornes
(critère de Shannon respecté). 5 REGRESSI offre de nombreuses options de calculs pour
opérer la transformation de Fourier : fenêtre d'analyse rectangulaire classique, fenêtre de
Hamming et transformée de Fourier rapide. Nous n'avons pas observé de différences
significatives selon le choix de l'algorithme aussi nous avons utilisé celui de Hamming
sélectionné par défaut.
3
Nous avons donc réalisé 30 mesures : les résultats sont dans les tableaux suivants (tableau
Excel moyenne N°1 dans incertitude note fixe en annexe).
somme
moyenne
racine moy
variance
écart type
fi
1
1
1
1
1
2
2
3
4
6
8
30
597,0
24,43
146,5
12,10
ni
565,0
581,0
595,2
613,5
628,9
584,8
588,2
581,4
602,4
606,1
598,8
6 545
ni*fi
565,0
581,0
595,2
613,5
628,9
1 170
1 176
1 744
2 410
3 637
4 790
17 910
ni-moy
- 32,01
- 16,01
- 1,81
16,49
31,89
- 12,21
- 8,81
- 15,61
5,39
9,09
1,79
- 21,85
Incertitude
f= 4,513 Hz
(ni-moy)²
1025
256,4
3,288
271,8
1017
149,2
77,67
243,8
29,02
82,57
3,192
3159
fi*(ni-moy)²
1 025
256,4
3,288
271,8
1 017
298,3
155,3
731,3
116,1
495,4
25,54
4395
Incertitude
f/f = 0,838
L’intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95%, est celui dans lequel la valeur cherchée
t.σ
a 95% de chances de se trouver. Dans ce cas, l’incertitude s’obtient avec la formule : Δf 
n
où t est le coefficient de Student dépendant du nombre de mesures réalisées.6
2,042x12,10
Δf 
= 4,513 Hz
30
L’incertitude absolue sur f est donc f =5 Hz.
La précision de la mesure est l'incertitude relative exprimée en pourcentage, soit :
Δf
5

x 100 0,84
f
597
soit
Δf
0,9%
f
B2- Influence de la longueur
Nous avons ensuite réalisé une expérience sur
l’influence de la longueur du tuyau sonore, nous avons
fabriqué une longue flûte de 64 cm à l'aide d'un tuyau
en PVC de diamètre 2,8 ± 0,1 cm dans lequel nous
avons percé 15 trous de même diamètre et à peu près équidistants. La "flûte" prête, nous avons
réalisé l’acquisition du son issu pour chacun des trous en bouchant systématiquement les trous
précédents (côté embouchure) et mesuré la hauteur du son émis.
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La flûte des Mornes
a
La formule proposée par Cavaillé-Coll est du type f 
bL cD
1 bL cD
1 b
c
 L D
soit

d'où
f a
a
f
a
L'expérience menée est à D constant ce qui implique une représentation de
de coefficient directeur égal à
b
c
et à une ordonnée à l'origine de D .
a
a
Nous avons déterminé l'incertitude sur
relatives s’additionnent10 :
1
f( L) linéaire
f
1
, sachant que pour un quotient les incertitudes
f
Δ(1/f) Δ1 Δf 
  0,9%
(1/f)
1  f 
Δ(1/f)
est donc de 0,9%.
1/f
L’ensemble des résultats obtenus est donné dans les tableaux ci-dessous :
L’incertitude relative sur
L(cm)
16,5
18,8
21,0
23,1
25,3
27,4
29,7
31,8
f(Hz)
505
478
456
427
416
381
378
369
1/f(ms)
1,98
2,09
2,19
2,34
2,40
2,62
2,64
2,71
L(cm)
36,0
38,2
40,5
42,4
46,6
48,9
51,0
64,0
f(Hz)
356
331
314
261
284
257
239
228
1/f(ms)
2,81
3,08
3,18
3,82
3,52
3,88
4,18
4,38
Nous avons choisi d'exploiter les résultats à la main (pour acquérir de nouvelles aptitudes). Afin
d’accéder à la pente moyenne, nous avons tracé une droite ayant une pente maximale et une
autre ayant une pente minimale, droites extrêmes définies à l'aide des carrés d'incertitudes. 10
Nous avons ensuite calculé la pente moyenne et sa précision, puis l’ordonnée à l'origine moyenne
et sa précision :
4,25 - 2,75
P1 
5,45 .10 2 ms.cm 1 5,45 .10 3 s.m 1
57,5 - 30,0
4,10 - 2,50
P2 
5,16.10 -2 ms.cm1 5,16.10 3 s.m 1
57,5 - 26,5
P P
5,45 5,16
 Pmoy  1 2 
.10 3 5,30 .10 3 s.m 1
2
2
P P
5,45 5,16
et P  1 2 
.10 3 2.10 4 s.m 1
2
2
O1 = 1,10 ms = 1,10.10-3 s
O2 = 1,15 ms = 1,15.10-3 s
L'équation de la droite obtenue est alors :

1,10 1,15
Om 
.10 3 1,12.10 3 s
2
1,15 1,10
ΔO 
.10 3 6.10 -5 s
2
1
(5,3 0,2).10 3 L (1,12 0,06).10 3
f
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La flûte des Mornes
b
(5,3 0,2).10 3 s.m1 
a
c
(1,12 0,06).10 3 s  D
a
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La flûte des Mornes
B3- Influence du diamètre
Nous avons ensuite réalisé une expérience sur l’influence du diamètre, nous avons fabriqué six
flûtes à l'aide de tuyaux en PVC de diamètre variants entre 4,4 et 1,4 cm ± 0,1 cm et mesuré la
hauteur du son émis pour une longueur de 30,3 ± 0,1 cm (note obtenue sans boucher de trou). Les
résultats sont donnés dans le tableau ci-dessous.
D(cm)
4,4
3,6
2,8
2,3
1,8
1,4
f(Hz)
320
421
456
490
602
675
1/f(ms)
3,12
2,38
2,19
2,04
1,66
1,48
La formule utilisée est toujours
1 b
c
 L D
f a
a
L'expérience étant maintenant menée à L constant, la représentation de
1
f(D) sera aussi
f
c
b
et à une ordonnée à l'origine de L.
a
a
L'exploitation des mesures a été réalisée comme précédemment :
linéaire de coefficient directeur égal à
3,0 - 1,9
5,2.10 1 ms.cm1 5,2.10 2 s.m 1
4,15 - 2,00
3,0 - 1,8
P1 
5,6.10 1 ms.cm1 5,6.10 2 s .m 1
3,92 - 1,80
P2 
P P2 5,6 5,2
 Pmoy  1

.10 2 5,4.10 2 s.m 1
2
2
O1 = 8,60.10 -1 ms = 8,60.10-4 s
O2 = 7,80.10 -1 ms = 7,80.10-4 s
L'équation de la droite obtenue est alors :
P P
5,6 5,2
P  1 2 
.10 2 2.10 3 s.m 1
2
2

8,60 7,80
Om 
.10 4 8,20.10 4 s
2
8,6 7,8
ΔO 
.10 4 4.10-6 s
2
1
(5,4 0,2).10 2D (8,20 0,04).10 3
f
c
a
b
2

1
(5,4 0,2).10 s.m  L
a
(8,20 0,04).10 4 s 
La courbe obtenue est donnée page suivante.
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La flûte des Mornes
14/29
La flûte des Mornes
B4- Interprétation des résultats
Nous avons alors cherché à vérifier la corrélation entre les deux relations précédentes en
utilisant les deux couples de constantes obtenus :
b
(5,3 0,2).10 3 s.m1 
a
c
(1,12 0,06).10 3 s  D
a
b
(8,20 0,04).10 4 s.m 1  L
a
c
(5,4 0,2).10 2 s 
a
Nous devons alors retrouver, par le calcul, les valeurs expérimentales de L = 30,3 0,1 cm et de
D = 2,8 0,1 cm.
b
L
8,20.10 4
Lcal a 
0,15 m 15 cm
b
5,3.10 3
a
c
D
1,12 .10 3
Dcal  a 
0, 021 m 2,1 cm
c
5,4.10 2
a
Les valeurs de D cal et de Lcal obtenues sont très différentes de celles utilisées lors de
l'expérience :
Ecart relatif sur L
Ecart relatif sur D
Lexp Lcal
Lexp
Dexp Dcal
Dexp

30,3 15

30,3
2,8 1,4
2,8
50 %
25%
Ces résultats sont peu encourageants, les écarts obtenus sont très importants. Nous ne pouvons
pas valider le modèle. Nous avons alors décidé de poursuivre l'étude des accords de la flûte et
de revenir sur ce point par la suite.
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La flûte des Mornes
PARTIE C : Expériences sur les accords
C1- Un peu de solfège 2, 11
Une note isolée jouée par un instrument de musique même désaccordé n’a pas en soi de caractère
agréable ou désagréable. En revanche, certaines combinaisons de sons produisent un effet plus
agréable que d’autres. Les musiciens ont défini des gammes pour disposer d’un ensemble de sons,
les notes s’accordant les unes avec les autres.
L’accord entre deux notes se caractérise par le rapport de leurs fréquences appelées
intervalles.
Deux notes dont les fréquences sont dans le rapport 2/1 s’accordent toujours bien ; cette
relation semble reconnue dans toutes les cultures. En revanche le nombre de degré
intermédiaire défini entre ces deux notes peut varier.
En Occident, a été progressivement adopté un système à sept degrés dit diatoniques. La
première et la huitième d’un ensemble quelconque de notes successives sont alors à l’intervalle
2/1 appelées pour cette raison octave.
La gamme dite tempérée subdivise l’octave en douze degrés chromatiques (douze intervalles
égaux) englobant les sept degrés diatoniques. L’intervalle entre les degrés chromatiques
successifs, appelé demi-ton est donc égal à la racine douzième de deux (21/12). Les degrés
diatoniques successifs sont séparés soit par un ton (21/6), soit par un demi-ton.
Les gammes majeures sont constituées de 8 notes dont les écarts suivent le schéma suivant :
1 ton, 1 ton, 1 demi ton, 1 ton, 1 ton, 1 ton, 1 demi-ton.
Exemples
1
1
½
1
1
1
½
Do Majeur
Do
Ré
Mi
Fa
Sol
La
Si
Do
Ré Majeur
Ré
Mi
Fa dièse
Sol
La
Si
Do dièse
Ré
La Majeur
La
Si
Do dièse
Ré
Mi
Fa dièse
Sol dièse
La
La gamme de Do Majeur sert de modèle à toutes les gammes. Elle ne
comporte aucune altération (Dièse ou bémol) essentielle. On remarque
que les demi-tons naturels sont placés sur les degrés exigeant des
écarts d’un demi-ton. Pour toutes les autres gammes majeures, des
altérations sont nécessaires pour respecter l’ordre des tons et demitons.
La tonalité de la flûte des mornes définit la gamme diatonique
majeure qu'elle peut produire.
Exemple de gamme
en Do majeur
Nous avons acheté deux flûtes des mornes accordées dans un magasin de musique pour pouvoir
observer quantitativement les différentes notes et la position des trous (tonalités do et sol).
Nous nous sommes rendu compte alors que la disposition des trous était pratiquement régulière
bien qu'il y ait des tons et des demi-tons. De plus les différents trous n'ont pas tous la même
taille. Nous nous sommes trouvés devant de nombreuses questions sans réponse, aussi nous avons
pris contact avec Monsieur PARFAIT, fabricant de flûte des mornes au Lamentin.
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La flûte des Mornes
Il nous a montré comment placer les doigts
pour jouer une gamme complète sur la flûte
des mornes. Il est évident que la note la plus
grave correspond à la longueur de tuyau
maximale, l'ouverture progressive des trous
permettant d'élever la fréquence pour
monter dans la gamme.
Les deux dernières notes (si et do) sont néanmoins surprenantes : pourquoi obtiendrait-on deux
notes n'ayant pas la même fréquence alors que dans les deux cas, le premier trou ouvert
"réduit" le tuyau aux mêmes dimensions ?
Le fait de boucher les trous dans la partie "coupée" changerait-il la fréquence ? Cette
observation rend inutiles voire non fondées les manipulations réalisées précédemment pour
étudier l'influence du diamètre et de la longueur du tuyau…
La tessiture d'une flûte des mornes, comme pour la plupart des instruments de la famille des
bois à trous latéraux, n'est pas limitée à une seule gamme.7, 8 Ces instruments font presque
toujours appel à plusieurs régimes d’oscillation du tuyau : une fois tous les trous latéraux
ouverts pour monter une gamme sur le premier régime, le musicien continue sa gamme
ascendante sur le second régime en refermant tous les trous puis en les ouvrant un à un. Il
obtient le second régime en modifiant les paramètres d’embouchures.
Cela signifie que pour un même couple longueur du tuyau L et diamètre D, on peut obtenir
plusieures fréquences séparées d'un octave.
C2- Détermination de la position des trous
Nous avons repris la méthode de fabrication artisanale de la flûte des mornes et nous avons
calculé le rapport des fréquences entre deux notes successives.
Le rapport entre la fréquence f d'une note et la fréquence f' de la note supérieure doit être
égale à un ton ou à un demi - ton.
v
D'après la loi usuelle de Bernouilli8 pour un tuyau ouvert - fermé f1  , on a
4L
f1' L
 .
f1 L'
Ce rapport vaut :
 pour la tonalité et le premier trou :
f11
L
5

 1,25 
2 1 /6
0
4
L
f1
4
5
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4L
10
1 /6
 Pour le premier et le second trou : 1  5  1,111 
2
18
L
9
f1
25
f1 2
 Pour le second et le troisième trou :
f13
f13
18L
9
1/ 12
 25  1,125 
2
16L 8
25
Par la méthode artisanale de fabrication de la flûte des mornes trouvée dans la littérature, nous
n'obtenons pas les rapports attendus ( 21 / 12 ou 21 / 6 ).
De plus, il est intéressant de constater que ces rapports de distances embouchure-trou ouvert
de deux notes consécutives, ne conduisent pas non plus aux résultats attendus lorsqu'on utilise
les flûtes achetées "accordées".
Aussi, plusieurs possibilités sont à envisager :
 le rapport des fréquences n'est pas équivalent au rapport des longueurs, c'est
à dire que les lois de Bernouilli ne s'appliquent pas dans ce cas,
 la longueur effective du tuyau ne correspond pas à la distance embouchuretrou ouvert,
 la flûte étudiée n'est pas accordée,
Nous avons donc entrepris de vérifier les notes de la flûte en do, les accords se sont avérés
presque parfaits… Les résultats obtenus sont regroupés ci-dessous :
NOTE
DO 4
RE
MI
FA
SOL
LA
SI
fi (Hz)
521
595
658
694
760
848
961
f i/fi-1
1,14
1,11
1,05
1,10
1,12
1,13
1 ton
1 ton
1/2 ton
1 ton
1 ton
1 ton
DO 5
1031
Produit :
1,07
2,0
1/2 ton
= 1 octave
DO 5
RE
MI
FA
SOL
1031
1160
1280
1351
1500
1,13
1,10
1,06
1,11
1 ton
1 ton
1/2 ton
1 ton
Nous avons demandé à Monsieur PARFAIT sur quel paramètre il jouait pour pouvoir accorder les
flûtes sans savoir avec précision la position des trous. Il nous a expliqué qu'il était obligé de
faire des trous régulièrement espacés pour permettre au joueur de positionner ses doigts
aisément. "Aussi, il suffit de percer un petit trou dans le corps de la flûte puis de l'agrandir
progressivement par tâtonnement : plus le trou sera grand, plus la fréquence du son émis
sera élevée. Mais attention, si la fréquence du son émis est trop élevée, la flûte est gâchée !"
nous a-t-il précisé.
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La flûte des Mornes
Le fabricant peut donc opérer un compromis entre position et diamètre relatif du trou.
Cependant, la possibilité d’ouvrir un trou de diamètre plus petit en le plaçant plus proche de
l’embouchure se paie au niveau des rapports de fréquence entre les divers régimes du tuyau. Ceci
influencera donc la justesse de l’instrument entre ses différents régimes. 7, 9
C3- Influence de la taille du trou
L'étude envisagée repose sur deux documents issus de la littérature.
Sur un premier document,7 il est écrit que le positionnement des
trous « de note » détermine la justesse de l’instrument à
l’intérieur d’un même régime. Le trou latéral, lorsqu’il est ouvert,
se comporte approximativement comme une extrémité ouverte
du tuyau à condition que son diamètre soit voisin de celui du
tuyau. Si son diamètre est plus petit, il convient de placer le trou
plus près de l’embouchure afin d’obtenir la même hauteur de note.
Cette affirmation est tout à fait en accord avec les observations de Monsieur PARFAIT.
Pour pouvoir accéder réellement à la longueur du tuyau, nous avons mis en œuvre une expérience
destinée à déterminer la taille minimale du trou (pour un diamètre donné) lui permettant de
se comporter comme une extrémité ouverte du tuyau.
Matériel :
 un tuyau de longueur L et de diamètre D
 1 perceuse avec des mèches de diamètre différent (dn variant de 4 mm à 10 mm).
 Le matériel nécessaire à l'acquisition et au traitement du son.
Protocole :
Fabriquer deux flûtes de tailles différentes à l'aide du tuyau.
Mesurer la fréquence f 0 du son issu de la flûte la plus courte.
Percer un trou dans la seconde flûte (à l'aide de la plus petite mèche) de manière à ce que la
distance embouchure-trou soit exactement égal à la longueur de la flûte courte.
Mesurer la fréquence f n du son issu de cette flûte sans boucher le trou.
Renouveler l'expérience en agrandissant le trou à l'aide des mèches de diamètre supérieur
jusqu'à l'obtention de la fréquence f 0.
Renouveler l'expérience avec un tuyau de diamètre différent pour comparer les résultats.
Un autre document9 a particulièrement attiré notre attention. Il est écrit qu'un trou latéral
réduit la longueur effective du tube. Sur ce diagramme schématique, la longueur réelle du tube
est indiquée en noir, tandis que la longueur effective (tube de droite non percé) varie en
fonction de la taille du trou.
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La flûte des Mornes
Nous avons alors envisagé une manipulation nous permettant d'observer ce type d'évolution.
Matériel :
 deux tuyaux de longueur L = 63 0,1 cm et de diamètres D = 2,8 0,1 cm et 3,6 0,1 cm
 1 perceuse avec des mèches de diamètre différent (dn variant de 4 mm à 10 mm).
 Le matériel nécessaire à l'acquisition et au traitement du son.
Protocole :
Fabriquer une flûte à l'aide d'un tuyau.
Mesurer la fréquence f 0 du son obtenu avant de percer le trou
Percer un trou dans la flûte à 31,5 0,1 cm de l'embouchure avec la plus petite mèche (4 mm)
puis faire l’acquisition du son issu du tuyau sans boucher le trou.
Renouveler l'expérience en agrandissant le trou à l'aide des mèches de diamètre supérieur.
Mesurer les valeurs de fréquence f n pour chaque mèche utilisée.
Renouveler l'expérience avec un tuyau de diamètre différent pour comparer les résultats.
Des mesures ont été effectuées mais leur exploitation n'étant pas terminée, nous ne
présenterons les résultats qu'ultérieurement.
Parallèlement, aux vues des connaissances acquises dans cette partie, nous avons décidé de
reconsidérer le mode opératoire suivi lors de l'étude de l'influence de la longueur et du
diamètre sur la tonalité de la flûte (partie B2) : la présence de trou le long du tuyau et la taille
des trous utilisés influant de manière non négligeable. Il est donc nécessaire de recommencer
les mesures en coupant les tuyaux plutôt qu'en modifiant la longueur à l'aide de trou.
20/29
La flûte des Mornes
PARTIE D : Nouvelles expériences sur la tonalité
1- Influence de la longueur
Nous avons de nouveau réalisé une expérience sur l’influence de la longueur du tuyau sonore, mais
cette fois ci, nous avons pris soin de couper progressivement le tuyau en PVC de façon à mesurer
à chaque fois la fréquence d'un tube sans trou. Nous avons effectué une série de mesures à
l'aide d'un tube de 100 cm de long que nous avons coupé tous les 5 cm. Les résultats obtenus
sont rassemblés dans le tableau ci-dessous (voir fichier Régressi dans les annexes) :
Tube de 2,3 0,1 cm de diamètre
L(cm)
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
f(Hz)
1050
943
820
746
676
617
559
526
485
461
429
397
376
360
341
330
1/f(ms)
0,95
1,06
1,22
1,34
1,48
1,62
1,79
1,90
2,06
2,17
2,33
2,52
2,66
2,78
2,93
3,03
Pour des raisons pratiques (gain de temps en particulier mais aussi pour se familiariser avec ce
logiciel utilisé en TP), nous avons choisi cette fois-ci, de réaliser le tracé et la modélisation des
courbes à l'aide du logiciel Régressi.
a
1 b
c
La formule proposée est toujours celle de Cavaillé-Coll : f 
soit
 L D
bL cD
f a
a
Comme précédemment, la modélisation de la représentation de
directeur
b
c
et à l'ordonnée à l'origine D .
a
a
1
f(L) conduit au coefficient
f
L'expérience avec un tube de diamètre D = 2,3 0,1 cm et de longueur L variable conduit à
1
l'équation de droite suivante : (28,4 0,5).10 4 L (213 32).10 3
f
b
Soit
(28,4 0,5).10 4 s.m 1 
a
c
(213 32).10 6 s  D
a
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La flûte des Mornes
2- Influence du diamètre
Nous avons recommencé l'étude sur l’influence du diamètre du tuyau sonore en utilisant une
batterie de tuyau en PVC de longueur 20,7 0,1 cm sans trou. Les résultats obtenus sont
rassemblés dans le tableau ci-dessous (voir fichier Régressi dans les annexes) :
Tube de 20,7 0,1 cm de long
D(cm)
4,4
3,6
2,8
2,3
1,8
1,4
f(Hz)
813
985
1080
1290
1360
1450
1/f(ms)
1,23
1,01
0,93
0,77
0,74
0,69
Découpe des différents tuyaux
Contrôle qualité !!
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La flûte des Mornes
Comme précédemment, la modélisation de la représentation de
directeur
c
b
et à l'ordonnée à l'origine L .
a
a
1
f(D) conduit au coefficient
f
L'expérience avec un tube de longueur L = 20,7 0,1 cm et de diamètre D variable conduit à
1
(179 42).10 4 D (0,41 0.12 ).10 3
f
c
(179 42).104 s.m 1 
a
b
(0,41 0.12).10 3 s  L
a
L'équation de droite suivante :
Soit
3- Interprétation des résultats
Nous avons à nouveau cherché à vérifier la corrélation entre les deux relations obtenues en
utilisant les deux couples de constantes :
b
(28,4 0,5).10 4 s.m 1 
a
c
6
(213 32).10 s  D
a
(179 42).10 4 s.m 1 
c
a
b
(0,41 0.12).10 3 s  L
a
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La flûte des Mornes
Nous devons retrouver, par le calcul, les valeurs expérimentales de L = 20,7 0,1 cm et de D =
2,3 0,1 cm.
b
L
0, 41.10 3
Lcal a 
0,14 m 14 cm
b
28, 4.10 4
a
c
D
213.10 6
Dcal  a 
0, 012m 1,2cm
c
179 .10 4
a
Les valeurs de D cal et de Lcal obtenues sont très différentes de celles utilisées lors de
l'expérience :
Ecart relatif sur L
Ecart relatif sur D
Lexp Lcal
Lexp
Dexp Dcal
Dexp

20,7 14

20,7
32%
2,3 1,2
48 %
2,2
Les résultats ne sont pas beaucoup plus concluants que précédemment. Le modèle proposé ne
semble pas s'adapter à notre étude.
Le but de notre travail étant de réaliser un abaque, nous avons tout de même soumis ces
résultats à Monsieur Fred FRANCOISE, notre professeur de mathématiques.
4- Réalisation d'un abaque
Monsieur Fred FRANCOISE s'est empressé de nous créer un programme permettant de tracer
un abaque. Après plusieurs essais infructueux et sans doute beaucoup de réflexion, il nous a fait
par de ses conclusions :
1 b
c
 Soit la formule  L  D peut modéliser le phénomène, mais il y a des erreurs
f a
a
c
lors de l'estimation de
(mesures erronées, erreurs de calcul,…)
a
1
 Soit il n'y a pas linéarité en D et auquel cas il aurait fallu plutôt chercher
sous la
f
1 b
forme  L (D) , où est une fonction à approcher empiriquement.
f a
On pourrait supposer une fonction (D) du type (D) kD² . En effet, ce n'est peut
être pas le diamètre du tube qui entre en jeu mais la section du tube. Plus le diamètre
est grand, plus la surface est grande et plus l'énergie transportée par l'onde par unité
de surface diminue. Or cette section n'est pas proportionnelle à D mais à D².
Nous allons considérer correctes les mesures réalisées lors de la seconde série d'expériences.
Nous ne pensons pas pouvoir améliorer ces résultats et nous ne décelons à ce stade aucune
erreur de calcul. Nous nous sommes alors concentrés sur la nouvelle relation qui de plus, semble
tout à fait pertinente.
a
1 b
c
 L  D²
La formule proposée est maintenant celle de FRANCOISE : f 
soit
bL cD²
f a
a
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La flûte des Mornes
1
f(L) conduit comme précédemment au coefficient
f
b
c
directeur
mais aussi à l'ordonnée à l'origine D² .
a
a
1
Quant à la modélisation de la représentation de f(D²) , elle conduit au coefficient directeur
f
c
b
et à l'ordonnée à l'origine L .
a
a
La modélisation de la représentation de
Les résultats de l'expérience avec le tube de longueur L = 20,7 0,1 cm et de diamètre D
variable conduisent à une nouvelle droite. La modélisation sur regressi donne l'équation suivante :
1
(30,7 5,7).10 2 D² (637 59).10 3
f
Soit
c
(30,7 5,7).10 2 s.m2 
a
b
(637 59).106 s  L
a
Nous reprenons ensuite les résultats de l'expérience avec le tube de diamètre D = 2,3 0,1 cm
et de longueur L variable conduisant à l'équation de droite suivante :
1
(28,4 0,5).10 4 L (213 32).10 3
f
b
Soit
(28,4 0,5).10 4 s.m 1 
a
c
6
(213 32).10 s  D²
a
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La flûte des Mornes
Nous devons retrouver, par le calcul, les valeurs expérimentales de L = 20,7 0,1 cm et de D =
2,3 0,1 cm.
637.10 6
Lcal 
0,22 m 22cm
28, 4.10 4
213.10 6
Dcal² 
6,94.10 4 m² soit
30,7.10 2
Ecart relatif sur L
Ecart relatif sur D
Lexp Lcal
Lexp
Dexp Dcal
Dexp

Dcal 2,6cm
20,7 22
6%
20,7

2,3 2,6
13%
2,2
Les résultats sont bien plus engageants que précédemment. Le modèle proposé semble être bien
plus adapté.
Monsieur FRANCOISE a alors réalisé l'abaque définitif en utilisant cette relation.
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La flûte des Mornes
ABAQUE
27/29
La flûte des Mornes
Conclusion
Lors de notre étude de la flûte des Mornes, nous avons mis en avant des paramètres qui
influaient sur la tonalité de la flûte, tel le diamètre et la longueur. Nous avons réalisé une étude
méthodologique de l'influence de ces paramètres sur la fréquence du son issu d'un tuyau sonore
ouvert à une de ses extrémités.
A l'aide des résultats obtenus au cours de nos expériences, nous avons proposé un nouveau
modèle reliant la fréquence, la longueur du tuyau et son diamètre intérieur. Modèle qui nous a
permis d'élaborer un abaque permettant de prévoir la taille du bambou selon son diamètre pour
une tonalité donnée.
Parallèlement, nous nous sommes interesséss à la position des trous latéraux permettant de
jouer les différents accords. Mais des incohérences dans nos observations, nous ont permis de
découvrir des facteurs plus complexes dont nous avons pu obtenir quelques informations dans la
littérature, en particulier l'influence de la taille du trou.
Nous n'avons pas encore pu établir quantitativement les liens entre la fréquence du son, la
position et la taille du trou ; des interactions encore plus complexes entre les différents trous
et le jet d'air propulsé par l'embouchure étant à considérer. Cette question est toujours
d'actualité…
Enfin, ce travail nous aura été très utile pour mieux appréhender le traitement des données
expérimentales en travaux pratiques, lors des futures épreuves expérimentales et lors de l'écrit
du baccalauréat, en particulier par le tracé de courbe, les calculs d'écarts relatifs et de
précisions des mesures.
"Tous ces travaux éprouvants mais amusants ont débouché à des résultats tant attendus
dans un grand ouf de soulagement du groupe (professeur et élèves) …" (Miguel, un futur
chercheur ??)
28/29
La flûte des Mornes
BIBLIOGRAPHIE
 Ouvrages et sites internet référencés :
1- http://www.hello-caribbean.com/hello22/mona.htm,
http://www.afrik.com/musik/artiste.php?id_artiste=857
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2002 ; enseignement de spécialité, Collection Durandeau - Durupthy, HACHETTE Education,
2002 ; enseignement de spécialité , Collection Parisi, BELIN, 2002.
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2002.
4- http://perso.wanadoo.fr/organ-au-logis/Pages/CavailleTuyau.htm
5- http://www.corsaire.org/consulting/422.html
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8- http://perso.wanadoo.fr/organ-au-logis/Pages/Loituyau.htm
9- Arthur BENADE, Les bois dans les instruments de l'orchestre, Bibliothèque pour la science
diffusion Belin, 1995.
10- Florence DAUMARIE, Pascal GRIESMAR, Solange SALZARD, Florilège de chimie pratique,
collection "Enseignement des sciences, Hermann, 2002.
11- http://etiop.free.fr/gammes.htm#Les%20notes%20et%20les%20rapports,
http://www.nicedays.net/site/Musique/Solfege/Gammes.html
 Ouvrages et sites consultés non référencés :
Chérif ZANANIRI, musique et physique , collection "La physique pour tous", Ellipse, 2OO2.
http://www.inrp.fr/Acces/JIPSP/phymus/m_bibli/caillaud/biblioca.htm#SITES%20SUR
http://villemin.gerard.free.fr/CultureG/MusNote.htm#gamme
http://www.nicedays.net/IMG/pdf/book.pdf
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