Exercices

Module F315 : critères de sélection des matériaux
Exercices
I
Pilier
A
Pilier de moindre masse
Un pilier de section circulaire de rayon r, de longueur l0 est soumis à une force de compression
F . On souhaite minimiser la masse m de ce pilier en choisissant le matériau le mieux adapté.
À cause des conditions d’utilisation, la force qu’il supporte, sa longueur et sa déformation
longitudinale ε sont imposés. Quel est l’indice de performance I ? Quels sont les matériaux qui
minimiseront la masse du pilier ? Quels seront la masse et le rayon de piliers réalisés avec ces
matériaux pour l0 = 2 m, F = 100000 N et ε = 2×10−4 ?
B
Pilier de moindre prix
On souhaite minimiser le prix P de ce même pilier. Quels sont les matériaux correspondant à
un prix minimum ? Quel sera le prix, la masse et le rayon du pilier de prix minimum. Comparer
ces valeurs à ce qui a été obtenu lorsqu’on voulait minimiser la masse.
C
Pied de table léger et fin
On désire choisir un matériau pour les pieds d’une table dont le plateau est en verre. Pour
des raisons esthétiques, on souhaite que les pieds soient à la fois les plus fins possibles et les plus
légers. La principale astreinte mécanique est d’éviter le flambage de ces pieds. Quels matériaux
permettent de satisfaire au mieux à ces deux objectifs ? On rappelle que pour un pied de rayon
r et de hauteur l, la force Fcrit qui fait flamber le pied est donnée par :
Fcrit =
π 3 Er4
,
4l2
(1)
où E est le module d’Young du matériau constituant le pied.
II
Barre
Une barre de diamètre d et de longueur l est soumise à une force de traction F . Le cahier
des charges impose les valeurs de la longueur de la barre et de la force. Par une démarche
rigoureuse de choix de matériaux, choisissez le matériau permettant de minimiser la masse m
de la barre. On impose que celle-ci ne se déforme jamais plastiquement, avec un coefficient de
sécurité s de 2.
III
Ressorts
Les ressorts ont pour fonction de stocker et de restituer de façon réversible de l’énergie élastique. Le matériau choisi devra donc permettre au ressort d’emmagasiner une énergie élastique
imposée Eel sans se déformer de manière permanente. Afin d’assurer une certaine résistance
1
des ressorts aux chocs, les matériaux sélectionnés devront posséder une résilience 1 supérieure
à 1 kJ/m2 . On veillera enfin à maintenir le coût dans des limites raisonnables.
L’énergie élastique emmagasinée dans un ressort de volume V soumis à une contrainte σ
s’écrit : Eel = AVσ 2 /(2E), où E est le module d’Young du matériau constitutif du ressort, et
A est une constante qui dépend de la géométrie du ressort.
Sélectionner des matériaux performants pour la réalisation de ressorts :
1. de faible taille (objectif : minimiser le volume) ;
2. légers (objectif : minimiser la masse).
Dans les deux cas, classer ces matériaux en fonction de leur performance, puis de leur coût.
Quelles astreintes supplémentaires faudra-t-il prendre en compte et quels matériaux pourront être utilisés dans les cas particulier suivants :
– ressorts pour suspensions de véhicule ;
– ressorts de soupape.
IV
Paroi de four
Parmi toutes nos activités, le chauffage et la réfrigération sont à classer dans les plus dévoreuses d’énergie (et productrices de CO2 ). Un choix éco-responsable de matériau pour la paroi
des appareils de chauffage et réfrigération visera donc à minimiser la consommation énergétique
de ces appareils.
Lors de la mise en température, la paroi du dispositif absorbe une énergie par unité de
surface Q1 , donnée par :
Q1 = Cp ρe∆T,
(2)
où Cp est la capacité thermique massique du matériau, ρ sa masse volumique, e l’épaisseur de la
paroi et ∆T la différence de température finale entre l’intérieur et l’extérieur. Lors du maintien
en température pendant un temps t, la perte d’énergie vers l’extérieur par unité de surface Q2
vaut :
∆T
t,
(3)
Q2 = λ
e
où λ la conductivité thermique du matériau. L’énergie totale consommée est la somme des deux
contributions : Q = Q1 + Q2 .
Pour choisir les matériaux les plus performants, on distinguera les appareils qui maintiennent
une température pendant une longue durée de ceux qui s’échauffent puis se refroidissent (ou
réciproquement) à chaque utilisation.
A
Chauffage / refroidissement longue durée
Les réfrigérateurs / congélateurs et certains fours industriels utilisés en continu sont maintenus à une température constante sur une longue durée. On peut dans ce cas négliger l’énergie
consommée lors de la mise en température. On souhaite ainsi simplement minimiser l’énergie
perdue au travers de la paroi, qui devra conserver des dimensions raisonnables : on n’utilisera
donc pas l’épaisseur comme un paramètre ajustable.
1. En utilisant une démarche rigoureuse de choix de matériau, établir une liste classée des 5
matériaux les plus performants.
1. La résilience Gc est reliée à la ténacité KIc et au module d’Young E par la relation Gc = KIc2 /E ; dans
cette expression, lorsque la ténacité est exprimée en MPa/m1/2 et le module d’Young en GPa, la résilience
s’exprime en kJ/m2 .
2
2. On considère un congélateur (∆T = 40 K), de capacité 205 L, que l’on assimile à une
enceinte cubique. Pour chacun des matériaux déterminés précédemment, calculer l’épaisseur de paroi emin nécessaire pour que l’énergie perdue en 1 an d’utilisation ne dépasse
pas 160 kW h (label A++).
B
Chauffage / refroidissement cyclique
Les fours domestiques et certains fours industriels s’échauffent puis se refroidissent chaque
fois qu’ils sont utilisés. On souhaite dans ce cas minimiser l’énergie totale Q consommée par
le four au cours d’un cycle de cuisson. Pour cela, l’épaisseur de la parois e devra faire l’objet
d’un compromis : une faible épaisseur permet de minimiser l’énergie absorbée par la paroi lors
de la mise en température, mais une grande épaisseur est nécessaire pour minimiser les pertes
au travers de la paroi.
1. Tracer l’allure de l’énergie totale consommée Q en fonction de l’épaisseur de la paroi du
four e, puis déterminer l’épaisseur optimale e0 permettant de minimiser Q, en fonction
du temps de cuisson t et de la diffusivité thermique a = λ/(ρCp ). Comparer l’énergie
absorbée lors de la chauffe Q1 et l’énergie perdue lors du maintien en température Q2
pour cette épaisseur optimale.
2. Dans l’expression de l’objectif Q, remplacer l’épaisseur par sa valeur optimale déterminée
précédemment. En déduire la fonction objectif et l’indice de performance associé.
3. Pour un four à haute température (Tin ∼ 1000 ◦ C), établir une liste classée des matériaux
répondant au cahier des charges et les plus performants.
4. Lorsqu’on utilise le matériau le plus performant, évaluer l’épaisseur optimale e0 pour un
temps d’utilisation t = 30 min, 1 h ou 10 h. Commenter.
V
Choix de matériau pour un mât de planche à voile
On souhaite concevoir un mât de planche à voile destiné à la compétition : on cherche donc à
optimiser les performances sportives en allégeant au maximum le matériel, sans considérations
de coût.
Le mât est un tube de hauteur h et de rayon r fixés, tandis que l’épaisseur t du tube est
libre ; il doit être capable de supporter l’effort de flexion imposé par la voile sans se déformer
de manière permanente. La condition de plastification locale du mât est :
F =
πr2 tRe
,
h
(4)
où F est la force qui s’exerce à l’extrémité du mât, imposée par les conditions d’utilisation,
et Re la limite élastique du matériau. On suppose de plus que le volume du tube est environ
V ≈ 2πrth.
Afin d’assurer une certaine résistance du mât aux chocs, les matériaux sélectionnés devront posséder une résilience 2 supérieure à 1 kJ/m2 ; ce critère permet de filtrer les matériaux,
indépendamment de l’étape de classement.
Déduire d’une démarche rigoureuse de choix de matériau une liste classée des six matériaux
répondant au cahier des charges les plus performants.
2
2. La résilience Gc est reliée à la ténacité KIc et au module d’Young E par la relation Gc = KIc
/E ; dans
1/2
cette expression, lorsque la ténacité est exprimée en MPa/m
et le module d’Young en GPa, la résilience
s’exprime en kJ/m2 .
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VI
A
Réflexion : au delà des propriétés mécaniques
Emballages de boissons gazeuses
Le rôle d’un emballage est triple : contenir, protéger et présenter. Les boissons gazeuses
sont habituellement vendues dans trois types de contenants : des canettes d’aluminium (métal),
des bouteilles de verre (céramique) ou des bouteilles en plastique (polymère). Quels sont les
avantages et les inconvénients de chacun de ces matériaux ? Pour répondre à cette question,
tenez compte en particulier du coût des matériaux, de la possibilité de les recycler et de la
consommation d’énergie liée aux procédés de fabrication des contenants. Quels autres critères
plus subjectifs peuvent entrer en compte pour le choix final du matériau ?
B
« Verres » de lunettes
L’optique des lunettes a longtemps été réalisée à partir de silice amorphe (« verres minéraux »). Ce matériau est depuis peu concurrencé par l’utilisation de polymères thermodurcicables (« verres organiques »). Discuter des avantages et inconvénients respectifs de chaque
solution. Quels critères peuvent permettre de choisir le matériau pour des lunettes ?
Des informations très complètes sont disponibles sur le site internet de l’industriel Carl Zeiss
S.A.S. : http://www.zeiss.fr
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