Le nombre d`Or ou « la divine proportion

Le nombre d’Or ou « la divine proportion »
Le NOMBRE D'OR est la proportion, définie initialement en géométrie, comme l'unique rapport entre deux
longueurs telles que le rapport de la somme des deux longueurs (a+b) sur la plus grande (a) soit égal à celui
de la plus grande (a) sur la plus petite (b) c'est-à-dire lorsque
Le découpage d'un segment en deux longueurs vérifiant cette propriété est appelé par Euclide découpage en
extrême et moyenne raison. Le nombre d'or est maintenant souvent désigné par la lettre Φ (PHI).
Ce nombre irrationnel est l'unique solution positive de l'équation x² = x + 1 soit approximativement
1,618 033 989. Il intervient dans la construction du pentagone régulier et du rectangle d'or.
Construction du rectangle d’or
- tracer un carré ABCD
- noter E le milieu de [AB]
- tracer un cercle C de centre E et de rayon (EC)
- prolonger [AB) jusqu'à ce qu'il coupe le cercle
- noter F le point d'intersection de (AB) sur C
- tracer [FG] perpendiculaire à [AF]
- prolonger [DC] jusqu'à ce qu'il coupe la perpendiculaire
- noter G le point d'intersection
Les rectangles obtenus sont des rectangles d'or.
Le triangle d'or
Qu'est-ce qu'un triangle d'or?
Il existe deux triangles d'or différents. Ces deux triangles sont des triangles isocèles (deux cotés de la
même longueur). On dit que ce sont des triangles d'or, car le rapport entre la mesure du côté non égal
aux deux autres et la mesure d'un de ces deux côtés est le nombre d'or. Le premier type de triangles
d'or possède deux angles de 72° et le troisième est de 36°. Le deuxième type de triangle d'or, quant à
lui, possède deux angles de 46° et un troisième angle mesurant 108°.
Nombre d’or et suite de Fibonacci
Ses propriétés algébriques le lient à la SUITE DE FIBONACCI et permettent de définir une «
arithmétique du nombre d'or », cadre de nombreuses démonstrations.
La suite : 1-1-2-3-5-8-11-19...
U1 = U2 =1
et le terme de rang n+2 est égal à la somme des termes de rang n et de rang n+1
1/1=1 2/1=2 3/2=1,5 5/3≈1,666 8/5=1,6 11/8=1,375 …….Φ
Nombre d’or et art
Le plus bel exemple d'utilisation architecturale du rectangle d'or est le Parthénon.
On retrouve le nombre d’or au cœur de la Grande Pyramide de Gizeh, sur les façades des temples
grecs, dans les cathédrales gothiques ou encore chez les peintres du début du siècle.
De nombreux tableaux ont été conçus selon les règles du nombre d’or…
Pour ne citer que quelques contemporains, Salvador Dali et le Sacrement de la dernière cène,
Mondrian et sa Composition ou encore Seurat avec Le Cirque, l'ont d'ailleurs utilisé par jeu.
Salvator DALI - Le Sacrement de la dernière cène, 1955.
A propos de l'artiste :
Aussi extravagant que révolutionnaire, l'espagnol Salvador Dali est considéré comme l'un des plus
grands artistes du XXe siècle, un pilier du mouvement surréaliste. Ses perspectives excentriques et
influences controversées se sont traduites par des paysages inoubliables, que seule l'imagination
fantaisiste de Dali pouvait concevoir. Inspiré par Freud, Dali a laissé parler son subconscient pour
donner libre cours à une expression artistique encore plus intense.
Très prolifique, il a réalisé près de 1 500 tableaux, ainsi que des sculptures, des dessins, des films,
des articles textiles et des bijoux.
A propos de l’œuvre :
Dali a placé La Cène dans un dodécaèdre régulier (solide dont les douze faces sont des pentagones
réguliers), symbole de l'Univers pour Platon. Le dodécaèdre possède 12 faces et il y a 12 apôtres !
L'organisation du tableau suit la règle de proportion régie par le nombre d'or. Le point de fuite est situé
à la tête du Christ.
Le Maître décrira son œuvre par cette formule définitive : « cosmogonie arithmétique et philosophique
fondée sur la sublimité paranoïaque du nombre douze».
La cosmogonie (du grec cosmo- « monde » et gon- « engendrer ») est définie comme un système de
la formation de l'Univers.
Cette œuvre, tantôt surréaliste, tantôt religieuse, est principalement basée sur le mysticisme : point
principal de l'œuvre.
C'est donc comme prévu, par les lignes droites directrices qu'est formée la perspective de cette
œuvre. Elles partent du centre du tableau : la tête du Christ qui est le point de fuite. La structure
architecturale et polyédrique renforce la composition, puisqu'elle ajoute de la profondeur et crée des
lignes directrices dans les coins de l'œuvre.
La table, toujours élément central des œuvres représentant la Cène (en tout cas les six présentées ici)
est un point important de l'œuvre pour gérer cette composition de l'espace. Elle contient beaucoup de
lignes constructives et propage à certains endroits la lumière provenant d'une source derrière le
Christ. Une lumière mystique en l'occurrence, représentée très réellement. Et ce contraste emplit
l'ambiance de l'œuvre. Entre mysticisme et réalité, l'œuvre de Dali n'a pas de frontière.
La disposition des personnages est parfaite et une fois de plus il y a un contraste mystique/réel.
Chaque personnage va de pair avec un autre, symétrique à lui. Disposition des apôtres symétrique,
architecture symétrique, table symétrique et paysage -presque- symétrique, c'est donc bien dans les
mathématiques que Dali a puisé ses références (sans oublier l'œuvre de Léonardo da Vinci) pour
produire cette œuvre très personnelle.
On retrouve également le nombre d'or dans le corps humain.
Voici le fameux dessin de Léonard de Vinci (l'homme de Vitruve).
Il s'agit d'un homme, les bras écartés qui s'inscrit à la fois dans un cercle et dans un carré.
Sur cet homme parfait, Léonard de Vinci a montré que les proportions de l'homme "idéal" respectaient
le rapport du nombre d'or : 1.618.....
Par exemple, Ce nombre d'or se retrouve dans le rapport entre la distance du nombril à l'occiput, et la
hauteur totale.
Le nombril divise le corps humain suivant le nombre d’or, en effet le rapport de la hauteur totale du
corps humain à la hauteur du nombril est égal au nombre d’or.
Le rapport de la première phalange à la deuxième (ou de la deuxième à la troisième) est aussi égal au
nombre d’or…etc.
Nombre d'Or et unités de mesure
Au moyen âge, les bâtisseurs de cathédrales utilisent 5
unités de mesure relatives au corps humain :
la paume = 34 lignes = 7,64 cm
la palme = 55 lignes = 12,36 cm
l'empan = 89 lignes = 20 cm
le pied = 144 lignes = 32,36 cm
la coudée = 233 lignes = 52,36 cm
Avec une unité de base : la ligne = 2,247 mm
Il en résulte 2 constatations surprenantes :
on passe d'une mesure à l'autre en la multipliant par le nombre
d'or
la palme = la paume x 1,618 (7,64 x 1,618) = 12,36 cm
le pied = l'empan x 1,618 (20 x 1,618) = 32,36 cm
la coudée = le pied x 1,618 (32,36 x 1,618) = 52,36 cm
Une unité de mesure est égale à la somme des deux précédentes
empan = palme + paume (12,36 + 7,64) = 20 cm
pied = empan + paume (20 + 12,36) = 32,36 cm
coudée = empan + pied (20 + 32,36) = 52,36 cm
Et plus encore….
Château de Thoiry.
Taj Mahâl
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