Dirichlet (1829) : Notes sur les intégrales définies

NOTESPELESIXTË~KALËS
DËFINIES.
PAK
(<
M. G. LËJEUNE DJRiCHLET,
PKOt-.t~KMAit).
Crelle,
Jonnmt fiir ()«' reim' ()))<)ang<'wan<)tcMathemaiitc. M.~p.
*'(-?.
\OTKSLRLESIXT~RALESDÉFÎMES.
'!f t.-t-ttcnutf. soient comprises
~ttutqtt~ i~ U)t~t':dcs (jui iont ro!t
t-n ~randu partif parmi wttcs dont MM. Poisson t-t C~c~n et d'tuttt'e.s savants
ont tMt~'ntim''tt's YuL'm'sd:nM ces do'hto's t~taps. }f nif flatta ~ttc c''tte )t<'u\'f)!<' numn't't'd'y paj'Vftm'p~uM'u tntL't'~sst'tles ~'t~et~
{m' soft extt'~m<-~imf:H!.usa~\ fst fou')~ sur ht prupn<tc <(atmt~ (t~s
{)Hclt~.
pr(M'~<t~~tt
mte~rates doubles, d'ctt'~ ttM~~ftKhmtps <!f !'utt.tn*d:nts tt'~nc{ !~s tteux Httc~tti«ns sont c~ctu~'s. C't'st une fxt~~n'H <tc ta tn~thu'k duttt MM. LAt'f.At);
et PoniSONont tait un ~tt)j)toi si ht'un'ox 'tans ta th~orn' dfs it)t~"t'n~s 't~<ink"<. Mtns si t'ott d<*it<'nnv<'nh'qtff i:t m(~h'c <Jont it s't)~it a acquis son
importance principa)? pat' h's applications tn~nicuscs que k-s ~um~tt't's citfs
'')) ont taitt's. ta justice t'xi~' aussi d'attt'Hm'')' a Hcmt; ia p)'cn)icrc' i'tcf <!<faire servir )~ p)'"pri~tc ~nottc~' <)cs iotc~t'ah's fjouttie. a i\a!ttatiut) 'h's intc~ra)cs dcnnifssiotptt-s*).
S! t'un tfcsi~ttL'pat' ft ~<'ox coustaot~s pf<siti\s, t't <jU<'J'on ad~pic
ta notation de M. LKtjHxuKH.on itm-a p&t-tf simp~ chan~'tHt'ut d~
t'tt
(,)
~=~
tes )tnntM t''tant x~t'o et !'itit)tti positif.
KrLER a ~t~ conduit par l'induction
"L ia,
?6'
~'par )tth'(ptatttitpdp Ja ff)rrn<+Ct
kt'eMtpktcet'tit cwMta~ntf
partie rc(;m' (''tant tou;om's posith'c. sans <jt)oit'intcgratt- dcvh-ndrait ixtmn'. H.
a t~tfnn de ucttt' tna.ntt'rc !qoat!<m sohantf:
J'~U"'
) ~<Mm.tft. M.
~'tfrf< '"m.
')/==
7.
(~+~
tt~-)
\"U-Lt:),Ks)\T);'i){.f.t-:s)tKF[\<)-.
(jtti a '-h' \t'ii}t-t- <)~{t)ti.put- M. t~oMsux*). L'~tpMti'mpt'~ccd~ntt' tt u<m
.td<tt<t')tt tu-') j~utt)'<!t-sv!t)<'U)'s)'~fIJ('.s''t po.sitm'sdt'
U)iust.-)h' -ut's~tt'
(')h'ut~'jmtnd m~'tm.'Mts~t'itHtnm~itmit't'.pou)'u~u':t)orstap:u'tt<'t'M')!t'dt'w
tt'tt toujours p())titi\-t.. C\->t~(}H'on)wut
dftttoxtt'ft't'ttetk'mfhtptu'tt'm~tnf
dt'w )w~
Si duncncustMp)'<tC~d~t(Ut!t~'n'[:<ht~)'iti('t'<hut<!<'<')<s
st~uottspu)'~ ')))'' qmu~)t'~ ««mttst'it (a ~fn~' t\'stnct!on(t\n'utt'Mtt partt~
tt''<'tt~p<~iti\tt~n?.;t\u)h'
<<)/M-==
(~-t-Cy-t)"
Si !%<))tvotptfK'e <<fts wth' <)cmi('t'('f<t)ttte ht t{)t!mt)tct~ette tjuett'othxt~
et /et<tut't~st~t!tntit~rwit(:'sq)~)conqttfs,
pt(t';t'+-r
ct~n'on ect'tVt' <'ttstutcsttH~!<'ttK'nt :t ht {Jm'c'!<* ~-h~V–
n))
'M~
<<
(3)
l
.f ')<~in))L'
uxc ~(Ctrttitc
n'st)'i<'ttund'a\'<)h'!t'urs
rwth'
partes
et
ft
tt vt~nth'a c&tk'-et:
.– `
~+.t/
."ont
(tcux
'{U!t))ttt~
sutomsps
!a
rëettespostttVHs.
Otftre ta t'ut'tuujt- jn~'Mkntt'.
t'ut'mu)~'font on est rcf!pva!)t<n M.
posith-f ~t dcsi~tmnt une (jnuntite
la i'ut')no)<' doxtnous
(t~Ucpositt\
nous aurons ~ncor~ h~sotn d'une autt'e
LAM.ACK.T.a <'nnst:tntf étant t'~fH~et
somnise ht rcstt'iction d'avoir s:t pat't!p
}'!t)')uns.t'st t't'tte-C):
rl.r
cos«.<'
6G
NotM t'ect'h'ons d'une )n:tttn~tm
<
<mx
ce o'n est
d<;ux
:t deux.
lit
tuats
peudiit~'c~tt'. fHt'MHpt:~nt (;os.c.c n:u'
,M,~t
~r. ttttt est eo)HR<ts<~
<M~nents
t'int~ratp f .StUM'
df
si~r~s
opposes,
ctant
''vtd~nnm'nt
)t(dh'.
Xoos
f'~ttr ~it'-)- toute Mtt)t)i~)<rt7. !r c«)nr<')tt 'r< fMt- h'' o'a-i <t)' .f)rfh;n~ '!nrn"<. h' teUf~t A-t-t <t
~"n'xeMt '(««. t)UMKi<Mreettes et ta pn-tMifre de fh'" i'<'sttire.
u~rat~tt ~t+~- -)) s)'r\im
a r"<)))t)itrt-r )\'x)'rcssi")) ~('')+'~ t~– t. r 'tiott la ~uittttit~ positif ~+~')
et
<'< )'i<r'' ')n))ri'< entfc –
~t<'r!))iu")):t))'))t~ti"))tj{~=
t.e<tt~p'«iti')n<;)rM'"<ientt"tnt''M)).<crtM'<.t't./t).~i)'))ant«n)'
= .+'<'<'
<tt<~tttit.-tjH~ttfUMjUt')'~<'tt<'nu t<M!'tMain'. 't~
-!)'' i)t<H')u''rit'h' '['mtttitt'' ,)*
~utNnt)'))):)<)';))
't)~.)):tttat-ht'!t):ttu.t:tti"n
~<))))''<'tt.)))''<-<'t~'t')uatMhtt'!t!it-t)')):)ttt
.))/.
))~')..st-))<'jnt')t'\it'tt-t)<h'~i<
t-~
XU'fË SUtt LES iXTKMKALMUHt'iXfM.S.
avons
t t3
donf~
(4)
;=~
i/eqttation (3) subsistantp<~urtoutes tes. valeurs rentes de a', on peut
intégrer ses deux tMembrespar rapport a cette quantité entre des nnntes
quelconques,ap!'es les ttvotr atutttptMf;par <~ et par mn-ibnction<}ne)eouquf
de
Si l'on tnutttptte les deux membres p:u' -<At (c ~tant )'eeHcet
positive et conscrvattt sa stgtftficationpt'<!cedente)et qu'oo int~rc eusnite
oc. on am'a:
depuis a;== –oo jusqu'à .t' ===
<"°
~-(~
,r
e
~+"
<
_m
-=~
(~·+.x~t~
<
G9+x~.
Commec-+~ est positive(y ne devant reccvoo'que des v&km'spMtttv<is
dsus
rint~~ntttonretative à eett~'vanaMe), on tnn'a en vertu de ht tbrtuutf(4):
p-~+!.)'t'
J~==T~
-un
La substitutiou de cette va)em' dans !e premier tnetubre le reduu'n a h)
quantité:
-j ~e
U
<
ou ce qui est la !nemc chose d'après Fequation(2). la partie reeHede &-<
étant évidemmentpositive:
~f(~)c-~
~+~)'
Ëgatant cette quantité au secondmembre et enfant k' facteurf(~) qui se
tmavcraMnmtmMx-d<iUL&tnembre~fM~~ur~d6<i~
e-<t
t
J;(~i)p'~+~+~'
x
En p:M'ticu!arisant
les constantesde cette t'onnuic. on obtiendratoutes cènes
dont il est questiondans te Mémoiresur !es intégrâtesdennicsque M.Potssox
a insèredans te 18' cahier du Journat de t'Ëcotc Polytechnique.
C.LcjfUt)t't)ir)c)t)et'sWpr):<
tf)')
U4
\"TK Sttt f,t-:S )\'tH'.H.U.Ks [tKt'tXtKS.
.<tccfUtnctHtuntt'ttitnt les kttt'~s
et thms r~quatton (3), (f ntuttipiit*
ses <tcux)uc'ub)'~ pat' ht 'jna))tth*qm st' tt'onvc sous te si~nc dans in t'ot'tnnk (.~) et )<' tes ïnt~t't' ~ttsuit~ (tcpnis .K===–oo jusqu'tt ~==00.
On ~H'ctuct'a lit '!otthtc inte~t'att~n <'<MMMtu
on l'a fait po))r obtetth'
)\~)Mtton (r)) itvccla seu)~<)iH'ct'et)Cf
~u*:t)t Ht'ttde s'appuyer sur Jtt tbrtnu!e (4),
il faudra s'appuyer sur i'cquHtiun(.')).
·
Tout ca)cni t'ait, on tconvct'K:
,1
~+-
–
~.+..<.v~t)<' (<+.
<-
(A+~
(A+~
En fOtitinoMtitde prwc<)(~'itinsi. on Mtïivct'a <t cette funuuie:
(a)
'L
f
(~-V-~
~t'
t
6"(A+~
'hm:<ht~uettetes iuetem's:
1
1
(~i~
~C;i)~
(<+~-i)._i_
(&+~'
(~1?'
i
(<i+~
·
_I
soitt t'n nombre quelconque. H faut se rappek't' <;uec désigneune quttnttte
ou (h) moins les purties reeHesde
posithe et ejue
ces quantitéssont élément positives.
Lit t'omutte(6) ibut'mt un grand nombre()e conséquences:je me contentm'aid'en indiquerune sente.
Si Fon désignepar A une quantité positivesupcneurett Funitë~ou une
quantité imapimircayant pour partie r~eue une tene quantité, et par une
quantité reçue quiconque, la partie rceUede ta.quantité /(/t-t-;cV–i) sent positive*). Onpom'F&par conséquenti& mettre ia,ptace de A-t-~t~-id~ns t~
i'ormuie(2). On aura ainsi, en remptaçuntde ptus par (y ctant uneqna,ntité du tnemegenre, c'est-à-diresoumiseaux mCmest'estt*ictions
que /)')f
M)et t<etitut r<?e))cset m df pht!) positive et
la partie r~'Ue 'te
') Soit t=m-}-)tj/–t,
MMfc <)uirevient ail HK'tne,de <[m+(M-t-–f]
sera ~["t-("+~],
vatettr t)Mt«'ra tott<<+r/–î)
at)-(te<i<mft)'* tx 'i'tanOtt
jfmr< positive, attendu <)uc)!t tjXimtit~m~-t-(t)-)-]-)~ne p'tttrnt jumitis 'i':)tK)i<se)'
))"sitivt m' et :<fortiori pa'i ;m ')<su)tf <te)'ttu!t~, ftaot >
!).')-)
~TKSr){Lt:s~TKf.MAU-;s~)\U':s.
.–
(7)
<4'')~==
Oll 'l'
ou~t'onect'itsitnhtemettt
1~()Ill'Cl'It
~~t'
1.
1
a 1 1
ttiap)ace<!e'
(/,+.<–t~
t· ,·r'+rl .p
1
x
r
(/<+j.l~ ~(/<+~]<
-~==
Je u~titipjie tes deux nK'tHbresde cette (tt't'ui~t'f equHtton p:u' ia ~uantit~ qui
((!) ~tje les ixt~t't'ensuite dt'puts
sftronvf~uus!fsi~)tc/dtttM)'uqt)attou
.t' = – oc jusqu'tt ir ==oo:
J y-
__t__
,.j~
-(~y~'
(~).
1
t!
~1_
~'+~+~t~
(A'+.l~
'[/(/<l)f
L'itttëgrate tftattve ? a' (tu pc~tmet'tHembre s'obtifnt an moyen de ta ibrmuie (6),
y ét&nt positive. En retïectuant, le pt'ftnift' tncmbfe s~ t'eduira :<:
L.(~p/~
(&+.7'y' '(-y-
~1
(<+.A/'
Si l'on nK't dans cette quantité :t tu ptacc de !'int(!~nde s!t \dfUt':
r~)
î~+~F'
qu'on i~~ate au second membre de Fequation précédente et qu'on eHacc le facteur commun jT(~), on aura:
f*
~~J
y
~'+..v-i~
7 [~+~])].
1
1
1
1
~-+.
t~+~)v
\(&)7'
Si ron accentue les !etttf:s &et~ dansta. tot'mutp(7), qu'on nMtttpue tes deux
(tans t'equation (8) et
membres
par !a. quanttte qui se trouve sous le ~nc/
qu'on les intègre' ensnite dcpn!s .r=~ –ce ju~qn'!< .=='3c.. ou :u'nve)'a a umdeux
formule semblable à !a &)rmute(8). dans iaquette U y aura. sous le ~ne
tactexrsdeiatbrnie:
~x
t~/
(~i)f.
[/(A+..v-i~
[~'+,t)].,
tj*
tl<!(;
Ux
X"ft:sLt(L)-sfXTK<~<ALHSM:nXtt:.s.
puxt'nt thtr'~inirc
tk
wttu
n~uicrc
titi notMbm
~udcot~m'
(if ces fa<;t<;ut's,
<'t''}ttido()ftft'!t)at'u)mt)tc
(~
h'~
K.
tt
""f
t
'(~-+~t
==
t
E~+~t/-
f
'(~+~
t
~t/-i~1
'7
(~+/
~[/(&.+.[~+~7
'):ms taqH~tteon suppose c posttivc, tes pni-Hea ~di~s dfs
(~MmtMsA: k, k'.
< <
A, A', A",
cg~etHHnt
postttvct!, et en
ouHf i~ {Mt'tiest'eeitfs dfs ~uantttt!s de dernière scne A,
A",
sappt'icm'es~t'xnitf.