MATHSQ_00 Coordonnees cylindriques

G.P.
Questions de cours outils mathématiques
Coordonnées cylindriques:
Faire une figure. Définir les coordonnées cylindriques, donner le nom et le domaine de
variation de chaque coordonnée. Déterminer la base privilégiée et donner le nom des vecteurs
unitaires.
Déterminer l'expression du vecteur déplacement élémentaire.
Déterminer l'expression du vecteur surface élémentaire et de l'aire élémentaire
correspondante dans les cas simples.
Déterminer l'expression du volume élémentaire.
Applications: périmètre d'un cercle, aire d'un disque, aire latérale d'un cylindre, volume d'un
cylindre.
Réponse:
Schémas:
z
H
uz
M
uθ
z
ur
O
θ
r
M'
y
uθ
ur
uz
r
H
θ
M
x
Figure dans le plan (M, ur ,uθ )
G.P.
Questions de cours outils mathématiques
uz
z
M
H
ur
uθ
z
O
r
M'
Figure dans le plan (M, ur ,uz)
Coordonnées et vecteurs unitaires:
1)les trois coordonnées:
z constant)
avec
r ,  , z  avec r ,  : coordonnées polaires cylindriques (problème à
r
: distance à l'axe
r ≥0

z
: angle polaire
: cote
02 
2)les vecteurs unitaires: pour les obtenir, imaginer qu' une seule coordonnée augmente de façon
élémentaire, alors le déplacement élémentaire de M donne la direction et le sens du vecteur
unitaire associé à cette coordonnée.
ur : vecteur unitaire radial
u : vecteur unitaire orthoradial
uz : vecteur unitaire axial
Déplacement élémentaire:
On écrit directement le déplacement élémentaire (en faisant la composition des déplacements
élémentaires dus à chaque paramètre variant seul)
si r varie seul : 
dl r=dr ur
si  varie seul : 
dl =r d  u ( arc de cercle élémentaire )
si z varie seul : 
dl z =dz uz

dl=dr ur r d  u dz uz
Surface élémentaire:
G.P.
Questions de cours outils mathématiques
Une surface élémentaire 
dS 3 obtenue à partir des déplacements élémentaires 
dl 1 et 
dl 2 est



n est le vecteur normal à la surface
définie par dS 3=dl 1∧ dl 2=dS n ( l'aire dS est positive et 
qui définit le sens de l'orientation choisie )
D'où par exemple pour les cas simples:

dS r =
dl ∧
dl z =r d  dz ur
donc
dS =r d dz

dS =
dl z ∧
dl r =dz dr u
donc
dS =dz dr

dS z =
dl r ∧
dl  =dr r d  uz
donc
dS =dr r d 
On retiendra que l'aire élémentaire s'obtient par le produit de deux déplacements élémentaires.
uz
r dθ dz
uθ dr dz
M
dr r dθ
ur
Volume élémentaire:
Le volume élémentaire s'obtient par le produit des trois déplacements élémentaires:
d =dr r d  dz
Calculs divers en cylindriques:
1)périmètre du cercle: r =R
L= ∮ dl  avec dl  =r d =R d 
cercle
2
L=∫ R d 
0
L=2  R
G.P.
Questions de cours outils mathématiques
2)aire d'un disque
S= ∬ dS z avec dS =r dr d 
z
disque
r= R
=2 
S= ∫ r dr
r =0
S= R
∫
d
=0
2
3)aire latérale d'un cylindre de hauteur H et de rayon R
S= ∬ dS r avec dS =r d  dz= R d  dz
r
disque
z= H
S= R
∫
=2 
dz
z=0
∫
d
=0
S=2  R H
4)volume du cylindre précédent
V =∭ d  avec d =dr r d  dz
disque
r= R
=2 
V = ∫ r dr
∫
r=0
=0
2
V = R H
z =H
d
∫
z =0
dz