307 - SMSM

Introduction
Depuis ces dernières années, les études sur les
comportements mécaniques des mousses métalliques tant
sur le plan expérimental que théorique se sont intensifiés
[1-4]. Tandis qu'une grande partie de la littérature est
disponible sur la déformation et comportement
d'absorption d'énergie de mousse métallique sous
compression uniaxiale, il y en a très peu sur le
comportement dans des conditions de charge multiaxial
[5-8]. L'objectif principal de ce travail est d'explorer
l'indentation et d’examiner également les propriétés de
cisaillement de mousse par l'indentation. Nous nous
intéressons également à différents mécanismes
d’absorbation d'énergie, lorsque la mousse est soumise
aux sollicitations multiaxiales de ce type d'indentation.
Nous avons effectué les essais de compression uniaxiale
d'indentation profonde avec les pénétrateurs sous forme
de cône avec des angles de 0°, 15°, 30°, et 45° sur les
mousses à cellules ouvertes. Les résultats expérimentaux
obtenus ont été analysés à l'aide des modèles analytiques
simples.
Condition expérimentale
Les mousses d’aluminium que nous fabriquons
dans notre laboratoire ont été utilisées dans cette étude.
L’échantillon a été usiné avec les dimensions de
20x20x20 mm. Les essais d’indentation ont été
effectués à température ambiante avec une machine
universelle (INSTRON 8250).
Quatre types différents de pénétrateurs coniques
avec des angles θ, de 0°, 15°, 30° et 45° (voir la figure
1) sont utilisés. Dans tous les cas, la profondeur
maximale de la pénétration a été maintenue à 10 mm,
de sorte que la réponse de déplacement soit obtenue
pour 5 couches au minimum de cellules. Trois
indentations ont été effectuées pour chaque cas et les
données de charge P/profondeur h sont enregistrées et
analysées. Après l’indentation, nous avons coupé les
éprouvettes afin d’examiner la zone endommagée.
26
24
22
20
Angle differrent de cône
18
Force,P (kN)
X.L.Gong & A.Cherouat
Institut Charles Delaunay, CNRS FRE 2848, UTT
12, rue Marie Curie, BP 2060
10010 Troyes cedex FRANCE
[email protected], [email protected]
Résultats
a. Réponse de la force P/déplacement h
La figure 2 présente les 4 courbes de P-h typiques de
l'indentation conique avec des angles de cône de 0°, 15°, 30°
et 45°. On peut voir que sur ces 4 courbes, la partie élastique
est très courte et la limite élastique est relativement faible.
Ceci peut être dû à la singularité des efforts et à la
localisation de contrainte au périmètre du bout de
pénétrateur. Après la limite élastique, la charge augmente
linéairement avec la profondeur de la pénétration. La force
nécessaire pour pénétrer dans une profondeur h donnée
augmente comme prévue avec l’angle θ.
45
o
16
30
14
o
15
12
10
o
0
o
8
6
4
2
0
0
2
4
6
8
10
Déplacement, h (mm)
Fig.2 Courbes typiques de P-h obtenues sous l'indentation
conique avec angles différents
La première charge de crête correspond normalement à la
force d'effondrement d'une bande des cellules. Cependant,
comme nous avons vu dans la figure 2, la faible valeur de
limite élastique d’un pénétrateur conique permet d’une
évaluation de l'énergie de déchirement plus facile. Pour
pouvoir analyser l’énergie, nous avons pris les valeurs de P
aux déplacements fixes de 2, 4, 6, 8 et 10 mm de chacune des
courbes de P-h et les comparé (fig.3). Sur cette figure, on
constate que la charge augmente asymptotiquement avec le θ.
14000
h=6mm
Courbe analytique
Essai
12000
Force (kN)
Etude de l’indentation des mousses
d’aluminium avec le pénétrateur de cône
10000
8000
6000
0
10
20
30
40
50
Angle du cône (degré)
Fig.3 Charge P en fonctions angle du cône θ, résultats
obtenus pour un déplacement de 6 mm
θ
Pénétrateur
Mousse
Fig.1. Schéma du pénétrateur
L'énergie absorbée, E, pendant l'indentation est estimée en
intégrant l’air sous les courbes de P-h et est tracée dans la
figure 4 en fonction du θ. Il faut noter que pour les
expériences d'indentation, E a été estimée jusqu'à une
profondeur de la pénétration de 10 mm tandis que pour la
compression uniaxiale on l'a estimé jusqu'à un déplacement
de 10 mm (voir ci-après la modélisation analytique), de sorte
que ces énergies puissent être comparées sur cette base. De
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9ième Congrès de Mécanique, FS Semlalia, Marrakech
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120
120
Résisstence au cisaillement
Energie du déchirment
Energie du déchirment, Γ (Ν/mm)
100
150
140
130
Essais
Modélisation
120
110
Energie, E (J)
100
90
80
70
60
Energie du cisailllemnt
50
40
100
80
80
60
60
40
40
20
20
0
0
4
30
Energie du dechirement
20
10
Résisstence au cisaillement, τ (MPa)
plus, l’augmentation de l’énergie avec le θ a une
tendance très semblable à celle vue dans la figure 3.
6
8
10
Profondeur de pénétration, h (mm)
Energie d'enfondrement
0
0
10
20
30
40
89
Fig.5 Variation de Γ et de τ en fonction de pénétration h
90
Angle de cône, θ (degré)
Fig.4 Energie absorbée pendant l’indentation, E en
fonction de l’angle du cône θ
b. Morphologie de la zone déformée
Les mécanismes qui aident à expliquer les
tendances observées ci-dessus ont été analysés par des
observations macroscopiques selon différents angles de
cône. Cette partie sera publiée ultérieurement.
c. Analyse de la charge
La charge d'indentation, Pi peut être linéairement
divisée comme suit :
Pc : Force pour écraser les cellules sous le pénétrateur,
Pt : Force pour déchirer les cellules le long de la
circonférence du bout du pénétrateur,
Ps : Force pour cisailler obliquement les cellules.
Ainsi, nous avons : Pi = Pc + Pt + ( Ps / cos θ )
(1)
Pour l'énergie de déchirement Γ, on voit selon la figure 5
que Γ augmente linéairement avec la profondeur de la
pénétration h. Cette énergie peut être modélisée par
l’équation linéaire suivante : Γ = 9, 49h + 14, 41 (3)
d. Analyse d’absorbation d’énergie
L'énergie totale Ei dépensée pendant l’indentation peut
être divisée en trois parties, en écrasant, en déchirant et en
cisaillant les cellules. Nous avons donc la relation suivante :
Ei = Ec + Et + Es (4)
EC est l'énergie pour l'écrasement en plastique des
cellules sous le pénétrateur, Et est l'énergie dépensée en
pénétrant une fissure de déchirement dans la mousse par le
bout de pénétrateur à son périmètre, et Es est l'énergie
dépensée dans le cisaillement en plastique des murs de
cellule à la frontière de pénétrateur/spécimen. Puis, en
utilisant les relations géométriques, nous pouvons écrire :
H
H
Ps
πh
π H 2 H tan θ
E =
dh = τ
( h tan θ + 2r ) dh = τ
(
+ r ) (5)
s
Il faut noter que l'équation (1) néglige la
déformation élastique. C'est une supposition
raisonnable en considérant dans le cas de l’indentation,
que les contraintes élastiques sont trop faible et donc
négligeables par rapport à contraintes de plasticité.
Supposant que la résistance plastique σ, l'énergie de
déchirure Γ, et la résistance au cisaillement τ, sont des
paramètres indépendants du matériau, l’équation (1)
peut être écrite comme suit :
Pi = π r 2σ c + 2π r Γ +
τ
cos 2 θ
π h( h tan θ + 2r )
(2)
r est rayon du bout de pénétrateur (5 mm dans
l'étude). L’hypothèse du travail est que la résistance
plastique est constante en fonction de h. L’équation (2)
peut être utilisée pour modéliser analytiquement la
charge Pi en fonction de θ, à l’aide des valeurs de Γ et
de τ. Ici, la valeur expérimentale σc est égale à 16,74
MPa obtenue par des essais de compression uniaxiale
effectués dans l'étude précédente.
La figure 5 montre les valeurs de Γ et de τ obtenues
à partir de résultats expérimentaux en fonction de h. La
résistance au cisaillement τ est une constante de 16,45
MPa et reste invariables avec la profondeur de
pénétration h.
∫
0
cos θ
∫
0
cos 2 θ
cos 2 θ
3
2
EPEP = Ec + Et (6), Ei = EPEP + τπ H2 ( H tan θ + r ) (7)
cos θ
3
H est la profondeur maximale de la pénétration (=10
mm). La courbe d’E en fonction de θ avec la valeur de τ =
16,45 MPa a été déjà montrée dans la figure 4. Nous voyons
que la courbe analytique correspond bien à celle
expérimentale. Les expériences et les analyses conduites dans
cette étude prouvent qu'il est possible d'obtenir les propriétés
des matériaux telles que l'énergie de déchirement et la
résistance au cisaillement de la mousse à partir des résultats
d’indentation coniques.
Modélisation numérique
La modélisation numérique de la réponse d'indentation à
extrémité sphérique en conditions axisymétrique est réalisée
en utilisant le code de calcul ABAQUS. Le comportement de
plasticité du matériau est décrit par l'option CRUSHABLE
FOAM. L’objectif principal de cette analyse est de prévoir
les forces et particulièrement l'importance de la zone
d’endommagement.
a. Conditions aux limites
La modélisation se fait sur ABAQUS/Standard en
axisymétrique. Le pénétrateur est simulé à l’aide d’un profil
filaire analytique rigide axisymétrique, le bloc de mousse est
représenté par une surface 2D axisymétrique déformable. Le
contact entre les surfaces du pénétrateur et de la mousse est
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9ième Congrès de Mécanique, FS Semlalia, Marrakech
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modélisé avec un coefficient de frottement de 0,3,
approximativement.
b. Description du modèle d'éléments finis
La modélisation numérique nous permet de
comprendre le mode de déformation provoqué par une
indentation locale. Une idéalisation axisymétrique a été
appliquée
pour
la
mousse.
Les
éléments
quadrangulaires axisymétriques à 4 nœuds (CAX4) ont
été employés et le maillage s'est composé de 2400
éléments. Avant de faire d'autres calculs, une étude de
sensibilité de maille en ce qui concerne le nombre
d'éléments et le rapport de forme ont été réalisés pour
s'assurer que les éléments ne se distordent pas.
c. Résultas et discussions
La figure 6 montre la courbe force/déplacement
obtenue par le calcul et par l’essai expérimental sur la
même mousse. Nous observons une bonne
correspondance entre la simulation et l’expérience.
L’utilisation de ce modèle, comme tous modèles
macroscopique, nécessite des précautions d’usage (les
hétérogénéités doivent être bien reparties et de faibles
dimension vis-à-vis de celle de la pièce).
5
Essai d'indentation
Modélisation numérique
Force (kN)
4
celle de la pièce réelle (à gauche). Nous observons une
correspondance correcte de la profondeur de densification
ainsi que de la forme de la zone densifiée.
Fig.8 Comparaison de la morphologie entre exp et numérique
Conclusion
L’objectif de ce travail est d’étudier les comportements
de l’indentation des mousses d’aluminium avec cellules
ouvertes. L’énergie de déchirement dépend de la profondeur
de pénétration. Les observations ont indiqué que la
déformation principale a eu lieu sous le pénétrateur par
l'effondrement de cellules, également par le déchirement des
parois de la cellule se produisant autour du périmètre du
pénétrateur. Le mécanisme de processus d’indentation et la
dissipation d’énergie se sont modélisés par des modèles
analytiques simples. Nous avons constaté que l’énergie de
déchirement dépend de la profondeur de l’indentation. Les
simulations par éléments finis d’indentation à extrémité
sphérique se sont en accord avec les résultats expérimentaux.
3
Références
2
1
0
0
2
4
6
Déplacement (mm)
Fig.6. Comparaison entre exp. et numérique
La figure 7 présente la répartition de la
déformation plastique cumulée de la mousse. Nous
remarquons que la zone densifiée est en forme
hémisphérique et qu’elle correspond bien à la réalité
d’un essai. La déformation maximale des cellules se
situe sous le pénétrateur où les cellules de la mousse
sont comprimées complètement. Dans l’interface entre
la zone hémisphérique et la zone non déformée, les
cellules de la mousse sont mi-écrasées comme
l’observation micrographique. Nous pouvons constater
également que la zone d’endommagement s’agrandi
avec l’augmentation du profondeur d’indentation.
Fig.7 Répartition de la déformation plastique cumulée
La figure 8 nous permet de comparer la réponse du
modèle (à droite, déformation plastique cumulée) et
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