Cours de maths - Terminale ES - Probabilités : lois à
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Cours de maths - Terminale ES - Probabilités : lois à
Lois de probabilité à densité www.mathmaurer.com – Cours – terminale ES I – Loi à densité sur un intervalle Contrairement à une variable aléatoire discrète, une variable aléatoire continue X prend un nombre infini de valeurs dans un intervalle de . Exemple de variable aléatoire continue On lance une flèche sur une cible de rayon 1 mètre et on mesure la distance d entre le point d'impact et le centre de la cible (en mètres). Le réel d peut prendre une infinité de valeurs dans l'intervalle 0;1 . (On suppose que l'on dispose d'un outil de mesure "aussi précis que nécessaire".) Définition 1: On appelle fonction de densité sur un intervalle a ; b , a b , une fonction f telle que : • f est continue sur a ; b • Pour tout x a ; b , f ( x) 0 • b f ( x)dx 1 a Définition 2: Soit X une variable aléatoire continue à valeurs dans a ; b , munie d'une fonction de densité f sur a ; b . On dit que P est la loi de probabilité de densité f lorsque pour tout intervalle c ; d inclus dans a ; b , P X c ; d est l'aire sous la courbe Cf représentative de f limitée par les droites d'équations x c et x d . . Cf P X c ; d d f ( x)dx c y 2x Propriété 1: Soit X une variable aléatoire continue à valeurs dans a ; b , munie d'une fonction de densité f sur a ; b . (1) Pour tout c ; d a ; b , 0 P X c ; d 1 et P X a ; b (2) Pour tout c a ; b , P X c 0 et P X c P X c b f ( x)dx 1 a (3) Si c ; d e ; f alors P X c ; d e ; f P X c ; d P X e ; f (4) Pour tout c a ; b , P X a ; c P X c ; b 1 II – Loi uniforme La loi uniforme modélise l'expérience aléatoire qui consiste à choisir un réel au hasard dans un intervalle a ; b . On déduit de l'activité 2 la définition suivante. Définition 3: On dit qu'une variable aléatoire X suit la loi uniforme sur a ; b lorsqu'elle admet comme densité de probabilité la fonction f définie sur a ; b par : Cf f ( x) 1 , ab ba a b Propriété 2: Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur a ; b . Pour tout c ; d a ; b , P X c ; d d c ba III – Espérance mathématique d'une variable aléatoire Définition 4: Soit X une variable aléatoire continue à valeurs dans a ; b , munie d'une fonction de densité f sur a ; b . On appelle espérance mathématique de X le nombre E ( X ) tel que: E( X ) b x f ( x) dx a Propriété 3: Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur a ; b . E( X ) ab 2 IV – Loi normale centrée réduite Définition 5: On dit qu'une variable aléatoire continue suit la loi normale centrée réduite, notée (0 ; 1), lorsqu'elle a pour densité la fonction f définie sur par : f ( x) 1 2 Cf x2 e 2 Remarque : La fonction de densité de la loi normale centrée réduite f : x 1 x2 2 e n'a pas de primitive 2 explicite. On utilise donc la calculatrice pour calculer une aire sous cette courbe. Remarque : La courbe Cf est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées donc : P( X 0) P( X 0) 0,5 Conséquence : P( X 2) P( X 0) P(2 X 0) 0,5 0, 48 0,02 P( X 1) P( X 0) P(0 X 1) 0,5 0,34 0,84 V – Loi normale Définition 6: On dit qu'une variable aléatoire continue X suit la loi normale ( ; 2) lorsque la variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite (0 ; 1). Remarques : • La fonction de densité de la loi normale ( ; 2) est la fonction f : x 1 2 1 x e 2 2 . • La courbe représentative de f est symétrique par rapport à la droite d'équation x . x Propriété 4: Si la variable aléatoire continue X suit la loi normale ( ; 2) alors son espérance est : E( X ) Définition 7: Soit X une variable aléatoire qui suit la loi normale ( ; 2). On appelle écart-type de X le nombre noté et variance de X le nombre noté V ( X ) tel que : V (X ) 2 Interprétation de l'écart-type Plus l'écart-type est grand, plus les valeurs de X sont dispersées autour de l'espérance . 1 1,5 3 Propriété 5: Si la variable aléatoire continue X suit la loi normale ( ; 2) alors : P( X ) 0, 68 P( 2 X 2 ) 0,95 P( 3 X 3 ) 0,997