Resistance d`une poutre sur 2 appuis

Exercice : Résistance d’une poutre sur 2 appuis (Thème : paraboles, polynômes de degré 4, dérivation,
primitives, calcul intégral, équation différentielle, pour classes de Terminale, BTS)
On considère une poutre en sapin posée sur 2 appuis distants de L = 8 m. Sa section rectangulaire a pour base b
= 0,12 m et pour hauteur h = 0,40 m. La masse volumique du sapin est ρ sapin = 450 kg.m-3.
La contrainte limite en traction par flexion du sapin est d’environ 60 MPa. La contrainte limite en compression
du sapin est d’environ 35 MPa. Le module d’Young (ou d’élasticité) du sapin est E = 11.109 Pa (soit 11 GPa).
h
G
y
dS
σx
b
q
x
L
Dans la théorie des poutres, on définit le moment fléchissant M z (x) par M z (x) =
∫∫ σ
x
.dS. y
S
(ce moment résultant par rapport à G s’exprime en N.m, et σ x .dS s’exprime en N)
Dans le domaine élastique linéaire d’un matériau (sans plastification et déformation irréversible), la contrainte
normale σ x (qui s’exprime en Pa) varie proportionnellement à y : σ x = a.y avec a une constante
σx < 0
(compression)
h
G
y
dS
σx > 0
σx
(traction)
b
x
On a ainsi M z (x) =
∫∫ a. y. y.dS = a ∫∫ y².dS
S
donc a =
S
M z ( x)
∫∫
y ².dS
S
∫∫ y².dS = I
z
et
σx =
M z ( x)
∫∫
.y
y ².dS
S
est le moment d’inertie de la section S de la poutre
S
I z ne dépend que de la géométrie de S, et non du matériau.
h
G
z
x
y
1
b
1. Calcul du moment d’inertie I z pour une section rectangulaire
Pour une section rectangulaire,
Iz =
∫∫ y².dS peut s’écrire
0,5 h
∫ y ².b.dy
Iz =
On a donc I z =
avec dS = b.dy l’aire du rectangle grisé
−0,5 h
S
0,5 h
0,5 h
−0,5 h
−0,5 h
∫ y ².b.dy = b. ∫ y ².dy .
0,5 h
Démontrez que I z = b.
bh
h
G
3
∫ y ².dy = ..… = 12
.
−0,5 h
y
z
x
dy
b
2. Expression du moment fléchissant M z (x) pour un chargement uniformément réparti
y
La poutre est soumise à son propre poids p (exprimé en N/m), ainsi qu’à un chargement réparti q (en N/m).
Chacun des 2 appuis exerce donc sur la poutre une force verticale de valeur 0,5.(p + q).L (en N).
Le moment fléchissant M z (x) est le moment résultant (en G de la section) du torseur des forces extérieures
appliquées sur la partie gauche de la poutre
0,5.(p + q).L
q
G
u
du
x
x
∫
x
∫
On a donc M z (x) = 0,5.(p + q).L.x - ( x − u ).( p + q ).du = 0,5.(p + q).L.x - (p + q). ( x − u ).du
0
0
En calculant l’intégrale, montrez que M z (x) = 0,5.(p + q).(L.x - x²).
Attention : dans ce calcul, x est considérée comme constante et u est la variable d’intégration.
3. Etude de la contrainte normale σ x le long de la poutre
On considère une charge de 200 kg par m de poutre soit q = m g = 200 × 9,8 = 1960 N/m.
a. Calculez son poids propre p (en N/m) avec g = 9,8 :
b. Calculez I z :
c. Calculez le moment fléchissant M z au milieu de cette poutre (donc pour x = 4) :
M z ( x)
d. A l’aide de la relation σ x =
.y, calculer la contrainte σ x au milieu de cette poutre (donc pour x = 4) et
Iz
en fibre supérieure (sur le dessus, comprimé, de la poutre donc pour y = - 0,2).
La contrainte maximale y est-elle alors atteinte ?
2
e) A l’aide du logiciel GéoGebra :
- Créer des curseurs pour ρ poutre (entre 100 et 1000), q (entre 0 et 5000 N/m), L (entre 0 et 12 m), b (entre 0 et
0,5 m), h (entre 0 et 1 m).
- Représenter graphiquement la contrainte axiale σ x de traction.
- Si on augmente la surcharge q, sur quelle face (en fibre supérieure ou inférieure) la rupture se produira-t-elle
en 1er, et pour quelle surcharge q ?
4) Déformation de la poutre
a) Préambule : Expression du rayon de courbure R d’une courbe en fonction de x et f(x)
y
R
y = f(x)
≈ dθ
dθ
ds
θ(x)
ds
dy
dx
x
x
O
dx
On a ds² = dx² + dy²
et dy = f’(x).dx
donc ds² = dx² + (f’(x))².dx² = dx².[1 + (f’(x))²]
et ds = dx. 1 + ( f ' ( x))²
tan θ(x) =
d’où, en dérivant une fois les 2 membres de l’équation :
Comme ds = R.dθ (avec dθ en radians) : dθ =
On obtient alors : (1+ tan²θ(x)).
soit
1
R
1
R
dy
= f’(x)
dx
(1+ tan²θ(x)).θ’(x) = f ’’(x)
dθ
= f ’’(x)
(1+ tan²θ(x)).
dx
Par ailleurs, pour x très petit, on a :
.dx. 1 + ( f ' ( x))²
. 1 + ( f ' ( x))² = f ’’(x)
(1+ (f’(x))²). 1 + ( f ' ( x ))² = R .f ’’(x)
et
R=
(1 + ( f ' ( x ))²) 1 + ( f ' ( x ))²
f ' ' ( x)
En théorie des poutres, les déformations élastiques sont toujours très faibles : f’(x) << 1.
1
Le rayon de courbure R peut donc s’exprimer par : R =
.
f ' ' ( x)
3
b) Relation entre le moment fléchissant M z (x) et le rayon de courbure de la poutre
Avec l’hypothèse où les sections droites de la poutre restent planes :
tan dϕ =
R
ε .dx
dx
et
tan dϕ =
x
R
y
avec εx l’allongement relatif (sans unité) dans la
direction x
dϕ
h
G
y
dϕ
dS
σx
b
axe de la poutre
y
x
ε.dx
dx
D’après la loi de Hookes, qui relie l’allongement à la contrainte, dans le domaine de déformations élastiques
linéaires :
σ x = E. εx
avec E le module d’Young du matériau constituant la poutre.
ε
.
dx
E σx
dx
on obtient :
= x
donc
=
.
R
R
y
y
On a σx =
On a donc
soit
M z ( x)
Iz
σ
.y
M z ( x)
Iz
M z ( x)
Iz
soit
=
E
R
= E. v’’(x)
x
y
=
M z ( x)
Iz
(voir le bas de la 1ère page).
à partir des deux égalités encadrées ci-dessus
ou
v’’(x) =
M z ( x)
E .I z
.
d’après le a. et en notant v(x) l’expression de la déformée ou déplacement vertical, en m) de la poutre.
Cette dernière équation s’appelle équation différentielle de la ligne élastique.
c) On a montré que Mz(x) = 0,5.(p + q).(L.x - x²) pour un chargement uniforme de la poutre.
p+q
(x4 - 2 Lx3 + L3x).
En déduire que l’expression de la déformée est v(x) = 24.E.I z
d) A l’aide du logiciel GéoGebra (sur la même page que précédemment), et avec les mêmes curseurs qu’au 3),
- Représenter graphiquement la déformée v(x) de la poutre.
- Pour la poutre décrite en début d’énoncé, quelle serait la « flèche » (ou déplacement vertical) à mi-longueur
juste avant la rupture ?
REFERENCES : - R. DUHAU : Cours de mécanique des milieux continus de l’INSA de Lyon
- M. COUSIN : Cours de théorie des poutres de l’INSA de Lyon
- P. AGATI, F. LEROUGE, N. MATTERA : Mécanique appliquée (Ed. Dunod)
- G. R. NICOLET : Cours de résistance des matériaux, EI Fribourg (2007)
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Correction
h
1. Calcul du moment d’inertie Iz pour une section rectangulaire
0,5 h
On a donc Iz =
∫ y ².b.dy = b.
−0,5 h
G
 y3 
bh 3
=
=
…
=
.
b
y
².
dy


∫
12
 3 
−0,5 h
− 0,5 h
z
0,5 h
0,5 h
x
y
dy
b
2. Expression du moment fléchissant Mz(x) pour un chargement uniformément réparti
y
La poutre est soumise à son propre poids p (exprimé en N/m), ainsi qu’à un chargement réparti q (en N/m).
Chacun des 2 appuis exerce donc sur la poutre une force verticale de valeur 0,5.(p + q).L (en N).
Le moment fléchissant Mz(x) est le moment résultant (en G de la section) du torseur des forces extérieures
appliquées sur la partie gauche de la poutre
0,5.(p + q).L
q
G
u
du
x
x
On a donc Mz(x) = 0,5.(p + q).L.x -
∫ ( x − u ).( p + q).du
0
x
Mz(x) = 0,5.(p + q).L.x - (p + q). ( x − u ).du = 0,5.(p + q).L.x - (p + q). [xu − u ² / 2]0
∫
x
0
= 0,5.(p + q).L.x - (p + q).(x² - x²/2) = 0,5.(p + q).L.x - (p + q). x²/2 = 0,5.(p + q).(- x² + L.x)
3. A l’aide du logiciel GéoGebra : on obtient une famille de paraboles
La poutre décrite en début d’énoncé résiste largement à une surcharge de 200 kg par m.
- Si on augmente la surcharge q, sur quelle face (en fibre supérieure ou inférieure) la rupture se produira-t-elle
en 1er, et pour quelle surcharge q ? pour q ≈ 13700 N/m soit environ 1370 kg/m
La rupture se produira d’abord sur le dessus de la poutre car 35 MPa < 60 MPa.
4. v’’(x) =
M z ( x)
et Mz(x) = 0,5.(p + q).(L.x - x²)
E .I z
On en déduit v’(x) =
0,5.( p + q )
soit v’’(x) =
.(0,5 L.x² - 1/3.x3) + λ
et v(x) =
0,5.( p + q )
E .I z
0,5.( p + q )
E .I z
E .I z
On a de plus les 2 conditions aux limites : v(0) = 0 et v(L) = 0 donc :
0,5.( p + q )
.(1/6. L.03 - 1/12.04) + λ.0 + µ = µ soit µ = 0
v(0) =
E .I z
v(L) =
0,5.( p + q )
E .I z
.(1/6. L4 - 1/12.L4) + λ.L + 0 soit
λ.L = -
v(x) =
0,5.( p + q )
E .I z
( p + q)
.(1/6. L.x3 - 1/12.x4) -
E .I z
0,5.( p + q )
E .I z
E .I z
.(1/12.L4)
.1/12.L3.x =
.(1/6. L.x3 - 1/12.x4) + λ.x + µ
.(1/6. L4 - 1/12.L4) + λ.L = 0
λ=-
0,5.( p + q )
E .I z
0,5.( p + q )
E .I z
.1/12.L3
.[1/6. L.x3 - 1/12.x4 -1/12.L3.x]
p+q
(x4 - 2 Lx3 + L3x)
24 E.I z
24.E.I z
b) Pour la poutre décrite en début d’énoncé, quelle serait la « flèche » (ou déplacement vertical) à mi-longueur
juste avant la rupture ? v(4) ≈ -0,12 m soit 12 cm.
=
.[2L.x3 - x4 - L3.x] = -
0,5.( p + q )
0,5.( p + q )
.(L.x - x²)
5