Logique 1 : Le langage mathématique Table des matières Première

Logique 1 : Le langage mathématique
Table des matières
I
Cours
1
1
La phrase mathématique
1.1 Composition d’une phrase mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Définition des quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
2
3
2
Implications
3
3
"Et" et "ou"
3.1 Précision sur le "ou" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Distributivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
4
4
Négation
4.1 Négation d’un et, d’un ou, d’un ∃, d’un ∀ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Négation d’une implication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
5
5
II
Exercices
6
1
Quantificateurs
1
2
Implications
1
3
Négation
2
Première partie
Cours
1
1.1
La phrase mathématique
Composition d’une phrase mathématique
Les mathématiques sont en grande partie un langage. Un langage dont le but est d’être :
• Parfaitement précis
• Universel, i.e. compréhensible par n’importe quel mathématicien, quelle que soit sa langue maternelle.
1
Une phrase mathématique est souvent appelée une assertion. Elle peut être vraie, ou fausse 1 . Une assertion est
construite à l’aide des éléments suivants ; chacun d’eux fera l’objet d’un paragraphe ci-dessous ou dans un chapitre
ultérieur :
• Les variables. N’importe quelle lettre, ou symbole, ou combinaison de lettres et de symboles peut être utilisée
comme variable
• Les ensembles.
• Les relations. Elles forment les verbes de nos phrases mathématiques. Les relations les plus fréquentes sont =, ,,
≤, <. Avec des ensembles on dispose également des relations ∈ ou ⊂. On définira de nombreuses autres relations en
cours d’année.
• Les liens logiques. Les plus fréquents sont "et", "ou" et "non". Nous étudierons également plus loin l’implication
"⇒".
• Les quantificateurs. Ce sont eux qui permettent de définir les variables. Il y en a deux : "pour tout", que l’on abrège
en ∀ et "il existe", abrégé en ∃.
• Enfin, mentionnons les fonctions et les opérations (par exemple + et ×).
Remarque: En réalité, les opérations sont des cas particulier de fonctions.
1.2
Exemples
Prenons un exemple de phrase logique, et réécrivons-la en langage mathématique :
Tous les hommes sont mortels.
Ici, nous avons une phrase de type "pour tout", nous utiliserons donc le quantificateur ∀. L’ensemble étudié est
l’ensemble des hommes. Enfin, la relation étudiée est la relation "être mortel". En mathématiques, nous pouvons rédiger ainsi :
Notons H l’ensemble des hommes. Pour tout élément h ∈ H, notons M(h) l’assertion "h est mortel". Alors :
∀h ∈ H,
M(h).
Voyons maintenant comment dire :
Il existe (au moins) un homme immortel.
Remarques:
• En français, on dit aussi "certains hommes sont immortels". (Avec un pluriel, bien qu’il puisse n’y en avoir
qu’un seul. Le français n’est pas toujours très précis.)
• En math, l’expression "il existe un" signifie toujours "il existe au moins un ", et non pas "il existe exactement
un".
Un détail technique : pour améliorer la lisibilité, on accompagne souvent le quantificateur "∃" d’un "tq" qui signifie
"tel que". Nous obtenons :
∃h ∈ H tq non (M(h)) .
Plus dur, écrivons maintenant :
1. Soyons honnêtes : certaines phrases peuvent n’être ni vraies ni fausses. Par exemple, que pensez-vous de : "cette phrase est fausse" ?
2
il existe (au moins) deux hommes immortels.
Nous allons avoir besoin de deux variables, prenons par exemple h et h0 . Chacune d’elle va être définie à l’aide d’un
"∃". On pourrait écrire ceci :
∃h ∈ H, ∃h0 ∈ H tq non (M(h)) et non M(h0 ) .
Mais cette phrase ne fonctionne pas ! En effet rien n’empêche que h et h0 représentent la même personne, auquel
cas cela ne nous fera qu’un seul immortel. Il faut préciser que h et h0 sont différents. Ceci donne :
∃h ∈ H, ∃h0 ∈ H tq h , h0 et non (M(h)) et non M(h0 ) .
1.3
Définition des quantificateurs
Essayons de définir un peu plus précisément ce qui a été présenté au paragraphe précédent.
Pour commencer, un mot de vocabulaire : une assertion qui dépend d’une variable s’appelle un prédicat.
Pour être plus précis, si E est un ensemble, nous appelons "prédicat sur E" toute fonction P définie sur E telle que
pour tout x ∈ E, P(x) est vrai ou faux.
Dans l’exemple précédent, M était un prédicat sur H : pour tout h ∈ H, M(h) est vrai ou faux.
Définissons à présent les quantificateurs "∀" et "∃". Nous introduisons également un troisième quantificateur :
"∃!".
Définition 1. Soit E un ensemble et soit P un prédicat sur E.
(i) L’assertion "∀x ∈ E, P(x)" est vraie lorsque pour n’importe quel choix d’un élément x de E, P(x) est toujours
vrai.
(ii) L’assertion "∃x ∈ E tq P(x)" est vraie lorsqu’il y a au moins un choix possible d’un élément x de E pour lequel
P(x) est vrai.
(iii) L’assertion "∃!x ∈ E tq P(x)" est vraie lorsqu’il y a un et un seul choix possible d’un élément x de E pour lequel
P(x) est vrai. Cette assertion se lit ainsi : "il existe un unique x dans E tel que P(x)".
2
Implications
La notion d’implication a déjà été mentionnée en terminale. Elle est importante et subtile, vous êtes prévenus !
Définition 2. Soit E un ensemble. Soient P et Q deux prédicats sur E.
1) On dit que "pour tout x ∈ E, P(x) implique Q(x)", et on note "∀x ∈ E, P(x) ⇒ Q(x)" lorsque quel que soit x ∈ E,
si P(x) est vrai, alors Q(x) est vrai aussi.
2) Lorsque pour tout x ∈ E, P(x) ⇒ Q(x) et que pour tout x ∈ E, Q(x) ⇒ P(x), on dit que pour tout x ∈ E P(x)
"équivaut" à Q(x), et on note ∀x ∈ E, P(x) ⇔ Q(x).
En français on dit aussi que P(x) est une condition suffisante pour que Q(x) soit vrai. Ou encore que Q(x) est une
condition nécessaire pour que P(x) soit vraie.
Remarque: La formule "∀x ∈ E, P(x) ⇒ Q(x)" peut aussi s’écrire sans le symbole "⇒" mais à l’aide d’un "tel que" :
il suffit d’écrire :
∀x ∈ E tq P(x), Q(x)
(Lire ainsi : "pour tout x ∈ E tel que P(x) est vrai, Q(x) est vrai aussi".)
Exemples:
3
• Pour réussir, il suffit de travailler.
• Pour réussir, il faut travailler.
• Pour réussir, il faut travailler ou être un génie.
3
"Et" et "ou"
3.1
Précision sur le "ou"
Le français est imprécis sur le sens du mot "ou". Prenons ces deux exemples :
1) À la cantine, vous pouvez prendre "fromage ou dessert". Pouvez-vous prendre les deux ?
2) Au cinéma, il y a une réduction pour "les enfant ou les personnes handicapées". Un enfant handicapé a-t-il le droit
à la réduction ?
En mathématique, un "ou" est toujours à prendre au second sens. C’est-à-dire que si A et B sont deux assertions,
alors "A ou B" est vraie dès que A, ou B, ou les deux, est(sont) vraie(s).
Remarque: Le "ou" du premier exemple, qui n’autorise pas que les deux assertions soient vraies à la fois s’appelle le
"ou exclusif". On trouve souvent la notation américaine "XOR", abrégé de "eXclusive OR". Ainsi, si A et B sont deux
assertions, "A XOR B" est l’assertion qui est vraie lorsque une et une seule des deux assertions A et B est vraie.
Exemples:
• Les assertions "2 ≥ 1" et "2 ≥ 2" sont vraies.
• ∀x ∈ R+ , (x > 0 ou x = 0).
• (∀x ∈ R+ , x > 0) ou (x = 0).
• (∀x ∈ R+ , x > 0) ou (∀x ∈ R+ , x = 0).
3.2
Distributivité
Proposition 3.1. Soient A, B, C trois assertions. Alors :
1) A et (B ou C) a le même sens que (A et B) ou (A et C). On dit que "et" est une opération distributive par rapport
à "ou".
2) A ou (B et C) a le même sens que (A ou B) et (A ou C). On dit que "ou" est distributive par rapport à "et".
Remarque: Vous savez que dans C, × est distributive par rapport à +. Mais par contre, + n’est pas distributive par
rapport à ×.
Démonstration:
Le plus simple est de dresser les tables de vérité : dans un tableau, nous mettrons tous les cas possible pour la valeur de A, B,
et C (vrai vrai vrai, vrai vrai faux, vrai faux vrai ,etc... 8 cas possibles). Nous regarderons dans quels cas est-ce que A et (B ou C)
est vraie, dans quels cas (A et B) ou (A et C) est vraie, et nous espérons que ça sera dans les mêmes cas.
A
B
C
B ou C
A et (B ou C)
A et B
A et C
(A et B) ou (A et C)
V
V
V
V
V
F
V
F
V
V
V
V
V
V
V
V
V
F
V
F
V
V
V
V
etc... Même chose pour la seconde distributivité.
4
4
Négation
Soit E un ensemble et P un prédicat sur E. Pour tout x ∈ E, non(P(x)) est l’assertion contraire de P(x), c’est-à-dire qu’elle est
vraie lorsque P(x) est faux, et fausse lorsque P(x) est vraie.
D’un autre point de vue, des deux assertions P(x) et non(P(x)), il y en a toujours une et une seule qui est vraie. Impossible que
P(x) soit à la fois vraie et fausse, et impossible que P(x) ne soit ni vraie ni fausse !
En français bien entendu, la négation d’une phrase s’obtient en insérant "ne... pas" dans la phrase initiale.
Exemple: Soit f une fonction. Quelle est la négation de la phrase " f est croissante" ? Quel est le rapport avec la phrase " f est
décroissante" ?
4.1
Négation d’un et, d’un ou, d’un ∃, d’un ∀
Théorème 1.
1) (lois de De Morgan)
Soient A et B deux assertions.
(i) Le contraire de "A et B" est " non(A) ou non(B)".
(ii) Le contraire de "A ou B" est " non(A) et non(B)".
2) Soit E un ensemble et P et Q deux prédicats sur E.
(i) Le contraire de "∀x ∈ E, P(x)" est "∃x ∈ E tq non(P(x))".
(ii) Le contraire de "∃x ∈ E tq P(x)" est "∀x ∈ E, non(P(x))".
On peut reformuler le théorème ainsi :
(i) " non(A et B)" a le même sens que " non(A) ou non(B)".
1)
(ii) " non(A ou B)" a le même sens que " non(A) et non(B)".
(i) Le contraire de " non(∀x ∈ E, P(x))" a le même sens que "∃x ∈ E tq non(P(x))".
2)
(ii) Le contraire de " non(∃x ∈ E tq P(x))" a le même sens que "∀x ∈ E, non(P(x))".
Au passage, on voit bien ici l’importance des parenthèses dans une formule mathématique. À ce propos, il n’y a pas de parenthèses dans les phrases françaises, ce qui mène parfois à des phrases ambiguës. Imaginez qu’un restaurant propose en accompagnement "frites et haricots verts ou salade". Pouvez-vous demander frites et salade ? La réponse est oui si le restaurateur pensait aux
parenthèses ainsi : "frites et (haricots verts ou salade)", la réponse est non si les parenthèses étaient ainsi : "(frites et haricots verts)
ou salade".
En pratique :
• Si vous voulez démontrer que la phrase "∀x ∈ E, P(x)" est fausse, vous devez trouver un x pour lequel P(x) est fausse. Un tel x
s’appelle un contre-exemple.
• Si vous voulez démontrer que la phrase "∃x ∈ E tq P(x)" est fausse, vous devez démontrer que pour tous les x possibles dans E,
P(x) est fausse.
4.2
Négation d’une implication
La négation d’une implication est un peu plus délicate. Par exemple si on vous affirme que "Tous les homme qui aiment Brenda
aiment aussi Jenny", que devez-vous faire pour contredire votre interlocuteur ?
Vous devez trouver un homme qui aime Brenda mais pas Jenny. Ainsi, le contraire de "∀h ∈ H, (h♥B ⇒ h♥J)" est :
∃h ∈ H tq (h♥B et non(h♥J))
Pour insister, vous pouvez écrire ainsi :
∃h ∈ H tq h♥B et pourtant non(h♥J)
5
Théorème 2. Soit E un ensemble et P et Q deux prédicats sur E.
Le contraire de "∀x ∈ E, P(x) ⇒ Q(x)" est "∃x ∈ E tq P(x) et non(Q(x)).
Autre exemple : le théorème de Pythagore stipule que pour tout triangle T , en notant A, B, C ses trois points, si il est rectangle
en A alors : AB2 + AC 2 = BC 2 .
Que devez-vous faire si vous voulez prouver que le théorème de Pythagore est faux ?
Deuxième partie
Exercices
6
Exercices de Logique : formules mathématiques
1
Quantificateurs
Exercice 1. * ! Vrai, faux ou mal défini ?
Les assertions suivantes sont-elles vraies, fausses, ou mal définies ?
1)
2)
3)
4)
x>0
∀x ∈ R, x > 0
x > 0, ∀x ∈ R+∗
∃x ∈ R+∗ tq x ≥ 0
5)
6)
7)
8)
∃x ∈ R tq x > 0
∀x ∈ R+ , x > 0
∃!x ∈ R+ tq x ≤ 0
∀x ∈ C, x > 0
9) ∀x ∈ C, ∃x ∈ C tq x = x
10) ∀x ∈ C, ∃x ∈ C tq x , x
Exercice 2. ** ! vrai, faux ou mal défini ? (un peu plus dur)
Même consigne que ci-dessus.
√
1)
2)
3)
4)
5)
6) ∀x ∈ R, ∃x ∈ R tq x = x.
x2 = x
√
∀x ∈ R, x2 = x.
√
∃x ∈ R tq x2 = x.
√
∀x ∈ R+ , x2 = x.
∀x ∈ R, ∃y ∈ R tq y < x.
7) ∀x ∈ R+ , ∃y ∈ R+ tq y < x.
8) ∀x ∈ R+∗ , ∃y ∈ R+∗ tq y < x.
9) ∀x ∈ R+∗ , y < x.
Exercice 3. ** ! Traduire en langage courant
Que signifient en langage courant les assertions suivantes ?
1) Pour n ∈ Z : "∃k ∈ Z tq n = 2k".
p
.
q
3) Pour f une fonction de R dans R : "∃M ∈ R tq ∀x ∈ R, f (x) ≤ M".
2) Pour x ∈ R : ∃p ∈ Z, ∃q ∈ N∗ tq x =
4) Pour ~u et ~v deux vecteurs : "∃λ ∈ R tq (~u = λ.~v ou ~v = λ.~u)".
5) Pour u une suite : "∀n ∈ N, un+1 ≥ un ".
Exercice 4. ** ! Traduire en formules
(Exercice inverse du précédent.) Soit f une fonction de R dans R, exprimer les assertions suivantes en utilisant des quantificateurs. Plusieurs possibilités sont souvent possibles.
1) f est constante.
5) f est minorée.
2) f est la fonction nulle.
6) f est bornée.
3) f s’annule au moins une fois.
7) f admet un maximum.
4) f est majorée.
8) f est majorée mais n’admet pas de maximum.
2
Implications
Exercice 5. * ! Compléter par des implications
Compléter les assertions suivantes avec ⇒, ⇐, ⇔ . Si plusieurs choix sont possibles, on donnera le plus précis.
Lorsqu’une implication n’est pas vraie, on le prouvera en fournissant un contre-exemple.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
∀(x, y) ∈ R2 , x > y · · · x ≥ y
∀(x, y) ∈ R2 , x = y · · · x ≥ y
∀(x, y) ∈ R2 , x = y · · · x2 = y2
∀(x, y) ∈ (R+ )2 , x = y · · · x2 = y2
∀(x, y) ∈ (R− )2 , x = y · · · x2 = y2
∀(x, y) ∈ R2 , x < y · · · x2 < y2
∀(x, y) ∈ (R+ )2 , x < y · · · x2 < y2
8) ∀(x, y) ∈ (R− )2 , x < y · · · x2 < y2
9) ∀(x, y) ∈ R2 , |x| = |y| · · · x2 = y2
10) ∀(x, y) ∈ R2 , |x| < |y| · · · x2 < y2
11) ∀ f ∈ F (R, R), ∀(x, y) ∈ R2 , x = y · · · f (x) = f (y)
12) ∀ f ∈ F (R, R), ∀(x, y) ∈ R2 , x , y · · · f (x) , f (y)
1
Exercice 6. ** ! parenthèses
1. On fixe une suite u et un réel a. Au lycée, vous avez démontré l’une de ces deux assertions. L’autre est fausse. Reconnaître
celle qui est vraie, et démontrer que l’autre est fausse.
∀n ∈ N, (un+1 = a.un ⇔ un = u0 .an )
(∀n ∈ N, un+1 = a.un ) ⇔ (∀n ∈ Nun = u0 .an )
2. Même principe avec les deux assertions suivantes :
∀n ∈ N, (un+1 ≥ un ⇒ u est croissante)
(∀n ∈ N, un+1 ≥ un ) ⇒ u est croissante
Exercice 7. ** Exemples d’implications Soit f ∈ F (R, R). On considère les trois assertions suivantes :
• P : "∀x ∈ R, f (x) = 0".
• Q : "∃x ∈ R tq f (x) = 0
• R : "(∀x ∈ R, f (x) > 0) ou (∀x ∈ R, f (x) < 0)"
Parmi les implications suivantes, lesquelles sont vraies ?
1) P ⇒ Q
3) Q ⇒ R
5) non Q ⇒ non P
2) Q ⇒ P
4) non R ⇒ Q
6) non P ⇒ non R
3
Négation
Exercice 8. * Exemple avec "et" et "ou"
On donne des prédicats portant sur (x, y) ∈ R2 . Donner leur négation, et représenter sur un plan les ensembles correspondant.
1) P(x, y) : "(x ≥ 0 et y < 0)"
3) R(x, y) : "((x > 0 et y > 0) ou x + y < 0)"
2) Q(x, y) : "(x ≥ 0 ou y < 0)"
4) S (x, y) : "(x > 0 et (y > 0 ou x + y < 0))"
Exercice 9. * négation



∃x ∈ [0, 1] tq f (x) ≤ 0
Négation de 

∃x ∈ [0, 1] tq f (x) ≥ 0
Traduire en une phrase en français.
.
Exercice 10. ** ! Négation
Reprendre les prédicats de l’exercice 4, et écrire leur négation à l’aide de quantificateurs.
Exercice 11. ** ! En français
Donner la négation des assertions suivantes :
1) Tout problème admet une solution.
2) Tous les élèves aiment les maths.
3) J’aime les haricots et les courgettes.
4) Je n’aime ni les haricots, ni les courgettes.
5) Un élève de la classe n’aime pas les courgettes.
2
Quelques solutions
6
8
9
11
3