me ümoire actuariat 2006 - Ce üline DELETTRE post jury

Transcription

UNIVERSITÉ PARIS DAUPHINE
DFR MATHÉMATIQUES DE LA DÉCISION
MASTER MIDO
MENTION MMD
SPÉCIALITÉ ACTUARIAT
Année Universitaire : 2005-2006
Mémoire d'Actuariat présenté en novembre 2006 devant l'Université Paris
Dauphine et l'Institut des Actuaires
Par : Mlle DELETTRE Céline
Tuteur : Mme MARTRENCHARD Hélène
Sujet : OPTIMISATION ET TARIFICATION DES MECANISMES DE PLANS INTERNATIONAUX
EN ASSURANCES COLLECTIVES
Entreprise d’accueil : AXA France – Assurances Collectives – Direction Internationale
CONFIDENTIEL (5 ans)
JURY
Noms et prénoms des membres du Jury
Fonctions / entreprise
Christian HESS
Estelle EYBALIN CARNET
Président du jury, Professeur à l’Université Paris Dauphine
Actuaire conseil indépendant
RESUME
L’une des conséquences du processus de mondialisation économique enclenché depuis les
années 70 est la création de partenariats au sein des grands groupes internationaux d’assurance,
comme moyen de se développer dans leur métier de base et de s’étendre dans des branches
d’activités où la concurrence est forte.
Pour une compagnie d’assurance, l’un des moyens de se développer dans le domaine de la
protection sociale (Employee Benefits), autant au sein de l’Union Européenne qu’à l’extérieur de
l’Union, est la création d’un réseau d’assureurs partenaires, afin de répondre à la demande des
multinationales et de leur trouver des solutions d’assurance à travers le monde.
L’une de ces solutions est le programme international souvent offert sous forme de pooling. Le
pooling est une opération consistant à mutualiser les risques d’assurance d’une entreprise
internationale, ce qui lui permet la plupart du temps de bénéficier de meilleures conditions
contractuelles et tarifaires. Le pooling existe dès lors que la multinationale – la maison mère et
ses filiales – est assurée auprès d’assureurs du même réseau. L’opération financière de
compensation internationale nécessaire au pooling des risques peut alors se mettre en place
entre les différents assureurs.
Il existe plusieurs modes de compensation internationale qui varient selon la taille de l’entreprise.
Les deux principaux modèles sont le stop loss annuel, c’est-à-dire un compte international avec
absorption annuelle des pertes par les assureurs du réseau, et le loss carry forward (report de
pertes), c’est-à-dire un compte international avec report des pertes éventuelles d’une année sur
l’autre.
Ces différentes formes de pooling ont un coût (la prime de risque prélevée) qui dépend de la taille
du périmètre, des risques couverts, du profil de l’entreprise et de la méthode de compensation.
Aujourd’hui, le réseau MAXIS propose à ses clients les différentes formules de pooling via une
réassurance en quote-part à 100%. Il est donc assez facile de comprendre que les assureurs
locaux concernés par le pool ne prennent aucun risque, puisque leurs pertes vont être absorbées
intégralement. A l’inverse, ils ne retirent aucun bénéfice technique puisqu’ils n’encaissent pas de
prime de risque. Ce système a donc tendance à encourager les dérives : les assureurs vertueux
du réseau ne bénéficient pas de leur qualité de souscription et à l’inverse, les assureurs qui
souscrivent de mauvais risques ne sont pas pénalisés.
Afin de sensibiliser les assureurs partenaires du réseau et de leur donner à la fois plus de
responsabilité et plus de bénéfices, nous avons choisi de modifier ce schéma de réassurance à
100%.
L’objet de ce mémoire est donc la proposition d’un nouveau schéma de réassurance, tenant
compte des problématiques techniques mais aussi commerciales.
Nous devons aussi calculer le coût lié à la protection du compte international via cette nouvelle
réassurance, ce coût étant appelé prime de risque.
Ces calculs ont été effectués de deux manières, la première en étudiant le portefeuille des
contrats d’assurances collectives d’AXA France, la deuxième en simulant les résultats par la
méthode de Monte-Carlo.
Optimisation et tarification des mécanismes de plans internationaux en assurances collectives
2
ABSTRACT
One of the consequences of the economic globalisation process engaged since the Seventies is
the set-up of partnership agreements within the large corporate groups as a means to grow their
core activity as well as to extend in other activities where competition is strong.
For an insurance company, one of the means to develop, both in the EC as outside, is to create
or participate in a network of insurers/partners, in order to be able to respond to the needs and
requirements of multinational companies and to find the insurance solutions they are looking for
world-wide.
One of these solutions is the so-called international pooling, also called international program.
Multinational pooling that consists in consolidating all of the (employee benefits) insurance risks
of an international company. Pooling will be possible when the multinational client – the parent
company and its subsidiaries – are insured by insurers of the same network. The financial
compensation mechanism can then be set up.
There are several ways to operate this international compensation and they will often depend on
the size of the company. The two main operating modes are “annual stop loss”, i.e. an
international account with annual absorption of the losses, and the “loss carry forward”, i.e. an
international account in which losses from one year are carried forward to the next year during a
limited or an unlimited number of years.
These various forms of pooling have a cost (the risk premium) that will depend on the size of the
pool, the risks that are covered, the company risk and financial profile and the compensation
method.
Today, the MAXIS network offers its customers several pooling formulas through 100% quota
share reinsurance arrangement. It is thus easy to understand that the local insurers concerned by
this will not carry any of the risk, as their losses, if any, will be fully reinsured.
On the contrary, they don’t gain any technical profit because they do not retain any risk premium.
This system thus tends to encourage drifts: the virtuous insurers of the network do not benefit
from their quality of underwriting and on the contrary, the insurers who sign bad risks are not
penalised.
In order to make the network partner insurers of the program more responsible and to make them
retain more profit, we have chosen to change this 100% reinsurance model.
The subject of this paper is the alternative for this 100% reinsurance model. It has been
developed taking into account both the technical as the commercial issues. The model also
implies a change of the calculation of the different costs related to the operating of the system.
These calculations have been done using two different methods; one by studying the group life of
AXA France, the second by simulating the results according to the Monte Carlo method.
3
INTRODUCTION
L’environnement dans lequel évoluent les entreprises aujourd’hui est en perpétuel changement.
Ces bouleversements sont en grande partie insufflés par le processus de mondialisation,
enclenché depuis le début des années 70.
L’une des conséquences de ce processus a été d’accroître l’interdépendance des marchés
mondiaux, phénomène qui génère la création d‘alliances multiples dans différents secteurs
comme celui de l’assurance.
Le partenariat est un moyen stratégique, pour les grands groupes, de se développer dans leur
métier de base et de s’étendre dans des branches d’activités où la concurrence est forte.
Dans le secteur de l’assurance, l’attrait principal dans la création d’alliances entre assureurs de
pays différents est de couvrir de plus en plus de souscripteurs. L’objectif est de leur proposer une
gamme de produits qui s’adaptent à leurs besoins actuels.
Ces derniers évoluent avec la conjoncture économique. Effectivement, depuis quelques années,
l’ouverture vers l’extérieur s’affirme comme un vecteur de croissance pour les entreprises,
notamment sous le poids de l’Europe, et la mobilité du personnel s’accroît de façon sensible tant
au sein de la CEE qu’à l’extérieur.
A la fin des années 90, le groupe AXA a décidé de s’investir dans une activité en plein
développement : la réassurance en réseaux. Cette activité permet de regrouper par lien
contractuel l’assurance des couvertures sociales des personnels locaux de différents pays.
C’est en 2000 qu’AXA crée son propre réseau, le réseau MAXIS, en partenariat avec l’assureur
américain Metlife. Ce réseau a été conçu pour répondre aux besoins qu’ont les multinationales de
créer une politique sociale internationale au sein de leur groupe.
MAXIS propose aux compagnies multinationales et à leurs courtiers et consultants une large
gamme de solutions d’assurance et de protection sociale pour leurs salariés à travers le monde.
Un de ces produits est le pooling, aussi appelé programme international.
Le pooling est une opération consistant à mutualiser les risques d'assurance d'une entreprise
internationale. Nous connaissons les clauses de participation aux bénéfices généralement
accordées à des entreprises souscripteurs de contrats importants, dont le rôle est de partager les
bénéfices entre assureur et souscripteur. Le pooling, lui, est une clause de participation aux
bénéfices internationale qui compense les résultats positifs ou négatifs de chaque pays.
Le pooling ou programme international peut exister dès que l'entreprise internationale est assurée
auprès d’assureurs du réseau dans deux pays au minimum pour un nombre d'assurés ou un
montant de prime donné.
Les entreprises multinationales ont d'abord pris en compte l'aspect financier d'une opération de
compensation internationale. Cet aspect est celui qui intéresse les directions financières, alors
même que les directions de personnel s’intéressent à la qualité du rapport qui leur est fourni par
les assureurs.
Plusieurs modes de compensation internationale sont proposés par le marché et dépendent de la
taille du périmètre de mutualisation ainsi que de la volatilité des risques souscrits. Ainsi, il est
généralement proposé aux contrats de petite taille d’intégrer un compte multiemployeurs (multipool) : dans ce cas les résultats de l’ensemble des entreprises et de leurs
filiales sont mutualisés. Un compte spécifique à la multinationale avec report des pertes
éventuelles : le « loss carry forward », ou un compte spécifique à la multinationale avec
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absorption annuelle des pertes éventuelles par le réseau : le «annual stop loss» est proposé aux
plus grandes entreprises.
Ces formules de protection (LCF, ASL) seront détaillées ultérieurement.
Les coûts de ces différentes formes de pooling sont variables et dépendent de la taille du
périmètre, des risques couverts, du profil de l'entreprise et des choix de la méthode de
compensation.
Aujourd’hui, MAXIS propose à ses clients les différentes formules de pooling citées ci-dessus via
une réassurance en quote-part à 100%. Il est assez facile de comprendre que ce montage
n’implique pas les assureurs locaux concernés par le pool puisqu’ils ne prennent aucun risque,
dans la mesure où leurs pertes vont être absorbées à 100%. De même, ils ne sont pas non plus
impliqués dans l’intérêt de réaliser des gains techniques puisqu’ils n’en bénéficient pas.
Afin de sensibiliser les assureurs partenaires du réseau et de leur donner plus de responsabilité,
nous avons choisi de modifier ce traité de réassurance à 100%.
L’objet de ce mémoire est la proposition d’un nouveau schéma de réassurance et la tarification
liée à celui-ci.
Après une présentation plus détaillée des formules de pooling et de la réassurance
correspondante, nous proposerons un nouveau schéma de réassurance. Puis nous calculerons
le coût de ces formules de pooling, appelé prime de risque, selon deux méthodes.
Pour la première méthode nous avons analysé des données issues du portefeuille AXA France,
afin de définir les lois de sinistres des contrats. Cette étude nous a permis de déterminer les
niveaux de prime de risque dépendant de la taille du périmètre de mutualisation, mesuré par le
chiffre d’affaires des contrats et des garanties couvertes. Nous avons du exploiter des données
issues du portefeuille AXA France plutôt que celles relatives au portefeuille international car ces
dernières n’étaient pas suffisantes.
Dans un second temps, nous avons simulé les lois de sinistres par la méthode de Monte Carlo et
comparer avec les résultats de l’analyse précédente.
5
REMERCIEMENTS
Je tiens à remercier tout particulièrement Mme Hélène MARTRENCHARD, actuaire, pour
ses conseils, ses idées et son soutien dans cette aventure actuarielle et statistique.
Je souhaite aussi remercier Didier Wolff, actuaire, pour son aide technique et ses précieuses
connaissances sur la protection sociale à l’international.
Je tiens enfin à dédier ce mémoire à ma famille proche qui m’a soutenue dans cette (longue)
aventure, avec une pensée toute particulière pour Andrée.
6
TABLE DES MATIERES
INTRODUCTION
4
I. CADRE DE L’ETUDE : LE PROGRAMME INTERNATIONAL EN ASSURANCES
COLLECTIVES
9
A.
1.
2.
B.
L’assurance de groupe
Caractéristiques principales
La participation aux bénéfices
La réassurance
La réassurance proportionnelle
a) Traité en quote-part
b) Traité en excédent de plein
2. La réassurance non-proportionnelle
a) Traité en excédent de sinistre (ou excess of loss)
b) Traité en excédent de perte (ou stop loss)
1.
C.
D.
Le réseau
Le programme international
Qu’est-ce que c’est ?
Les différentes formules
a) L’Annual Stop Loss (ASL)
b) Loss Carry Forward 5 Years (LCF5Y) avec réserve
c) Indifinite Loss Carry Forward (ILCF)
3. Avantages et inconvénients du programme international
a) Du point de vue du client
b) Du point de vue des assureurs locaux
1.
2.
E.
La problématique
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9
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11
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11
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12
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15
15
II. REFORME DU SYSTEME DE REASSURANCE DANS CES FORMULES
16
A.
Solution avec un traité de réassurance en QP de 50%
16
B.
Solution avec deux traités de réassurance
16
C.
L’impact de la mutualisation
16
Les frais internationaux
La prime de risque
Les frais administratifs de pooling (MAXIS)
17
17
17
D.
1.
2.
E.
Ce qui va changer, du point de vue de l’assureur local
1. Cas de l’Annual Stop Loss
2. Cas du Loss Carry Forward
a) ILCF sans réserve
b) ILCF avec réserve
c) LCF 5 years avec réserve
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19
F.
Avantages et inconvénients
1. Du point de vue de l’assureur local
19
19
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2.
Du point de vue de l’assureur leader
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III. TARIFICATION DE LA PRIME DE RISQUE
A.
Analyse statistique des données
Les données étudiées
a) Les échantillons de données
b) Correction des données
2. Analyse descriptive
a) Garantie décès
b) Garantie remboursement de frais de soins
c) Garantie Incapacité Temporaire-Invalidité Permanente
1.
B.
1.
2.
3.
C.
Modélisation des ratios S/P
Garantie décès
Garantie remboursement de frais de soins
Garantie Incapacité Temporaire-Invalidité Permanente
Calcul de la prime de risque
Préambule
Garantie décès
a) Simulation par la méthode de Monte-Carlo
b) Modèle « empirique »
3. Toutes garanties
4. Conclusion
1.
2.
21
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22
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44
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IV. CONCLUSION GENERALE
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V. ANNEXES
Résultats de l’analyse statistique
a) Garantie décès
b) Garantie remboursement frais de soins
c) Garantie incapacité temporaire et invalidité permanente
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48
48
49
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I. CADRE DE L’ETUDE : LE PROGRAMME INTERNATIONAL EN
ASSURANCES COLLECTIVES
L’assureur, quelle que soit la branche, doit arbitrer entre deux règles contradictoires et
essentielles :
• La mutualisation des risques : cela consiste à considérer un risque moyen sur une
classe d’assurés assez nombreuses pour appliquer la loi des grands nombres et le
théorème central limite afin de tarifer
• Une tarification au plus juste du risque assuré : l’enjeu est ici d’être concurrentiel et
d’éviter l’anti-sélection. Ceci signifie que la classe de risque doit être homogène.
L’homogénéisation conduit à une réduction de son effectif.
Nous verrons que le programme international permet une mutualisation des risques d’un groupe
d’assurés provenant de la même multinationale, mais localisés dans des pays différents.
Cette mutualisation permet de distribuer une participation aux bénéfices au niveau international.
A.
L’assurance de groupe
1.
Caractéristiques principales
Les assurances collectives, ou assurance de groupe, permettent à un grand nombre de
personnes, comme les salariés d’une entreprise ou les membres d’une association, d’être
assurés par l’intermédiaire d’un contrat unique. Les assurances de groupe ont été instituées afin
de permettre aux entreprises d’assurer leurs salariés contre des risques tels que le décès, la
maladie, l’invalidité ou la vieillesse, en prenant à leur compte une partie des cotisations.
Les intervenants
On distingue 4 intervenants différents à un contrat d’assurance de groupe :
• L’assureur : c’est la compagnie d’assurances auprès de laquelle est souscrit le
contrat d’assurances
• Le souscripteur : c’est celui qui conclut avec l’assureur le contrat auquel adhèrent
les membres du groupe qu’il représente. Il souscrit le contrat en tant que personne
morale, par opposition avec un individu qui souscrit en tant que personne
physique.
• L’assuré : il doit appartenir au groupe assurable et satisfaire les conditions
d’assurabilité pour pouvoir être couvert par le contrat
• Le (ou les) bénéficiaire(s) : il reçoit les prestations prévues par le contrat. La
garantie souscrite s’exercera en faveur d’un ou plusieurs bénéficiaires.
Les régimes d’adhésion
Les régimes d’adhésion des contrats groupe sont de deux types. L’adhésion peut être, soit :
• Facultative : l’individu membre du groupe assurable est libre d’adhérer ou non au contrat
• Obligatoire : à partir du moment où il fait partie du groupe assurable, l’individu est obligé
d’adhérer au contrat d’assurances souscrit.
Quelques avantages
Les contrats groupe permettent au souscripteur et aux salariés de bénéficier d’un certain nombre
d’avantages :
• Solidarité intergénérationnelle entre les assurés : par exemple, une personne de 45
ans paie le même prix qu’un assuré plus jeune, de même qu’une personne mariée avec
des enfants paie le même prix qu’un célibataire.
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•
•
•
Avantages financiers :
o Les tarifs ou les garanties sont plus intéressants en assurance de groupe qu’en
assurance individuel du fait qu’il n’y ait pas d’anti-sélection.
o le souscripteur peut prendre en charge une partie des cotisations de l’assuré
Avantages fiscaux : l’assuré peut déduire une partie de ses cotisations du montant de
ses revenus imposables
Avantages sociaux :
o pour le souscripteur, une bonne assurance complémentaire peut lui permettre de
fidéliser ses salariés. On peut la considérer comme une rémunération indirecte
o le souscripteur (en particulier dans le cas d’une entreprise) a la possibilité de
déduire une partie des cotisations de l’assiette des cotisations sociales
Les garanties
Nous nous intéressons aux trois garanties majeures d’un contrat de prévoyance de groupe.
• Les garanties décès
Les garanties décès proposent généralement une couverture sous forme de capital décès versé
à un bénéficiaire désigné en cas de décès de l’assuré. Elles sont éventuellement complétées par
des garanties rente de conjoint (versement temporaire d’une rente au conjoint de l’assuré)
et/ou par des garanties rente éducation (versement temporaire d’une rente aux éventuels
enfants de l’assuré pendant la durée de leurs études).
Les garanties décès en capital sont généralement exprimées en multiples du salaire des assurés.
• Les garanties incapacité temporaire/invalidité permanente
L’assuré qui, par suite de maladie ou d’accident, est contraint d’interrompre totalement ou
partiellement son activité professionnelle est dit en incapacité de travail. Le code du travail et les
Conventions Collectives Nationales obligent l’employeur à veiller au maintien de son salaire
totalement ou partiellement. La Sécurité Sociale d’abord, et l’employeur en complément, s’en
chargent pendant un certain temps (la franchise de l’assureur), puis l’assureur prend le relais de
l’employeur selon les stipulations du contrat passé par l’employeur.
A partir de la date d’entrée en incapacité de travail, la prise en charge par la Sécurité Sociale
dure 3 ans pendant lesquels plusieurs évènements peuvent survenir :
- le salarié reprend son travail : c’est la fin du sinistre
- le salarié décède : c’est aussi la fin de l’incapacité temporaire
- son état se stabilise : il est classé en invalidité permanente (IP). En moyenne, cela arrive
après deux à trois ans d’incapacité. Alors, l’assuré en IP reçoit une rente de la Sécurité
Sociale complétée par l’assureur jusqu’à 60 ans.
• Les garanties remboursement de frais de soins
Les garanties remboursement frais de soins sont des garanties qui viennent en complément des
prestations de la Sécurité Sociale en matière de frais médicaux (consultations, médicaments, …).
Elles correspondent en général à un pourcentage des dépenses effectuées.
Leur fréquence dans un groupe est très grande et leur volatilité faible.
2.
La participation aux bénéfices
Le contrat d’assurance de groupe étant souscrit par une personne morale au nom des adhérents
d’un groupe, l’entité élémentaire du contrat n’est pas l’assuré comme en assurance individuelle,
mais le souscripteur.
La participation aux bénéfices est une clause contractuelle qui stipule qu’une partie des bénéfices
de l’assureur sur le contrat sont reversés au souscripteur.
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Ce type de clause existe, dans la plupart des cas, sous forme d’un mode de participation
proportionnelle. Le contrat fixe un taux d’attribution au souscripteur qui reçoit, par exemple, 75%
des bénéfices. Ce montant est alors mis en réserve pour bénéficier d’une baisse des primes
l’année suivante.
La participation aux bénéfices permet à l’assureur de conserver une tarification prudente tout en
restant compétitif.
Elle constitue un mode pilotage conjoint du régime par l’assureur et le souscripteur car elle
permet de lisser les résultats dans le temps et de moduler les niveaux de primes appelées.
B. La réassurance
1. La réassurance proportionnelle
On parle de réassurance proportionnelle lorsque le réassureur prend en charge une proportion du
risque moyennant une proportion identique de la prime payée par l’assuré et paie, en cas de
réalisation du risque, le sinistre dans la même proportion.
Il existe deux formes de réassurance proportionnelle : la réassurance en quote-part, et la
réassurance en excédent de plein.
a) Traité en quote-part
Dans un traité en quote-part, le réassureur prend en charge une proportion identique sur tous les
risques du portefeuille et reçoit en échange la même proportion de primes.
L’assureur cède la même part sur les risques faibles que sur les risques importants.
Par exemple, si la quote-part est de 30%, l’assureur cède 30% de ses primes et 30% de ses
charges de sinistres.
b) Traité en excédent de plein
La réassurance en excédent de plein concerne normalement des assurances à valeur déclarée
(maritime, aviation, incendie).
A la différence des traités en quote-part, pour le traités en excédent de plein, le taux de cession
est calculé police par police. Pour chaque police, le réassureur prend en charge uniquement la
portion du risque dépassant un niveau de capital appelé plein de rétention. En échange de ce
service, il reçoit la proportion de prime correspondant à la même proportion du dépassement
accepté dans le capital assuré.
2. La réassurance non-proportionnelle
Dans un traité de réassurance non proportionnelle, le réassureur prend l’engagement de payer à
l’assureur certains montants à condition qu’un événement défini, un sinistre, une perte, se réalise.
En contrepartie, le réassureur perçoit une prime pour compenser le risque qu’il prend.
On distingue deux types de traités non proportionnels : les traités en excédent de sinistre et les
traités en excédent de perte.
a) Traité en excédent de sinistre (ou excess of loss)
L’assureur détermine le montant qu’il est prêt à conserver en cas de sinistre ; cette franchise est
appelée priorité. La part excédentaire, en général limitée par un montant maximal appelé plafond,
est à la charge du réassureur. On définit la portée par l’étendue de l’engagement du réassureur
pour un événement défini. On note généralement : « portée » XS « priorité ».
Les traités en excédent de sinistre peuvent être décomposé en deux grandes catégories selon la
nature de l’événement défini dans le traité : XS par risque, ou XS par événement.
Dans ce genre de traité, le réassureur fixe sa prime indépendamment de celle de l’assureur.
11
b) Traité en excédent de perte (ou stop loss)
Le traité en excédent de perte, ou stop loss, intervient lorsque l’assureur cherche à se prémunir
contre les mauvais résultats, non pas en s’attachant aux montants de chaque sinistre, mais en
protégeant les résultats eux-mêmes. Dans ce cas, l’évènement est constitué par l’ensemble des
polices sinistrées pendant la période de référence du traité. Le réassureur s’engagera à protéger,
à concurrence d’un montant maximum, le montant dépassant le seuil financier au-delà duquel
l’assureur souhaite être protégé. Les limites de ce traité sont exprimées sous la forme d’un
montant et/ou d’un pourcentage des primes.
En d’autres termes, la réassurance en stop loss permet à l’assureur de se couvrir contre une
dégradation du rapport SINISTRES sur PRIMES (S/P), donc des résultats du contrat ; la
dégradation des résultas pouvant provenir de la fréquence et/ou coût unitaire des sinistres.
Au-delà d’une valeur de S/P appelée Priorité (ou franchise), le réassureur rembourse à
l’assureur l’intégralité de la part de sinistres supérieure à la priorité jusqu’à une valeur maximum
qui constitue par différence avec la priorité la Portée du traité.
Si le montant des sinistres dépasse la portée, le réassureur ne remboursera à l’assureur qu’un
montant égal à la portée.
La traité stop loss se note de la façon suivante : Portée SL Priorité
C. Le réseau
Le réseau répond aux besoins qu’ont les multinationales de créer une politique sociale
internationale au sein de leur groupe.
Le programme international ne peut se mettre en place sans l’intervention du réseau.
Le réseau a pour rôle de faire adhérer des assureurs partenaires à celui-ci ; en général un
assureur par pays. L’assureur partenaire devient donc le seul assureur auprès duquel la filiale de
la multinationale placera son contrat d’assurance de groupe.
L’assureur partenaire pourra devenir l’assureur leader d’un programme international.
C’est souvent l’assureur du pays dont la multinationale est originaire qui devient l’assureur leader.
MAXIS est le réseau du groupe AXA, les fondateurs du réseau Maxis étant le Groupe AXA et la
compagnie d’assurance américaine Metropolitan Life Insurance.
Le réseau MAXIS propose aux entreprises multinationales une gamme complète de produits et
services en matière d'avantages sociaux complémentaires pour les salariés.
Maxis est présent dans plus de 65 pays à travers plus de 70 compagnies d'assurance, filiales des
groupes AXA, MetLife et assureurs indépendants.
D. Le programme international
1. Qu’est-ce que c’est ?
Le principe
Lorsque le souscripteur est une entreprise multinationale et que celle-ci a des filiales à l’étranger,
il est possible de mutualiser les risques au niveau international.
Le programme international, appelé aussi pooling, est un mécanisme de consolidation financière
au niveau mondial des régimes sociaux d’entreprises multinationales assurés auprès de
partenaires du réseau.
12
C’est également un outil d’information et de pilotage à l’échelle mondiale de la protection sociale
complémentaire des salariés.
Les protagonistes du programme international
• Les filiales de la multinationale
Elles sont situées dans des pays différents de celui de la maison mère de la multinationale. Elles
souscrivent, au profit de leurs employés, un ou des contrats d’assurances de groupe auprès
d’assureurs locaux.
• La maison mère = le bénéficiaire du programme
Elle représente la multinationale. En tant que cliente du programme international, elle reçoit la
participation aux bénéfices, qui correspond, ici, aux bénéfices tirés de la compensation
internationale des contrats.
• L’assureur local = l’assureur partenaire
Il a la responsabilité du lien d’assurance direct qui existe entre lui et la filiale par le biais du
contrat. Il fait appel à un réassureur pour, entre autre, permettre la compensation des résultats
internationaux.
Il doit donc envoyer au réassureur les comptes locaux des contrats souscrits localement par les
filiales du groupe.
Le rôle du réseau est de mettre en relation la filiale cliente et le partenaire assureur local.
• L’assureur leader
L’assureur leader a en charge la compensation internationale du programme.
En général, c’est l’assureur dans le pays de la maison mère du groupe.
Il est aussi le réassureur des membres du réseau auprès desquels les contrats sont souscrits
localement.
En tant que réassureur des contrats inclus dans le programme international, il élabore un rapport
annuel qu’il fournit à la maison mère.
Le compte international
Le compte international est le compte de résultat global dans lequel sont mutualisés les résultats
de chaque compte local.
Il rend compte du résultat du pool et du montant de l’éventuel dividende international à verser au
client.
Il fait figurer la variation des provisions, les primes, les sinistres, les chargements locaux, les frais
internationaux tels que les primes de risque et les frais d’administration.
Tout solde bénéficiaire est mis à la disposition de l’entreprise multinationale sous forme de
« dividende international ».
2. Les différentes formules
Dans toutes les formules de pooling présentées ci-dessous, le principe de réassurance est le
même. Le programme international est un mécanisme qui permet de faire remonter le résultat de
chaque contrat local dans le pool, que ce résultat soit positif ou négatif. Pour ce faire, l’assureur
leader réassure en quote part à 100% chaque assureur local. Tous ces résultats sont ensuite
mutualisés au sein du compte international.
Du point de vue de l’assureur local, dans tous les cas, si le résultat technique de son contrat est
bénéficiaire, il doit verser 100% de ce résultat à l’assureur leader qui consolide les résultats de
13
tous les assureurs locaux. Si le résultat technique de son contrat est déficitaire, l’assureur leader
rembourse 100% de la perte ; c’est le principe de la réassureur en quote part 100%.
a) L’Annual Stop Loss (ASL)
Cette formule requiert les conditions minimales suivantes : 2 pays dans le pool et au moins 2000
personnes au total.
Le principe de l’Annual Stop Loss est simple. Un compte international est établi tous les ans.
Si le résultat du compte international, après mutualisation et après prise en compte des frais
internationaux, est positif, ce solde est versé intégralement au client sous forme d’un dividende
international.
Si le résultat du compte international est négatif, les pertes sont supportées en totalité par
l’assureur leader. Aucun report de pertes n’est effectué sur l’année suivante.
L’assureur leader ne peut donc pas lisser les pertes relatives à ce contrat dans le temps.
b) Loss Carry Forward 5 Years (LCF5Y) avec réserve
Le « Loss Carry Forward 5 Years » signifie que les pertes sont reportées sur une durée limitée à
5 ans.
personnes au total.
De même que pour l’ASL, un compte international est établi tous les ans.
Si le résultat du compte international est positif, les éventuelles pertes reportées sont effacées.
L’excédent éventuel est partagé de la façon suivante : 50% est versé dans une réserve appelée
« contingency fund » et 50% est versé au client sous forme de dividende international.
Si le résultat du compte est négatif, les pertes sont imputées au contingency fund, que celui-ci
soit positif ou négatif.
A la fin des 5 années, si le contingency fund est positif, il est versé au client, s’il est négatif, il est
effacé par le réassureur.
Notons à cette occasion que chaque perte reportée dans cette réserve a été constatée dans les
comptes du réassureur l’année où elle a eu lieu. Ainsi, l’effacement du contingency fund au terme
des 5 ans ne conduit à l’inscription d’aucun déficit dans les comptes du réassureur. Pour la
même raison, lorsque les résultats d’une année sont positifs et viennent apurer une perte
reportée, le réassureur va constater un gain technique dans ses comptes.
c) Indifinite Loss Carry Forward (ILCF)
Comme pour le LCF5Y, la formule « Indefinite Loss Carry Forward » signifie que les pertes sont
reportées, mais cette fois pour une durée illimitée. Le terme du report de pertes est ici la
résiliation du contrat.
personnes au total.
Un compte international est aussi établi tous les ans.
Si le résultat du compte international est positif, les éventuelles pertes reportées sont effacées
puis 100% du solde après effacement des pertes est versé dans une réserve appelée
« contingency fund » jusqu’à ce qu’elle atteigne un plafond correspondant à 25% des primes
poolées. Tout excédent au-delà de ce plafond est intégré au dividende international. Si la formule
est « sans réserve », alors le solde positif est versé au client sous forme de dividende
international.
Si le résultat du compte est négatif, les pertes sont ajoutées dans la contingency fund et
reportées l’année suivante.
14
3. Avantages et inconvénients du programme international
a) Du point de vue du client
Avantages
Le client dispose :
• D’une meilleure information sur la protection des salariés du groupe dans le monde
• D’un interlocuteur unique, l’assureur leader, qui facilite l’émergence d’une vision globale
sur la protection complémentaire des salariés
• D’une mutualisation des résultats de chaque filiale et possibilité de bénéficier d’une
participation aux bénéfices au niveau de son Groupe
• De la possibilité de bénéficier de conseils de grandes sociétés d’assurance dotées
d’équipes spécialisées dans les assurances collectives
• De l’assurance de la solidité financière de la solution locale et confiance dans la solution
trouvée
b) Du point de vue des assureurs locaux
Avantage
• Approche défensive : le fait d’offrir un programme international à son client permet à
l’assureur de garder dans son portefeuille des contrats qui auraient pu migrer vers un
assureur concurrent proposant ce type de programme international
• Approche offensive : en offrant le programme international, l’assureur peut se voir confier
de nouveaux contrats précédemment détenus par des concurrents non membres du
réseau.
Inconvénients
• Pour l’assureur local : dans un montage de réassurance en quote part 100%, ne prenant
aucun risque, il ne peut prétendre à aucune espérance de gain technique.
• Pour l’assureur leader : dans un montage en quote-part à 100%, il peut rencontrer des
difficultés de fonctionnement compte-tenu du non-intéressement de l’assureur local aux
résultats techniques.
E. La problématique
On a vu que dans tous les cas, les assureurs locaux ne prenaient aucun risque, car ils étaient
réassurés en quote-part à 100%.
Afin de mieux responsabiliser les assureurs locaux, nous avons décidé de chercher une formule
dans laquelle l’assureur leader partagerait le risque, sans toutefois changer les avantages pour le
client.
L'objectif souhaité est donc de faire participer les assureurs locaux tant aux gains techniques
potentiels qu'à la recherche d'un équilibre durable du contrat local. Une contrainte forte a guidé le
choix de la solution : conserver des propositions commerciales attractives et compétitives en
continuant à proposer à la maison mère des plans internationaux reposant sur la totalité des
résultats locaux.
15
II. Réforme du système de réassurance dans ces formules
A. Solution avec un traité de réassurance en QP de 50%
Le première façon de responsabiliser les assureurs partenaires en partageant le risque entre les
assureurs locaux et l’assureur leader était de faire un traité de réassurance en quote part à 50%.
Ainsi, 50% du risque restait effectivement localement. La conséquence immédiate d’une telle
solution est que le périmètre de mutualisation était réduit de moitié. Ceci pose bien sûr un
problème commercial important puisqu’il prive la maison-mère de la moitié du dividende
international.
B. Solution avec deux traités de réassurance
Pour un partage équilibré du risque entre l'assureur local et l'assureur leader, tout en conservant
les avantages de la mutualisation, il convient de laisser à la charge de l'assureur local 50% du
déficit éventuel de son contrat local après mutualisation.
Pour ce faire :
- l'assureur leader réassure les assureurs locaux en QP à 100% asseyant ainsi la mutualisation
sur l'intégralité des résultats (contrainte commerciale)
- l'assureur local participe à hauteur de 50% à la prise en charge du déficit de son contrat local
si ce dernier ne peut pas être compensé par les résultats du compte international
Le but de ce montage de réassurance est bien de partager le risque entre l’assureur « leader » et
les assureurs locaux, de façon équilibrée (50/50).
Ce programme fait intervenir 2 types de traités de réassurance :
- Le premier est un traité de réassurance proportionnelle en quote-part, dans lequel
l’assureur leader du pool réassure les assureurs locaux en quote-part à 100%.
- Le deuxième est un traité en excédent de perte, dit stop loss, grâce auquel l’assureur
leader va protéger 50% du résultat du pool après mutualisation.
Ainsi, le déficit local laissé à la charge de l’assureur local est systématiquement inférieur à celui
qu’il aurait eu à financer sans la mutualisation.
C. L’impact de la mutualisation
Soit Ri le résultat local du pays i, alors Ri = (primes – sinistres – frais locaux – frais internationaux
– pertes reportées).
Soit R le résultat global du pool après mutualisation :
R = somme(Ri) = somme résultats locaux positifs (P) + somme résultats locaux négatifs (N). R =
P + N, où P et N prennent en compte toutes les pertes reportées de l’année antérieure.
Dividende
P
Client
N
Cas P > abs (N)
Perte prise en charge :
•
50% assureur leader
•
50% assureur local
•
reportée localement
P
N
Cas P < abs ( N)
16
La mutualisation des résultats des filiales de la multinationale au sein du même pool a plusieurs
avantages pour le client :
- permettre aux filiales de petites tailles de bénéficier d’une participation aux bénéfices,
dont elles n’auraient pas bénéficié étant donné le volume assuré trop faible
- une meilleure stabilité des résultats du groupe du fait de l’élargissement du périmètre de
mutualisation
- pour la maison mère, distribution immédiate d’un dividende international et possibilité de
protéger le résultat à des coûts raisonnables du fait de cette mutualisation
D. Les frais internationaux
1. La prime de risque
Chaque assureur local doit recevoir une prime de risque en contrepartie du Stop Loss. L’assureur
leader portant le même risque que la communauté des assureurs locaux, il doit percevoir une
prime égale à la somme des primes de risque locales.
Assureur LEADER
100%
primes
100% (sinistres +
frais locaux + prime
de risque + frais
administratifs)
50%
prime de
risque
Si R<0 : 50% * ( R ⋅Ri )
N
Si R ≥ 0 : 0
Assureur LOCAL (i)
Rappel : R est le résultat global du pool après mutualisation, comme défini précédemment, c’està-dire après déduction des frais internationaux et prise en charge des reports de pertes
antérieurs.
Le résultat technique de l’assureur local est alors égal à :
50% * prime de risque – 50% * ( R ⋅Ri ) * 1{R<0 ;Ri<0}
N
2. Les frais administratifs de pooling (MAXIS)
Les frais administratifs de pooling correspondent aux frais de gestion et d’acquisition du réseau
MAXIS.
Ils sont prélevés sur les résultats locaux quel que soit le résultat du compte local.
Si le compte local, avant prise en compte des frais internationaux, est bénéficiaire, les frais
MAXIS sont financés totalement ou partiellement.
Si le compte local, avant prise en compte des frais internationaux, est déficitaire, pour éviter que
les frais administratifs ne soient pris en charge en totalité par le leader, ils doivent être intégrés
dans le déficit local protégé par le Stop Loss.
La prime de risque doit tenir compte du fait que les frais MAXIS viennent minorer le résultat des
comptes locaux.
Ce mécanisme montre bien que les assureurs locaux et l’assureur leader partagent le même sort.
17
E. Ce qui va changer, du point de vue de l’assureur local
1.
Cas de l’Annual Stop Loss
Rappel : dans le cas d’un Annual Stop Loss, les déficits ne sont pas reportés.
Distinguons de nouveau deux situations :
- soit le résultat global du pool après mutualisation est positif : les traités stop loss
n’interviennent pas. Ce qui change par rapport à l’ancien schéma de réassurance est que
les assureurs locaux et l’assureur leader conservent chacun 50% de la prime de risque.
Auparavant, seul l’assureur leader conservait 100% de la prime de risque et les assureurs
locaux n’avaient aucune chance de faire un gain technique.
- soit le résultat global du pool après mutualisation est négatif : l’assureur leader prend à sa
charge 50% de ce résultat en contrepartie de 50% de la prime de risque; les assureurs
locaux dont les résultats sont négatifs prennent à leur charge 50% de ce déficit après
mutualisation, proportionnellement à leurs déficits, aussi en contrepartie de 50% de la
prime de risque. Dans l’ancien schéma, l’assureur leader prenait à sa charge 100% de la
perte en échange de 100% de la prime de risque, et les assureurs locaux ne supportaient
aucune perte.
2.
Cas du Loss Carry Forward
Dans ce cas, les pertes sont reportées d’une année sur l’autre afin de pouvoir être compensées
par les bénéfices futurs.
Pour obtenir un meilleur lissage des résultats, on peut introduire une réserve, dite « contingency
fund », qui va permettre de compenser les pertes avec des gains antérieurs.
Localement, les pertes résiduelles sont reportées, ce qui n’était pas le cas dans l’ancien modèle
de réassurance. En fait, les pertes locales sont dans un premier temps compensées par les
bénéfices locaux de l’année. Si la totalité n’est pas apurée, le solde restant est mutualisé dans le
compte international. S’il reste encore un déficit résiduel, il est alors partagé entre l’assureur
leader et l’assureur local par le jeu du traité stop loss. Ces déficits résiduels sont alors reportés
dans les comptes locaux de l’année N+1.
Les déficits du pool sont reportés au niveau international.
Etudions dans un premier temps la formule « Indefinite Loss Carry Forward (ILCF) », c’est-àdire le report de pertes illimité, sans contingency fund international.
a) ILCF sans réserve
1ère année
La 1ère année, il n’existe aucun report de pertes antérieur.
Cas R > 0 : le résultat du pool est positif : de la même manière que pour la formule Annual Stop
Loss, les traités stop loss n’interviennent pas, l’assureur local et l’assureur leader conservent
chacun 50% de la prime de risque. Auparavant, seul l’assureur leader conservait 100% de la
prime de risque et les assureurs locaux n’avaient aucune chance de faire un gain technique.
Cas R < 0 : le résultat du pool est négatif : l’assureur leader prend à sa charge 50% de ce résultat
en contrepartie de 50% de la prime de risque ; les assureurs locaux dont les résultats sont
négatifs prennent à leur charge 50% de ce déficit. Du fait de la mutualisation, l’assureur local n’a
à sa charge qu’un montant inférieur ou égal à 50% de son déficit local.
Localement, les déficits pris en charge par les assureurs locaux sont reportés d’une année sur
l’autre.
18
2ème année
Nous rappelons que R, le résultat global du pool, tient compte de la déduction des frais
internationaux et du report de pertes antérieur.
Cas R > 0 : le résultat du pool est positif : les traités stop loss n’interviennent pas, l’assureur local
et l’assureur leader conservent chacun 50% de la prime de risque.
Si localement il y avait un report de pertes en début de cette deuxième année, le résultat R étant
positif, cela signifie que le report de pertes a été apuré grâce à la mutualisation. Donc en fin de
cette deuxième année, il n’y a plus de report de pertes.
Cas R < 0 : le résultat R est négatif : l’assureur leader prend à sa charge 50% de ce résultat en
contrepartie de 50% de la prime de risque ; les assureurs locaux dont les résultats, après prise en
charge de leur report de pertes local, sont négatifs prennent à leur charge 50% de ce déficit. Du
fait de la mutualisation, l’assureur local n’a à sa charge qu’un montant inférieur ou égal à 50% de
son résultat local annuel.
Localement, le déficit pris en charge par l’assureur local est reporté d’une année sur l’autre, et
vient s’ajouter à l’éventuel déficit de l’année précédente.
Et ainsi de suite les années suivantes.
b) ILCF avec réserve
Le fonctionnement est identique à celui d’un ILCF sans réserve à la différence près que la
constitution d’une réserve va permettre d’apurer les pertes non plus seulement avec les gains
futurs mais aussi avec les gains passés.
Pour ce faire, tout résultat positif va alimenter cette réserve jusqu’à ce qu’elle atteigne un plafond
défini contractuellement. Pendant cette période d’alimentation, aucun dividende international
n’est servi.
L’avantage est le moindre coût de la protection pour le client et un meilleur lissage des résultats
pour l’assureur.
c) LCF 5 years avec réserve
Une façon supplémentaire de protéger le compte est le Loss Carry Forward limité dans le temps,
par exemple à 5 ans, avec contingency fund.
Dans ce cas, contrairement à l’ILCF avec réserve, 50% du résultat positif peut être versé en
dividende au client dès la première année.
F. Avantages et inconvénients
Après avoir décrit les différences de fonctionnement entre l’ancien mode de réassurance à 100%
et le nouveau schéma de réassurance, nous allons présenter les avantages et les quelques
inconvénients de cette nouvelle formule.
1. Du point de vue de l’assureur local
Avantages
• Réassurance de 50% de ses résultats négatifs
• Gain de la prime de risque si résultat positif
• Bénéfice de la mutualisation sur les 50% de résultat non réassurés
• Meilleure communication avec le leader et les autres assureurs du pool
• Plus forte implication de l’assureur local
19
Inconvénients
• Comptabilisation locale plus complexe
2. Du point de vue de l’assureur leader
Avantages
• Partage du risque avec l’assureur local
• Responsabilisation de l’assureur local
• Meilleure connaissance réciproque des risques
• Réactivité accrue des assureurs locaux lors de la détection de pertes
• Une marge de gestion majorée car partage des frais MAXIS si déficit
•
Inconvénients
• Nécessité de rendre des comptes aux assureurs locaux sur l’ensemble du pool
20
III. Tarification de la prime de risque
Dans cette partie, nous allons tarifer la prime de risque d’un pool dont la formule est l’Annual Stop
Loss.
La prime de risque sert aux assureurs à compenser un éventuel résultat négatif du pool. En effet,
nous avons vu que lorsque le résultat du pool était positif, 100% du résultat était donné au client
via le dividende international. Par contre, lorsque le résultat est négatif, celui-ci est entièrement
supporté par les assureurs. Ces derniers ne peuvent donc jamais compenser les résultats
négatifs d’une année.
Dividende international,
versé au client
Résultats négatifs, à
compenser par la prime de
risque
Nous avons donc besoin de savoir comment se comportent les résultats des contrats, en fonction
des garanties et de l’effectif assuré. Nous allons donc étudier les lois de comportement des ratios
S/P des données du portefeuille AXA France. Puis nous utiliserons les résultats pour modéliser
des montants de résultats en fonction des primes et en déduire la prime de risque. Nous
simulerons aussi des résultats théoriques par la méthode de Monte-Carlo.
A. Analyse statistique des données
Avant de commencer la modélisation des fonctions de répartition des ratios S/P, nous faisons
une analyse statistique des données afin d’expliciter les données étudiées, par garantie.
1. Les données étudiées
Notre étude repose sur des données réelles issues de contrats d’assurances collectives du
portefeuille AXA France. Une analyse descriptive de ces données figure ci-après.
Nous avons cherché à modéliser les lois de sinistres par garantie et en fonction du montant de la
prime.
Nous nous sommes intéressés aux trois garanties majeures d’un contrat de prévoyance de
groupe, généralement poolées :
- Décès
- Remboursement de frais de soins (RF)
- Incapacité Temporaire-Invalidité Permanente (IT-IP)
Ces garanties sont décrites au Chapitre I.
Les données disponibles sont issues des états de surveillance. Ces derniers précisent le détail
par garantie et par année de survenance des postes suivants :
- primes encaissées
- sinistres réglés et provisions techniques (pour les garanties en rentes).
Nous disposons de ces données pour les exercices de survenance de 2002 à 2005, soit 4
années.
21
Ces données paraissent suffisantes pour déterminer les lois de sinistres par année de
survenance, cependant pour une modélisation de meilleure qualité, il aurait été souhaitable de
disposer d’autres informations comme le niveau des garanties, l’effectif du groupe assuré, l’âge
moyen du groupe assuré, etc…
Nous verrons ultérieurement que pour tarifer la prime de risque ces éléments auraient été d’une
aide supplémentaire.
a) Les échantillons de données
Nous avons extrait les cotisations et les sinistres, toutes garanties confondues, de près de 6900
comptes. Cependant, comme nous voulions pouvoir étudier les résultats des 4 années, nous
avons éliminé, cette fois par garantie, tous les comptes pour lesquels une seule des 4 années
présentait une prime nulle.
Nous avons ainsi éliminé plus de 75% des données du portefeuille. Après ce premier tri, il restait :
- 2 426 contrats pour la garantie décès
- 1 292 contrats pour la garantie RF
- 2 875 contrats pour la garantie IT
Ensuite, nous avons voulu gardé les contrats qui avaient une prime pour chacune des 4 années
et en même temps pour chacune des garanties citées ci-dessus. Seulement 846 contrats
répondaient à ces critères.
Puis nous avons éliminé les contrats ayant des niveaux de primes trop faibles, car même si ces
contrats sont très nombreux, ce ne sont pas ceux-là qui nous intéressent pour notre étude. En
effet, la mutualisation au sein du programme international nécessite d’avoir des contrats avec un
certain nombre de personnes assurées. Nos trois échantillons – un échantillon par garantie - sont
ainsi composés de contrats ayant des primes moyennes sur les 4 années comprises entre 25 000
euros et 19 millions d’euros.
Enfin, parmi ces contrats, nous avons choisi de ne conserver que les contrats assez stables,
c’est-à-dire avec un montant de primes variant peu d’une année sur l’autre.
Nous avons donc les échantillons suivants, par garantie :
Nb de
contrats
Décès
RF
IT-IP
331
292
195
Primes
moyennes
minima
25 K€
25 K€
30 K€
Primes
moyennes
maxima
13 329 K€
19 691 K€
14 210 K€
S/P
min
S/P moyen
minimum
S/P
max
S/P moyen
maximum
0%
5%
0%
11%
11%
1%
1350%
439%
1119%
339%
351%
352%
S/P moyen sur
toutes les
observations
88%
95%
114%
b) Correction des données
De plus, ces données comportent certains biais.
Les cotisations sont brutes des frais de gestion et des commissions d’apporteur . Pour obtenir
des cotisations nettes, nous avons appliqué un taux de frais moyen par garantie :
- pour le décès : taux de frais = 10%
- pour les remboursement de frais de soins : taux de frais = 18%
- pour l’Incapacité Temporaire-Invalidité Permanente : taux de frais = 12%
Ces taux sont les taux moyens constatés sur notre portefeuille.
22
2. Analyse descriptive
Dans cette partie, nous allons aborder une approche théorique des montants de sinistres, que
nous complèterons par une analyse empirique de nos échantillons.
a) Garantie décès
En ce qui concerne la garantie décès, il est assez facile de calculer le montant des sinistres du
groupe en considérant chaque membre du groupe.
Caractéristiques du coût des sinistres décès
Connaissant la composition du groupe assuré, c’est-à-dire pour chaque membre du groupe :
• Son âge
• Son sexe
• Son salaire annuel
• Sa situation de famille,
Le coût des sinistres de la garantie décès du groupe s’écrit, en notant :
• i→salaire(i) : la fonction qui au membre i du groupe associe son salaire
• i→situtation(i) : la fonction qui à i associe sa situation de famille,
Cdécès =∑Ι(décès_i)×coût[salaire(i);situation(i)]
i
Où Ι(décès_i) désigne la réalisation (ou non) de l’événement « décès de i » ; c’est une variable
aléatoire.
Le coût annuel de la garantie décès est donc une somme de variables aléatoires,
vraisemblablement indépendantes (on exclut tout risque catastrophe).
En définissant des sous-groupes du groupe assurable regroupant les membres du groupe ayant
des salaires et des situations de famille similaires, le coût de la garantie décès s’écrit alors
comme suit (le coût d’un décès est le même pour tous les membres d’un même sous-groupe j) :
Cdécès =∑n(décès_dans_j)×coût[j]
j
où n(décès_dans_j) est le nombre de décès dans l’année du sous-groupe j.
Pour des groupes de taille assez élevée (plus de mille individus), on peut considérer que le
nombre annuel de sinistres d’un sous-groupe suit une loi de Poisson de paramètre
ntpt , où nt est la taille de la classe d’individus du sous-groupe j appartenant à la tranche
[np]j =
∑
t
t, à l’intérieur de laquelle la probabilité de décès est pt.
L’espérance de la variable Cdécès est donc égale à :
Ε[Cdécès]=
∑[np] ×coût[j]
j
j
car l’espérance d’une loi de Poisson de paramètre q est égale à q.
Les variables Ι(décès_i) pouvant être considérées comme indépendantes, les variables de coût sont
indépendantes d’un sous-groupe à l’autre. La variance de la variable Cdécès est égale à la somme
des variances à l’intérieur de chaque sous-groupe. On a donc :
23
σ² décès = Var[Cdécès]=
∑[np] j×coût[j]²
j
car la variance d’une loi de Poisson de paramètre q est égale à q.
Caractéristiques du ratio S/P
On s'intéresse maintenant au ratio S/P = Sinistres .
Primes
On note α le niveau de tarification en fonction de la prime pure : P=α⋅Ε(S)=α⋅Ε[Cdécès] .
Ce niveau de tarification ne dépend pas d’une volonté de l’assureur de surtarifer ou sous-tarifer la
garantie, mais plutôt d’un écart existant entre l’utilisation de tables de mortalité qu’il mettrait luimême au point.
L’espérance du ratio S/P est alors égale à : E[S/P] = 1/ α .
Et sa variance vaut :
∑
[np] j×coût[j]²
σ décès
²
j
² =
σ S/P
= 1⋅
2
α²⋅E[Cdécès ]² α² ⎡
⎤
⎢ [np] j×coût[j] ⎥
⎢⎣ j
⎥⎦
∑
Ainsi, si l’on connaît, pour un groupe assurable donné , les garanties décès offertes et pour
chaque membre du groupe :
• son âge
• son salaire
• sa situation de famille
et pour chaque membre du groupe décédé dans l’année :
• son âge
• son salaire
• sa situation de famille,
il est vraisemblable que la variable S/P ait les caractéristiques (espérance et variance) dégagées
ci-dessus.
Effet de la démutualisation
On peut déduire des formules ci-dessus les effets de la démutualisation sur un contrat. En effet,
on considère deux groupes A et B qui bénéficient des mêmes garanties décès, tarifées au même
niveau de tarification α .
On note 1+ β le rapport de taille entre les deux groupes : NA =1+β .
NB
Si on suppose que l’écart de taille entre les deux groupes est uniformément réparti dans chaque
sous-groupe des groupes A et B, c’est-à-dire : [np] Aj =(1+β)⋅[np]Bj , alors on peut déduire deux
relations particulières entre les primes et les variances des garanties de chaque groupe.
D’une part, on a :
∑ [np]
PB = α⋅E[S B ]= α⋅
j
B ×coût[j]
j
∑ [np]
= α⋅(1+ β)⋅
A ×coût[j]
j
=(1+ β)⋅PA
j
D’autre part, la variance est égale à :
24
[]
Var ⎛⎜ S ⎞⎟ = 1 ⋅
⎝ P B ⎠ α² ⎡
⎢
⎣⎢
[]
∑ [np]
j
∑
j
B ×coût[j]²
j
[ ] ⎞⎟⎠
= 1 ⋅Var ⎛⎜ S
⎝P
⎤ 1+ β
[np] Bj ×coût[j] ⎥
⎦⎥
2
A
[]
D’où la relation : Var⎛⎜ S ⎞⎟⋅PB = Var⎛⎜ S ⎞⎟⋅PA
⎝ P A⎠
⎝ P B⎠
Donc si l’on étudie un groupe de contrats tarifés de la même manière, on peut faire
l’approximation suivante :
([ ])
Var S ⋅P=constante
P
En particulier, ces résultats montrent que la variance du ratio S/P est approximativement
inversement proportionnelle à la prime du groupe étudié, elle-même fortement corrélée à la taille
du groupe ; ce qui est cohérent avec les principes de la mutualisation des risques.
L’idéal aurait été de disposer de toutes les informations nécessaires sur les garanties décès des
contrats que nous étudions. Malheureusement nos seules sources d’informations ne rendent
compte que des primes encaissées et des sinistres survenus pour une année donnée. Pour une
garantie décès de durée un an renouvelable par tacite reconduction, l’année comptable et
l’exercice de survenance coïncident à la cadence de règlements près. Nous ne tiendrons pas
compte de cette cadence.
Nous disposons pour la garantie décès des ratios S/P par survenance sur 4 années de 331
entreprises. Une série de 4 années semble à priori insuffisante pour que l’on puisse en tirer des
résultats fiables.
Résultats empiriques
L’estimateur de la moyenne empirique du ratio sur 4 années s’écrit :
4
mS/P = 1×∑(S/P)i
4 i=1
L'estimateur de la variance empirique du ratio S/P sur années s’écrit :
4
⎞
⎛ 4
4×∑(S/P)i²−⎜ ∑(S/P)i ⎟
⎠
⎝ i=1
σ²S/P = i=1
4×3
2
On constate que la moyenne des moyennes empiriques sur 4 années est égale à 88%.
Moyenne empirique des S/C décès sur 4 années (331
contrats)
S/C en %
100%
90%
80%
70%
60%
2002
2003
2004
2005
Année
25
On s’intéresse maintenant à un graphe représentant la variance empirique en fonction des
moyennes empiriques des primes.
Variance du ratio S/P en fonction de la prime moyenne
Garantie décès (4 années, 331 contrats)
6
5
4
Var(S/P)
3
constante / primes moy
2
1
0
0
20
5
0
80
4
0
40
4
0
00
4
0
60
3
0
20
3
0
80
2
0
40
2
0
00
2
0
60
1
0
20
1
0
80
0
40
0
Primes moyennes en K€
ρ
où ρ est une
x
constante (courbe en rose) afin de montrer que la variance est inversement proportionnelle au
niveau de la prime.
Empiriquement, on constate que globalement le nuage de points confirme la théorie et montre
bien que la variance est inversement proportionnelle à la prime, à partir d’un montant de primes
assez élevé (1 200 K€).
Pour une étude plus précise par tranche de primes, un zoom a été fait pour des primes comprises
entre 25K€ et 1500K€.
Théoriquement, le nuage de points devrait suivre une courbe de la forme : x →
Variance du ratio S/P décès - ZOOM primes 25K€-1500K€
6
5
4
3
2
1
0
1
1
1
1
1
1
0
50
0
40
0
30
0
20
0
10
0
00
0
90
0
80
0
70
0
60
0
50
0
40
0
30
0
20
0
10
0
On constate que les rations S/P sont évidemment plus volatiles sur des contrats dont la prime est
faible. En effet, les garanties variant assez peu d’un contrat à l’autre, la prime est un bon
indicateur de la taille de la population assurée. Conformément au principe de la mutualisation, la
volatilité du risque est inversement proportionnelle au nombre d’assurés.
De ce graphe, nous déduisons facilement trois tranches de primes : de 25K€ à 200K€, de 200K€
à 500K€ et de 500K€ à 1500K€. Ceci étant, le nombre de contrats (208) dans la première tranche
est assez élevé par rapport aux nombres de contrats dans les autres tranches, nous avons donc
26
choisi de la couper en deux. Finalement, nous avons décidé de modéliser les lois des S/P pour 5
tranches primes :
Tranche en K€
25 - 50 50 - 200 200 - 500 500 - 1500 + 1500 TOTAL
Nombre de contrats
68
140
64
42
17
331
b) Garantie remboursement de frais de soins
Dans le cas de la garantie remboursement de frais de soins, les sinistres sont très fréquents et
leurs coûts très variés. La volatilité devrait donc être plus stable que dans le cas de la garantie
décès.
Nous disposons pour la garantie remboursement de frais de soins des ratios S/P par survenance
sur 4 années de 292 entreprises.
S/C en %
Moyenne empirique des S/C RF sur 4 années (292
contrats)
110%
100%
90%
80%
70%
60%
2002
2003
2004
2005
Année
La moyenne des ratios est de 95%. Cependant, étant donné les cadences de règlement en frais
de soins, les sinistres de la dernière année, de survenance 2005, ne sont vraisemblablement pas
tous connus, ce qui fait baisser la moyenne. La moyenne sur 3 années donne un résultat proche
de 100%.
Nous serions globalement à l’équilibre sur cette garantie.
La courbe de volatilité est donnée par le graphe suivant :
Garantie RF (4 années, 292 contrats)
1,2
1,0
0,8
Var (S/P)
0,6
0,4
0,2
0,0
0
00
8
0
50
7
0
00
7
0
50
6
0
00
6
0
50
5
0
00
5
0
50
4
0
00
4
0
50
3
0
00
3
0
50
2
0
00
2
0
50
1
0
00
1
0
50
0
On constate cette fois que la volatilité est très faible même pour des encaissements peu élevés.
27
Cependant, pour être en phase avec l’étude faite sur la garantie décès, nous avons découpé
notre échantillon en 5 tranches aussi :
Tranche en K€
25 - 150 150 - 200 200 - 500 500 - 1000 + 1000 TOTAL
Nombre de contrats
196
26
32
17
21
292
Nous verrons les résultats de cette étude dans la partie suivante, mais le principal résultat
attendu est que la variance baisse significativement au fur et à mesure que le montant de primes
augmente.
c) Garantie Incapacité Temporaire-Invalidité Permanente
Sur cette garantie, l’idéal aurait été d’étudier le ratio S/P par année comptable puisque c’est bien
de cette donnée dont nous aurons besoin pour modéliser la prime de risque du compte de
participation aux bénéfices. Les données que nous avions étant en survenance, donc nous avons
travaillé sur les ratios S/P par exercice de survenance. Le biais introduit ne semble pas
problématique dans la mesure où nous disposons des données sur plusieurs années. Les
prestations réglées sur plusieurs exercices comptables sont cumulées dans un même exercice
de survenance. Ainsi, la moyenne sur les 4 années est sensiblement la même.
Nous disposons pour la garantie IT-IP des ratios S/P par survenance sur 4 années de 197
entreprises (voir page suivante).
S/C en %
Moyenne empirique des S/P IT-IP sur 4 années
(197 contrats)
140%
130%
120%
110%
100%
90%
80%
2002
2003
2004
2005
Année
La moyenne empirique sur les 4 années est de 114%.
On constate un pic en 2004 avec un ratio S/P de 134%. Cela signifie que beaucoup d’arrêts de
travail ont été déclarés et que, vraisemblablement, ces arrêts de travail sont toujours en vigueur
en 2005 et les prestations réglées sont imputées à l’année de survenance 2004.
En 2005, le ratio S/P est faible et égal à 87%. Celui-ci est certainement dû aux délais de carence
qui existent dans cette garantie, en effet, les sinistres de survenance 2005 ne sont pas toujours
connus en 2005, mais parfois bien plus tard, ainsi les données ne sont peut-être pas complètes
pour l’année 2005.
Nous nous sommes demandés s’il était pertinent de garder la survenance 2005 dans l’analyse
des données dans la mesure où elle est vraisemblablement tronquée.
La moyenne empirique sur les 3 années 2002, 2003 et 2004 est de 123% ; elle est donc plus
élevée. Cependant, la variance ne varie pas beaucoup que nous étudions les données sur les 3
années ou sur les 4 années ; l’écart-type est de l’ordre de 0.14 .
Nous avons étudié la variance en fonction des primes moyennes, pour les 4 années.
28
Le graphe suivant montre une volatilité importante du ratio S/P quelque soit le montant de primes,
avec tout de même une baisse de la variance empirique à partir de niveaux de primes assez
élevés.
Garantie IT-IP (4 années, 195 contrats)
6
5
4
Var(S/P)
3
2
1
0
2
2
1
1
1
1
1
0
20
0
00
0
80
0
60
0
40
0
20
0
00
0
80
0
60
0
40
0
20
0
Pour la modélisation qui suit, nous avons aussi découpé notre échantillon de 195 contrats en 5
tranches de primes :
Tranche en K€
30 - 50 50 - 200 200 - 500 500 - 1000 + 1000 TOTAL
Nombre de contrats
42
98
31
11
13
195
B. Modélisation des ratios S/P
Dans cette partie nous allons modéliser les ratios S/P pour chaque garantie et par tranche de
primes. Il aurait été plus intéressant de modéliser par tranche d’effectifs, mais n’ayant pas cette
information, nous avons cherché les lois des ratios S/P pour chaque garantie pour 5 tranches de
primes.
Nous donnerons la loi des ratios S/P pour une tranche de primes, comme exemple. En annexes
se trouvent tous les résultats pour les autres tranches de primes.
1. Garantie décès
Nous avons décidé de modéliser les ratios S/P. Ils nous serviront à modéliser le calcul de la
prime de risque, modélisation que nous complèterons par des simulations par la méthode de
Monte-Carlo.
La particularité de la garantie décès est que la possibilité qu’il n’y ait aucun sinistre dans l’année
dans le groupe assuré a une probabilité non nulle d’être nulle. En effet, il est probable que dans
une année donnée aucun décès ne survienne au sein du groupe assuré. Par exemple, si l’on
considère un groupe de 500 personnes âgées de 45 ans, la table de mortalité TD88/90 indique
que leur probabilité de décès dans l’année est de 0,44%. Ainsi, la probabilité pour qu’aucun
décès ne survienne dans l’année est égale à :
500
P = (1−0,44%)
= 11.03%. Cette probabilité n’est pas négligeable sur des contrats
d’encaissement faible (effectif faible). En revanche, pour un groupe de 2000 individus, la
probabilité pour qu’aucun décès ne survienne dans l’année passe à 0,02%.
En observant nos données, on constate qu’aucun ratio S/P moyen n’est égale à zéro, cela
signifie que pour chaque contrat on a constaté au moins un sinistre sur les 4 années étudiées.
29
Si nous étudions année par année, nous constatons que les contrats avec une prime élevée,
supérieur à 1,5 M€, ont tous au moins un sinistre. Sur les contrats dont la prime est comprise
entre 500K€ et 1500K€, nous constatons 5 cas sans sinistre sur 168 observations. Pour les
contrats de primes inférieures à 1500K€, nous constatons 376 cas sans sinistre sur 1088
observations.
On estime alors les probabilités de non décès pour chacune de ces tranches de primes :
25K€ - 500K€
1 088
376
35%
Observations
Pas de décès
Probabilité de non-sinistre
500K€ - 1500K€
168
5
3%
> 1500K€
68
0
0%
Nous devons donc évaluer la probabilité qu’il n’y ait pas de sinistre, puis modéliser la variable S/P
sachant qu’il y a eu un sinistre.
Nous décidons de prendre l’hypothèse que tous les ratios non nuls suivent des lois appartenant à
la même famille.
Nous avons vu dans la partie précédente que la variance observée avait une tendance à être
inversement proportionnelle à la prime pour des primes moyennes entre 25K€ et 1500K€ et
qu’elle était assez volatile. En revanche, pour des contrats dont la prime est supérieure à
1500K€, la variance des contrats est systématiquement en dessous de 0,5, comme le montre le
graphe ci-après :
Garantie décès (4 années)
3,0
2,5
2,0
Var(S/P)
1,5
1,0
0,5
0,0
14
13
12
11
0
50
0
50
0
50
0
50
0
50
0
50
0
50
0
50
0
50
0
50
0
50
0
50
0
50
0
50
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
C’est pourquoi nous avons fait le choix de modéliser séparément les contrats de primes
supérieures à 1500K€ des autres contrats, eux-mêmes séparés en 4 tranches de primes.
Pour rappel, les tranches de primes des 331 contrats étudiés sont les suivantes :
• 25K€ - 50K€ : 68 contrats
• 50K€ - 200K€ : 140 contrats
• 200K€ - 500 K€ : 64 contrats
• 500K€ - 1500K€ : 42 contrats
• + de 1500K€ : 17 contrats
On considère que les sinistres sont indépendants entre eux au sein d’un même contrat et d’un
contrat à l’autre. Tout se passe comme si nos données dans une classe étaient des observations
indépendantes et identiquement distribuées.
30
Décrivons la méthode suivie pour modéliser les ratios correspondants aux contrats
d’encaissement compris entre 500K€ et 1500K€, par exemple.
Tout d’abord, on calcule la fonction de répartition empirique de nos observations. On obtient une
courbe avec l’allure suivante :
Probabilité
Fonction de répartition em pirique du ratio S/P décès
Prim es : 500K€-1500K€
110%
100%
90%
80%
70%
60%
50%
40%
30%
20%
10%
0%
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
S/P
La moyenne empirique des observations pour cette tranche de primes est de 0.79 et leur écarttype empirique est de 0.37.
On cherche maintenant une loi qui s’approche le plus possible de la loi empirique obtenue. Pour
cela, il nous faut définir une distance sur les lois afin de tester pour chaque loi théorique s’il est
vraisemblable que nos données suivent cette loi.
Test de Kolmogorov-Smirnov
Comme nous souhaitons déterminer si notre échantillon suit une loi statistique connue, nous
allons faire un test de conformité.
Nous avons choisi le test de Kolmogorov-Smirnov car c’est un test d’adéquation entre des
échantillons observés et une distribution de probabilité. Il compare la fonction de répartition
observée et la fonction de répartition attendue. Le test du Khi-2, qui est aussi un test
d’adéquation, sert plus généralement à la comparaison de deux distributions observées.
Le test suit une succession d’étapes définies ci-après :
- énoncé de l’hypothèse H0 : l’hypothèse nulle H0 supposera l’adéquation de l’échantillon à
la loi statistique
- calcul d’une variable de décision correspondant à une mesure de la distance entre
l’échantillon et la loi statistique. Plus la distance est grande, moins l’hypothèse nulle H0
sera probable
- calcul de la probabilité d’obtenir une valeur de la variable de décision aussi extrême ou
plus extrême que la valeur obtenue, en supposant que H0 est vraie. Cette probabilité
correspond au risque de rejeter à tort H0 si en fait H0 est vraie.
- Conclusion du test, en fonction d’un risque seuil, α , en dessous duquel on est prêt à
rejeter H0.
Le test de Kolmogorv-Smirnov est fondé sur la distance maximale D entre les quantiles de la loi
testée et de la loi empirique. La statistique de cette variable sous l’hypothèse que la loi théorique
et la loi empirique sont similaires est connue. Elle a été tabulée, et fournit des probabilités de rejet
de l’hypothèse de concordance des deux lois testées.
31
Pour un échantillon de taille n supérieure à 40, lorsque D est égal ou supérieur à la valeur critique
de la table, l’hypothèse peut être rejetée au niveau de signification α correspondant :
Niveau de signification
Valeurs critiques
10,0%
5,0%
2 ,5%
1,0%
1,22 2n =1,22 2
n²
n
1,36 2
n
1,48 2
n
1,63 2
n
Nous avons testé trois lois à chaque fois :
• la loi normale
• la loi gamma
• la loi lognormale
Probabilité
Fonction de répartition em pirique du ratio S/P décès et lois théoriques
Prim es : 500K€ - 1500K€
110%
100%
90%
80%
70%
60%
50%
40%
30%
20%
10%
0%
Proba S/C moy
Normale
Gamma
Lognormale
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
S/P
Les valeurs du test pour les trois lois sont les suivantes :
Lois
Valeur D test Kolmogorv-Smirnov
Normale
0,07
Gamma
0,07
Lognormale
0,09
La valeur critique pour un niveau de 5% est égal à 0,15 pour le nombre de contrats étudiés
d’encaissement entre 500K€ et 1500K€. On accepte l’hypothèse de concordance de la loi
empirique et la loi théorique testée dès lors que la valeur D du test est inférieure à 0,15.
On peut accepter les trois lois, qui sont très proches.
Cependant, en observant le graphique, nous constatons facilement que nous devons choisir
entre la loi normale et la loi gamma qui sont très semblables.
La loi normale surestime la survenance des sinistres de montants faibles alors que la loi gamma
surestime la survenance des sinistres de montants plus élevés. Comme ce sont plutôt les
sinistres d’un montant élevé qui vont avoir une incidence sur la tarification de la prime de risque,
nous décidons de choisir la loi gamma pour modéliser le ratio S/P de la garantie décès pour les
contrats de primes comprises entre 500K€ et 1500K€.
Les calculs montrent que les ratios S/P non nuls des contrats d’encaissements compris entre
500K€ et 1500K€ suivent une loi gamma de paramètres ν = 4,653 et θ =
1
, ce qui
0,169
correspond à une moyenne de 0,79 et un écart-type de 0,37.
Les résultats pour les autres tranches de primes sont résumés dans le tableau ci-après :
32
Tranche en K€ Nb contrats
25 - 50
68
50 - 200
140
200 - 500
64
500 - 1500
42
+ 1500
17
TOTAL
331
Moyenne
94%
94%
78%
79%
81%
88%
Ecart-type
80%
79%
48%
37%
33%
68%
Loi
gamma
gamma
gamma
gamma
normale
gamma
Paramètre 1 Paramètre 2
1,36914
0,68331
1,39247
0,67278
2,69695
0,28940
4,65337
0,16932
0,80671
0,32590
1,67943
0,52444
La paramètre 2 correspond au paramètre de la fonction loi.gamma ou loi.normale sur Excel, et
est égal à 1/ θ pour la loi gamma.
Remarque : on remarque que l’on aurait pu étudier les contrats de primes comprises entre 25K€
et 50K€ regroupés avec les contrats de primes comprises entre 50K€ et 200K€ car la loi trouvée
pour chacune de ces deux tranches est la même, la moyenne et l’écart-type pour ces deux
groupes étant quasiment identiques.
Graphiquement, les allures des fonctions de répartition des lois en fonction des montants de
primes sont les suivantes :
Fonctions de répartition - garantie décès - par tranche de prim es
120%
Probabilité
100%
25K€ - 50K€
80%
50K€ - 200K€
200K€ - 500K€
60%
500K€ - 1500K€
+ 1500K€
40%
TOTAL
20%
0%
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
3,50
4,00
S/P
Finalement, la loi retenue pour les ratios S/P décès est la suivante :
35% pour une prime < 500K€
3% pour une prime entre 500K€ et 1500K€
0% pour une prime > 1500K€
•
S/P = 0 avec une probabilité de
•
S/P sachant que S/P non nul, suit une loi gamma pour des primes inférieures à 1500K€,
et une loi normale pour des primes supérieures à 1500K€. Les paramètres de chacune de
ses lois étant résumés dans le tableau ci-dessus.
Nous constatons que la volatilité du ratio S/P diminue de manière inversement proportionnelle
aux montants des primes. L’écart-type passe de 80% pour la tranche de primes inférieures à
50K€ à 33% pour la tranche de primes supérieures à 1500K€.
2. Garantie remboursement de frais de soins
Contrairement au cas de la garantie décès, il est clair que le ratio S/P de la garantie
remboursement de frais de soins n’est jamais nul en probabilité.
33
On part de la même hypothèse que pour le décès, à savoir que les lois suivies par les ratios S/P
de chaque contrat appartiennent à la même famille et diffèrent par leur moyenne et leur écarttype. On considère également qu’ils sont indépendants entre eux.
La fréquence des sinistres étant beaucoup plus élevée que pour les sinistres décès et les coûts
très proches de la moyenne, il est plausible que la volatilité du ratio ne dépende pas du montant
de la prime : on constate en effet que la volatilié est faible quelque soit le montant de la prime.
On considère que nos observations (292 contrats) sont des variables indépendantes et
indentiquement distribuées. On va donc les modéliser de la même façon que les ratios décès.
La moyenne générale des ratios est égale à 95%, et varie entre 91% et 106% selon la tranche de
primes étudiée. L’écart-type est de 0,25 en général, évoluant entre 0,13 et 0,27 selon les primes.
Il y a donc peu de chance que le ratio S/P de la garantie remboursement de frais de soins ne soit
inférieur à 80%.
Test de Kolmogorov-Smirnov
Pour déterminer la loi de la fonction de répartition théorique F0 la plus en adéquation avec la loi
empirique, on utilise la statistique de Kolmogorov Dn et on vérifie que cette loi ne peut être
rejetée, grâce aux tables de la loi statistique de Kolmogorov. Le seuil α désigne la probabilité de
rejeter F0 à tort quand la statistique Dn dépasse la valeur critique c associée.
W = {x1,...,xn/Dn >c}⇒PF0 (W) =α
Le tableau des valeurs critiques est le même que pour le décès, seule la valeur de n diffère.
Nous allons observer les résultats pour des contrats d’encaissements compris entre 25K€ et
150K€ :
Fonction de répartition empirique du ratio S/P et lois
théoriques Primes : 25K€ - 150K€
120%
100%
Empirique
80%
Normale
60%
Gamma
40%
Lognormale
20%
0%
0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00
Lois
Normale
0,03
Gamma
0,03
Lognormale
0,04
d’encaissement entre 25K€ et 150K€. On accepte l’hypothèse de concordance de la loi empirique
et la loi théorique testée dès lors que la valeur Dn du test est inférieure à 0,07. On peut accepter
les trois lois, qui sont très proches.
Cependant, le graphique montre que la loi gamma et le loi normale sont les plus proches de la
courbe de la fonction de répartition empirique. Nous choisissons la loi gamma pour modéliser les
34
ratios S/P de la garantie remboursement de frais de soins pour des primes entre 25K€ et 150K€,
avec les paramètres correspondant à une moyenne de 0,93 et un écart-type de 0,27.
Parmi les lois testées, la loi gamma et la loi normale ont été retenues, la loi lognormale aussi
testée n’apportait pas d’amélioration par rapport aux deux premières lois.
Cependant, il a parfois été constaté que des valeurs de paramètres différents des estimateurs
empiriques permettaient d’obtenir des adéquations plus fines.
Quand ces valeurs optimales sont dans l’intervalle de confiance des valeurs empiriques, nous
avons décidé de les garder si elles apportent vraiment une meilleure adéquation à la loi
empirique.
Les résultats pour les autres tranches de primes sont les suivants :
Tranche en K€ Nb contrats Moyenne Ecart-type
25 - 150
150 - 200
200 - 500
500 - 1000
+ 1000
TOTAL
196
26
32
17
21
292
93%
106%
95%
91%
103%
95%
27%
25%
23%
19%
13%
25%
Loi
Paramètre 1
gamma
gamma
normale
normale
gamma
gamma
Paramètre 2
11,86128
18,11009
0,94956
0,91081
63,06209
14,44710
0,07840
0,05875
0,23000
0,19000
0,01637
0,06577
Nous constatons bien que plus le nombre d’effectifs est élevé, plus la variance baisse pour une
moyenne toujours autour de 100%.
Fonctions de répartition en fonction des primes
Garantie RF
120%
100%
25K€-150K€
150K€-200K€
80%
200K€-500K€
60%
500K€-1000K€
40%
+1000K€
20%
TOTAL
0%
0%
40%
80%
120%
160%
200%
240%
S/C
35
3. Garantie Incapacité Temporaire-Invalidité Permanente
La grande difficulté pour modéliser cette garantie est que nous ne possédons que les données
par année de survenance, qui ne correspondent évidemment pas aux années comptables,
notamment parce que les prestations sont payées sous forme de rentes et souvent avec une
année de décalage à cause de la franchise temporelle.
Malheureusement nous n’avons que 4 années d’expérience, qui permettent de lisser un peu les
résultats, mais pas suffisamment.
Après avoir retiré les contrats dont les écritures semblaient incohérentes, nous avons considéré
les données comme acceptables pour ce que nous voulions modéliser : le ratio S/P. Nous avons
gardé 195 contrats dont les primes se situent entre 30 000 euros et 14 millions d’euros.
Nous avons supposé les données indépendantes.
De la même manière que pour la garantie décès, la probabilité que les sinistres, et donc aussi le
S/P, soient nuls est très proche de zéro quand le niveau de primes est assez élevé.
En effet, pour des contrats de primes entre 30K€ et 200K€, la probabilité qu’il n’y ait pas de
sinistres est de 0,20. Pour les contrats de primes supérieures à 200K€, cette probabilité passe à
0,015.
Cependant, en moyenne sur les 4 années, quelque soit le montant de la prime, le S/P moyen
n’est jamais nul.
Nous rappelons que la variable S est composée des prestations réglées au titre d’une incapacité
et des provisions techniques. Nous cherchons à modéliser le S/P de la garantie incapacité
temporaire et invalidité permanente dans le but de calculer une prime de risque, sachant que
cette prime de risque permettra de couvrir les pertes éventuelles d’un contrat. Cependant, c’est la
prime de risque acquise au cours de plusieurs années suite à des résultats positifs, qui permettra
de couvrir les pertes éventuelles d’une année. Nous pouvons donc considérer que la
modélisation du S/P par année de survenance sur 4 années nous donnera un résultat satisfaisant
pour l’utilisation que nous voulons en faire.
On considère que nos observations (195 contrats) sont des variables indépendantes et
identiquement distribuées. On va donc les modéliser de la même façon que les ratios décès et
RF.
La moyenne générale des ratios est égale à 114%, et varie entre 110% et 125% selon la tranche
de primes étudiée. Le fait que les moyennes par tranche soient assez stables autour de la
moyenne générale est assez étonnant étant donné que nous sommes en année de survenance.
Cependant, nous constatons bien que la variance est très élevée dans certains cas. L’écart-type
est de 0,81 en général, évoluant entre 0,48 et 1 selon les primes.
Dans toutes nos observations, nous avons constaté des S/P pouvant atteindre plus de 1000%,
pour un contrat de primes inférieures à 100 K€, ce qui n’est pas étonnant dans ce genre de
garantie.
On utilise toujours le test de Kolmogorov-Smirnov.
36
Nous allons observé les résultats pour des contrats d’encaissements compris entre 200K€ et
500K€ :
Fonction de répartition empirique du ratio S/P et lois théoriques
Primes : 200K€ - 500K€
120%
Probabilité
100%
Empirique
80%
Normale
60%
Gamma
40%
Lognormale
20%
0%
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
3,50
4,00
S/P
Lois
Normale
0,11
Gamma
0,06
Lognormale
0,07
Les valeurs du test sont plus élevées car nous avons moins d’observations dans cette tranche de
primes.
d’encaissement entre 200K€ et 500K€. On accepte l’hypothèse de concordance de la loi
empirique et la loi théorique testée dès lors que la valeur Dn du test est inférieure à 0,18. On peut
donc facilement accepter les trois lois.
Cependant le graphique montre que la loi gamma est la plus proche de la loi empirique.
C’est donc la loi gamma (de paramètres « Excel » α = 4,67 et β = 0,26) que nous choisissons
pour modéliser le ratio S/P pour des contrats dont la prime est comprise entre 200 000 euros et
500 000 euros.
Pour les autres tranches de primes, la loi gamma a été retenue sauf pour les contrats de primes
comprises entre 500K€ et 1000K€.
Les résultats sont les suivants :
30 - 50
50 - 200
200 - 500
500 - 1000
+ 1000
TOTAL
42
98
31
11
13
195
110%
110%
124%
125%
119%
114%
100%
85%
57%
48%
53%
81%
Loi
gamma
gamma
gamma
normale
gamma
gamma
Paramètre 1
1,21390
1,67089
4,67276
1,25476
5,04066
1,96933
Paramètre 2
0,90595
0,65839
0,26564
0,48266
0,23668
0,57755
On voit que l’écart-type diminue quand le niveau de primes augmente, par effet de mutualisation
croissante. En revanche, la moyenne du ratio n’a pas de relation avec le niveau des primes.
37
Fonctions de répartition par tranche de primes
garantie IT-IP - 4 années
120%
30K€ - 50K€
Probabilité
100%
50K€ - 200K€
80%
200K€ - 500K€
60%
500K€ - 1000K€
40%
+ 1000K€
20%
TOTAL
0,
00
0,
50
1,
00
1,
50
2,
00
2,
50
3,
00
3,
50
4,
00
0%
S/P
Les résultats de toutes les autres tranches de primes pour les trois garanties étudiées ci-dessus
se trouvent en annexes.
Nous allons maintenant appliquer les lois trouvées dans notre modèle de simulation de résultats.
C. Calcul de la prime de risque
Dans la partie précédente, suite à l’analyse statistique du portefeuille de contrats AXA France,
nous avons vu que le ratio S/P pouvait être modélisé soit par une loi gamma, soit par une loi
normale, selon la tranche de primes étudiée. C’est à partir de ces lois théoriques que nous allons
calculer le taux nécessaire de prime de risque.
Nous ne nous attacherons qu’à la formule « Annual Stop Loss », dans laquelle, si le S/P global
du pool est négatif, les pertes du pool sont supportées annuellement par les assureurs (leader et
locaux).
Nous commencerons par analyser les résultats que donnent des simulations par la méthode de
Monte-Carlo puis nous exploiterons les résultats d’un modèle utilisant directement les lois
obtenues précédemment en fonction de l’effectif.
1. Préambule
Nous avons défini le compte international comme la somme des comptes de résultats de chaque
contrat/pays inclus dans le programme international.
Précisons maintenant ce que nous entendons par compte de résultat et surtout par le résultat que
nous entendons protéger avec le traité de réassurance stop-loss.
Le résultat d’un compte se présente d’une manière simplifiée comme la différence entre les
primes et les sinistres. Lorsqu’il s’agit d’un compte international, nous retirons en plus des frais
locaux, une prime de risque et des frais administratifs internationaux, définis dans la première
partie comme les frais MAXIS.
Pour simplifier les notations, nous n’avons pas considéré les provisions début et fin de période
car la variation peut être considérée comme une charge de sinistres.
38
Pour les calculs suivants, nous notons :
P
: la prime pure
P’’
: la prime commerciale
g
: les frais de gestion totaux
S
: le montant des sinistres
r
: le taux de la prime de risque, à appliquer à P’’
La prime commerciale est calculée de la manière suivante :
P''= P
1−g−ω
où ω est le taux de marge de sécurité.
Dans le programme international, le montant de la prime de risque est donc égale à rP’’.
Le résultat que nous voulons protéger avec cette prime de risque est égal à :
R = P’’(1- g- r) – S
Si R est positif, son montant est égal au dividende international.
Si R est négatif, le montant de ce déficit doit être supporté par les assureurs leader et locaux.
Nous avons commencé par calculer la prime de risque en considérant que seule la garantie
décès était mutualisée dans le programme international.
Nous calculons d’abord la prime de risque grâce à des simulations de résultats par la méthode de
Monte-Carlo, puis nous la calculerons grâce à un modèle qui utilise les lois gamma ou normale
trouvées précédemment.
2. Garantie décès
(1) Principe
Nous avons utilisé la méthode de Monte-Carlo pour simuler des montants de sinistres grâce à un
tirage aléatoire de nombres entre 0 et 1.
Pour ce faire, nous utilisons la fonction ALEA(), qui renvoie un nombre aléatoire uniformément
réparti supérieur ou égal à 0 et inférieur à 1. Nous faisons l’hypothèse suivante : si le nombre
aléatoire tiré est inférieur ou égal à une probabilité p, alors le sinistre est égal au montant de la
prestation, par exemple le capital, en cas de décès ; si le nombre aléatoire est supérieur à la
probabilité p, alors le montant du sinistre est nul.
Si nous faisons la simulation pour 6000 assurés, nous allons tiré 6000 nombres aléatoires. Nous
en déduisons un montant de sinistre par assuré, soit le capital décès, soit zéro. En additionnant
tous ces montants, nous obtenons le montant total de sinistres pour le contrat comprenant 6000
assurés. Ce montant total de sinistres est soit supérieur, soit inférieur ou égal au montant de la
prime commerciale nette de frais. On en déduit le résultat R qui est soit positif, soit négatif.
On exécute 10 000 simulations, c’est-à-dire que l’on renouvelle cette opération 10 000 fois.
On obtient ainsi une série de 10000 résultats différents, qui va nous permettre de tracer la
fonction de répartition des ratios S/P engendrés par ces sinistres et de calculer le taux de la
prime de risque.
De la même manière que dans la partie précédente, nous avons approché la fonction de
répartition de ces S/P par une loi gamma, dont nous avons déterminé les paramètres.
39
Pour le calcul de la prime de risque, nous avons procédé de la manière suivante.
Nous avons d’abord supposé r=0, et nous avons calculé l’espérance de gain et l’espérance de
perte du compte de résultat pour un nombre de têtes défini.
Si S est le coût total des sinistres de l’année, et x varie du montant minimum des coûts de
sinistres simulés au montant maximum, on a :
•
Espérance de gain =
n
∑(P''(1−g−r)−S)⋅Prob(S=x)⋅1{
R > 0}
x =0
•
Espérance de perte =
n
∑(P''(1−g−r)−S)⋅Prob(S=x)⋅1{
R < 0}
x =0
avec R=P’’(1-g-r) - S
Nous avons déduit un taux de prime de risque en divisant l’espérance de perte (au signe négatif
près) par le montant de la prime commerciale P’’.
Puis nous avons cherché le taux de prime de risque r tel que :
rP’’ = -
n
∑(P''(1−g−r)−S)⋅Prob(S=x)⋅1{
R < 0}
x =0
Pour ce calcul, nous avons utilisé la fonction Excel qui s’appelle valeur cible.
(2) Hypothèses
Pour la garantie décès, nous avons pris les hypothèses suivantes :
• Salaire annuel : SA = 33 000 euros
• Probabilité de décès : p = 0.30%
• Montant de la garantie (capital décès) : K = 4*salaire
La prime pure P pour la garantie décès, par tête, est obtenue par le calcul suivant :
P = p * K = p * (4*SA)
Nous avons aussi supposé les frais comme suit :
• Frais de gestion totaux : g= 20%
• Marge de sécurité : ω =10%
La prime commerciale s’exprime alors en fonction des frais, elle est égale à :
P’’ =
P
1−g−ω
A.N. : Avec ces hypothèses, nous avons les montants suivants, P = 396 € par tête et P’’ = 565,71
€ par tête.
(3) Résultats
Nous avons simulé les montants de sinistres pour un effectif variant de 2000 à 8000 assurés.
Puis, d’une part, nous avons cherché les paramètres de la loi empirique qui se rapprochait le plus
de la fonction de répartition simulée, d’autre part, nous avons calculé le montant de la prime de
risque.
40
Avec ces hypothèses, nous avons obtenu les taux de prime de risque suivants en fonction de
l’effectif :
Nb têtes
Moy
Ecart-type
Taux r
2 000
91%
37%
13,35%
3 000
89%
30%
8,84%
4 000
89%
25%
6,17%
5 000
89%
22%
5,09%
6 000
88%
20%
4,13%
7 000
76%
17%
0,64%
8 000
66%
15%
0,10%
Nous constatons une cohérence dans les primes de risque obtenues. En effet, celles-ci baissent
de manière inversement proportionnelle au nombre de têtes.
Cependant, nous remarquons une chute du taux de la prime de risque entre l’effectif de 6000
assurés et 7000 assurés. Nous avons simulé de nouveaux taux pour un effectif compris entre
6000 et 7000 têtes.
Zoom sur les résultats entre 6000 et 7000 têtes :
Nb têtes
Moy
Ecart-type
Taux RC
6 000
88%
20%
4,13%
6 200
85%
19%
2,82%
6 500
81%
19%
1,58%
7 000
76%
17%
0,64%
Nous allons maintenant calculer les taux de primes de risque en utilisant les lois, gamma ou
normale, que nous avons trouvées dans les précédentes parties.
(1) Modèle
Dans ce modèle, nous utilisons les lois théoriques que nous avons modélisées précédemment,
se rapprochant le plus des lois empiriques, par tranche de primes :
Décès
25 - 50
68
94%
80%
50 - 200
140
94%
79%
200 - 500
64
78%
48%
500 - 1500
42
79%
37%
+ 1500
17
81%
33%
TOTAL
331
88%
68%
Loi
gamma
gamma
gamma
gamma
normale
gamma
1,36914
0,68331
1,39247
0,67278
2,69695
0,28940
4,65337
0,16932
0,80671
0,32590
1,67943
0,52444
Comme nous voulons créer un modèle en fonction de l’effectif, nous avons fait l’hypothèse
grossière suivante, concernant la relation entre les primes (en milliers d’euros) et l’effectif assuré
pour la garantie décès :
Tranche en K€ – garantie décès Nombre d’assurés
25 – 50
50 – 100
50 – 200
100 – 400
200 – 500
400 – 900
500 – 1500
900 – 2700
+ de 1500
+ 2700
Nous avons utilisé le montant hypothétique de P’’ = 565,71 €. Par exemple, si l’on considère la
dernière tranche, 1500 K€ divisé par 565,71 € donne un nombre égal à 2651 ; nous avons arrondi
à 2700 têtes.
41
Le tableau des lois et des paramètres par nombre de têtes est alors le suivant :
Nombre de têtes
50 – 100
100 – 400
400 – 900
900 – 2700
+ 2700
Loi
Gamma
Gamma
Gamma
Gamma
Normale
Paramètre 1
1,36914
1,39247
2,69695
4,65337
0 ,80671
Paramètre 2
0,68331
0,67278
0,28940
0,16932
0,32590
Moyenne
94%
94%
78%
79%
81%
Ecart-type
80%
79%
48%
37%
33%
Ce qui signifie que pour utiliser le modèle pour plus de 2700 têtes, par exemple, nous utiliserons,
pour la garantie décès, la loi normale, de paramètres m = 0,81 et σ = 0,33.
Précédemment, nous avons modélisé les fonctions de répartition des ratios S/P nets, c’est-à-dire
sinistres
les ratios
.
primes_net tes_de_frais
Si le ratio S/P suit une loi normale de moyenne 0,81 et d’écart-type 0,33, alors les sinistres
suivent cette même loi à une constante, égale au montant de la prime nette de frais, près.
Il est donc très facile de modéliser les montants des sinistres et à fortiori les montants de
résultats R du contrat.
Nous avons donc utilisé les lois des ratios S/P pour modéliser des montants de sinistres.
Pour simuler un montant total de sinistres, nous avons utilisé la fonction :
« loi.normale.inverse(q; m; σ ) ».
Cette fonction renvoie, pour une probabilité q donnée, la valeur d’une variable aléatoire suivant
une loi normale pour la moyenne et l’écart-type spécifiés. Dans notre cas, la probabilité q est une
variable renvoyée par la fonction « alea() », car nous voulons faire 10000 tirages du montant total
de sinistres, et la moyenne et l’écart-type sont respectivement m et σ , avec m=0.81 et σ = 0,33
lorsque l’effectif s’élève à 3000 par exemple.
Le principe de ce modèle est de calculer 10000 résultats et d’appliquer la même méthode de
calcul de la prime de risque que dans la méthode de Monte-Carlo.
Pour le montant des primes, nous avons utilisé les mêmes hypothèses que pour les simulations
par la méthode de Monte-Carlo :
• Salaire moyen annuel = SA = 30 000 euros
• Probabilité de décès dans l’année = p = 0,30%
• Capital garanti = K = 4 * salaire annuel
Ainsi, la prime commerciale P’’ est toujours égale à :
P’’ =
P
1−g−ω
Avec P = 4 * SA * p .
Et donc, la prime nette de frais est égale à P’’ * (1-g-r), avec r=0 si nous reprenons les mêmes
notations que précédemment.
(2) Résultats
Nous avons d’abord testé le modèle pour un effectif de 2000 assurés et 4000 assurés.
D’après les résultats résumés dans le tableau précédent, nous avons utilisé la loi gamma avec
des paramètres correspondants à une moyenne de 79% et un écart-type de 37% lorsque le
42
nombre de têtes était de 2000. Nous avons modélisé avec la loi normale de paramètres m=81%
et σ = 33% lorsque l’effectif était de 4000 têtes.
Nous avons obtenu les résultats suivants :
Nb têtes
Moy
Ecart-type
Taux r
2 000
79%
37%
8,00%
4 000
81%
33%
6,65%
Avec la méthode de Monte-Carlo, nous trouvions les résultats suivants :
Nb têtes
Moy
Ecart-type
Taux r
2 000
91%
37%
13,35%
4 000
89%
25%
6,17%
Nous constatons que pour les 2 modèles appliqués pour 4000 têtes donnent des primes de
risque du même ordre de grandeur, autour de 6.50%, ce qui n’est pas le cas lorsque l’effectif est
de 2000 assurés.
Nous avons ensuite utilisé notre modèle pour des nombres de têtes variant de 2000 à 8000, en
utilisant la loi normale de paramètres m=81% et σ = 33% à partir d’un effectif de 3000 têtes.
Les premiers résultats obtenus mènent à la conclusion suivante : en réalité, on remarque que,
contrairement à la méthode de Monte-Carlo, notre modèle ne dépend pas de l’effectif, mais plutôt
de la loi et des paramètres entrés dans le modèle.
En effet, quelque soit l’effectif, à partir de 3000 têtes, le taux de prime de risque calculé en
utilisant la loi normale de paramètres m=81% et σ = 33% est de 6,65%.
Il semble logique que les résultats n’évoluent pas avec l’effectif puisque les paramètres (m ; σ )
sont identiques. Le problème vient donc du fait que nous n’avons pas assez segmenté les
populations en terme d’effectifs élevés pour avoir par la suite une vision plus fine de la prime de
risque. Il aurait en effet fallu connaître les paramètres (m ; σ ) de la loi gamma ou normale pour
déterminer une prime de risque au-delà de 3000 têtes. Malheureusement nous n’avions
suffisamment de contrats avec des effectifs élevés pour modéliser les ratios S/P par tranche de
primes au-delà de 1,5 M€ (nous n’avions que 17 contrats).
Nous avons donc cherché à extrapoler comment sigma aurait pu évoluer si nous avions eu les
statistiques suffisantes. Nous supposons que l’écart-type aurait évolué de la même façon que les
résultats obtenus avec la méthode de Monte-Carlo, d’où les hypothèses suivantes : nous avons
baissé l’écart-type de 3% par rapport à σ = 33% pour utiliser le modèle pour 5000 têtes, puis de
3% supplémentaires pour l’utiliser pour 6000 têtes, de 3% encore pour 7000 têtes, puis de 2%
supplémentaires pour 8000 têtes et 2% encore pour 9000 têtes.
Cela donne les résultats suivants :
Nb têtes
Moy
Ecart-type
Taux RC
2 000
79%
37%
8,00%
3 000
81%
35%
6,90%
4 000
81%
33%
6,65%
5 000
81%
30%
5,25%
6 000
81%
27%
3,93%
7 000
81%
24%
2,70%
8 000
81%
22%
2,17%
Avec cette méthode, nous obtenons des primes de risque du même ordre de grandeur que celles
simulées par la méthode de Monte-Carlo pour des effectifs compris entre 4000 et 6000 têtes.
43
Pour un effectif compris entre 7000 et plus de 8000 têtes, la deuxième méthode donne des taux
de primes supérieurs.
Pour mémoire, les résultats obtenus avec la méthode de Monte-Carlo :
Nb têtes
Moy
Ecart-type
Taux r
2 000
91%
37%
13,35%
3 000
89%
30%
8,84%
4 000
89%
25%
6,17%
5 000
89%
22%
5,09%
6 000
88%
20%
4,13%
7 000
76%
17%
0,64%
8 000
66%
15%
0,10%
Nous pensons que nous pourrions décider de retenir les résultats obtenus par la méthode
empirique. En effet :
• Pour les effectifs supérieurs à 7000 têtes : nous privilégions la règle de prudence
• Pour les effectifs inférieurs à 3000 têtes : notre choix est guidé par les pratiques du
marché d’une part et les résultats connus sur notre portefeuille international d’autre part.
Ces résultats ne concernent que des contrats n’ayant que la garantie décès.
Nous allons maintenant chercher les primes de risque lorsque le contrat propose toutes les
garanties.
3. Toutes garanties
(1) Hypothèses
Pour la garantie décès, nous avons conservé les mêmes hypothèses que précédemment, à
savoir :
• Salaire annuel : SA = 33 000 euros
• Probabilité de décès : p = 0.30%
• Montant de la garantie (capitaldécès) : K = 4*salaire
La prime pure P1 pour la garantie décès, par tête, est obtenue par le calcul suivant :
P1 = p * K = p * (4*SA)
Pour la garantie IT-IP, nous avons pris les hypothèses suivantes :
• Probabilité incapacité de 5% pour une garantie égale à salaire/52 (prestation versée) :
nous avons supposé que nous avions une probabilité de 5% de payer une incapacité
temporaire d’une durée d’une semaine
• Probabilité incapacité de 1% pour une garantie égale à salaire/26 (prestation versée) :
nous avons supposé que nous avions une probabilité de 1% de payer une incapacité
temporaire d’une durée de deux semaines
• Probabilité invalidité de 0.10% pour une garantie égale à salaire *25 (provision) : nous
avons supposé que nous avions une probabilité de 0,10% de devoir provisionner une
invalidité à payer sur 25 ans (estimation très grossière car non actualisée)
Dans ce cas, la prime pure est égale à :
P2 = 5%*(SA/52) + 1%*(SA/26) + 0.10%*(SA*25)
Nous n’avons pas introduit la garantie remboursement de frais de soins, car elle est difficilement
simulable par la méthode de Monte-Carlo car elle comporte un nombre important de sous
garanties, indépendantes ou non les unes des autres, avec des fréquences et coûts moyens
propres à chacune. En outre, le risque santé étant très peu dépendant de l’effectif assuré, le
rajouter n’aurait pas apporté de modifications significatives sur le taux de prime de risque.
44
La prime pure totale est donc P = P1 + P2
Puis nous avons procédé aux simulations et calculs de la prime de risque de la même manière
que pour la garantie décès seule.
Les résultats sont les suivants.
(2) Résultats
Nous avons aussi calculé les valeurs « moyenne » et « écart-type » correspondant aux
paramètres de la loi gamma se rapprochant le plus de la fonction de répartition issue des
simulations.
Les résultats sont indiqués dans le tableau suivant :
Nb assurés Prime de risque Moyenne Ecart-type Prime pure P Prime ciale P’’
2000
11.10%
82%
40%
2.5 M€
3.6 M€
2500
8.70%
82%
35%
3.2 M€
4.5 M€
3000
7.73%
82%
33%
3.8 M€
5.4 M€
4000
6.00%
82%
27%
5.1 M€
7.2 M€
4500
5.00%
82%
26%
5.7 M€
8.1 M€
5000
4.45%
82%
25%
6.3 M€
9.0 M€
5500
4.00%
82%
23%
7.0 M€
9.9 M€
6000
3.50%
82%
22%
7.6 M€
10.8 M€
6200
2.80%
79%
22%
7.8 M€
11.2 M€
6500
1.80%
75%
21%
8.2 M€
11.8 M€
7000
0.85%
70%
19%
8.9 M€
12.7 M€
7500
0.38%
65%
19%
9.5 M€
13.6 M€
8000
0.15%
61%
17%
10.1 M€
14.5 M€
Les primes de risque calculées par la méthode de Monte-Carlo s’étendent de 11,10% à 0,15%
entre 2000 et 8000 assurés.
Nous constatons que la prime de risque pour un effectif au-delà de 7000 têtes est ici aussi très
faible.
Nous allons maintenant calculer ces primes de risque en utilisant les lois gamma ou normale
modélisées précédemment, en considérant que toutes les garanties sont mutualisées dans le
programme international.
Nous avons procédé de la même manière que pour la garantie décès, en utilisant les lois et les
paramètres modélisés précédemment, par tranche de primes. Nous modélisons toutes les
garanties, c’est-à-dire la garantie décès, la garantie IT-IP et aussi la garantie remboursement
frais de soins car nous avons modélisé les lois des ratios S/P pour toutes ces garanties.
Nous faisons le même constat que dans le modèle avec la garantie décès seule : quelque soit
l’effectif, à partir de 3000 têtes, en utilisant :
• Pour la garantie décès : la loi normale de paramètres m=81% et σ = 33%
• Pour la garantie incapacité temporaire-invalidité permanente : la loi gamma de
paramètres correspondant à m=103% et σ =13%
45
•
Pour la garantie remboursement de frais de soins : la loi gamma de paramètres
correspondant à m=119% et σ =53%
le taux de prime de risque calculé est de 5,00%.
Compte tenu des résultats obtenus pour le calcul des primes de risque lorsque nous ne
considérions que la garantie décès, nous supposons que le taux de la prime de risque pour un
effectif de 5000 têtes, toutes garanties mutualisées, est égal à 5% ; il était de 5,09% pour la
garantie décès et de 4,45% pour toutes garanties avec la méthode de Monte-Carlo ci-dessus.
Nous avons vu que nous pourrions décider de retenir les résultats trouvés grâce au modèle
empirique pour la garantie décès, nous estimons donc ces résultats comme acceptables.
A partir de ces taux (voir table 1) et du taux de 5% trouvé ci-dessus pour 5000 têtes, nous avons
déduit les autres primes de risque en suivant l’évolution des primes de risque calculées pour le
décès seul, dans la partie C. 2. b) (2), par une règle de trois !
Table 1 :
Nb têtes
Moy
Ecart-type
Taux RC
2 000
79%
37%
8,00%
3 000
81%
35%
6,90%
4 000
81%
33%
6,65%
5 000
81%
30%
5,25%
6 000
81%
27%
3,93%
7 000
81%
24%
2,70%
8 000
81%
22%
2,17%
4 000
6,33%
5 000
5,00%
6 000
3,74%
7 000
2,57%
8 000
2,07%
Les résultats sont alors les suivants :
Nb têtes
Taux r
2 000
7,62%
3 000
6,57%
Nous obtenons ainsi des résultats décroissants inversement proportionnels au nombre d’assurés.
4. Conclusion
La plupart des programmes internationaux ne comprennent pas seulement la garantie décès. Ils
comportent souvent également la garantie IT-IP ou remboursement de frais de soins. Cela
dépend des pays et des types de contrats.
Ainsi, nous retenons deux tables issues du modèle empirique. Les taux de ces tables seront
appliqués à chaque contrat poolé en fonction des garanties assurées. La prime de risque globale
appliquée au pool sera le résultat de la moyenne pondérée par le montant des primes de chaque
contrat.
Ces deux tables sont les suivantes :
•
Décès seul
Nb têtes
Moy
Ecart-type
Taux RC
•
2 000
79%
37%
8,00%
3 000
81%
35%
6,90%
4 000
81%
33%
6,65%
5 000
81%
30%
5,25%
6 000
81%
27%
3,93%
7 000
81%
24%
2,70%
8 000
81%
22%
2,17%
6 000
3,74%
7 000
2,57%
8 000
2,07%
Toutes garanties
Nb têtes
Taux r
2 000
7,62%
3 000
6,57%
4 000
6,33%
5 000
5,00%
46
IV. CONCLUSION GENERALE
Ce mémoire montre combien il est difficile de calculer une prime de risque la plus juste possible.
Il n’existe pas de prime de risque universelle, d’autant plus qu’il n’est pas toujours pertinent de
regarder les résultats pool par pool mais plutôt sur l’ensemble du portefeuille.
La difficulté a été de créer un modèle simple mais toutefois réaliste, en utilisant les données
réelles disponibles, par année de survenance. L’analyse statistique que nous avons faite sur les
données s’est avérée pertinente pour les garanties décès et remboursement de frais de soins. La
garantie incapacité temporaire et invalidité permanente étant bien plus complexe à modéliser
compte tenu du caractère périodique du versement des prestations. Comme nous l’avons vu, les
résultats obtenus ne peuvent pas être utilisés tels quels.
De plus, il est impossible de prendre en compte tous les paramètres en jeu, le premier étant la
diversité des garanties dans les pays intervenant dans un plan international.
Notre portefeuille de programmes internationaux étant composé très souvent d’un contrat
français conséquent, il n’était pas complètement faux d’étudier les fonctions de répartition des
contrats français pour en déduire l’enjeu global du pool.
Cependant, pour tarifer au plus juste, il serait nécessaire d’obtenir des assureurs partenaires du
réseau une étude équivalente sur les fonctions de répartition des sinistres de leur portefeuille.
Un autre aspect de la tarification de la prime de risque que nous n’avons pas pris en compte est
le fait que nous pouvons être amenés à mutualiser, au sein d’un même programme, des contrats
de tailles complètement différentes, et donc introduire un biais dans le calcul de la prime de
risque, ainsi que dans le partage de celle-ci entre les différents assureurs. En effet, est-ce qu’un
assureur ayant un petit contrat ne doit pas percevoir une prime de risque plus élevée que celle de
l’assureur qui mutualise un contrat plus important même si le résultat finalement protégé a
bénéficié de la mutualisation globale?
Outre le calcul théorique de la prime de risque, la difficulté dans la souscription d’un programme
international réside également dans la connaissance des garanties qui peuvent être proposés
localement. En effet, le niveau de la prime de risque est directement dépendant de la volatilité
des risques souscrits. Ainsi, il faut bien voir que les primes de risque que nous avons calculées
dans cette étude vont nous servir de normes qu’il conviendra de nuancer en pratique lors de
chaque étude particulière.
47
V. ANNEXES
Résultats de l’analyse statistique
a) Garantie décès
Nous avons déjà montré les résultats et graphiques pour la tranche de primes : 500K€-1500K€.
Les lois trouvées sont résumées dans le tableau ci-dessous :
Tranche en K€ Nb contrats
25 - 50
68
50 - 200
140
200 - 500
64
500 - 1500
42
+ 1500
17
TOTAL
331
Moyenne
94%
94%
78%
79%
81%
88%
Ecart-type
80%
79%
48%
37%
33%
68%
Loi
gamma
gamma
gamma
gamma
normale
gamma
1,36914
0,68331
1,39247
0,67278
2,69695
0,28940
4,65337
0,16932
0,80671
0,32590
1,67943
0,52444
Les graphes pour les autres tranches de primes sont les suivants :
•
Tranche : 25K€ - 50K€
Primes : 25K€ - 50K€
120%
100%
80%
60%
40%
20%
0%
S/C empirique
Normale
Gamma
0,
00
0,
30
0,
60
0,
90
1,
20
1,
50
1,
80
2,
10
2,
40
2,
70
3,
00
3,
30
3,
60
3,
90
Lognormale
Pour cette tranche, nous avons choisi de modéliser une loi gamma.
•
150%
100%
S/P empirique
3,90
3,60
3,30
3,00
2,70
2,40
2,10
1,80
1,50
1,20
Gamma
0,90
0%
0,60
Normale
0,30
50%
0,00
Probabilité
Primes : 50K€ - 200K€
Lognormale
S/P
48
•
Tranche : 200K€ - 500K€
120%
100%
80%
60%
40%
20%
0%
S/P empirique
Normale
Gamma
3,90
3,60
3,30
3,00
2,70
2,40
2,10
1,80
1,50
1,20
0,90
0,60
0,30
Lognormale
0,00
Probabilité
Primes : 200K€ - 500K€
S/P
•
Tranche : + de 1500K€
théoriques Primes : + de 1500K€
120,00%
Probabilité
100,00%
S/C empirique
80,00%
Normale
60,00%
Gamma
40,00%
Lognormale
20,00%
80
%
10
0%
12
0%
14
0%
16
0%
60
%
40
%
20
%
0%
0,00%
S/P
Pour cette dernière tranche, nous avons choisi de modéliser une loi normale.
b) Garantie remboursement frais de soins
Dans le corps du mémoire, nous avons montré les résultats pour la tranche de primes : 25K€ 150K€.
Nous affichons ci-dessous les résultats pour les autres tranches de primes, dont les lois trouvées
et les paramètres sont résumés dans le tableau ci-dessous :
25 - 150
150 - 200
200 - 500
500 - 1000
+ 1000
TOTAL
196
26
32
17
21
292
93%
106%
95%
91%
103%
95%
27%
25%
23%
19%
13%
25%
Loi
gamma
gamma
normale
normale
gamma
gamma
Paramètre 1
11,86128
18,11009
0,94956
0,91081
63,06209
14,44710
Paramètre 2
0,07840
0,05875
0,23000
0,19000
0,01637
0,06577
49
•
Tranche : 150K€ - 200K€
- Primes : 150K€ - 200K€
120%
Proba
100%
S/C
80%
Normale
60%
Gamma
40%
Lognormale
20%
275%
250%
225%
200%
175%
150%
125%
100%
75%
50%
0%
25%
0%
S/P
Pour cette tranche de primes, nous avons choisi de modéliser la loi gamma.
•
Tranche : 200K€ - 500K€
120%
100%
80%
S/C
Normale
60%
40%
20%
0%
Gamma
Lognormale
25
%
50
%
75
%
10
0%
12
5%
15
0%
17
5%
20
0%
22
5%
25
0%
0%
Proba
théoriques - Primes : 200K€ - 500K€
S/P
Pour cette tranche de primes, nous avons choisi de modéliser la loi normale.
•
Tranche : 500K€ - 1000K€
théoriques - Primes : 500K€ - 1000K€
120%
Proba
100%
S/P empirique
80%
Normale
60%
Gamma
40%
Lognormale
20%
200%
180%
160%
140%
120%
100%
80%
60%
40%
20%
0%
0%
S/P
50
•
Fonction de répartition empirique du ratio S/P et lois théoriques Primes : + de 1000K€
120%
Probabilité
100%
S/P empirique
80%
Normale
60%
Gamma
40%
Lognormale
20%
80
%
10
0%
12
0%
14
0%
16
0%
18
0%
20
0%
60
%
40
%
20
%
0%
0%
S/P
c) Garantie incapacité temporaire et invalidité permanente
Dans le corps du mémoire, nous avons montré les résultats pour la tranche de primes : 200K€ 500K€.
Nous affichons ci-dessous les résultats pour les autres tranches de primes, dont les lois trouvées
et les paramètres sont résumés dans le tableau ci-dessous :
30 - 50
50 - 200
200 - 500
500 - 1000
+ 1000
TOTAL
•
42
98
31
11
13
195
110%
110%
124%
125%
119%
114%
100%
85%
57%
48%
53%
81%
Loi
gamma
gamma
gamma
normale
gamma
gamma
Paramètre 1
Paramètre 2
1,21390
1,67089
4,67276
1,25476
5,04066
1,96933
0,90595
0,65839
0,26564
0,48266
0,23668
0,57755
Primes : 30K€ - 50K€
Proba
120%
100%
Proba S/C moy
80%
60%
40%
Normale
Gamma
Lognormale
0%
35
%
70
%
10
5%
14
0%
17
5%
21
0%
24
5%
28
0%
31
5%
35
0%
38
5%
20%
0%
S/P
51
•
120%
100%
80%
60%
40%
20%
0%
Proba S/C moy
Normale
Gamma
360%
315%
270%
225%
180%
135%
90%
45%
Lognormale
0%
Probabilité
S/P
•
Tranche : 500K€ - 1000K€
120%
100%
80%
60%
40%
20%
0%
Proba S/C moy
Normale
Gamma
40
0%
35
0%
30
0%
25
0%
20
0%
15
0%
10
0%
Lognormale
50
%
0%
Proba
S/P
•
120%
100%
80%
60%
40%
20%
0%
S/P "empirique"
Normale
Gamma
Lognormale
50
%
10
0%
15
0%
20
0%
25
0%
30
0%
35
0%
40
0%
0%
Probabilité
théoriques Primes : + de 1000K€
S/P
52
BIBLIOGRAPHIE
[1] BLONDEAU J., PARTRAT C., La Réassurance Approche technique, éditions Economica,
2003
[2] PETAUTON, Pierre, Théorie et pratique de l’assurance vie, éditions DUNOD, 2004
[3] FFSA, BCAC, Guide de l’assurance de groupe - 2002
[4] BORCH, Karl, The optimal reinsurance treaty, 1960 !
Internet
[5] Site de MAXIS : www.maxisnetwork.com
[6] Programme de e-learning sur les statistiques : http://www.cons-dev.org/elearning/stat/index.html
[7] Brochures sur le pooling international, site du réseau de Swiss life : www.swisslife-network.com
53

me ümoire actuariat 2006 - Ce üline DELETTRE post jury

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