Livret d`exercices - Première S

Livret d’exercices - Première S
Association Tremplin
Table des matières
I
Présentation du livret
2
Quelques conseils pour les tuteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dates importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II
Séances de Mathématiques
Cryptographie : Chiffrage de Hill . . .
Modélisation Mathématique . . . . . .
Olympiades de Maths . . . . . . . . .
Factorielles & Symboles . . . . . . . .
Coefficients binomiaux & Probabilités
Raisonnement par l’Absurde . . . . . .
Principe des Tiroirs . . . . . . . . . .
Relation de divisibilité . . . . . . . . .
Congruences & Modulo . . . . . . . .
Le nombre d’or . . . . . . . . . . . . .
Dérivation & Optimisation . . . . . . .
Structures fractales . . . . . . . . . . .
Calcul de Pi selon Archimède . . . . .
III
IV
4
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en mécanique
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en mécanique
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Séances de Physique
Mécanique du skieur . . . . . . . . . .
Quelques phénomènes optiques . . . .
La fibre optique . . . . . . . . . . . . .
Culture générale et problèmes concrets
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
Anciennes séances (à retravailler)
Cryptographie : Chiffrage de Hill . . .
Culture générale et problèmes concrets
Les bulles . . . . . . . . . . . . . . . .
Loi de Laplace . . . . . . . . . . . . .
3
3
19
20
21
22
23
1
24
25
26
27
Première partie
Présentation du livret
2
Quelques conseils pour les tuteurs
Bienvenue aux nouveaux tuteurs !
Ce livret a pour objectif de vous aider dans la préparation de vos séances en premières S en mathématiques et en physique. Il s’agit de séances réalisées les années précédentes mais, bien entendu, vous pouvez
développer vos propres séances. Durant ces séances, à la différence d’un cours prodigué par un professeur,
la transmission d’un savoir particulier n’est pas le point clé. Certes, il est toujours intéressant pour les
élèves d’avoir déjà vu certains chapitres ou d’acquérir certaines méthodes mais il ne faut pas s’étonner si la
discussion de certaines séances s’oriente spontanément sur les études post-bac. Ne voyez pas cette séance,
durant laquelle les élèves n’ont "rien" appris, comme un échec, au contraire les élèves vous seront reconnaissants d’avoir présenté l’enseignement supérieur qui reste pour eux très flou. Le tuteur est un interlocuteur
accessible, proche des élèves et doté d’une certaine expérience qu’il se doit de partager !
Dans tous les cas, privilégiez le dialogue avec les élèves car c’est le dynamisme d’un groupe qui conditionne
la réussite d’une séance. Les premières S ont un bagage scientifique très mince en début d’année, évitez de
les brusquer avec des notions nouvelles trop ambitieuses. On peut rechercher des exercices ludiques afin
de leur redonner confiance et leur faire prendre conscience de tout ce qu’ils savent déjà. Pour toutes les
séances de physique et de chimie, il faut veiller à les introduire sous l’angle de l’application afin de captiver
l’attention des élèves. D’une manière générale, ils sont friands d’anecdotes et de défis ce qui permet de
détendre l’atmosphère et d’échapper au cadre trop formel d’un cours classique. N’hésitez pas non plus à
apporter un certain historique sur le thème enseigné.
Dates importantes
Quelques dates clefs sont rappelées ici afin de donner au tuteur une vue d’ensemble des événements
organisés par l’association au cours de l’année et actions requises auprès des élèves :
–
–
–
–
–
–
–
–
Octobre/Novembre : Inscription des élèves dans une base de données
Novembre : Assemblée Générale de l’association
Décembre : Demande des copies des bulletins du premier trimestre
Décembre : Journée de l’orientation pour les élèves (De même en février)
Février : Attestation de participation des élèves au dispositif
Vacances de Février : Stage de préparation au concours des écoles d’ingénieur à prépa intégrées
Mars : Réalisation du nouveau livret d’exercices
Vacances de Pâques : Stage de préparation au bac et ateliers scientifique pour les terminales
3
Deuxième partie
Séances de Mathématiques
4
Cryptographie : Chiffrage de Hill
Idée pour une première séance
Prérequis
– Savoir faire une division euclidienne entre deux entiers relatifs.
Résumé de la séance
La structure de la séance est brièvement évoquée ci-dessous. D’autres formes de codages peuvent être
utilisées, cela séduit généralement les élèves. On peut par exemple séparer la classe en plusieurs groupes et
les faire s’envoyer l’un à l’autre un message à coder/décoder.
Cryptage
Après avoir expliqué ce qu’est la cryptographie, on propose aux élèves de crypter un message à l’aide de
la méthode du chiffrage de Hill, utilisant un système (S) :
2x + 5y = a
{
3x + 7y = b
Pour cela, on commence par numéroter dans un tableau les lettres de l’alphabet.
A B C D E F G H I
0 1 2 3 4 5 6 7 8
J
9
K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Pour coder un message, on commence par grouper les lettres de ce message deux par deux, puis on remplace
chaque lettre par un nombre, comme indiqué par le tableau. On veut coder le message « TREMPLIN». On le
décompose en T R−EM −P L−IN puis on remplace par : (20; 18)−(5; 13)−(16; 12)−(9; 14) Ensuite chaque
couple de nombres (x; y) de la liste précédente est transformé par le système (S) pour donner un nouveau
couple (a; b). Enfin ces deux nombres a et b sont transformés en lettre en utilisant le tableau de correspondance. Pour coder par exemple « TR », on remplace par (20; 18) et on obtient : a = 2 × 20 + 5 × 18 = 130 et
b = 3 × 20 + 7 × 18 = 186. Il faut faire comprendre aux élèves qu’en fait, pour trouver les lettres du message
chiffré, on se ramène aux valeurs du tableau en enlevant 26 puis 26 puis 26... On pourrait si le niveau des
élèves le permet leur faire calculer le reste de la division euclidienne par 26. Ici (TR) est codé par (AE).
Décryptage
Pour décrypter, il s’agit d’inverser le système précédent, ce qui peut paraître difficile aux élèves. Le
système obtenu est (S’) :
−7a + 5b = x
{
3a − 2b = y
On peut prouver que ça marche en décodant le mot codé obtenu avec TREMPLIN.
5
Modélisation Mathématique
Peu de prérequis, variables selon les énigmes
Proportions
– Dans ce collège, le quart des élèves ne fait pas d’allemand, le tiers ne fait pas d’anglais, 300 pratiquent
les deux, et un douzième aucune des deux langues. Combien d’élèves étudient seulement l’allemand ?
Anglais : 2/3 Pas Anglais : 1/3
Allemand : 3/4
300
?
→ Avec un tableau selon les langues :
Pas Allemand : 1/4
?
1/12
– Sept cars, pleins de touristes aux deux-tiers se dirigent vers Sète. À Troyes, un quart des touristes en
descend. Peut-on alors mettre les trois quarts restant dans trois cars ? Et les trois quarts ?
14
→ Ici, il suffit de traduire l’énoncé sans s’affoler. La proportion de touristes est de 2×7
3 = 3 , puis elle
7
diminue d’un quart pour devenir 43 × 14
3 = 2 . Ce nombre est supérieur à 3 mais pas à 4 donc on ne
peut pas mettre tous les touristes restant dans trois cars mais les trois quarts c’est possible.
Montres déréglées
– Les montres de Rachid et Mohammed ne sont pas à l’heure. Celle de Rachid indique 19h mais elle
avance de 10 minutes par heure, celle de Mohammed indique 17h mais retarde de 10 minutes par
heure. Quelle heure est-il sachant que ces montres ont été mises à l’heure au même instant.
→La méthode simple, consiste à remarquer qu’il s’agit d’un problème barycentre. La véritable heure est
égale au barycentre de l’heure affichée sur la montre de Rachid et celle de Mohammed où le coefficient
est le retard pris respectivement par la montre de l’autre personne. Ici, on fait l’isobarycentre : 18h.
Aires et périmètres
– Karim et Mehdi cultivent chacun leur jardin rectangulaire. Celui de Karim a la plus grande longueur
et la plus grande surface. Qu’en est-il du périmètre ? Si Karim avait celui ayant la plus grande longueur
et le plus grand périmètre, serait-il sûr d’avoir la plus grande surface ?
→ Dans les deux cas la réponse est non. Il suffit de trouver un contre-exemple.
Pile ou face
– Un chat et une souris décident de jouer à pile ou face. Mais ils se disent que ce n’est pas très intéressant
comme jeu donc ils compliquent un peu la règle. Chacun choisit une combinaison de trois résultats (ex.
Pile, pile, face). Ils lancent la pièce plusieurs fois, le premier qui voit sa combinaison apparaître dans
les trois derniers lancers gagne. Ils ne peuvent pas choisir la même combinaison. Le chat, étant plus
fort décide de choisir sa combinaison en premier, et la souris étant intelligente le laisse faire. Existe-t-il
une stratégie pour maximiser l’espérance du gain d’un des deux joueurs ?
→ Dans cet exercice, la disjonction des cas est l’idée à introduire. Si le chat joue P/P/P ou P/P/F,
la souris aura plus de chances d’avoir F/P/P. De même en regardant les autres cas, la souris gagne.
6
Olympiades de Maths
Aucun prérequis, assez difficile
Présentation
Chaque année, il est organisé un concours dans de nombreuses matières pour les premières : il s’agit
des Olympiades académiques. Les meilleurs élèves passent ensuite les Olympiades nationales voir même
les Olympiades internationales. Les annales des Olympiades de mathématiques offrent une quantité d’exercices difficiles mobilisant très peu de prérequis. Pour des élèves motivés, ces problèmes concis nécessitent
systématiquement la mise en place d’un raisonnement. En voici quelques exemples.
Exercice 1
10 personnes sont assises autour d’une table ronde. 10 jetons portant les numéros de 1 à 10 sont distribués
au hasard à ces 10 personnes. Chaque personne gagne une somme égale en euros au total du numéro de son
propre jeton, de celui du voisin de gauche et de celui du voisin de droite.
1. Donner un exemple de répartition des jetons. Indiquer le gain de chaque personne et la moyenne.
2. Prouver qu’on a toujours au moins une des dix personnes avec un gain supérieur ou égal à 17 euros.
3. Donner un exemple où tous les gains sont inférieurs ou égaux à 18 euros.
4. Prouver qu’on a toujours au moins une des dix personnes avec un gain supérieur ou égal à 18 euros.
1. On peut proposer la répartition 1 − 2 − 3 − 4 − 5 − 6 − 7 − 8 − 9 − 10. Dans l’ordre les individus gagnent
13 − 6 − 9 − 12 − 15 − 18 − 21 − 24 − 27 − 20. La moyenne est de 165
10 = 16, 5.
2. Un jeton est compté trois fois dans les gains (pour celui qui l’a, celui à sa droite et celui à sa gauche).
Au total, tous les jetons sont comptés trois fois donc la somme des gains vaut 3 × (1 + . . . + 10) = 165
donc la moyenne est toujours de 16, 5. Il y a alors toujours un gain supérieur à 17.
3. Exemple 1−10−6−2−9−5−4−8−3−7 dont les gains sont 18−17−18−17−16−18−17−15−18−11.
4. Si ce n’est pas le cas, tous les gains sont inférieurs ou égaux à 17 mais la moyenne est de 16, 5 donc au
moins 5 personnes gagnent 17. En fait, il y en a exactement 5 car sinon deux voisins auront le même
gain ce qui est absurde. Ainsi les gains sont de 16 et de 17. En s’intéressant ensuite aux voisins de la
personne possédant le jeton valant 10, on tombe à chaque fois sur une absurdité.
Exercice 2
On dit qu’un nombre entier supérieur ou égal à 2 est bon s’il peut s’écrire comme la somme de nombres
entiers naturels non nuls, distincts ou non, dont la somme des inverses est égale à 1. Ainsi 2 n’est pas bon
car la seule décomposition de 2 en somme d’entiers est 1 + 1 mais 11 + 11 n’est pas égal à 1.
1. Déterminer les bons nombres entre 3 et 11 inclus.
2. Montrer que le carré de tout nombre entier supérieur ou égal à 2 est bon.
3. Montrer que si n est bon, alors 2n + 2 et 2n + 9 sont bons.
4. Généraliser ce résultat.
1. Les seuls nombres bons entre 3 et 11 sont 4 = 2 + 2, 9 = 3 + 3 + 3, 10 = 2 + 4 + 4 et 11 = 2 + 3 + 6.
2. On a n2 = n
+n+
. . . + n} et n1 +
{z
|
|
n fois
1
n
+ ... +
1
n
{z
}
n fois
=1
3. n est bon donc s’écrit comme somme de nombres dont la somme des inverses vaut 1, ainsi 2n s’écrit
comme somme de nombres dont la somme des inverses vaut 12 . Donc 2n + 2 est bon car 12 + 12 = 1.
(Tout comme 2n + 9 car 9 s’écrit 3 + 6 et on 31 + 16 = 12 )
4. On peut généraliser ainsi : si n est bon et m s’écrit comme somme de nombres dont la somme des
inverses est de la forme 1 − k1 alors kn + m est bon. En effet, il suffit de s’inspirer de la question 3.
pour remarquer que kn s’écrit comme somme de nombres dont la somme des inverses est k1 .
7
Factorielles & Symboles
Aucun prérequis, on ne fait que des sommes et des multiplications, assez simple
Factorielles
On appelle n factorielle et on note n! = 1 × 2 × . . . × n. Par définition, 0! = 1.On remarque que pour
tout n ∈ N, on a (n + 1)! = (n + 1) × n!. On pourra dresser ce tableau de comparaison :
n
n2
n3
n!
Calculer
Signe
3! 6! 99! 1000!
4! , 5! , 100! , 999!
0
0
0
1
puis taper
1
1
1
1
2 3 4
5
6
7
4 9 16 25 36
49
8 27 64 125 216 343
2 6 24 120 720 5040
1000!
999!
à la calculatrice.
P
P
Le signe
est une facilité d’écriture pour écrire des sommes très longues. On l’utilise sous la forme
P in
suivante : fk=début
f (k) où f (k) est une expression qui dépend de k.
On a par exemple : nk=0 k = 1 + . . . + n. Qu’en est-il des autres sommes ?
– 1 + 4 + 9 + 16 + . . . + 49
– 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + . . . + 31
– 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + . . . + 20
– 1 + 2 + 6 + 24 + 120 + . . . + 5040
P
Simplifier les sommes télescopiques suivantes :
–
25
X
(k + 1) − k
–
k=0
Signe
10
X
(k + 1)! − k!
–
k=3
100
X
(k + 1)2 − k 2
k 2 (k
k=2
+
–
1)2
12
X
1
k(k + 1)
k=5
Q
On peut définir de même le symbole
Q
pour la multiplication...
Coefficients binomiaux
On pose
n
k
=
n!
k!(n−k)! ,
cela se lit "k parmi n". On pourra dresser ce tableau :
n/k
0
1
2
3
4
5
6
7
On a la formule (a + b)n =
0 1
1 X
1 1
1 2
1 3
1 4
1 5
1 6
1 7
n k n−k
.
k=0 k a b
Pn
2
X
X
1
3
6
10
15
21
3
X
X
X
1
4
10
20
35
4
X
X
X
X
1
5
15
35
5
X
X
X
X
X
1
6
21
6
X
X
X
X
X
X
1
7
7
X
X
X
X
X
X
X
1
On parle du binôme de Newton.
Exercices difficiles
!
E( n
)
2
!
n
n
– Montrer que
=
.
k
n−k
!
!
!
n
n
n+1
– Montrer que
+
=
.
k
k+1
k+1
! n
!
!
n
n
X
X
n X
n
n k
k
– Calculer
,
(−1) et
2 .
k k=0 k
k
k=0
k=0
8
– Soit S1 =
X
k=0
E( n−1
)
2
n
2k
!
!
n
.
Soit S2 =
2k + 1
k=0
Calculer S1 + S2 et S1 − S2 .
En déduire S1 et S2 .
X
Coefficients binomiaux & Probabilités
Nécessite les factorielles, difficulté moyenne
Introduction au dénombrement
On considère un jeu de 52 cartes et on pioche 5 cartes. Si l’ordre des cartes compte, le nombre de ti52!
rages différents est de 52 × 51 × 50 × 49 × 48, soit (52−5)!
. Si par contre l’ordre des cartes ne compte plus,
il faut diviser le résultat
précédent
par
5!
(car
il
y
a
5!
moyens
pour ordonner le tirage). Ainsi, il y a au
52
52!
total (52−5)!5! = 5 tirages différents. De manière générale, si l’ordre ne compte pas, le nombre de tirages
différents de k éléments dans un ensemble de n éléments vaut nk .
Combien y a-t-il de mains contenant le valet de cœur ? Et qui contiennent au moins un valet quelconque ?
– Choisir une main de 5 cartes contenant le valet de cœur revient à choisir une main de4 cartes (car la
dernière est déjà fixée) et la position du valet de cœur. Il y en a donc au total 5 × 52
4 .
– Pour calculer ce nombre de mains, il faut calculer le nombre
de mains ne contenant aucun valet. Il y
52
48
en a au total 48
.
Le
résultat
attendu
est
donc
−
.
5
5
5
Un entraîneur de foot dispose de 6 défenseurs, 5 milieux, 4 attaquants et 3 gardiens. Il veut composer
une équipe de 11 joueurs comportant 4 défenseurs, 4 milieux, 2 attaquants et 1 gardien. Combien y a-t-il
d’équipes possibles
? Qu’en est-il si l’on tient compte
des positions des joueurs ?
– Il y a 64 choix de défenseurs possibles, 54 choix de milieux possibles, 42 choix d’attaquants possibles
et 31 choix de gardiens possibles. Au total, il y a 64 × 54 × 42 × 31 équipes possibles.
– Si on tient compte des positions des joueurs, on se ramène dans un cas de tirage où l’ordre compte.
5!
4!
3!
On a donc au total 6!
4! × 4! × 2! × 1! = 6 × 5 × 5 × 4 × 3 × 3 × 2 dispositions différentes.
Poker & Probabilités
Au poker à 5 cartes, il est important de savoir calculer des probabilités. Au premier tour, on pioche
5 cartes parmi 52 cartes. Au deuxième tour, on a le droit de changer 1 à 5 cartes de son jeu. Le but est
d’avoir la meilleure combinaison parmi les suivantes : rien, une paire, deux paires, un brelan, une quinte,
une couleur, un full, un carré, une quinte flush.
1. Quel est la probabilité d’avoir une paire dès le premier tour ?
– Pour
déterminer une main, il faut choisir notre
paire (13 choix possibles), la couleur de notre paire
( 42 choix possibles), les trois autres cartes ( 12
choix
possibles) et leurs couleurs (43 choix possibles).
3
13×(42)×(12
×43
3)
On obtient une probabilité de :
= 1098240
52
2598960 ≈ 0, 42.
(5)
2. Quel est la probabilité d’avoir deux paires dès le premier tour?
– Pour déterminer une main, il faut choisir les deux paires ( 13
2 choix possibles), la couleur de chacune
(
42
2
choix possibles) et la dernière carte (11 choix possibles) avec sa couleur (4 choix possibles). On
2
(13)×(4) ×44
123552
obtient une probabilité de : 2 522
= 2598960
≈ 0, 04.
(5)
3. Quel est la probabilité d’avoir une couleur dès le premier tour ?
– Pour déterminer une main, il faut choisir la couleur (4 choix possibles) et les cartes ( 13
5 choix
possibles) mais il ne faut pas oublier de soustraire les 40 quintes flush possibles. On obtient une
4×(13
−40
5108
5)
= 2598960
≈ 0, 002.
probabilité de
(52
)
5
4. Quel est la probabilité d’améliorer une paire en changeant 3 cartes au second tour ?
– Pour améliorer une paire, on peut soit obtenir une paire supplémentaire, soit obtenir une carte
transformant notre paire en brelan, soit obtenir deux cartes transformant notre paire en carré, soit
obtenir un brelan transformant notre paire en full, soit obtenir une paire supplémentaire et une
carte transformant notre paire en brelan. Il faudra dénombrer pour chaque cas les tirages possibles.
On pourra ensuite poursuivre en s’intéressant à une autre variante de poker avec la plus célèbre (le Texas
Hold’em) ou au contraire leur en faire découvrir de nouvelles (l’Omaha, le Stud, ...).
9
Raisonnement par l’Absurde
Aucun prérequis, difficulté moyenne
Définition & Exemples
Le raisonnement par l’absurde (ou apagogie) est une forme de raisonnement logique, philosophique,
scientifique consistant soit à démontrer la vérité d’une proposition en prouvant l’absurdité de la proposition
complémentaire (ou contraire), soit à montrer la fausseté d’une autre proposition en en déduisant logiquement des conséquences absurdes. Pour fait simple, pour montrer qu’une proposition est vraie, on suppose
que c’est son contraire qui est vrai jusqu’à aboutir à une contradiction lors du raisonnement.
Exercice : Existe-t-il une fonction affine f telle que f (2) = 0, f (3) = 1 et f (5) = 2 ?
2
Solution : Supposons
que f existe,
alors on a (a,


b) ∈ R , pour toutx ∈ R, f (x) = ax
 + b.










f (2) = 0
2a + b = 0
b = −2a
b = −2a
b = −2a
Alors on a : f (3) = 1 ⇔ 3a + b = 1 ⇔ 3a − 2a = 1 ⇔ a = 1
⇔ a=1










f (5) = 2
5a + b = 2
5a − 2a = 2
3a = 2
a = 2
3
Absurde.
Énigme : Un prisonnier doit choisir entre deux cellules, contenant soit une princesse, soit un tigre. La
cellule 1 dit la vérité s’il y a une princesse et ment s’il y a un tigre (le contraire pour la 2). On lit sur ces
cellules : "Les deux cellules contiennent des princesses". Quelle porte choisir ? (On supposera tout d’abord
qu’elles disent la vérité pour aboutir à une contradiction, on en déduit qu’elles mentent et on conclut)
Descente infinie
Le principe de descente infinie (également appelé principe de Fermat) est basé sur une propriété simple :
toute partie non vide de N admet un plus petit élément. À partir de là, on en déduit qu’il n’existe pas de
suite strictement décroissante d’entiers positifs.
Si à partir d’une solution entière, on peut en fabriquer une autre strictement plus petite mais toujours
en nombres entiers et que l’on peut recommencer sans condition, alors il n’y a pas de solution.
Exercice : Résoudre dans N∗ l’équation diophantienne (à coefficients entiers) x3 + 2y 3 = 4z 3 .
Solution : Soit (x, y, z) une solution. On a x3 = 4z 3 − 2y 3 donc x3 est pair donc x aussi, ainsi x = 2x0 . Alors
on a y 3 = 2z 3 − 4x03 donc
y 3 est pair ainsi y est pair. En réitérant de la sorte, z est également pair. On
trouve alors que x2 , y2 , z2 est solution, ce qui est absurde par le principe de descente infinie.
Existe-t-il un principe de montée infinie ?
Racine carré de deux
√
√
A-t-on 2 ∈ Q ? Supposons que 2 = pq avec p et q premiers entre eux alors p2 = 2q 2 . On en déduit que
p2 est pair et donc que p est pair. Mais alors p = 2p0 et q 2 = 2p02 d’où q 2 est pair et donc q également. En
simplifiant p et q par 2, on obtient un couple plus petit donc la fraction n’est pas irréductible. Absurde.
√
√
On dit que le nombre 2 est irrationnel. Néanmoins, on peut tracer un segment de longueur 2 à l’aide
de Pythagore (cela permet d’introduire l’escargot de Pythagore). Savez-vous où l’on trouve ce nombre dans
la vie ? Partout ! En effet, il est sur tous vos cours, ou plus précisément
sur toutes vos feuilles de cours. Toutes
√
les feuilles présentent un rapport de longueur/largeur égale à 2. Mais on le retrouve également dans le
rapport de fréquences de la quarte augmentée en musique, ou dans le rapport de la tension efficace/maximale
du courant alternatif en électricité, ou encore dans le rapport entre les valeurs d’ouverture du diaphragme
d’un appareil photo. Nous sommes envahis par ce nombre, et ce n’est pas fini !
La recherche d’une valeur approchée de ce nombre a été un problème pendant des siècles et les résultats
permirent d’énormes progrès informatiques. Mais bien avant, au Ve siècle av J.C., l’étude de ce nombre
permit aux Grecs de mettre au point les raisonnements précédents.
10
Principe des Tiroirs
Aucun prérequis, le principe est simple mais les applications sont parfois peu évidentes
Énoncé du principe
Le principe est simple, si l’on place plus de n objets dans n tiroirs, au moins un des tiroirs contiendra
plus d’un objet. On peut améliorer ce principe, si l’on place plus de kn objets dans n tiroirs, au moins un
des tiroirs contiendra plus de k objets. On peut même le généraliser, si l’on place plus de k objets dans n
tiroirs, au moins un des tiroirs contiendra plus de d nk e.
Point culture : Le nom de ce principe diffère selon les pays. Tandis qu’en France ou en Allemagne, il
s’appelle "Principe des tiroirs" (ou "Schubfachprinzip"), en Angleterre, il s’appelle "Principe des casiers" (du
vrai nom "Pigeonhole Principle"). En Russie par contre, ce principe est associé au mathématicien Dirichlet.
Applications directes
Soient 1 6 n1 < . . . < n55 6 100 des entiers distincts. Montrer qu’il est toujours possible d’en sélectionner deux qui différent de 9 (puis de 10, de 12 et de 13).
– On a 1 6 n1 < . . . < n55 6 100 (∗) et 10 6 n1 + 9 < . . . < n55 + 9 6 109 (∗∗). Les relations (∗) et (∗∗)
donnent 110 entiers naturels non nuls tous inférieurs à 109. D’après le principe des tiroirs, un entier
ni de (∗) coïncide avec un entier nj + 9 de (∗∗) soit ni − nj = 9.
– Le même raisonnement ne fonctionne pas pour 10, il faut en trouver un autre. Soient A1 = {1, 11},
. . ., A10 = {10, 20}, A11 = {21, 31}, . . ., A41 = {81, 91}, . . ., A50 = {90, 100}. Le principe des tiroirs
nous dit qu’il existe au moins un ensemble Ai contenant 2 entiers parmi les 55 choisis, CQFD.
– On peut réitérer le même raisonnement pour 12 et pour 13 en changeant les ensembles.
– Il reste à voir pourquoi le nombre 11 échappe à la règle. La raison en est fort simple : 55 = 5 × 11.
Il suffira par exemple de prendre n1 = 1, ..., n11 = 11, n12 = 23, ..., n22 = 33, ..., n45 = 89, ..., n55 = 99.
Soient 1 6 n1 6 . . . 6 n51 6 100 des entiers distincts. Montrer qu’il existe un couple (ni , nj ) tel que ni
divise nj . Quel est le nombre minimal d’entiers à prendre pour que cette propriété soit vérifiée ?
– On écrit tous les nombres nk de la forme 2ak (2bk + 1). Comme il n’y a que 50 nombres impairs, on a
par le principe des tiroirs un couple (i, j) tel que ai 6 aj et bi = bj et donc ni divise nj .
– Cette propriété, n’est bien sûr pas toujours vérifiée si l’on prend moins de 51 entiers. En effet, l’ensemble
{51, 52, 53, 54, 55, . . . , 95, 96, 97, 98, 99, 100} le montre.
Pour aller plus loin
– On s’intéresse à un tapis (cf l’image de droite) cousu avec uniquement du fil blanc
et du fil noir. Montrer qu’il existe au moins 2 fils situés à exactement 1 mètre qui
possèdent la même couleur. (Il suffit de prendre un triangle équilatéral)
– Le 93 comporte 1 500 001 (eh oui, je viens d’arriver) habitants, chacun possédant au plus 150 000
cheveux. Trouver le plus grand n pour lequel il y a au moins n personnes avec le même nombre de
500 001
cheveux. (n = d 1150
001 e = 10 et non pas 11, car il y a des chauves !)
– En admettant que tout le monde est inscrit sur Facebook, démontrer qu’au moins deux personnes sur
Terre ont le même nombre d’amis. (Il y a N personnes sur Terre et chacun peut avoir entre 0 et N − 1
amis, comme on ne peut avoir à la fois quelqu’un avec N − 1 amis et quelqu’un d’autre avec aucun
ami, le nombre de tiroirs est réduit : on peut donc conclure par le principe des tiroirs)
– On prend un Rubik’s Cube fini sur lequel on effectue la même manipulation encore et toujours.
Démontrer que l’on finit par se retrouver avec ce Rubik’s Cube de nouveau terminé. (Il suffit de
démontrer que le nombre de positions est fini, inférieur à un certain N pour ensuite conclure par le
principe des tiroirs qu’au bout de N + 1 manipulations, deux étapes seront identiques)
11
Relation de divisibilité
Aucun prérequis, la notion de diviseur est bien acquise, niveau moyen
Notions sur la divisibilité
Soit (a, b) ∈ Z2 , on dit que a divise b s’il existe k dans Z tel que ak = b. Avec les quantificateurs, on a
a|b ⇔ ∃k ∈ Z, ak = b. On dit alors que a est un diviseur de b et que b est un multiple de a.
Propriétés :
– Tout entier relatif a au moins 4 diviseurs. (1, −1, lui-même et son opposé)
– a|b et b|a ⇒ |a| = |b|.
– a|b et b|c ⇒ a|c.
– a|b et a|c ⇒ ∀(u, v) ∈ Z2 , a|bu + cv.
Remarque : On peut restreindre la divisibilité sur N, quelles propriétés sont modifiées ?
Soit (a, b) ∈ Z2 , le plus grand commun diviseur de a et b, abrégé en général PGCD(a, b), est le plus grand
entier naturel qui divise simultanément ces deux entiers. De même, on définit le plus petit commun multiple
de a et b, abrégé en général PPCM(a, b), comme le plus petit entier naturel qui est divisé simultanément
par ces deux entiers.
Propriétés :
– c|a et c|b ⇒ c|PGCD(a, b).
– PGCD(ac, bc) = |c|PGCD(a, b).
– Si a = bq + r alors PGCD(a, b) = PGCD(b, r).
– PGCD(a, b) × PPCM(a, b) = |ab|.
Exercices
Vrai
– Si
– Si
– Si
ou faux ?
d divise a et d divise b alors d divise a − b et d divise a + b.
d divise 3a alors d divise a. Contre-exemple ?
d divise a ou d divise b alors d divise ab. Réciproque ?
1. Trouver tous les couples (x, y) de N2 tels que xy = 105.
2. Avec l’algorithme d’Euclide calculer PGCD(2002, 1155).
3. Trouver 100 entiers consécutifs qui ne soient pas premiers.
Les nombres premiers
Un nombre premier est un nombre indivisible, ses seuls diviseurs sont 1 et lui-même. Il existe une infinité
de nombres premiers (on peut le démontrer par l’absurde) et il s’avère que tous les nombres peuvent s’écrire
comme produit de nombres premiers. Leur étude est donc très importante ! (On pense au code RSA)
1
11
21
31
41
Pour
2
12
22
32
42
les trouver, on peut utiliser le crible d’Ératosthène.
3 4 5 6 7 8 9 10
2
13 14 15 16 17 18 19 20
11
23 24 25 26 27 28 29 30
⇒
33 34 35 36 37 38 39 40
31
43 44 45 46 47 48 49 50
41
3
13
23
43
5
7
17
19
29
37
47
Pour aller plus loin
Si l’on restreint la notion de divisibilité sur N, elle vérifie la réflexivité (Propriété 1), l’antisymétrie
(Propriété 2) et la transitivité (Propriété 3). Il s’agit donc d’une relation d’ordre. On parle de relation
d’ordre partielle car si on prend deux entiers au hasard, on n’en a pas toujours un qui divise l’autre.
12
Congruences & Modulo
Nécessite la divisibilité, assez difficile
Approche intuitive
– Il est 10h du matin, quelle heure sera-t-il dans 54 heures ?
– Nous sommes le mardi 9 février 2010. Quelle jour sera-t-on le 9 février 2011 ? 2015 ?
– Je fais une rotation d’angle 780 degrés et de centre O. Comment tracer l’image d’un point ?
Soient treize bâtons. Chacun des 2 joueurs a le droit de prendre 1, 2, 3 bâtons à tour de rôle. Celui qui
prend le dernier bâton a perdu. Jouer avec les élèves (la technique consiste à jouer en second et à compléter
le nombre de bâtons pris par l’adversaire pour l’amener à un total de 4 car 13 ≡ 1 [4]). Laisser les élèves
élaborer une stratégie pour 31 bâtons et une prise de 1 à 4 bâtons à tour de rôle.
Notions sur les congruences
Soient (a, b) ∈ Z2 et n ∈ N. On dit que a ≡ b [n] si n|(a − b). En particulier a ≡ r [n] si r est le reste de
a par la division euclidienne par n. En français, on lit "a congru à b modulo n".
Propriétés :
– Si a ≡ b [n] et b ≡ c [n] alors a ≡ c [n].
On en déduit que a ≡ b [n] si et seulement si a et b ont le même reste dans la DE par n.
– Si a ≡ b [n] et a0 ≡ b0 [n] alors a + a0 ≡ b + b0 [n].
– Si a ≡ b [n] et a0 ≡ b0 [n] alors aa0 ≡ bb0 [n].
Petit théorème de Fermat : Soient p premier et a premier avec p, alors ap−1 ≡ 1 [p].
On pourra en profiter pour raconter la grande histoire du grand théorème de Fermat.
(Pour rappel, énoncé par Pierre de Fermat au milieu du XVIIe siècle, démontré en 1995 par Wiles)
Applications
2011
Quel est le dernier chiffre et la somme de la somme de ... de la somme des chiffres de 22002
?
Pour déterminer le dernier chiffre, on travaille modulo 10. On a 25 ≡ 2 [10] donc il suffit d’étudier la
puissance de 2 modulo 4. Comme 2002 ≡ 2 [4] et 23 ≡ 2 [4] il suffit d’étudier la puissance de 2002 modulo
2011
2. On a 2011 ≡ 1 [2] donc 20022011 ≡ 2 [4] et 22002
≡ 22 [10]. Le dernier chiffre est donc 4.
Pour déterminer une somme de chiffres, on travaille modulo 9. On a 27 ≡ 2 [9] donc on continue modulo
6. Comme 2002 ≡ 4 [6] et 42 ≡ 4 [6] on a 20022011 ≡ 4 [6] ainsi le résultat voulu vaut 24 ≡ 7 [9].
Exercices
Exercices réalisables à l’aide d’un tableau de congruence (bien insister sur leur utilité) :
– Soit n ∈ N. Démontrer que "n n’est pas multiple de 5" est équivalent à "n4 − 1 est un multiple de 5.
– Soit n ∈ N et p ∈ N∗ . Démontrer que np+4 et np ont le même chiffre des unités.
– Résoudre l’équation 3x ≡ 4 [7].
Exercices plus difficiles, réalisables à l’aide d’astuces basées sur la factorisation :
– Soit n ∈ N. Montrer que 3n+3 − 44n+2 est divisible par 11.
– Soit n ∈ N. Montrer que (n + 1)n − 1 est divisible par n2 .
Pour aller plus loin
Soit n ∈ N. Alors quels que soient les entiers a et b, on a a ≡ a [n] et a ≡ b [n] ⇒ b ≡ a [n] (on parle de
réflexivité et de symétrie). De plus, la première propriété nous indique que la relation de congruence vérifie
la transitivité, on en déduit qu’il s’agit d’une relation d’équivalence.
13
Le nombre d’or
Nécessite les polynômes et les suites, difficulté moyenne
Présentation
Le nombre d’or est la proportion, définie initialement en géométrie, comme
l’unique rapport entre deux longueurs telles que le rapport de la somme des
deux longueurs a + b sur la plus grande a soit égal à celui de la plus grande a sur
a
la plus petite b c’est-à-dire lorsque a+b
a = b . Le découpage d’un segment en deux
longueurs vérifiant cette propriété est appelé par Euclide découpage en extrême
et moyenne raison. Le nombre d’or est maintenant souvent désigné par la lettre ϕ
en l’honneur du sculpteur Phidias qui l’aurait utilisé pour concevoir le Parthénon.
Le Parthénon s’inscrit dans un rectangle doré, c’est-à-dire tel que le rapport de
DC
la longueur à la hauteur était égal au nombre d’or. Sur la figure on a DE
= ϕ et
GF
=
ϕ.
Le
rectangle
GBF
H
est
appelé
rectangle
Parthénon.
GI
Approximation du nombre d’or
En posant x = ab , on a ϕ l’unique racine positive de x2 − x − 1. Calculer ϕ (Pour rappel, ϕ =
Montrer également que ϕ = 1 + ϕ1 . Nous allons déterminer une approximation de ce nombre.
On définit la suite (an )n∈N par an+1 = 1 +
1. Montrer que pour tout n ∈ N,
2. Déduire que |an+1 − ϕ| 6
4
9 |an
3
2
1
an
√
1+ 5
2 ).
pour n > 0 et a0 = 2.
6 an 6 2.
− ϕ| puis que |an − ϕ| 6 ( 49 )n .
3. Conclure que lim an = ϕ et donner une approximation à la 6ème décimale près de ϕ.
+∞
Suite de Fibonacci
On recherche l’expression de la suite (un )n∈N vérifiant un+2 = un+1 + un (∗) et u0 = u1 = 1.
1. Expliquer pourquoi les conditions sur u0 et u1 donnent l’unicité de la suite.
2. Montrer que (rn )n∈N solution ⇔ r = ϕ ou r = 1 − ϕ.
3. Montrer que les suites de la forme vn = αϕn + β(1 − ϕ)n sont solutions de (∗).
4. Trouver α et β tels que v0 = v1 = 1. En déduire l’expression de un .
√
5. Montrer que lim 5 × un = ϕ puis en déduire lim uun+1
= ϕ.
n
+∞
+∞
La suite de Fibonacci est une suite d’entiers très connue. Elle doit son nom à un mathématicien italien
du XIIIe siècle connu sous le nom de Leonardo Fibonacci qui, dans un problème récréatif posé dans un de
ses ouvrages, le Liber Abaci, décrit la croissance d’une population de lapins : Un homme met un couple de
lapins dans un lieu isolé de tous les côtés par un mur. Combien de couples obtient-on en un an si chaque
couple engendre tous les mois un nouveau couple à compter du troisième mois de son existence ?
Pour aller plus loin
On a ϕ = 1 +
1
ϕ
et ϕ2 = 1 + ϕ soit ϕ =
1
ϕ=1+ =1+
ϕ
1
1
√
1 + ϕ. En réinjectant à chaque fois l’expression de ϕ, on a :
14
1+ϕ=
q
r
p
1+
1+ϕ=
q
√
1 + ...
1
1
1+
1+
ϕ
1 + ...
Le premier développement est une preuve de l’irrationalité de ϕ et on peut utiliser la même démonstration
pour π ou e. En effet, un réel présente un développement en fraction continue si et seulement si il est
irrationnel. De plus, il est algébrique si ce développement présente une période (transcendant sinon).
=1+
et ϕ =
p
1+
1+
Dérivation & Optimisation
Nécessite les fonctions, la dérivation et la trigonométrie, assez difficile
Une autoroute pour 4 villes
Soient A, B, C et D, 4 villes que l’on veut relier par une autoroute
de la façon suivante : ABCD représente un carré de côté 1 et x
\ = DAE
\ =F
\
\
représente l’angle ADE
BC = F
CB. L’autoroute
est formée des branches AE, DE, BF , CF et EF . Déterminer
la longueur minimale de l’autoroute et l’angle x correspondant.
On a cos(x) =
0.5
AE
x
0
0
f (x)
−
3
f (x)
&
π
3
0.5
DE
1
2 cos(x) . De plus, si on note I le
JF
milieu de AD et J le milieu de BC, on a EF = 1 − IE + F J et tan(x) = IE
0.5 = 0.5 soit EF = 1 − tan(x).
2
+ 1 − tan(x).
En notant f (x) la longueur de l’autoroute associée à la valeur x, on trouve f (x) = cos(x)
2 sin(x)
2 sin(x)−1
1
0
Cette fonction est dérivable et sa dérivée vérifie f (x) = cos(x)2 − cos(x)2 = cos(x)2 . Elle a donc le signe
de x 7→ 2 sin(x) − 1 qui est positive quand sin(x) > 12 soit x ∈ [ π3 , π4 ]. (Car ici x varie entre 0 et π4 )
=
=
π
4
0.5
BF
=
0.5
CF
soit AE = DE = BF = CF =
Pour finir de compléter ce tableau de variation, il√ ne reste plus qu’à
calculer a et b. On a = f ( π3 ) et comme cos( π3 ) = 23 et tan( π3 ) = √13 ,
√
√
on obtient a = √43 + 1 − √13 = 3 + 1. Puis comme b = π4 , cos π4 ) = 22
√
et tan( π4 ) = 1, on obtient b = √42 + 1 − 1 = 2 2. (On a bien b > a)
+
b
%
a
Sphères & Cylindres
Soit une sphère de rayon R et de centre O. Soit un cylindre de base un disque
de rayon r et de hauteur h. Quels sont les dimensions du cylindre inscrit
dans la sphère qui permettent de maximiser son volume ? (On trouvera une
relation entre r et h pour exprimer le volume comme fonction de la hauteur)
2
Par Pythagore, on a R2 = r2 + ( h2 )2 , soit r2 = R2 − h4 . Si on note V (h) le volume du cylindre de hauteur
2
2
h inscrit dans la sphère, on a donc V (h) = πr2 h = π(R2 − h4 )h de dérivée V 0 (h) = π(R2 − 3h4 ). Cette
2R
dérivée est positive lorsque 43 h2 6 R2 , soit h 6 √
. (On a également 0 6 h 6 2R)
3
h
2R
√
3
0
V 0 (h)
+
2R
−
Pour finir de compléter ce tableau de variation, il ne reste plus qu’à
2
2
2
2R
calculer a. Pour h = √
, h2 = 4R3 donc R2 − h4 = 2R3 . Ainsi on
3
&
obtient a = V (h) = π 2R3
a
%
V (h)
0
2
2R
√
3
3
√ .
= π 34R
3
0
Sphères & Cônes
Faire de même en remplaçant le cylindre par un cône.
Cette fois-ci, on a R2 = r2 +(h−R)2 par Pythagore, soit r2 = 2Rh−h2 . Si on note V (h) le volume du cône
de hauteur h inscrit dans la sphère, on a alors V (h) = π3 r2 h = π3 (2R − h)h2 de dérivée V 0 (h) = π3 (4R − 3h)h.
Cette dérivée est positive lorsque 3h 6 4R, soit h 6 43 R. (On a également 0 6 h 6 2R)
Avec un tableau de variation, on trouve que le volume est maximum pour h = 43 R. Il ne reste plus qu’à
32
2
3
calculer la valeur de ce volume, il s’agit de V ( 34 R) = π3 (2R − 43 R) 16
9 R = 81 πR .
15
Structures fractales
Nécessite les suites, difficulté moyenne
Introduction
On nomme "fractale" une courbe ou surface de forme irrégulière ou morcelée qui se crée en suivant des
règles aléatoires impliquant une homothétie interne. Le terme est un néologisme créé à partir de la racine latine fractus, qui signifie brisé, irrégulier. Ces figures surprenantes ont beaucoup apporté aux mathématiques
en développant des théories de dimension non-entière.
Flocon de Von Koch
On considère un triangle équilatéral de côté 1. On divise chaque côté en trois segments de longueur identique et on remplace celui du milieu par un triangle équilatéral dont on ne garde que les côtés nouvellement
ajoutés. On réitère cette opération plusieurs fois : on passe de la figure n à la figure n + 1 en effectuant cette
démarche pour chaque segment du dessin. On s’intéresse à la longueur et l’aire de la courbe :
1. Représenter la figure obtenue pour n = 0, n = 1 et n = 2.
2. On note a(n) le nombre de segments formant la courbe au rang n. Calculer a(n).
3. On note b(n) la longueur d’un segment au rang n. Calculer b(n).
4. En déduire la longueur l(n) de la courbe au rang n. Que dire de sa limite ?
5. On note A(n) l’aire de la figure au rang n. Que représente A(n + 1) − A(n) ? Faites un dessin.
6. Calculer A(n + 1) − A(n). En déduire l’expression de A(n). Que dire de sa limite ?
Triangle de Sierpinski
Refaire de même avec le triangle de Sierpinski. À chaque étape, la longueur de l’ensemble augmente
(elle est multipliée par 23 ) tandis que l’aire de l’ensemble diminue (elle est multipliée par 43 ). On obtient
finalement une courbe de longueur infinie délimitant une surface nulle (ce qui est encore plus surprenant).
Application
Les domaines d’application des fractales sont très nombreux, on peut citer en particulier :
– en biologie : répartition des structures des plantes, bactéries, feuilles, branches d’arbres, ...
– en géologie : étude du relief, côtes et cours d’eau, structures de roches, avalanches, ...
– en paléontologie : loi de puissance des apparitions et extinctions d’espèces, ...
– en morphologie animale : structures des invertébrés, plumes d’oiseaux, ...
– en médecine : structure des poumons, intestins, battements du cœur, ...
– en météorologie : nuages, vortex, banquise, vagues scélérates, turbulences, structure de la foudre, ...
– en volcanologie : prévision d’éruptions volcaniques, tremblements de terre, ...
– en astronomie : structures de l’univers, cratères sur la Lune, répartition des galaxies, ...
– en sciences humaines : structure urbaine, évolution de la démographie, ...
– en économie et finance : prévision des krachs boursiers (théorie des fractales), ...
– en électronique : antennes larges bandes des téléphones portables, ...
16
Calcul de Pi selon Archimède
Niveau facile
Prérequis
– Notions sur les suites et les limites
– Maîtrise du cercle trigonométrique
– Théorème d’Al Kashi : dans un triangle ABC, AB 2 = AC 2 + BC 2 − 2AC.BC cos(B)
Résumé de la séance
Cette séance a pour but de montrer aux élèves une méthode originale d’approximation de P i, méthode
inventée par Archimède vers 250 avant J-C. Cette méthode consiste à inscrire dans un cercle de rayon 1
un polynôme régulier à n côtés. Le périmètre du cercle est ainsi minorée par le périmètre du polygône :
l’approximation s’affine quand on augmente le nombre de côtés. En ponctuant la séance d’anecdotes sur
Archimède et sur le nombre Π, on peut imaginer le découpage suivant pour l’exercice.
1. Soit un cercle C de centre O et de rayon 1. On inscrit dans ce cercle un triange équilatéral de centre O.
La méthode de construction permettra de faire un rappel sur le cercle trigonométrique. On fait relier
les points A(0), B(ei2π/3 ) et C(ei4π/3 ) aux élèves s’il ne parviennent pas à inscrire le triangle. Calculer
AB en utilisant le théorème d’Al Kashi dans le triangle AOB. En déduire la valeur du périmètre
d’ABC. Discuter de la justesse de l’approximation.
2. Soit un cercle C de centre O et de rayon 1. On inscrit dans ce cercle un carré de centre O. La méthode
de construction permettra de faire un rappel sur le cercle trigonométrique. On relie les points A(0),
B(eiπ/2 ), C(eiπ ) et B(ei3π/2 ). Calculer AB en utilisant le théorème d’Al Kashi dans le carré ABCD.
En déduire la valeur du périmètre d’ABCD. Discuter de la justesse de l’approximation.
3. Refaire la même chose avec un hexagone.
4. Archimède avait fait son calcul avec un polygône à 96 côtés. Nous allons essayer d’être plus fin en
généralisant avec un polynôme à n côtés. Ce polynôme régulier est obtenu en reliant les points A1 ,
A2 ... An . Trouver la mesure de A1 A2 en fonction de n et en déduire le périmètre du polygône en
fonction de n. Pour quelle valeur de n atteint-on un précision au 10ème, au 100ème, au 1000ème... Le
mode Seq de la calculatrice permet de faire rapidement des calculs et de conjecturer la valeur de la
limite.
La séance peut s’ouvrir sur une introduction à l’intégration avec le découpage en
rectangles de l’aire sous une courbe, les fonctions en escaliers... Traditionnellement, les élèves ont du mal
avec la trigonométrie, c’est donc une occasion de revoir cela.
17
Troisième partie
Séances de Physique
18
Mécanique du skieur
Nécessite la mécanique, difficulté moyenne
Énoncé du 1er problème
On s’intéresse aux forces agissant sur un skieur lorsqu’il emprunte une remontée mécanique. On considérera alors que le skieur est en translation rectiligne
uniforme et on négligera les forces de frottement de
l’air et de la piste sur le skieur. On assimilera la perche
à un ressort de grande constante de raideur.
Données du problèmes :
– La masse m du skieur est de 77, 5kg.
– La tension T de la perche sur le skieur est de 300N .
– L’angle α entre la piste et l’horizontale est de 20˚.
– L’angle β entre la perche et la piste est de 30˚.
1er Problème
1.
2.
3.
4.
Quelles sont les forces extérieures agissant sur le système étudié ?
Quelle relation existe-t-il entre ces différentes forces ?
Déterminer l’intensité de la réaction de la piste sur le skieur.
La perche s’allonge de 2, 00m en tractant le skieur. Déterminer la constante de raideur de la perche.
Le temps de montée est d’environ 10min pour une dénivelée (différence d’altitude entre le départ et
l’arrivée de la remontée mécanique) de 250m. On suppose que la piste est une pente régulière de 20, 0˚
d’inclinaison.
5. Déterminer la distance parcourue par le skieur lors de la montée. Calculer sa vitesse moyenne.
6. Calculer le travail des différentes forces exercées sur le skieur entre le départ et l’arrivée.
7. Calculer la puissance instantanée de la force exercée par la perche sur le skieur.
Enoncé du 2ème problème
On s’intéresse désormais aux forces agissant sur un
skieur lorsqu’il descend cette piste. On considérera
alors que le skieur est en translation rectiligne uniforme et on négligera les forces de frottement de l’air
et de la piste sur le skieur.
2ème Problème
1. Quelles sont les forces extérieures agissant sur le système étudié ?
2. Pour chaque portion de la piste, déterminer qualitativement quelles sont les forces qui "travaillent".
Préciser pour chaque force, s’il s’agit d’un travail moteur ou d’un travail résistant.
3. Déterminer la variation d’énergie cinétique entre A et B, B et C puis C et D.
4. Quelle est est l’énergie potentielle de pesanteur du skieur en A si l’origine est en B ?
5. Comparer cette énergie potentielle de pesanteur (qui représente la différence d’énergie potentielle entre
A et B) à la variation d’énergie cinétique du skieur entre les points A et B. Que peut-on conclure ?
6. Sur quelle portion de la piste la vitesse du skieur est-elle maximale ? La calculer.
7. Que peut-on dire du résultat précédent ? Les forces de frottement peuvent-elles être négligées ?
19
Quelques phénomènes optiques
Nécessite l’optique et la trigonométrie, difficulté moyenne
Lentille
Une lentille est un élément homogène, isotrope, transparent, traditionnellement en verre, dont au moins
l’une des faces n’est pas plane et destiné à faire converger ou diverger la lumière. Le symbole en double
flèche est utilisé dans le cas des lentilles minces, qui permet de simplifier les constructions grâce à certaines
approximations lorsque l’on respecte les conditions de Gauss, c’est à dire lorsque les rayon qui frappent la
lentille frappent à proximité du centre optique de la lentille et que leur direction est proche de l’axe optique.
Après avoir expliqué les méthodes de construction
de l’image d’un objet par une lentille, on présentera la notion de distance algébrique puis on démontrera les formules de conjugaison et de grossissement :
0B0
0
0
1
1
1
= OA
= OB
.
– AAB
– OA
− OA
= OF
.
0
0
OA
OB
2
– F 0 A0 · F A = −OF 0 .
–
A0 B 0
AB
0
0
= − FOFA0 =
OF 0
.
FA
Déviation de la lumière par un prisme
Du point de vue de l’optique géométrique, un prisme est l’association de deux dioptres plans non parallèles. On suppose le
prisme placé dans l’air (indice 1) et on note n l’indice du prisme.
On commencera par démontrer mathématiquement les formules :
– D = i + i0 − A
– A = r + r0
Puis on montrera à l’aide des lois de Snell - Descartes :
– sin(i) = n sin(r)
– sin(i0 ) = n sin(r0 )
On note arcsin la fonction réciproque de sin. Pour x ∈ [−π, π], on a sin(x) = y ⇔ x = arcsin(y). On a alors
D = i+i0 −A = i+arcsin(n·sin(r0 ))−A = i+arcsin(n·sin(A−r))−A = i+arcsin(n·sin(A−arcsin( sin(i)
n )))−A.
On constate expérimentalement l’existence d’un minimum de la valeur de D lorsqu’on fait varier l’angle
d’incidence. On note Dm ce minimum de déviation. Le retour inverse de la lumière montre alors simplement
que la configuration pour ce minimum est nécessairement symétrique. Ceci a donc lieu quand i = i0 et r = r0 .
On en déduit que r = A2 et i = Dm2+A puis que n · sin( A2 ) = sin( Dm2+A ), ainsi Dm = 2 arcsin(n · sin( A2 )) − A.
Les prismes sont utilisés pour dévier ou réfléchir la lumière dans différents dispositifs
optiques (les jumelles, par exemple) ; ils sont une alternative aux miroirs. En ce qui
concerne la propriété de dispersion des couleurs, en spectroscopie, les prismes ont
souvent été remplacés par des réseaux. (Parfois on utilise les deux)
Les mirages chauds
Par une belle journée d’été, sur la route, vous pouvez souvent voir au loin comme une grande flaque
d’eau réfléchissant le ciel. Lorsque vous vous en approchez, la flaque disparaît ou s’éloigne : c’est un mirage.
– Expliquer ce qui se passe lorsque l’on juxtapose k milieux de petite épaisseur et d’indice de réfraction
np (avec p entier compris entre 1 et k), tels que np > np+1 . Faire un schéma.
– Sachant que n dépend entre autres de la température et que l’apparition des mirages est en fait due
à une courbure des rayons lumineux au voisinage du sol, expliquer, en tenant compte des questions
précédentes, cette déformation des rayons lumineux au voisinage du sol, lorsqu’il fait chaud (mirages
chauds ou inférieurs).
– Par un raisonnement analogue, donner une explication au phénomène des mirages froids.
20
La fibre optique
Facile
Utilité
Entourée d’une gaine protectrice, la fibre optique peut être utilisée pour conduire de la lumière entre
deux lieux distants de plusieurs centaines, voire milliers, de kilomètres. Le signal lumineux codé par une
variation d’intensité est capable de transmettre une grande quantité d’informations. En permettant les communications à très longue distance et à des débits jusqu’alors impossibles, les fibres optiques ont constitué
l’un des éléments clef de la révolution des télécommunications optiques. Ses propriétés sont également exploitées dans le domaine des capteurs (température, pression, etc.), dans l’imagerie et dans l’éclairage.
– Pour un rayon présent dans le coeur de la fibre optique non parallèle à l’axe optique, tracer l’évolution
de sa trajectoire dans les cas ng > nc et ng < nc . Quel cas est préférable pour transmettre des signaux
lumineux ?
→ Dans le cas où ng < nc , le signal se rapproche de l’axe optique, il s’en éloigne sinon
– Quel est l’angle minimal (par rapport à la normale) que peut prendre le rayon incident a l’entrée de la
fibre pour éviter toute perte d’information (ce qui ne sera possible qu’avec des réflexions totales tout
au long de son parcours) ?
n
→ En notant "i" le rayon incident dans le cœur, il faut que sin(ii ) > ngc .
On pourra ensuite s’intéresser à l’entrée du signal dans la fibre optique, avec une interface air / cœur
21
Culture générale et problèmes concrets en mécanique
Facile
Objectif
Le but de cette séance est de montrer aux élèves que l’on peut résoudre des questions simples et amusantes
à partir de leurs connaissances limitées de première S en mécanique. Trop souvent, les élèves se raccrochent
à des formules sans en comprendre le sens et c’est une bonne occasion de leur prouver que ces formules ont
leur application dans "la vraie vie". Voici une liste de ces questions. Le tuteur peut bien entendu en inventer
d’autres et agrémenter ces questions d’anecdotes ou d’explications sur des phénomènes de la vie courante
en lien avec la mécanique. Certaines questions sont propres à laisser les élèves s’exprimer ouvertement pour
qu’ils confrontent leurs idées et leurs raisonnements.
– Donner l’ordre de grandeur de la tension que doit supporter une liane si Tarzan décide de grimper
dessus ?
– Quelle est la force qui s’exerce entre un prof et son élève ? A comparer avec l’ordre de grandeur
force qu’exerce un élève sur son stylo lorsqu’il le porte dans sa main. Quels objets faut-il prendre en
considération quand on s’intéresse à la force gravitationnelle ?
– Donnez un ordre de grandeur de la vitesse du son dans l’air, dans l’eau et dans l’acier. Comment
entendre les trains en écoutant l’oreille collée sur la voie ?
– Quel est le nombre d’étages nécessaires pour qu’une balle de golf atteinge la vitesse du son quand elle
touche le sol ? Faire l’hypothèse d’une absence de frottements puis expliquer aux élèves pourquoi cette
hypothèse ne peut être maintenue.
– Quelle est l’énergie cinétique d’une balle de tennis servie par un joueur professionnel ? A comparer
avec l’énergie cinétique d’une balle de fusil.
– A quelle vitesse faudrait-il qu’un lanceur de marteau tourne pour que son marteau atteigne la même
vitesse qu’une balle de tennis au service ? A comparer avec la vitesse de rotation d’une roue de vélo
(entre 1 et 5 tours seconde)
– Quand on roule 10 fois plus vite, par combien la distance de freinage est-elle multipliée en supposant
que la force de frottement reste constante ? Appliquer le théorème de l’énergie cinétique.
– Si un homme a une masse 100 kg sur Terre, combien pèse-t-il sur la Lune ou sur Mars ? Que vaut g si
l’on se place sur la planète du petit Prince ? Que se passe-t-il du coup si on joue au football sur cette
planète ?
Données utiles
– Vitesse du son dans l’air (340 m/s), dans l’eau (1480 m/s), dans l’acier (5700 m/s), d’un service au
tennis (200 km/h).
– Masse de la Terre (6, 0 × 1024 kg), de la Lune (7, 3 × 1022 kg), de Mars (6, 4 × 1023 kg), d’une balle de
tennis (60 g), de la planète du petit Prince (2, 0 × 1014 ).
– Energie d’une balle de fusil en sortie de canon de l’ordre de 500J.
– Longueur d’un marteau olympqiue de l’ordre de 1 m.
– Hauteur de la Tour Eiffel (300 m), de la plus haute tour du monde (830 m).
22
Quatrième partie
Anciennes séances (à retravailler)
23
Cryptographie : Chiffrage de Hill
Idée pour une première séance
Prérequis
– Savoir faire une division euclidienne entre deux entiers relatifs.
Résumé de la séance
La structure de la séance est brièvement évoquée ci-dessous. D’autres formes de codages peuvent être
utilisées, cela séduit généralement les élèves. On peut par exemple séparer la classe en plusieurs groupes et
les faire s’envoyer l’un à l’autre un message à coder/décoder.
Cryptage
Après avoir expliqué ce qu’est la cryptographie, on propose aux élèves de crypter un message à l’aide de
la méthode du chiffrage de Hill, utilisant un système (S) :
2x + 5y = a
{
3x + 7y = b
Pour cela, on commence par numéroter dans un tableau les lettres de l’alphabet.
A B C D E F G H I
0 1 2 3 4 5 6 7 8
J
9
K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Pour coder un message, on commence par grouper les lettres de ce message deux par deux, puis on remplace
chaque lettre par un nombre, comme indiqué par le tableau. On veut coder le message « TREMPLIN». On le
décompose en T R−EM −P L−IN puis on remplace par : (20; 18)−(5; 13)−(16; 12)−(9; 14) Ensuite chaque
couple de nombres (x; y) de la liste précédente est transformé par le système (S) pour donner un nouveau
couple (a; b). Enfin ces deux nombres a et b sont transformés en lettre en utilisant le tableau de correspondance. Pour coder par exemple « TR », on remplace par (20; 18) et on obtient : a = 2 × 20 + 5 × 18 = 130 et
b = 3 × 20 + 7 × 18 = 186. Il faut faire comprendre aux élèves qu’en fait, pour trouver les lettres du message
chiffré, on se ramène aux valeurs du tableau en enlevant 26 puis 26 puis 26... On pourrait si le niveau des
élèves le permet leur faire calculer le reste de la division euclidienne par 26. Ici (TR) est codé par (AE).
Décryptage
Pour décrypter, il s’agit d’inverser le système précédent, ce qui peut paraître difficile aux élèves. Le
système obtenu est (S’) :
−7a + 5b = x
{
3a − 2b = y
On peut prouver que ça marche en décodant le mot codé obtenu avec TREMPLIN.
24
Culture générale et problèmes concrets en mécanique
Niveau facile
Prérequis
– Cours de première S de mécanique
Résumé de la séance
Le but de cette séance est de montrer aux élèves que l’on peut résoudre des questions simples et amusantes
à partir de leurs connaissances limitées de première S en mécanique. Trop souvent, les élèves se raccrochent
à des formules sans en comprendre le sens et c’est une bonne occasion de leur prouver que ces formules ont
leur application dans "la vraie vie". Voici une liste de ces questions. Le tuteur peut bien entendu en inventer
d’autres et agrémenter ces questions d’anecdotes ou d’explications sur des phénomènes de la vie courante
en lien avec la mécanique. Certaines questions sont propres à laisser les élèves s’exprimer ouvertement pour
qu’ils confrontent leurs idées et leurs raisonnements.
1. Donner l’ordre de grandeur de la tension que doit supporter une liane si Tarzan décide de grimper
dessus ?
2. Quelle est la force qui s’exerce entre un prof et son élève ? A comparer avec l’ordre de grandeur
force qu’exerce un élève sur son stylo lorsqu’il le porte dans sa main. Quels objets faut-il prendre en
considération quand on s’intéresse à la force gravitationnelle ?
3. Donnez un ordre de grandeur de la vitesse du son dans l’air, dans l’eau et dans l’acier. Comment
entendre les trains en écoutant l’oreille collée sur la voie ?
4. Quel est le nombre d’étages nécessaires pour qu’une balle de golf atteinge la vitesse du son quand elle
touche le sol ? Faire l’hypothèse d’une absence de frottements puis expliquer aux élèves pourquoi cette
hypothèse ne peut être maintenue.
5. Quelle est l’énergie cinétique d’une balle de tennis servie par un joueur professionnel ? A comparer
avec l’énergie cinétique d’une balle de fusil.
6. A quelle vitesse faudrait-il qu’un lanceur de marteau tourne pour que son marteau atteigne la même
vitesse qu’une balle de tennis au service ? A comparer avec la vitesse de rotation d’une roue de vélo
(entre 1 et 5 tours seconde)
7. Quand on roule 10 fois plus vite, par combien la distance de freinage est-elle multipliée en supposant
que la force de frottement reste constante ? Appliquer le théorème de l’énergie cinétique.
8. Si un homme a une masse 100 kg sur Terre, combien pèse-t-il sur la Lune ou sur Mars ? Que vaut g si
l’on se place sur la planète du petit Prince ? Que se passe-t-il du coup si on joue au football sur cette
planète ?
Données utiles
– Vitesse du son dans l’air (340 m/s), dans l’eau (1480 m/s), dans l’acier (5700 m/s), d’un service au
tennis (200 km/h).
– Masse de la Terre (6, 0 × 1024 kg), de la Lune (7, 3 × 1022 kg), de Mars (6, 4 × 1023 kg), d’une balle de
tennis (60 g), de la planète du petit Prince (2, 0 × 1014 ).
– Energie d’une balle de fusil en sortie de canon de l’ordre de 500J.
– Longueur d’un marteau olympqiue de l’ordre de 1 m.
– Hauteur de la Tour Eiffel (300 m), de la plus haute tour du monde (830 m).
25
Les bulles
Niveau moyen
Prérequis
– Aucun
Résumé de la séance
L’objectif de la séance est d’aborder la notion de tension superficielle à l’origine de la structure des bulles
de savon et de faire un parallèle avec un problème concret d’optimisation d’un réseau routier.
Notion de tension superficielle, forme des gouttes
Considérons une bulle de savon. A l’interface entre le savon et l’air entourant la bulle, le savon est dans
un état particulier, de telle sorte qu’il possède une énergie légèrement supérieure à l’air qui l’entoure. Cet
effet est appelé "tension superficielle", et permet par exemple aux araignées de marcher sur l’eau. On peut
montrer, que pour former un film de savon de surface S, il faut fournir une énergie W donnée par W = γS
où γ ≥ 0 est appelée tension de surface.
On souhaite enfermer une volume V d’air dans un film de savon. On sait intuitivement que le film de
savon prendra la forme d’une sphère, pour former une "bulle de savon". L’objectif de cette première partie
est d’expliquer pourquoi le film de savon forme spontanément une bulle.
1. Cas de la sphère
(a) Calculer le rayon R d’une sphère de volume V .
(b) En déduire sa surface S1 puis la calculer S1 si V = 1m3 .
2. Cas du cube
(a) Calculer le côté a d’un cube de volume V .
(b) En déduire sa surface S2 puis la calculer S2 si V = 1m3 .
3. Cas du cylindre
(a) On considère un cylindre de hauteur 2h et dont la base a pour rayon h.
Exprimer h en fonction du volume V du cylindre.
(b) En déduire sa surface S3 puis la calculer S2 si V = 1m3 .
4. Pour un même volume V , quelle structure a la surface la plus petite ?
5. En déduire la structure dont le formation nécessite l’énergie la plus faible.
6. Expliquer enfin pourquoi les bulles prennent spontanément une structure de sphère.
Application à un problème d’optimisation
On considère quatre villes, situées aux quatre sommets d’un carré de côté 2a. On souhaite construire un
réseau d’autoroutes reliant les quatre villes entre elles. On appelle L la longueur totale du réseau autoroutier
et on veut la minimaliser. Proposer plusieurs réseaux possibles, et calculer leur longueur.
L’expérimentation physique peut nous aider à voir la solution. On a vu dans la partie précédente que les
films de savon ont la propriété de se disposer d’eux-mêmes sur un contour de façon à minimiser la surface
(voir figure 1). Cette propriété nous permet de construire le dispositif suivant qui donne un tracé de longueur
minimale. On a donc une première idée de la forme du roseau qu’il faut choisir. Il nous reste à déterminer
cette forme de façon plus précise en déterminant la longueur x rendant L minimale.
1. Exprimer l en fonction de a et x.
2. En déduire L en fonction de a et x.
3. En prenant a =1 km, tracer à la calculatrice la fonction L(x). Que constate-t-on ?
√
4. On peut montrer que la fonction atteint son minimum en x = (1 − 1/ 3)a. Quelle remarque peut-on
−−→ −→ −→ −−→
−−→ −−→
faire sur les angles (EF , EA), (EA, ED) et (ED, EF ) ?
26
Loi de Laplace
Niveau moyen
Prérequis
– Les bulles
Résumé de la séance
On considère une bulle de savon de rayon R. La pression de l’air extérieur est P0 , la pression de l’air à
l’intérieur de la bulle est P . On cherche à calculer la différence de pression P − P0 . On rappelle la définition
de la tension superficielle : pour augmenter la surface de la bulle de ∆S, il faut fournir une énergie :
∆W = γ∆S
où γ est appelé coefficient de tension superficielle.
Premier calcul de ∆W
1. Donner la surface d’une S sphère de rayon R.
2. Pour calculer la différence de pression, on suppose qu’on augmente le rayon de la bulle de ∆R. Le
nouveau rayon est donc R + ∆R. En déduire la nouvelle surface S 0 de la sphère.
3. Calculer ∆S = S 0 − S en négligeant les termes en ∆R2 .
4. En déduire une première expression de ∆W .
Deuxième calcul
1. Exprimer la force de pression Fint exercée par l’air contenu à l’intérieur de la bulle sur la bulle (pour
cela, il faut se rappeler de la définition de la pression vue en seconde), puis la force Fext exercée par
l’air contenu à l’extérieur de la bulle sur la bulle.
2. En déduire la force totale F qui s’exerce sur la bulle.
3. Exprimer le travail ∆W de la force F lorsqu’on augmente le rayon de la bulle de ∆R.On rappelle que
le travail d’une force est le produit scalaire de la force par le déplacement.
Conclusion
Ecrire l’égalité des deux expressions de ∆W obtenues précédemment.
En déduire l’expression de P − P0 . Cette loi est appelée loi de Laplace.
Comment évolue la différence de pression lorsque R augmente ?
Que devient la différence de pression quand R est très petit ?
27